无穷积分收敛的判别方法(北工大)
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分1sin sin()xdx x +∞⎰的收敛性。
解 根据不等式31|sin |||,||62u u u u π-≤≤，得到 33sin sin 1sin 11|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x xdx x x +∞-⎰绝对收敛，因而收敛，再根据1sin xdx x +∞⎰是条件收敛的，由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+， 可知积分1sin sin()xdx x+∞⎰收敛，且易知是是条件收敛的。
例5.3.39 设2()1...2!!nn x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞=-∞。
证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>；,当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在，又212()()0m m P x P x +'=>，21()m Px +严格递增，所以根唯一，0m x <。
（2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0xn n P x e →+∞=>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。
因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。
则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）；21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞→+∞<=-≤=，矛盾。
例、 设(1)ln(1)nn p a n -=+，讨论级数2n n a ∞=∑的收敛性。
数学分析11-2112 无穷积分的性质与收敛判别
若 f ( x)dx 收敛, 则可得 c g( x)dx 收敛,从而
a
a2
g( x)dx 收敛.反之,若 g( x) dx 收敛, 可得
a
a
3c g( x)dx 收敛,从而 f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
u [a,), 有
u
f ( x)dx M .
a
定理11.3 (比较判别法) 设定义在 [a,)上的两个
非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
存在 G a, 满足
f ( x) g( x), x [G,),
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则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
(iii) 若c , 则由 g( x)dx 发散可得 f ( x)dx 发散.
a
a
证 (i) 由 lim f ( x) c 0, 故存在 G a,使 x G,有 x g( x)
f (x)
c
c ,
g( x)
2
即
c g( x) f ( x) 3c g( x).
2
2
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a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.
a
a
证 若
g( x)
dx
收敛,
则
M
0,
u [a,),
a
u
a g( x)dx M .
因此
u
f ( x)dx
u
g( x)dx M .
a
a
11.2 无穷积分的性质与收敛判别
限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则. 限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则. 定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是： 定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是： 任给 ε ＞0，存在 G≥a，只要u1、u2＞G，便有 ，只要 ，
∫
u2 a
f
( x ) dx − ∫a
u1
f
( x )dx
=
+∞
+∞
.
( 1)
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×
证明 记 J 1 = ∫a f1 ( x )dx = lim ∫a f1 ( x )dx
u u →+∞
+∞
J2 = ∫
+∞
a
f 2 ( x )dx = lim ∫ f 2 ( x )dx
u u →+∞ a
则
∫
+∞
a
k1 f1 ( x ) + k2 f 2 ( x ) dx = lim∫a k1 f1 ( x ) + k2 f2 ( x ) dx u→+∞
a
立刻得到不等式(3). 立刻得到不等式(3). 等式
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×
绝对收敛, 收敛时， 当 ∫a f ( x ) dx 收敛时， ∫a f ( x )dx 为绝对收敛, 称收敛而不绝 称 对收敛者为条件收敛 条件收敛. 对收敛者为条件收敛. 收敛. 但其逆命题一般不成立， 绝对收敛 ⇒ 收敛. 但其逆命题一般不成立， 性质3指出： 性质3指出： 今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例4中 今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例4 ≤1时 当0＜p≤1时 ≤1
∫
u2 u1
f
( x ) dx
11-2无穷积分的性质与收敛判别PPT课件
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证 设 F (u) u f ( x)dx,则 f ( x) dx 收敛的充要
a
a
条件是 lim u
F (u)
存在.
由于
f
(x)
0,
当 u1
u2 时，
u2 f ( x)dx u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx 0,
收敛的无穷积分
f ( x)dx 不一定是绝对收敛的.
a
若
f ( x)dx 收敛而
|
f
( x) | dx
发散, 则称
a
a
f ( x)dx 条件收敛. a
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二、非负函数无穷积分的收敛判别法
引理(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在 [a,) 上的非负函数 f 在任何 [a, u] 上可积, 则
a
a
u1
从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递
增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条 u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
f ( x)dx M .
a
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定理11.2 (比较判别法) 设定义在 [a,)上的两个 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
§2无穷积分的性质与收敛判别.
定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是：任给 ＞0，存在
Байду номын сангаас
G≥a，只要u1、u2＞G，便有
u2 f x dx u1 f x dx u2 f x dx .
a
a
u1
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柯西收敛准则
定理3.11 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是: 任
f
x dx
.
首页 ×
性质3 若f 在任何有限区间[a，u] 上可积，且有a f xdx 收
敛，则
a
f
x dx
亦必收敛，并有
f xdx f x dx .
a
a
（3）
当 a
f
xdx
收敛时，称
a
f xdx 为绝对收敛,
f1
x
k2
f2
x
dx
k1
a
f1
x dx
k2
a
f2
xdx
也收敛，且
a
k1
f1
x
k2
f2
x
dx
k1
a
f1
x dx
k2
a
f2 x dx
.
