数值分析计算方法第二章作业
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p ( x 0 ) f ( x 0 ) , P '( x 0 ) f '( x 0 ) , P ''( x 0 ) f ''( x 0 ) ,p ( x 1 ) f ( x 1 )
解：设 P ( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) ( x x 0 ) f''2 ( x ! 0 )( x x 0 ) 2 a ( x x 0 ) 3
第二章作业题答案
1.当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3,4，求f(x)的二次差值多项式 （1）用单项式基底 （2）用拉格朗日插值基底
（1）解：设 f(x)abxcx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a7,b3,c5 326
所以 f(x)73x5x2
a x b
a x b 2 !
8
8 a x b
6.在-4<=x<=4上给出f(x)=e^x的等距节点函数表，若用二次插值求e^x的 近似值，要求截断误差不超过10^-6,问使用函数表的步长h应取多少？
解：假设节点取 x0h,x0,x0h
R 2 ( x ) f( 3 3 ) ! ()w 3 ( x ) e 6 ( x x 0 h ) ( x x 0 ) ( x x 0 h )
Ln(x)kn 0yklk(x)5 6x23 2x7 3
4.设xj为互异节点，求证：
（1） n
x
k j
l
j
(
x)
xk
j 0
（2） n (xj x)klj (x) 0 j0
（1）解：余项定理 Rn(x)f(x)Ln(x)f((nn1)1()!)wn1(x) 当f(x)=x^k（k<=n)时， f (n1)(x) 0
R 2(x)e 6 (xx0h)(xx0)(xx0h)
令 t x x0
则
R2 (t)
e 6
(t3 h2t)
当t= 3 h 3
时，上式有最大值 2 3 h 3 9
则
R 2(t)e 6 (t3h2t)e 6 4293h310 6
解得 h6Hale Waihona Puke Baidu58*103
13.求次数小于等于3的多项式P（x），使满足条件：
从而 P 4 ( x ) P 2 ( x ) a x ( x 1 ) ( x 2 ) b x 2 ( x 1 ) ( x 2 ) a,b都为待定系数
P 4 '( x ) 4 b x 3 3 ( a 3 b ) x 3 ( 4 b 6 a 1 ) x 2 a 3 2
32 6
（2）解： l0 (x ) (( x x 0 x x 1 1 ) )( (x x 0 x x 2 2 )) ((x 1 1 1 ) )( (1 x 2 2 )) (x 1 )2 (x 2 )
l1(x)
(x1)(x2) 6
l2(x)
(x1)(x1) 3
n
即 (tx)k lj(t)(xj x)k 0 j0
n
将t替换为x，得到 (xj x)klj (x) 0 j0
5.设 f(x)C2 a,b 且f(a)=f(b)=0,求证：m ax a x bf(x)1 8(ba)2m aa x x bf''(x)
解：Rn(x)f(x)Ln(x)
n
于是有 Rn(x)xk xikli(x)0 i0 n 所以 f(x)xk Ln(x) xikli(x) i0
n
(2)解：当f(t)=(t-k)^k(k<=n)时，Pn(t) lj(t)(xj x)k, j0
又因为 f (n1)(t) 0 ，所以 Rn (t) 0
解：设P（x）= ax3bx2cxd
则 P'(x)3ax22bxc
d 0 代入已知条件，得到： c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P（x）= x3 x2 x
16.求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足：
p ( 0 ) p '( 0 ) 0 ,p ( 1 ) p '( 1 ) 1 ,p ( 2 ) 1
解：由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P 2 ( x ) ( x ( 1 1 ) ) ( ( x 2 ) 2 ) 0 ( 1 ( x ) 0 ( ) x ( 1 2 2 ) ) 1 ( ( 2 x ) ) ( ( 2 x 1 1 ) ) 1 1 2 x 2 3 2 x
a为待定系数，这样的P（x）显然满足前三个条件，将第四 个条件代入，可以求解出：
af(x1)f(x0)f'(x (0 x )1 (x 1x 0) x 3 0)f''( 2 x0)(x1x0)2
将a带回到P（x）中即可
14.求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件：
p (0 ) 0 ,P '(0 ) 1 ,P ( 1 ) 1 ,p '( 1 ) 2
将 p'(0)0,p'(1)1 代入到上式中，得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有 P4(x)1 4x43 2x39 4x2
Rn(x)f'2'(!)(xa)(xb)
Ln(x)a f( ab )(xb)b f (ba )(xa)0
所以 f(x)f''()(xa)(xb)
2!
m a x f( x ) m a x f''() ( x a ) ( x b ) 1 ( b a ) 2f''() 1 ( b a ) 2 m a x f''( x )
解：设 P ( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) ( x x 0 ) f''2 ( x ! 0 )( x x 0 ) 2 a ( x x 0 ) 3
第二章作业题答案
1.当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3,4，求f(x)的二次差值多项式 （1）用单项式基底 （2）用拉格朗日插值基底
（1）解：设 f(x)abxcx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a7,b3,c5 326
所以 f(x)73x5x2
a x b
a x b 2 !
