运动学作业解答 学

解：运动方程对时间求导得： vx =x´=50 vy =y´=－2t ax=vx´=0
∵动点速度为：
v vx2 vy2 502 (2t)2 2500 4t2 (50m/s )
∴动点切向加速度为：
at

dv dt

d dt
(
2500 4t 2 )
4t
0
2500 4t 2
xx yy 50 0 (2t)(2)
4t
动点切向加速度为：
at
x2 y2

0
502 (2t)2
2500 4t2
动点法向加速度为：
xy yx 50 (2) (2t) 0
an
x2 y2
502 (2t)2
解： 基点法：以O以为基点，得
v1= vo+ωr ①
v2= vo－ωr ②
由①－②得: ω=(v1－v2)/2r 由① + ②得: vo=(v1+v2)/2
ωr ω
vo ωr
v1＞ v2 ，则ω顺钟向； v1＜ v2 ，则ω逆钟向；
v1= v2 ，则ω=0，齿轮平动。
瞬心法：设v1＞v2 ，瞬心为C，BC = l ，
P190题9-12 凸轮在水平面上向右作匀速运动，如图所示。设凸轮半径为R，图示 瞬时的速度和加速度分别为v和a。求杆AB在图示位置时的速度和加速度。φ=60 º
解：1. 选择动点、动系与定系。 动点－杆AB 的端点A 。 动系－Ox´y´，固连于凸轮。 定系－固连于机座。
2. 运动分析。 绝对运动－铅垂平动。 相对运动－圆周运动。 牵连运动－水平平动。
a n = v2/R =4Rω2
则M点的加速度为： a at2 an2 0 (4R2 )2 4R2 指向曲率中心O1
s
φRa=2φan
M0
0
P156题7-11 已知动点的运动方程：x=50t，y=500－t2，x、y单位为m，t单 位为 s，求 t = 0 时， 动点的切向加速度和法向加速度及轨迹的曲率半径。
(1)ω1= πn1/30=20π(rad/s)，
由 vc1= vc2 即 ω1r =ω2d
2
得 ω2= ω1r/d =100π/(10－0.5t)
1 C A
∴α2=ω2'=50π/(10－0.5t)2=50π/d2(rad/s2)
(2)当d =r 时，
aτA= Rα2 =R×50π/d2 =15×50π/52 =30π(cm/s2)
ω
由于齿轮作平面运动，
vo
故有 ω=v2 / l 及 ω=v1 / ( l+2r)
由此可得：l =2r v2 / (v1－v2)
所以 ω=v2 / l= (v1－v2) / 2r vo=ω( l +r )=[(v1－v2) / 2r][2r v2 / (v1－v2)+r]=(v1+v2)/2
v1＞ v2 ，则ω顺钟向； v1＜ v2 ，则ω逆钟向；
vr va
ve ω01 v
由速度合成定理 va ve vr
得： va= ve/sin60º=ω·OK/sin60º
=0.5×(40/sin60º)/sin60º=80/3=26.7(cm/s)
齿条为平动刚体，故与齿轮的接触点的速度v也为 va ，即 v = va = ωO1r 解得： ωO1= va/r=26.7/10=2.67(rad/s)
而动点加速度为：
a
a
2 x

a
2 y

0 (2)2 2m/s 2
ay=vy´=－2
y
M
O1
∴动点法向加速度为： an a2 at2 22 0 2m/s 2
∴动点处的轨迹曲率半径为： v2 502 1250m
an 2
O
x
另解（按P152例7-7推导出的计算式进行计算，从第三步开始）
∴ ω2=ω·OB/O1B= 5.2 rad/s 用速度投影法无法直接求得杆AB的角速度ωAB
θvAA
vBcosθ =vAB－vAsinθ
ω2·O1Bcosθ = ωABAB － ω·OAsinθ
ωAB=(ω2·O1Bcosθ+ω·OAsinθ)/AB=ω= 3 rad/s
ω2
ωAB vB vAB
θ
度，亦即点M在该两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t(s) φ(rad)
v (m·s－1)
at (m·s－2)
0
0
π 4