1
性质2
若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b，则
f x dx a
x
给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x1, x2 X , 均有
数学分析11.2无穷积分的性质与收敛判别
第十一章 反常积分 2 无穷积分的性质与收敛判别定理：无穷积分⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件是：任给ε>0，存在 G ≥a ，只要u 1,u 2>G ，便有|⎰2u a f(x )dx-⎰1u a f(x )dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：若⎰+∞a 1(x )f dx 与⎰+∞a 2(x )f dx 都收敛，则⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛(k 1,k 2为任意常数)，且 ⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰+∞a1(x )f dx+k 2⎰+∞a2(x )f dx.性质2：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，a<b ，则⎰+∞a f(x )dx 与⎰+∞b f(x )dx 同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞a f(x )dx=⎰b a f(x )dx+⎰+∞b f(x )dx.注：性质2相当于定积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞a f(x )dx 收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在G ≥a ，只要u>G ，总有|⎰+∞a f(x )dx|<ε. 又可由⎰+∞a f(x )dx=⎰ua f(x )dx+⎰+∞u f(x )dx 结合无穷积分的收敛定义而得.性质3：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，且有⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，则⎰+∞af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰+∞af(x )dx |≤⎰+∞a|f(x )|dx.证：由⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，根据柯西准则的必要性，任给ε>0， 存在G ≥a ，当u 2>u 1>G 时，总有|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx <ε.利用定积分的绝对值不等式，又有|⎰21u u f(x)dx |≤⎰21u u |f(x)|dx<ε.又根据柯西准则的充分性，证得⎰+∞a f(x )dx 收敛.对|⎰u a f(x )dx |≤⎰ua |f(x )|dx(u>a)两边令u →+∞取极限，可得 |⎰+∞a f(x )dx |≤⎰+∞a |f(x )|dx.注：当⎰+∞a |f(x )|dx 收敛时，称⎰+∞a f(x )dx 为绝对收敛. 性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛. 但逆命题一般不成立. 收敛而不绝对收敛的反常积分又称为条件收敛.二、比较判别法定理：(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，则当⎰+∞ag(x )dx 收敛时⎰+∞a|f(x )|dx 必收敛(或者当⎰+∞a|f(x )|dx 发散时，⎰+∞ag(x )dx 必发散).证：若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰+∞a |f(x )|dx 收敛.若⎰+∞a |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰+∞a g(x )dx 发散.例1：讨论⎰++∞2x1sinxdx 的收敛性.解：∵2x 1sinx +≤2x11+, x ∈[0,+∞)；又⎰++∞02x 11dx=∞u lim +→arctanu=2π, 收敛.根据比较法则知：⎰++∞02x1sinxdx 绝对收敛.推论1：若f 和g 都在[a,u]上可积，g(x)>0，且)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，则有： (1)当0<c<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)当c=0时，由⎰+∞a g(x )dx 收敛可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰+∞a g(x )dx 发散可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，∴任给ε>0，存在N ，当x>N 时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε， 即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当x=+∞时，)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，任给M>0，存在G ，当x>G 时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰+∞a g(x )dx 发散，⎰+∞a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于[a,+∞)(a>0)，且在任何有限区间[a,u]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤p x1, x ∈[a,+∞), 且p>1时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛；(2)当|f(x)|≥p x1, x ∈[a,+∞), 且p ≤1时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于[a,+∞)，在任何[a,u]上可积，且∞x lim +→x p |f(x)|=λ.