8
8 a x b
6.在-4<=x<=4上给出f(x)=e^x的等距节点函数表，若用二次插值求e^x的 近似值，要求截断误差不超过10^-6,问使用函数表的步长h应取多少？
解：假设节点取 x0h,x0,x0h
R 2 ( x ) f( 3 3 ) ! ()w 3 ( x ) e 6 ( x x 0 h ) ( x x 0 ) ( x x 0 h )
Ln(x)kn 0yklk(x)5 6x23 2x7 3
4.设xj为互异节点，求证：
（1） n
x
k j
l
j
(
x)
xk
j 0
（2） n (xj x)klj (x) 0 j0
（1）解：余项定理 Rn(x)f(x)Ln(x)f((nn1)1()!)wn1(x) 当f(x)=x^k（k<=n)时， f (n1)(x) 0
R 2(x)e 6 (xx0h)(xx0)(xx0h)
令 t x x0
则
R2 (t)
e 6
(t3 h2t)
当t= 3 h 3
时，上式有最大值 2 3 h 3 9
则
R 2(t)e 6 (t3h2t)e 6 4293h310 6
解得 h6Hale Waihona Puke Baidu58*103
13.求次数小于等于3的多项式P（x），使满足条件：
从而 P 4 ( x ) P 2 ( x ) a x ( x 1 ) ( x 2 ) b x 2 ( x 1 ) ( x 2 ) a,b都为待定系数
P 4 '( x ) 4 b x 3 3 ( a 3 b ) x 3 ( 4 b 6 a 1 ) x 2 a 3 2
32 6
（2）解： l0 (x ) (( x x 0 x x 1 1 ) )( (x x 0 x x 2 2 )) ((x 1 1 1 ) )( (1 x 2 2 )) (x 1 )2 (x 2 )
l1(x)
(x1)(x2) 6
l2(x)
(x1)(x1) 3
n
即 (tx)k lj(t)(xj x)k 0 j0
n
将t替换为x，得到 (xj x)klj (x) 0 j0
5.设 f(x)C2 a,b 且f(a)=f(b)=0,求证：m ax a x bf(x)1 8(ba)2m aa x x bf''(x)
解：Rn(x)f(x)Ln(x)
n
于是有 Rn(x)xk xikli(x)0 i0 n 所以 f(x)xk Ln(x) xikli(x) i0
n
(2)解：当f(t)=(t-k)^k(k<=n)时，Pn(t) lj(t)(xj x)k, j0
又因为 f (n1)(t) 0 ，所以 Rn (t) 0
解：设P（x）= ax3bx2cxd
则 P'(x)3ax22bxc
d 0 代入已知条件，得到： c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P（x）= x3 x2 x
16.求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足：
p ( 0 ) p '( 0 ) 0 ,p ( 1 ) p '( 1 ) 1 ,p ( 2 ) 1
解：由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P 2 ( x ) ( x ( 1 1 ) ) ( ( x 2 ) 2 ) 0 ( 1 ( x ) 0 ( ) x ( 1 2 2 ) ) 1 ( ( 2 x ) ) ( ( 2 x 1 1 ) ) 1 1 2 x 2 3 2 x
a为待定系数，这样的P（x）显然满足前三个条件，将第四 个条件代入，可以求解出：
af(x1)f(x0)f'(x (0 x )1 (x 1x 0) x 3 0)f''( 2 x0)(x1x0)2
将a带回到P（x）中即可
14.求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件：
p (0 ) 0 ,P '(0 ) 1 ,P ( 1 ) 1 ,p '( 1 ) 2
将 p'(0)0,p'(1)1 代入到上式中，得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有 P4(x)1 4x43 2x39 4x2
Rn(x)f'2'(!)(xa)(xb)
Ln(x)a f( ab )(xb)b f (ba )(xa)0
所以 f(x)f''()(xa)(xb)
2!
m a x f( x ) m a x f''() ( x a ) ( x b ) 1 ( b a ) 2f''() 1 ( b a ) 2 m a x f''( x )