数学的魅力

到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台
IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证
明了四色猜想。
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这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,
当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
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拓展了人们对“证明”的理解
克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家 德· 摩根，希望帮助给出证明。
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德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少
要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
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但德· 摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数
学家,其中包括著名数学家哈密顿。
但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，
问题；把待解决的问题，归结为已解决的问
题，从而解决问题的过程。
波利亚：关于“烧水”的例子
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九、体会公式 ei 1 0 中的数学美
i e cos i sin 中， e 1 0 可以从公式
i

令 = 推出来。
公式
e 1 0 ，用 “等号” 连接了数学
内公式的重要意义在于：它用曲面的局部不变量刻画了整体 性质。
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五、四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年
首先由一位英国大学生F．古色利提出。
他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共
边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。
但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里
Mn = 2n – 1
（n = 2、3、5、7、13、17、31、67、127、257 ）
“梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜。
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关于费马素数 ，n = 5 时，
Fn = 4294967297 = 641 × 6700417
梅森的判断中有五个错误：
n = 67、257时Mn不是素数； 而n = 61、89、107时Mn是素数。
多的人”
9
对于这个命题，纯存在性证明的方法， 比用构造性证明的方法更可靠。
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三、圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一
圆，是平面图形中对称性最强的图形
周长与直径之比是一个常数
这个常数是无理数、超越数
面积相等的图形中圆的周长最短
规尺作图化圆为方不可做
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四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯
和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从
根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学
家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
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六、素数的奥秘
自然数是整个数学最重要的元素。 自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为
“素数”。
素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数； 大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”； 1则既不是素数也不是合数。
i
中五个重要的常数，反映了数学的“统一 美”。
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M．克莱因（Felix Klein,1849－1925）：
音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心 悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以 改善生活，而数学能做到所有这一切。
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【思考题】
请你举一个例子，展示数学的魅力。
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抓三堆：
有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、 乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可 抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后 一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？
这里只要是有7的倍数，就都可以记为0。） 例2：如果1号是星期三，问 27号是星期几？（答：星期一）
解答：27号与1号相差26天，因为
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[思]：如果9月 x 号是星期 ，y
z 问 9月 号是星期几？
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我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写
成三行，将位数对齐，各列模2相加，若和全为0，
则后抓者有必胜策略； 若和中出现1，则先抓
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n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
曲边形
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高斯－博内公式
当积分区域是整个闭曲面M时，有
kd
=
2π χ（M）
其中k 是高斯曲率，χ（M）是M的欧拉示性数。这一高
斯－博内公式的左面是一个由局部性质（曲率）表示的量，
但是，公式的右面却只和曲面整体的拓扑不变量。高斯－博
认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了
更大的注意。
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1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上
发表论文，宣布Hale Waihona Puke Baidu明了“四色猜想”。
但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的
证明中有严重错误。
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一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，
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从乘法的角度研究素数
算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有
限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表
法是唯一的。
算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明 。 未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出
一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），
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例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存
在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性
的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了
求最大公约数的方法。(例：（210，1950）= 30 )
再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一
定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到 的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明 了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。
2.
后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少 有一个1变为0（如果1都不变为0，只会使谷粒数 增加或不变），从而该列模2之和将为1。于是先 抓者就不会面临（0，0， …， 0）状态。
2
一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一 片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网 眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
3
多面体的欧拉公式
V + F– E =2
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数学就有这样的本领，能够把看起来复杂 的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出 规律。
究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规
律表述出来也是相当复杂的。）
关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还
有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没
有被否定。
有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人
甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于 人类的整个文明史”。
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三个关于素数规律的问题
使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。
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下面用“构造性”证明的思路，来试图找 到解决的办法，同时也体会它的困难所在。
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解决问题的困难
不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面的两步。
即，如何较快地判断“a是否素数”；及当判断出a不是素
数后如何较快地找到b，得到a = b × c 。
想是正确的。
1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。 1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以
用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。
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四色问题的解决
直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前
人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速
计算机，但是对于很大的数a，例如200位的数a，这两步的 计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的
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这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路

a=b×c
（ b 、c是两个很大的素数，比如都是100位的大素数 ）
在造密码时，你可以把a 公开，但b 、c对外保密，只有“我方”了解。
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科尔：《大数的因子分解》
267 — 1 193707721 × 761838257287
1903年10月
267 — 1 = 193707721 × 761838257287
科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。
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七、“蒲丰投针”的故事
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八、“化归”的方法
“化归”，是把未知的问题，转化为已知的
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“抓三堆”的二进制解法
用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，
列的加法定义为
0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=0
这就是模2加法。（只要是2的倍数，就记为0）
关于模2加法，可以推广；比如推广为 模7加法： 例1：如果1号是星期一，问 27号是星期几？
3个7天之后， 26 ，说明过去 73 5 再过5 天，这样27号这天就是星期一再加上5天，即星期六。（事实上，
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天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ：
一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发 根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张 三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
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天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ：
“抽屉原理” 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“天津市南开区中一定存在两个头发根数一样
这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。
实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重
要,重要的是它们的相互位置。
下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,
问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
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一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得
了一系列成果。
1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜
者有必胜策略。 和中出现1时，先抓者的具体策略是：先抓者 从最左边的1所在的列，寻找某堆的谷粒数中相
应的列也有1，就从该堆中抓走适当个数，使得
抓完后各列的和（模2）为0。
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“抓三堆”中的数学思想
1.
由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后 抓者始终面临各列模2之和为（0，0，…，0）状
态，这意味着先抓者获胜。
必须知道b 、c才能破译密码。
“敌方”只知道a和密文，就无法了解密文的意思。要想破译密文，首 先需要把a分解为b × c 。但是因为a 这个数很大，以及上面提到的本
质困难，把a分解为b × c是很费时日的。
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找一个公式来表示素数
费马素数 (1640年)
Fn = 2 ∧ 2 + 1
n
梅森素数 (1644年)
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由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以
素数是特别简单的数。
又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法
得到，所以素数又是特别基本的数。
素数很早就被古希腊的数学家所研究。 2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理
20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。
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但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的
一次演讲中说的，后来又多次说过。
所以，这不是随便说的一句话。 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，
这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
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三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
第一章 概
述
第三节 数学的魅力
1
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律； 你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
5
二、天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多
“存在性命题” ：天津市南开区中一定存在两个头发 根数一样多的人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法：
一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事
物构造出来，便完成了证明；
一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，
而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
从加法的角度研究素数 从乘法的角度研究素数
找一个公式来表示素数
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从加法的角度研究素数
两个猜想：
每个足够大的偶数都是两个素数的和； 每个足够大的奇数都是三个素数的和。
后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没
有人举出反例，也没有人给出证明。
前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。