则有：(1)当p>1, 0≤λ<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≤1, 0<λ≤+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.注：推论2、3又称为柯西判别法.例2：讨论下列无穷限积分的收敛性： (1)⎰+∞1x-ae x dx ；(2)⎰++∞521x x dx.解：(1)∵对任意实数a ，有-xa 2∞x e x x lim⋅+→=x 2a ∞x e x lim ++→=0， 由推论3(p=2, λ=0)可知， 对任何实数a, ⎰+∞1x -a e x dx 收敛.(2)∵有1x x x lim5221∞x ++→=1，由推论3(p=21, λ=1)可知，⎰++∞0521x x dx 发散.三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理：(狄利克雷判别法)若F(u)=⎰ua f(x )dx 在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上当x →+∞时单调趋于0，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：由条件设|⎰ua f(x )dx |≤M, u ∈[a,+∞), 任给ε>0，∵∞x lim +→g(x)=0,∴存在G ≥a, 当x>G 时，有|g(x)|<M4ε. 又g 为单调函数， 利用积分第二中值定理，对任何u 2>u 1>G, 存在ξ∈[u 1,u 2], 使得⎰21u u f(x)g(x)dx=g(u 1)⎰ξu 1f(x)dx+g(u 2)⎰2u ξf(x)dx. 于是有|⎰21u u f(x)g(x)dx |≤|g(u 1)|·|⎰ξu 1f(x)dx|+|g(u 2)|·|⎰2u ξf(x)dx|=|g(u 1)|·|⎰ξa f(x )dx-⎰1u af(x )dx|+|g(u 2)|·|⎰2u af(x )dx -⎰ξaf(x )dx|=M 4ε·2M+M4ε·2M=ε. 由柯西准则可知：⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.定理：(阿贝尔(Abel)判别法)若⎰+∞a f(x )dx 收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：记F(u)=⎰ua f(x )dx, ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴⎰+→ua∞u f(x )lim dx 存在，记为J ， 取ε=1，存在A ，当n>A 时，有|F(u)-J|<1，∴|F(u)|<|J|+1. 又F(u)在[a,+∞)上连续，从而有界.又g(x)在[a,+∞)上单调有界，∴∞x lim +→g(x)存在，记为B ，令g 1(x)=g(x)-B ，则有∞x lim +→g 1(x)= ∞x lim +→g(x)-B=0，∴g 1(x)单调趋于0，由狄利克雷判别法知：⎰+∞a 1(x )f(x )g dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx 收敛. ∴⎰+∞a f(x )g(x )dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx+B ⎰+∞a f(x )dx 收敛.例3：讨论⎰+∞1p x sinxdx 与⎰+∞1p xcosx dx (p>0)的收敛性. 解：当p>1时，p x sinx ≤p x 1, x ∈[1,+∞)，而⎰+∞1p xdx 当p>1时收敛，由比较法则推知：⎰+∞1p x sinxdx 收敛，即⎰+∞1p xsinx dx 绝对收敛. 同理，可证当p>1时，⎰+∞1p xcosxdx 绝对收敛. 当0<p ≤1时，对任意u ≥1, 有|⎰u1px sinxdx|=|cos1-cosu|<2, 当p>0时，p ∞x x 1lim+→=0，且p x1在[1,+∞)单调减， 根据狄利克雷判别法知：⎰+∞1p xsinxdx (p>0)收敛. 又由p x sinx≥x x sin 2=2x 1-2xcos2x , x ∈[1,+∞)，其中⎰+∞12x cos2x dx =⎰+∞1tcost 21dt 满足狄利克雷判别条件而收敛， 而⎰+∞12x dx发散，∴当0<p ≤1时，⎰+∞1px cosx dx 条件收敛. 同理，可证当0<p ≤1时，⎰+∞1p xcosxdx 条件收敛.例4：证明下列无穷积分都是条件收敛的：⎰+∞12x sin dx; ⎰+∞12cosx dx; ⎰+∞14x cosx dx.证：⎰+∞12x sin dx=⎰+∞1t2t sin dt; ⎰+∞12cosx dx=⎰+∞1t2cost dt;由例3可知⎰+∞12x sin dx 和⎰+∞12cosx dx 都是条件收敛.又⎰+∞14x cosx dx=⎰+∞12cost 21dt ，∴⎰+∞14x cosx dx 条件收敛.习题1、设f 与g 是定义在[a,+∞)上的函数，对任何u>a ，它们在[a,u]上都可积. 证明：若⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，则⎰+∞a )x (f(x )g dx与⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx 也都收敛证：∵⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，∴)]x (g )x ([f 2∞a 2+⎰+dx 也收敛. 又|2f(x)g(x)|≤f 2(x)+g 2(x)，由比较法则知2⎰+∞a |)x (f(x )g |dx 也收敛. ∴⎰+∞a )x (f(x )g dx 收敛.∴⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx=⎰+∞a 2)x (f dx+2⎰+∞a )x (f(x )g dx+⎰+∞a 2)x (g dx ，也收敛.2、设f,g,h 是定义在[a,+∞)上的三个连续函数，且有h(x)≤f(x)≤g(x).