0l=15.71(水平向右)
0
2 φ0
0

π2 16
0l=-12.34(铅垂向上)
an (m·s－2)
π2 16
02l=
6.17
(铅垂向下)
0
P172题8-8 绞车由带轮Ⅰ、Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成，轮Ⅱ和轮Ⅲ固连，各轮半径 分别为r1=30cm，r2=75cm，r3=40cm，轮Ⅰ转速n1=100rpm。轮与胶带间无 滑动，求重物M上升的速度和胶带AB、BC、CD、DA各段上点的加速度。
vx2

v
2 y

(2Rsin 2t)2 (2R cos 2t)2 2R
vx
φ R 2φa
ax
cos(v, i)=vx/v=－sin2ωt
(v, i)=π/2+2ωt
对速度分量求导得：ax = vx´ =－4ω2Rcos2ωt ay = vy´ =－4ω2R sin2ωt
则M点的加速度为：
ω2 vA
ωAB
vB
θ
ω2
因轮Ⅰ匀速转动，故ω1、ω2、ω3均为常量， ∴ α1=α2=α3=0 匀速转动。
即各轮定轴
AB段和CD段为直线， ∴ aAB= aCD=0 BC段与轮Ⅱ接触， ∴ aBC=v2BC/r2=π2/0.75=13.16m/s2 ，指向轮Ⅱ的轴心 DA段与轮Ⅰ接触， ∴ aDA=v2DA/r1=π2/0.30=32.90m/s2 ，指向轮Ⅰ的轴心
P155题7-8
P155题7-8
解： 一、直角坐标法，取M为动点，连接MO1，φ=ωt，几何关系如图所示
则M点的运动方程为：x = R +R cos2ωt y =R sin2ωt
v ay vy
对上式求导得：vx =x´ =－2ωRsin2ωt vy =y´ = 2Rωcos2ωt
则M点的速度为：v
sin
π 4
t
的规律摆动，求 t = 0 和 t = 2 s时，φ0=0.5rad ，筛面中点M的速度和加速度。
解： AB杆平动。为求中点M 的速度和加速度，
只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。
本题中点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以
最高点O为起点，规定弧坐标s向左为正，则A点
的运动方程为
100 2m/s 2500 4t2
动点处的轨迹曲率半径为：


( x2

y2
)
3 2
xy yx

[502

(2t
)2
3
]
2
xy yx
503 1250m 100
P171题8-1
摇筛机构O1O2=AB
，O1A=O2B=
l
=40cm，杆O1A按
0
v1= v2 ，则ω=0，齿轮平动。
C
P209题10-5 图示四连杆机构中，OA=O1B=0.5AB，曲柄OA以角速度3rad/s绕
轴转动，求在图示位置杆AB和杆O1B的角速度。
A
解1：O点瞬心，vA=OA·ω=OA·ωAB ,∴ωAB=ω= 3
vA
rad/s
vB=ωAB·OB =ω2·O1B，∴ω2=ωAB·OB/O1B= 5.2 rad/s
a
ax2

a
2 y
4ω2R
cos(a, i)=ax/a=－cos2ωt
(a, i)=π+2ωt
二、自然法（由下述结果可知：轨迹已知时，用自然法更简便）
v
M点的运动方程为： s =R ·2ωt = 2Rωt
则M点的速度为： v = s´ = 2Rω 沿M点的切线指向左上方
根据有关公式得： a t = v´= 0
vA= Rω2=Rω1r/d = 15×20π=300π (rad/s)
anA= ω22R =15×(20π)2 =6000π2 (cm/s2) 或 anA = vA2/R= (300π)2/15 =6000π2 (cm/s2)
a a2 A an2A (30 )2 (6000 2 )2 592.117(m / s2 )
ωAB
vB
解2：以A为基点，得 vB=vA+vAB
∴ vA=vBtanθ
OA·ω=O1B·ω2tan30°
A
∴ω2=OA·ωcot30º/O1B= 5.2 rad/s
vA
vA=vABsinθ OA·ω=AB·ωABsin30°
∴ωAB=OA·ω/(ABsin30º)=ω= 3 rad/s
解3：由速度投影定理得 vAcosθ=vBsinθ θ =30°
s 0l sin
πt 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v

