轴对称——最短路径问题

正方形ABCDAB 边上有一点E ,

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名师堂学校优学小班讲义 轴对称一一最短路径问题

现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活 ？数学”，“活动？思考”为主线 展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识 与能力的综合运用，其原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、 三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型做一个简单的归纳。

例1.如图，牧童在A 处放马，其家在B 处，A B 到河岸的距离分别为AC 和BD

且AC=BD 若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把马牵到河边饮

水再回家，最短距离是多少米?

分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接

A B,得到最短距离为A B,再根据全等三角形的性质和 A 到河岸CD 的中点的距离为500米，即可求出A'

B 的值.

A B=1000米.

故最短距离是1000米.

M

■ ・

*

■k

1 k & 例 2.如图,

AE=3 EB=1,在AC上有一点P,使EP+BF为最短.求：最短距离EP+BP

分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B,动点P所在有直线作为对称轴相当于例1中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB故均有EP+BP=PE+P成立；所以原题可以转化为求PE+PD勺最小值问题，分析易得连接DE与AC求得交点就是要求的点的位置

例3.如图，/ XOY内有一点P,在射线0X上找出一点M在射线0Y上找出一点N,使PM+MN+Nt短.

分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对

称图形的性质确定三角形的另两点.

分别以直线OX 0Y为对称轴，作点P的对应点P i与R,连接P1P2交0X于M交0Y

于N,贝卩PM+MN+NR短.

例4 .如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处,

须经两座桥：DD , EE （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD E EB

的路程最短，这个最短路程是多少米?

分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD E' EB通过轴对

称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为

平行四边形的问题解答.

这就是“造桥选址问题”

解：作AF丄CD且AF= 可宽,

作BGL CE且BG河宽，

连接GF,与河岸相交于E'、D

作DD、EE即为桥.

证明：由作图法可知，AF// DD , AF=DD,

则四边形AFD D为平行四边形,

于是AD=FD,

同理，BE=GE ,

由两点之间线段最短可知，GF最小;

即当桥建于如图所示位置时，ADD E EB最短.

例5.（ 2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a=

分析：因为AB,PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB勺长度就行了 .问题就是PA+NB

什么时候最短.

把B点向左平移2个单位到B'点；作B'关于x轴的对称

点B〃，连接AB',交x轴于P,从而确定N点位置，此

时PA+NB最短.再求a的值.

此题中的PN就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造

平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短.

至于“抛物线”这一类型的问题，由于综合性较强，这里就不介绍了。但中纵

观上述几题我们不难发现，这一类题型的解题思路是一样的：找到关于线的对称点实现“折”转“直”，再利用“两点之间线段最短”这一性质来解决。

攀登高峰一一综合提升

1、（一定点两线型）如图，/ AOB=30，/ AOB内有一定点P,且OP=10在0A上

有一点Q,OB上有一点R.画出周长最小的厶PQR并求出最小周长

2、（两定点两线型）已知：/ MOr和/MOr内两点A, B.求作：点C和点D,使

得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BDAB最短.

提示：用1题的解答可以帮助分析出2题的解答

谈谈收获--- 自我反思

、

两边OA 0B 上的动点，当△ PEF 的周长最小时，点P 到EF 距离是（ 2.如图，等边△ ABC 的边长为4, AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，若AE=2当EF+CF 取得最小值时，则Z ECF 勺度数为（ ） 3.如图所示，正方形ABCD 勺面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD

内，在对角线AC 上有一点P ,使PD+P 啲和最小，则这个最小值为（）

4.如图，四边形 ABCD^，Z BAD= 120°，Z B=Z D-90°，在 BG CD 上分别找

一点M 汕使厶AMN 周长最小时，则/ AMN-Z ANM 勺度数为（?）?

A.130°

B.120°

C.110°

D.100° ??

想一想这节课你有什么收获？答：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间, 线段最短”问题 课堂检测 A 如图：在边长为2的正三角形ABC 中,E 、F 、、G 分别为、F AB AC BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点, B 连接BP, GP 则厶BPG 勺周长的最小值是G 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处 牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮 他确定这一天的最短路线。 巩固训练: 1.如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标 分别为（1,4 ）和（3, 0），点C 是丫轴上一个 动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当 三角形ABC 的周长最小时， AC+BC=() 2.如图，/ AOB=60，点P 在/ AOB 的角平分线上，OP=10cm 点

E 、

F 是/ AOB