证明：(1)若⎰+∞a )x (h dx 与⎰+∞a )x (g dx 都收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛； (2)又若⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A ，则⎰+∞a f(x )dx=A. 证：(1)若0≤f(x)≤g(x)，∵⎰+∞a )x (g dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a f(x )dx 也收敛.若h(x)≤f(x)≤0，则|f(x)|≤-h(x)，∵⎰+∞a )x (h -dx=-⎰+∞a )x (h dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛，∴⎰+∞a f(x )dx 也收敛.(2)由⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A 得，⎰+→u a ∞u )x (h limdx=⎰+→ua ∞u )x (g lim dx=A. 又h(x)≤f(x)≤g(x)，由极限的夹逼定理得：⎰+→ua ∞u )x (f limdx=A ， ∴⎰+∞a f(x )dx=A.3、讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞+0341x dx ；(2)⎰∞+1x e -1xdx ；(3)⎰+∞+0x1dx ；(4)⎰+∞+13x 1xarctanxdx ；(5)⎰+∞+1nxx)ln(1dx ；(6)⎰+∞+0n mx 1x dx (n,m ≥0). 解：(1)∵3434∞x 1x 1x lim +⋅+→=1，p>1，0<λ<+∞，∴⎰+∞+0341x dx 收敛.(2)∵x 2∞x e-1xx lim ⋅+→=0，p=2，λ=0，∴⎰∞+1x e -1x dx 收敛.(3)∵x11x lim∞x +⋅+→=1，p=21，λ=1，∴⎰+∞+0x 1dx dx 发散.(4)∵arctanx x 1xarctanxlim 3∞x ++→=0，且⎰∞+1arctanx dx=2π-arctan1收敛，∴⎰+∞+13x1xarctanxdx 收敛. (5)当n>1时，取p ∈(1,n)，∵n p ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=0，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 收敛.当n ≤1时，∵n n ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=+∞，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 发散. (6)∵n mm-n ∞x x1x x lim +⋅+→=1， ∴当n-m>1时，⎰+∞+0n mx 1x dx 收敛; 当n-m ≤1时，⎰+∞+0nmx 1x dx 发散.4、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛： (1)⎰∞+1x xsin dx ；(2)⎰+∞+02x 1sgn(sinx)dx ；(3)⎰+∞+0x 100cosx x dx ；(4)x sin nx1ln(lnx)∞+e⎰dx. 解：(1)⎰∞+1x x sin dx=2⎰∞+1t sint dt ，∵t1单调趋于0(t →+∞)，|⎰u 1sint dt|<2 (u>1); 由狄利克雷判别法知：⎰∞+1xxsin dx 收敛. 又t sint≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t t ∈[1,+∞)，其中⎰∞+12t cos2tdt 收敛，而⎰∞+12tdt 发散，∴⎰∞+1x x sin dx ，即原积分条件收敛.(2)∵⎰+∞+02x 1sgn(sinx )dx =⎰+∞+02x11dx=2π，∴原积分绝对收敛. (3)∵x100x+在[0,+∞)上单调且调趋于0(x →+∞)，|⎰u 0cosx dx|≤1， 由狄利克雷判别法知：⎰+∞+0x100cosxx dx 收敛. 又x100cosxx +≥x 100x cos x 2+=x 2200x ++x 2200x 2cos x +，其中⎰+∞+0x 2200x 2cos x dx 收敛，⎰+∞+0x2200x dx 发散，∴⎰+∞+0x100cosxx dx 发散，即原积分条件收敛.(4)x sin nx 1ln(lnx)∞+e ⎰dx=x sin nx1ln(lnx)e e 0⎰dx +x sin nx 1ln(lnx)∞+e e ⎰dx ， ∵|⎰∞+e ex sin dx|<2 (u>e e)，且在[e e,+∞)上，'⎪⎭⎫ ⎝⎛nx 1ln(lnx)=2nx )1(x ln(lnx )-1+<0， ∴nx1ln(lnx)在[e e ,+∞)上单调减，且nx 1ln(lnx)lim ∞x +→=nx 11lim ∞x +→=0， 由狄利克雷判别法知，x sin nx1ln(lnx)∞+e e⎰dx 收敛，∴原积分收敛. 又x sin nx 1ln(lnx )≥x sin nx 1ln(lnx)2=nx 21ln(lnx)-x 2cos nx21ln(lnx)， 其中⎰∞+eenx 21ln(lnx)dx 发散，⎰∞+e ex 2cos nx21ln(lnx)dx 收敛，∴⎰∞+e ex sin nx1ln(lnx )dx 发散，即原积分条件收敛.5、举例说明：⎰+∞a f(x )dx 收敛时，⎰+∞a 2)x (f dx 不一定收敛；⎰+∞af(x )dx 绝对收敛时，⎰+∞a2)x (f dx 也不一定收敛.解：令f(x) =xsinx，由狄利克雷判别法知⎰+∞1f(x )dx 收敛，但⎰+∞12)x (f dx=⎰+∞12x xsin dx=⎰+∞1dx 2x 1+⎰+∞1dx 2xcos2x ，发散. 又令f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+<≤++<≤1n x n 1n 0 n 1n x n n 33，，，则⎰+∞1|f(x )|dx=∑∞=1i 2n 1收敛， 但⎰+∞12)x (f dx=∑∞=1i n1发散.6、证明：若⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，且f(x)lim ∞x +→=0，则⎰+∞a 2)x (f dx 必收敛.