数值分析练习题加答案(七)
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11、（本题5分）试确定7
22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。
解 因为
7
22=3.142857…=1
103142857.0-⨯
π=3.141592…
所以
3
12
10
2
110
21005.0001264.07
22--⨯=
⨯=
<=-
π （2分）
这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7
22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分）
而相对误差限
3
10
2
10005.00004138.0001264.07
22-⨯=
<≈=
-=
π
ππε
r （2分）
12、（本题6分）用改进平方根法解方程组：⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--654131321
112321x x x ； 解 设⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--11
1
111
13
1321
11232312132
132
31
21
l l l d d d l l l LDL A T
由矩阵乘法得：
5
7,21,21527,25,2323121321-
==
-
==
-==l l l d d d （3分）
由y D x L b Ly T 1
,-==解得
T
T
x y )9
23,97,910(
,)5
63,
7,4(== （3分）
13、（本题6分）给定线性方程组⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧=++-=+-+=-+-=-+17
7222382311387
5104321
4321
321431x x x x x x x x x x x x x x
1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式；
2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++7
)2217()
8()2323(8)311(10)57()
(3)
(2
)
(1
)1(4
)
(4)(2
)
(1)1(3
)
(3)
(1
)1(2
)
(4)
(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x （2分）
Gauss-Seidel 迭代格式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++++++++7
)2217()
8()2323(8)311(10)57()
1(3
)
1(2
)
1(1
)1(4
)
(4)1(2
)
1(1)1(3
)
(3)
1(1
)1(2
)
(4)
(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x （2分）
2）由于所给线性方程组的系数矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----=72
2
1
1823038151010A 是严格对角占优的，所以Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。（2分） 14、（本题6分）已知方程
08.02
3
=--x x
在5.10=x 附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式：
8.0,8.03
3
2
-=
+=
x
x x x
构造如下两个迭代格式： 1） ,2,1,0,8.03
2
1=+=+k x x k k 2） ,2,1,0,8.03
1=-=
+k x x k k
判断这两个迭代格式是否收敛；
解 1）记3
2
8.0)(x
x +=
ϕ，则3
22
)
8.0(32)('x x x +=
ϕ，
14755.005
.31)
5.18.0(1
)
5.18.0(35.12)5.1('3
23
22
3
22
<==
+=
+⨯=
ϕ （2分）
所以该迭代格式是局部收敛的。 （1分） 2）记8.0)(3
-=
x x ϕ，则8
.02
3)('3
2
-=
x x
x ϕ，