无穷积分收敛的判别方法(北工大)

a
f ( x )dx 发散。
例1 判别无穷积分
e
1 3
x2 0
dx 的敛散性.
的敛散性. 的敛散性.
例2 判别无穷积分
dx x x 1
2
例3 判别无穷积分 cos xdx 1 x x 1 例4 判别无穷积分 ( 是参数) 的敛散性.
1 x x e dx 1
设函数 f (x ) 与 g(x ) 在区间[a,) 有定义， 在任何有穷区间 [a, A] 都可积，若 １)积分F ( A)
A g( x )dx a
为 A 的有界
函数，即 K 0, A a, 有
F ( A)
A g( x )dx a
K;
２）函数 f (x ) 是单调的，且 xlim f ( x) 0. 则无穷积分
a
f ( x ) g( x )dx 收敛．
证明 由柯西收敛准则和积分第二中值定理,
由条件2),
0, a 0, A' A a,
f ( A' ) .
有
f ( A) 与
A' A
存在 [ A, A' ], 有
f ( x ) g( x )dx
f ( A)A g( x)dx f ( A' ) g( x)dx.
三.绝对收敛,条件收敛的定义
定义1 若无穷积分
a
f ( x )dx 收敛，则
f ( x )dx 绝对收敛。
称无穷积分 a

定义2
若无穷积分
f ( x)dx 收敛，而
a


a
f ( x )dx 发散，则称无穷积分
f ( x )dx 条件收敛。
a
定理5（狄利克雷判别法）
P2 P1
无穷积分

a
f ( x )dx 收敛. 则无穷积分
f ( x )dx 也收敛.
2）用反证法，根据1）可以得到矛盾。
推论4 x a,, 函数 f ( x) 0, a 0,
且极限
x
lim x f ( x ) d

(0 d ). （1）
1.若 1,0 d , 则无穷积分
与
2 cos x dx 0
注: 1.对于级数 n 1a n 收敛

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a n 0( n );
对于无穷积分 f ( x )dx 收敛 f ( x) 0( x ).
a
加上什么条件可以推出此结论? 2. 对于定积分,若 f ( x ) 在[a,b]可积
收敛． 收敛．
a
f ( x ) g( x )dx
证明 因为函数 f ( x ) 在 [a,) 单调且 有界,所以它存在有穷极限,设 lim f ( x ) l .
x
则
x
lim [ f ( x ) l ] 0,
即函数 f ( x) l 单调减少地趋于零. 无穷积分
f ( x ) 在[a,b]也可

反之不成立．
积． 对于无穷积分,若 f ( x ) 在[a,) 收敛
f ( x ) 在 [a,) 也收敛. 反之不成立.
总结: 判断无穷积分收敛的方法 1.利用定积分的计算方法,求出积分. 2.用柯西收敛准则.
3.用比较法.
4.用狄利克雷和阿贝尔判别法.

a
g( x )dx.
无穷积分的分步积分与换元积分
二、无穷积分的敛散性判别法
定理4 设 x a,, 有
a
f ( x ) c ( x ),
c是正常数。 1.若无穷积分 ( x )dx 收敛，则无穷积分

a
f ( x )dx 也收敛.
a
2.若无穷积分
一、无穷积分的性质
定理1（柯西收敛准则）
无穷积分
f ( x )dx 收敛
a

0, A a, p1 A 与 p2 A,
有

p2 p1
f ( x )dx .
a
推论1 若无穷积分
lim p p
f ( x )dx 收敛，则

f ( x )dx 0.
推论2
若无穷积分
a
f ( x )dx 收敛，
则无穷积分

a
f ( x )dx 也收敛。
a
推论3 无穷积分
f ( x )dx 收敛，
b

b a, 无穷积分
定理2 若无穷积分 积分
f ( x )dx 也收敛。
a
f ( x )dx 收敛,则无穷

cf a
A'

又因为 F (A) 有界,有
A g( x )dx F ( ) F ( A) 2 K , g( x )dx 2 K .
A'

则
f ( x ) g( x )dx

A'
A' A
f ( A) A g( x )dx f ( A' ) g( x )dx
4K ,
( x )dx 也收敛,其中 c 是常数,
且 定理3

cf a
( x )dx c
a
f ( x )dx .
g( x )dx a
若无穷积分
a
f ( x )dx 与

都收敛，则无穷积分


a
[ f ( x ) g( x )]dx
a
f ( x )dx
f ( x )dx 发散，则无穷积分

a
( x )dx也发散.
证明 1）根据定理1， 0, A a ,
P1 A与P2 A, 有


a
P2
P2
P1
( x )dx .
由不等式 f ( x ) c ( x ), 有
P1
f ( x ) dx C ( x )dx C ,
练习
1.讨论无穷积分的收敛性.
(1)

0
x2 x 1
5
dx; (2)

x sin x 4dx. 0
即无穷积分
a
f ( x ) g( x )dx 收敛.
定理6（阿贝尔判别法） 设函数 f (x )与 g(x ) 在区间 [a,)有定义， 在任何闭子区间 [a, A] 都可积，若 １）函数 f (x ) 在 [a,) 单调并且有界． ２）无穷积分 则无穷积分
g( x )dx a

[ a
f ( x ) l ]g( x )dx

a
f ( x )g( x )dx l
g( x )dx a
g( x )dx a
也收敛. 已知
收敛,即证.
例5 证明：无穷积分
0
sin x dx 条件收敛． x
例6 讨论无穷积分 的敛散性．
2 sin x dx 0
1 1 d 0 f ( x ) d 0 . x x
当 1 时，无穷积分
则无穷积分
a


a
1 dx 收敛。 x
f ( x )dx 收敛。
时，由(1)式，
2）当 0 d
0 0, 使 ０ ０ d , A 0, x A,

a
f ( x )dx 收敛；
2.若 1,0 d , 则无穷积分

a
f ( x )dx 发散。
证明

1)由(1)式， 0 0, A 0, x A,

有 x f ( x ) d 0 或 d 0 x f ( x) d 0 , 则
1 有 d 0 f ( x ) 或 x
1 1 f ( x ), x d 0

已知 1, 无穷积分

a

a
dx 发散，则 x
f ( x )dx 发散。

当 d , 由(1)式， B 0, A 0, x A,
1 有 x f ( x) B 或 f ( x) B , x dx 已知 1, 无穷积分 a 发散，则 x