证法1：∵f(x)lim ∞x +→=0，∴对ε=1，有M ，当x>M 时，|f(x)|<1.⎰+∞af(x )dx=⎰+1M af(x )dx+⎰++∞1M f(x )dx ，∵⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，∴⎰++∞1M f(x )dx 绝对收敛.又当x ∈[M+1,+∞)时，|f(x)|<1，∴|f 2(x)|<|f(x)|，∴⎰++∞1M 2(x )f dx 收敛.∴⎰+∞a 2)x (f dx=⎰+1M a 2(x )f dx+⎰++∞1M 2(x )f dx ，收敛.证法2：∵f(x )(x )f lim 2∞x +→=f(x)lim ∞x +→=0，又⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛所以收敛， ∴⎰+∞a 2)x (f dx 收敛.7、证明：若f 是[a,+∞)上的单调函数，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0，且f(x)=o (x1), x →+∞.证：不妨设f(x)单调减，若存在x 1∈[a,+∞)，使f(x 1)<0， 则当x>x 1时，有f(x)<f(x 1) <0，即-f(x)>|f(x 1)|. 又⎰+∞a 1|)f(x |dx 发散，∴⎰+∞a f(x )dx 发散，矛盾. ∴f(x 1)≤0. ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴任给ε>0，存在M ≥a ，只要x>M ，就有 |⎰2xx f(t)dt |<ε, 即⎰2xx f(t)dt<ε. 当x>2M 时，0≤xf(x)=2⎰x2x f(x)dt ≤2⎰x2x f(t)dt<2ε. ∴xf(x)lim ∞x +→=0, 即有f(x)=o (x1), x →+∞，从而f(x)lim ∞x +→=0.若f(x)单调增，则取g(x)=-f(x)单调减，同理有g(x)=-f(x)= o (x1), x →+∞，从而g(x)lim ∞x +→=-f(x)lim ∞x +→=0. 结论仍成立.8、证明：若f 在[a,+∞)上一致连续，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0.证：∵f 在[a,+∞)上一致连续，∴任给ε>0，存在δ>0， 当x 1,x 2∈[a,+∞)，|x 1-x 2|<δ时，有|f(x 1)-f(x 2)|< ε. 又⎰+∞af(x )dx 收敛，∴对ε1=εδ，存在M>a ，当x>M 时，有|⎰+δx xf(t)dt|<εδ.对⎰+δx x f(t)dt ，∵x<t<x+δ，即|x-t|<δ，∴|f(x)-f(t)|< ε，即f(t)- ε<f(x)<f(t)+ε.从而⎰+δx x f(t)dt -εδ<⎰+δx x f(x )dt<⎰+δx x f(t)dt +εδ，即|⎰+δx x f(x )dt -⎰+δx x f(t)dt |<εδ. ∴当x>M 时，|f(x)|= δ1|⎰+δx x f(x )dt |≤δ1(|⎰+δx x f(x )dt-⎰+δx x f(t)dt|+|⎰+δx x f(t)dt|)<2ε. ∴f(x)lim ∞x +→=0.。
无穷积分的性质与收敛判别法
§ 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的 别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
教学内容:本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分f xdx 收敛与否，取决于函数 F (u )a极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分ax dx 收敛的充要条件是:任给 >0，存在G >a ，只要U i 、u 2>G ，便有u2f x au1dxf ax dxu2f x dxu i o证明由于af x dxlimu af x dx=limF(u),所以f x a dx 收敛lim F (u)存在uu 2u 2ui f x dxf x dx f x dxuiaa0, G >a ,只要 u i 、u 2>G ,便有|F(U 2) F(u).此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1 (线性性质)若 f 1 xdx 与 f 2 x dx 都收敛，k i 、k 2为任意常数，则 a ak 2 f 2 x dx 也收敛，且 ak 1 f 1 xk 2 f 2 x dx = k 1f 1 x dx k 2a f 2 x dx o a(1)证明 :记J 1 f 1 x dxau lima fixdx ,uJ 2f 2 x dxau lima f 2xdx，u则ak 1 f 1 xk 2 f 2 x dxu=limakJ xk 2 f 2 x dxk i f i uu =lim 〔k ia f i(x)dxk 2 a f 2(x)dx]auu= k i|im a f i(x)dx k 2|im a f 2(x)dx=k i J i k 2J 2 = K f i (x)dx k 2f 2(x)dx.□aaCauchy 准则、比较判x dx 在u T + g 时是否存在性质2若f 在任何有限区间 [a , u]上可积，av b ,贝Uf x dx 与 f xdx 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 bf x dx f x dx a a b 其中右边第一项是定积分。
§2无穷积分的性质及收敛判别
非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
存在 G a, 满足
f ( x) g( x), x [G,),
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则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.
a
a
证 若
g( x)
a
a
证 (i) 由 lim f ( x) c 0, 故存在 G a,使 x G,有
x g( x)
f (x) c c ,
g( x)
2
即
c g( x) f ( x) 3c g( x).