ds dt

π 4
l0
cos
π 4
t
再求一次导，得A点的切向加速度
at

dv dt

π2 16
l0 sin
πt 4
A点的法向加速度
an

v2 l

π2 16
l02
cos2
πt 4
代入 t = 0和 t = 2，l=40cm，φ0=0.5rad 就可求得A点在该两瞬时的速度和加速
B
3. 速度分析。
绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB 。
牵连速度ve： ve= v ，方向水平向右。
vr y' va
φ A ve
A
v
R
φφ
பைடு நூலகம்
a x'
O
相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆 周的切线 。
根据速度合成定理 va ve vr
得：va ve / tan v / tan 沿杆AB 向上

v2 R sin 3
最后将 a =0，φ=60º代入进行计算得：
va

v tan 60

0.577v
aa

0

v2 Rsin 3
60
1.54
v2 R
方向铅垂向上。 方向铅垂向下。
P209题10-3 两齿条以速度v1和v2作同向直线平动，两齿条间夹一半径为r
的齿轮，求齿轮的角速度ω及其中心O的速度vO。
解：属定轴转动刚体及其传动问题
由图知： n3=n2=r1·n1/r2=30×100/75=40rpm
H
绳不伸长，故重物与轮Ⅲ轮缘上点 H 的速度相等
∴ vM=vH=r3·ω3= r3·πn3/30 =40π·40/30≈1.68m/s
vM
因带与各带轮间无滑动，故带与带轮轮缘的速度大小均相等，
即：vAB=vBC=vCD=vDA =r1·ω1= r1·πn1/30 =30π·100/30≈πm/s
n
vr

ve
sin

v
sin
4. 加速度分析。
P190题9-12
绝对加速度aa：大小未知，为所要求的量，方向沿直线AB。 牵连加速度ae： ae= a，方向水平向左。 相对加速度切向分量art：大小未知，垂直于 OA，假设向右下。 相对加速度法向分量arn： aen = vr 2 / R，沿OA，指向O。
P189题9-9 摇杆OC通过固定于齿条AB上的销子K带动齿条上下移动，齿
条又带动半径为10cm的齿轮绕 O1 轴转动，如在图示位置时摇杆的角速度
ω=0.5rad/s，求此时齿轮的角速度ωO1 。
解： 选K为动点，动系固连于摇杆。
y'
x'
则齿条AB 包括销K的铅垂运动为绝对运动， 摇杆OC绕O轴转动为牵连运动，垂直于OC， 销子K在齿条槽内的直线运动为相对运动。 牵连速度、相对速度、绝对速度方向如图示
P172题8-9 摩擦传动机构主动轮1的转速 n =600rpm，它与被动轮2的接触点 C 按箭头方向移动，距离 d =10-0.5t(cm、s)，r = 5cm，R =15cm，求(1)以 表示轮2的角加速度；(2)d =r 时，轮2边缘上一点 A 的全加速度。
解：两轮只滚不滑时，两轮接触点C处的速度相同，即 vc1= vc2
B
根据加速度合成定理 aa ae at r anr
将上式投影到法线 n 上，得
y' ae
A
R
arn aa
φ
O
n
art v
a x'
aa sin ae cos arn
解得杆AB在图示位置时的加速度为：
aa

1 sin

(a cos


v2 R sin 2 )

a cot