2
2
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若 f ( x)dx 收敛, 则可得 c g( x)dx 收敛,从而
a
a2
lim f ( x) c. x g( x)
(i) 若 0 c ，则 f ( x)dx 与 g( x)dx 收敛性相同;
a
a
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(ii) 若c 0, 则由 g( x)dx收敛可得 f ( x)dx收敛;
a
a
(iii) 若c , 则由 g( x)dx发散可得 f ( x)dx 发散.
u2 g( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
u1
u1
即
u2 h( x)dx . u1
再由柯西准则的充分性, 证得 h( x)dx收敛. a
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二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a,) 上的非负函数 f 在任何 [a, u] 上可积, 则
显然
5
无穷限反常积分收敛判别法
无穷限反常积分收敛判别法本文探讨了一种可用于鉴别无穷限反常积分收敛性的方法——无穷限反常积分收敛判别法。
通过例子，展示了这一方法的运用，并简单分析了该方法的特点。
无穷限反常积分是对无穷级数和反常积分的理论总结，它可以用于对反常积分收敛性的研究。
无穷限反常积分收敛判别法是一种可以有效鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
一般，它将反常积分表示为： $$int_a^b f(x)dx=sum_{n=1}^{infty}int_a^bF_n(x)dx$$ 其中$F_n(x)$为反常函数序列，有$F_nightarrow f(x)$当$nightarrow infty$。
下面介绍一个具体的例子：考虑反常积分$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)ln x}dx$$可以将它分为两个部分：$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)ln x}dx$$ 利用无穷限反常积分收敛判别法，可以证明$I$为有界积分，具体的，可以将积分分解为：$$I=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$ 由$F_n=frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-frac{1}{2}$$由于右端部分可以给出明确的数值，因此$I$为有界积分。
从上面的例子中可以看出，无穷限反常积分收敛判别法是一种有效的鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
无穷积分的性质与收敛判别
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27
u2 u1
f
x g xdx
g(u1 )
u1
f ( x)dx g(u2 )
u2
f ( x)dx.
因此
u2 u1
f ( x) g( x)dx
g(u1 )
u1 f ( x)dx g(u2 )
u2 f ( x)dx
M M .
4M
4M
2
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26
[证法2] 设 g( x) M , x [a,),由于
a
f
( x)dx
收敛,
则
0, G
a,当
u2
u1
G,
u2 f ( x)dx .
u1
4M
由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的
u2 u1 G , u1,u2 , 使得
2022年9月30日9时36分
▪ 无穷积分的性质 ▪ 比较判别法 ▪ 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
2022年9月30日9时36分
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1
一、无穷积分的性质
函数极限的柯西准则
收敛的充要条件是：
对任给的 > 0， 存在 G > 0 ，当 x1 , x2 > G 时，就有
定理11.1 无穷积分
收敛的充要条件是：
正确地进行施工组织，合理选择机型，以免使用不当而不能发挥机械效能。 此外，在施工中对各种施工条件采用正确合理的操作方法，如遇硬土，应先 翻松再推运：
为了减少土壤漏损，推送时应采用土槽、土埂或并列推送方式，这样不但 可以提高送土效率，也可增大铲刀前土堆的体积。
第四章 土方机械
11.2 无穷积分的性质与收敛判别2011.5
而 收敛， 2.条件收敛 若∫a f ( x )dx 收敛， ∫a 2.条件收敛
+∞
+∞
f ( x ) dx 不收敛， 不收敛，
则称 ∫
+∞
a
f ( x )dx 为条件收敛.
（收敛而不绝对收敛为条件收敛） 收敛而不绝对收敛为条件收敛）
二 比较判别法 绝对收敛判别法 首先给出无穷积分的绝对收敛判别法。 首先给出无穷积分的绝对收敛判别法。
+∞ a
f1 ( x )dx 和 ∫
+∞
a
f 2 ( x )dx 收敛， 收敛，
k1 , k 2 为任意常数， 为任意常数，
收敛. 则 ∫ [k1 f1 ( x ) + k2 f 2 ( x )]dx 收敛.
a +∞
∫
+∞
a
[k1 f1 ( x ) + k2 f 2 ( x )]dx = k1 ∫a f1 ( x )dx + k2 ∫a f 2 ( x )dx
1 dx p x
p >1收 , p ≤1发 . 敛 散
+∞
收敛. P>1,可推知 P>1,可推知 ∫ f ( x ) dx 收敛. 时， (ii)当 (ii)当 c = 0 时， a +∞ 推 散 (iii)当 (iii)当c =+∞ 时 P ≤1,可 知∫a f (x) dx 发 . ， 1,可
+∞
+∞
又
∫
+∞
0
1 π dx = 收敛 2 1+ x 2
由比较原则 +∞ sin x dx 绝 收 ∴∫ 对 敛 2 0 1+ x
121无穷积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
发散.
第21页
若无穷积分
f ( x) dx 收敛, 则称
f ( x)dx
a
a
绝对收敛.
以下定理可用来判别普通函数无穷积分收敛性.
定理 5 (绝对收敛无穷积分必收敛) 若 f 在任
何有限区间 [a, u]上可积, 且 f ( x) dx 收敛, 则 a
f ( x)dx 亦必收敛,并且 a
第29页
a f ( x)dx a f ( x) dx.
第22页
证 因 f ( x) dx 收敛, 由柯西准则必要性, 对 a
0, G a, 当u2 u1 G 时,
u2 f ( x) dx ,
u1
所以
u2 f ( x)dx u2 f ( x) dx .
u1
u1
再由柯西准则充分性, 推知 f ( x)dx 收敛. a
f ( x) dx F ( x) ,
a
a
F () F (a) lim F (u) F (a). u
例2 讨论无穷积分
t e pt dt
0
p 0 的收敛性.
解
t e ptdt
t e pt p
1 p2
e
pt
C,
所以
t e ptdt 0
t e pt p
1 p2
e
pt
p 1 p 1
(a 0)
故常取
g(x)
A xp
(A
0) 作比较函数 ,
得以下比较判别法.
第15页
定理 4 (比较判别法) 设非负函数 f (x) C[a , )
(a 0).
1) 若存在常数 M 0, p 1, 使对充分大的 x 有
则
a
11.2_无穷积分的性质与收敛判别
F（u）=
u a
a
f x dx 收敛与否， 取决于函数
f xdx 在u→+∞ 时是否存在极限. 因此由函数极
限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.
定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是： 任给 ＞0，存在 G≥a，只要u1、u2＞G，便有
u2
a
f
x dx a
sin x 1 , 1 x2 1 x2
x [0, ) 以及
0
dx 收敛 1 x2 2
（§1例4）， 根据比较法则，0
sin x dx 为绝对收敛. 2 1 x
首页
×
上述比较法则的极限形式如下
推论1 若f 和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0,且 lim g x x 则有 （ⅰ）当0＜c＜+∞时， a f x dx 与
b a
b
f x dx .
首页
×
说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性; (2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出a f x dx 收敛的另一充要条件: 任给 ＞0，存在G≥a，当u＞G时， 总有
u
f x dx
u
事实上， a f x dx 收敛 J= lim a f x dx u
则 a f x g x dx 收敛.
推论 设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积, g( x ) 在 [a , b] 上单调,
则存在 [a , b], 使
a
b
f ( x ) g( x )d x g(a ) f ( x )d x g(b) f ( x )d x .
2 无穷积分的性质与收敛判别
4. 无穷积分的绝对收敛与条件收敛
若无穷积分 若∫
+∞ a
∫
f ( x ) dx 收敛,则称
∫
绝对收敛; f ( x ) dx为 绝对收敛;
f ( x ) dx 发散,而
∫
+∞
∫
+∞ a
f ( x ) dx为
条件收敛. 条件收敛.
若 性质3: 性质 : f 在任何有限区间[ a , u ]上可积,则有∫a f ( x) dx 收敛,则
a
3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数.
特 地 取 (x) = 殊 , g 1 可 得 西 别 以 柯 判 法 p x
3. 无穷积分收敛的柯西判别法
, 推论2: 等 形 ) f 义 [ 推论 :(不 式 式 设 定 在 a, + ∞) (a > 0)上 f (x) ≥ 0, 且 任 有 区 [ a, u ]上 积 则 : 在 何 限 间 可 , 有
∫
+∞ a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫
a
b
+∞ b
f ( x)dx
(2)
其中右边第一项是定积分.
3. 无穷积分收敛的充要条件
无穷积分 ∫
+∞ a
f ( x)dx 收敛的充要条件是:任给ε > 0,
存在G ≥ a, 只要 u > G,总有
∫
+∞ u
f ( x)dx < ε
+∞ a +∞ a
.
说明:只讨论前者,后者类似可得. 解题思路:由于被积函数不是非负函数,故不能直接用比较判别 法或柯西判别法,结合例1,我们可以先考虑判别它 是否绝对收敛,若不是再考虑用上述的狄利克雷判别 法或阿贝耳判别法.
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练习
1.讨论无穷积分的收敛性.
(1)
0
x2 x 1
5
dx; (2)
x sin x 4dx. 0
1 有 d 0 f ( x ) 或 x
1 1 f ( x ), x d 0
已知 1, 无穷积分
a
a
dx 发散，则 x
f ( x )dx 发散。
当 d , 由(1)式， B 0, A 0, x A,
1 有 x f ( x) B 或 f ( x) B , x dx 已知 1, 无穷积分 a 发散，则 x
设函数 f (x ) 与 g(x ) 在区间[a,) 有定义， 在任何有穷区间 [a, A] 都可积，若 １)积分F ( A)
A g( x )d 有
F ( A)
A g( x )dx a
K;
２）函数 f (x ) 是单调的，且 xlim f ( x) 0. 则无穷积分
a
f ( x )dx 发散。
例1 判别无穷积分
e
1 3
x2 0
dx 的敛散性.
的敛散性. 的敛散性.
例2 判别无穷积分
dx x x 1
2
例3 判别无穷积分 cos xdx 1 x x 1 例4 判别无穷积分 ( 是参数) 的敛散性.
1 x x e dx 1
a
f ( x ) g( x )dx 收敛．
证明 由柯西收敛准则和积分第二中值定理,
由条件2),
0, a 0, A' A a,
f ( A' ) .
有
f ( A) 与
A' A
存在 [ A, A' ], 有
f ( x ) g( x )dx
f ( A)A g( x)dx f ( A' ) g( x)dx.
推论2
若无穷积分
a
f ( x )dx 收敛，
则无穷积分
a
f ( x )dx 也收敛。
a
推论3 无穷积分
f ( x )dx 收敛，
b
b a, 无穷积分
定理2 若无穷积分 积分
f ( x )dx 也收敛。
a
f ( x )dx 收敛,则无穷
cf a
1 1 d 0 f ( x ) d 0 . x x
当 1 时，无穷积分
则无穷积分
a
a
1 dx 收敛。 x
f ( x )dx 收敛。
时，由(1)式，
2）当 0 d
0 0, 使 ０ ０ d , A 0, x A,
( x )dx 也收敛,其中 c 是常数,
且 定理3
cf a
( x )dx c
a
f ( x )dx .
g( x )dx a
若无穷积分
a
f ( x )dx 与
都收敛，则无穷积分
a
[ f ( x ) g( x )]dx
a
f ( x )dx
f ( x ) 在[a,b]也可
反之不成立．
积． 对于无穷积分,若 f ( x ) 在[a,) 收敛
f ( x ) 在 [a,) 也收敛. 反之不成立.
总结: 判断无穷积分收敛的方法 1.利用定积分的计算方法,求出积分. 2.用柯西收敛准则.
3.用比较法.
4.用狄利克雷和阿贝尔判别法.
三.绝对收敛,条件收敛的定义
定义1 若无穷积分
a
f ( x )dx 收敛，则
f ( x )dx 绝对收敛。
称无穷积分 a
定义2
若无穷积分
f ( x)dx 收敛，而
a
a
f ( x )dx 发散，则称无穷积分
f ( x )dx 条件收敛。
a
定理5（狄利克雷判别法）
a
g( x )dx.
无穷积分的分步积分与换元积分
二、无穷积分的敛散性判别法
定理4 设 x a,, 有
a
f ( x ) c ( x ),
c是正常数。 1.若无穷积分 ( x )dx 收敛，则无穷积分
a
f ( x )dx 也收敛.
a
2.若无穷积分
[ a
f ( x ) l ]g( x )dx
a
f ( x )g( x )dx l
g( x )dx a
g( x )dx a
也收敛. 已知
收敛,即证.
例5 证明：无穷积分
0
sin x dx 条件收敛． x
例6 讨论无穷积分 的敛散性．
2 sin x dx 0
a
f ( x )dx 收敛；
2.若 1,0 d , 则无穷积分
a
f ( x )dx 发散。
证明
1)由(1)式， 0 0, A 0, x A,
有 x f ( x ) d 0 或 d 0 x f ( x) d 0 , 则
A'
又因为 F (A) 有界,有
A g( x )dx F ( ) F ( A) 2 K , g( x )dx 2 K .
A'
则
f ( x ) g( x )dx
A'
A' A
f ( A) A g( x )dx f ( A' ) g( x )dx
4K ,
与
2 cos x dx 0
注: 1.对于级数 n 1a n 收敛
a n 0( n );
对于无穷积分 f ( x )dx 收敛 f ( x) 0( x ).
a
加上什么条件可以推出此结论? 2. 对于定积分,若 f ( x ) 在[a,b]可积
P2 P1
无穷积分
a
f ( x )dx 收敛. 则无穷积分
f ( x )dx 也收敛.
2）用反证法，根据1）可以得到矛盾。
推论4 x a,, 函数 f ( x) 0, a 0,
且极限
x
lim x f ( x ) d
(0 d ). （1）
1.若 1,0 d , 则无穷积分
f ( x )dx 发散，则无穷积分
a
( x )dx也发散.
证明 1）根据定理1， 0, A a ,
P1 A与P2 A, 有
a
P2
P2
P1
( x )dx .
由不等式 f ( x ) c ( x ), 有
P1
f ( x ) dx C ( x )dx C ,
收敛． 收敛．
a
f ( x ) g( x )dx
证明 因为函数 f ( x ) 在 [a,) 单调且 有界,所以它存在有穷极限,设 lim f ( x ) l .
x
则
x
lim [ f ( x ) l ] 0,
即函数 f ( x) l 单调减少地趋于零. 无穷积分
即无穷积分
a
f ( x ) g( x )dx 收敛.
定理6（阿贝尔判别法） 设函数 f (x )与 g(x ) 在区间 [a,)有定义， 在任何闭子区间 [a, A] 都可积，若 １）函数 f (x ) 在 [a,) 单调并且有界． ２）无穷积分 则无穷积分
g( x )dx a
一、无穷积分的性质
定理1（柯西收敛准则）
无穷积分
f ( x )dx 收敛
a
0, A a, p1 A 与 p2 A,
有
p2 p1
f ( x )dx .
a
推论1 若无穷积分
lim p p
f ( x )dx 收敛，则
f ( x )dx 0.