数字谜综合数阵图和式数字谜
14 数字迷综合
各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．1．在图14—1所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少?【分析与解】显然和的首位C为1，由千位上H+K对应为H，所以K为0或9，但K为加数首位，那么K只能为9；由十位上N+N对应为N，所以N为0或9，但K为9，那么N只能为0．有：HOOG+900G=1HIOA．注意到百位相加时有进位，个位相加时不进位，则O+0=I+10，G+G=A．又因为24︱1HIOA，所以：3︱(1+H+I+0+A)且而2O=I+10，所以I不可能为奇数，那么A只能为8，A为8时，G为8÷2=4．此时偶数只剩2、6，当I为2时，0为(2+10)÷2＝6；当I为6时，0为(6+lO)÷2＝8，与A重复，不满足．即H604+9604=1H208，此时1+H+2+0+8=ll+H，3 ︱11+H，那么H为1、4、7，而1、4已取过，所以H 为7．那么有7604+9604＝17208为所求算式，CHINA所代表的五位数为17208．2．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．A显然只能为1，则BCD+EFG=993，当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积；当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积；它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000．3.在算式的每个方框内各填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立．【分析与解】记等式为ab－cd＝1ef．其中a、b、c、d、e、f六个数字都是质数．显然b、d不等，不然为同分母分数相减，所得的差分母不变，而1位质数只有2、3、5、7．因为b、d均为质数，所以ab-cd=a d c bb d⨯-⨯⨯=1ef，且1a d c bb d ef⨯-⨯=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩.先考察b×d=ef，因为b、d、e、f均为质数，一一验证，有：（十位为1,不是质数），（个位为1,不是质数），（b、d相同)，5×7=35，（十位为4，不是质数，且b、d相同)，所以57bd=⎧⎨=⎩、75bd=⎧⎨=⎩再考察a×d—c×b=1,7a一5c=1，解得3547a tc t=+⎧⎨=+⎩(t为自然数)，但不满足a、c均为一位质数；5a一7c=1，解得3725a tc t=+⎧⎨=+⎩，所以原式为：37－25=135.4.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是13,17,19,111,133另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数．【分析与解】 l一(13+17+19+111+133)=210133711⨯⨯⨯⨯=1010335711⨯⨯⨯⨯⨯需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．经试验得693+231+77+9=1010．所以，其余的4个分数是：15,115,145,1385.5.在上面的圆圈和方框中，分别填人适当的自然数，使等式成立．问在方框中应填多少?【分析与解】 记圆圈里填入的是a ，方框里填入的是b ，那么1a +29b =1112，即29b =1112-1a =111212a a．由于29是个质数，故29︱11a 一12,从而a 除以29余9．于是29b ≥1112－19=2936,故b ≤36． 另外，29b ＜1112,b ＞29×1211=31711,即b ≥32．分别验证b=32，33，34，35，36各种情况，可知只有当b=32和6=36时符合条件.6.请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497，112+14＝13，在等式两边同时乘上1497，就得15964+11988＝11491．显然满足题意． 又135+114=110，两边同乘以1142，就得14970+11988＝11420．显然也满足．13053+11988＝11204，18094+11988＝11596均满足.7.6口0.3=○，6口10.3=○，6口0.3=○，6口.10.3=○ 在上面4个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除4种运算符号，使所得到的4个算式的答数之和尽可能大．那么这个和等于多少? 【分析与解】0．3＜.0.3 ＜.10.3=3＜10.3=103，所以，0.3前面应填除号, .0.3前面填减号，.10.3前填加号，10.3前填乘号，才能使这四个算式的结果之和最大．这个最大的和是：（6÷0.3）+（6-.0.3）+（6+.10.3）+（6×10.3） =（6×103）+（6-13）+（6+3）+（6×103） =54238．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?【分析与解】 甲组的前三个数0.625，23，914都是小于1的数，21732与这三个数运算后，得5.05，45164，4516；不论减1还是加l 后，这三个数都比21732大，而这是21732与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号．现在验算一下：21732÷0.625=8132×85=8120=4.05； 21732÷23=8132×32=31564； 21732÷914=8132×149=6316=31516；21732÷3=2732.从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4516是错的． 按照算式乙组的数÷甲组的数+1…………………………* 2÷3+1=123，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.5÷3+1=112，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷23+1=3.25．由此可见，确定的算式*是正确的．表中有两个错误，4516应改为41516，2应改为1.5，41516+112=5+15816=6716．改正后的两个数的和是67 16．9.把1．2，3．7，6．5，2．9，4．6分别填在图14—2的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少?【分析与解】要求平均数尽可能小，就要尽量少使用大的数，而要多使用小的数．这五个○,两端的○中的数只参加一次运算，应该填入6.5和4.6；中间的○中的数参加了三次运算，应该填1.2，其余两个圆圈填2.9和3.7，这时有两种填法，不论哪一种，计算以后知道△中填的数应该是3.1．所以△中数为3.1．10．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由．(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k．在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次．因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的．(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11．而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．11．如图14—4，6个圆圈之间连接着13条线.请从0至13中取出6个数分别填入各圆圈内，使每条线段两端点上所填数的差(大数减小数)恰好取遍1至13中的每一个数．【分析与解】为了取到13，所选的数必须包含0和13，又只有13—1＝12．12—0＝12，所以至少还应有1和12中的1个，不妨设为1．把0—13之间的数组成如下几组(1，12)、(2，11)、(3，10)、(4，9)、(5，8)、(6，7)，一旦某个数被选中，同组的数就都可以出现在差中．由于已经取1，又为了每个数都可以在差中取到，因此应该适当地在后5组中选取出不同组的3个数．在(2，11)中，如果选了2，那么再选取一个数，该数及其减1、减2都可以在差中取到，注意到(4，9)、(5，8)中的数都可以由其他两组的数减1、减2得到，因此选出10和6即可．12．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．【分析与解】 表述1：设每行的和为S ，在左下图中，除了a 出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a ；在右上图中除了a 出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a ． 综合以上两式466(1)5664(2)S a S a =+⎧⎨=+⎩，①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18．考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t 是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S 为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x ，首先考虑以下四条直线：(h 、f 、a)，(i 、g 、a)，(x 、d 、b)，(j 、e 、c)，除了标有a 的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a 的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S ，则有： (1＋11)×11÷2+a=4S ，即66+a=4S ．再考虑以下五条直线：(h 、f 、a)，(i 、g 、a)，(j 、x 、a)，(e 、d 、a)，(c 、b 、a)，同理我们可得到66+4a=5S ．综合两个等式6646645a Sa S+=⎧⎨+=⎩，可得a 为6，每条直线上和S 为18．最后考虑含x 的五条直线：(x 、h)，(x 、g 、f)，(j 、x 、a)，(x 、d 、b)，(i 、x 、c)．其中除了x 出现了5次，e 没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：66+4x －e=5S=90，即4x-e=24，由e 是1—11间的数且e≠x 可知x=7．即每行相等的和S 为18，*所填的数为7．13.由3个不同数字能组成6个互异的三位数，这6个三位数的和是2886．求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【分析与解】设满足条件的最小三位数为abc ，则由a 、b 、c 组成的其他5个三位数为：acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，于是这6个数的和为abc ＋acb +bac +bca +cab +cba =222(a+b+c)=2886，所以a+6+c=13，于是最小的abc 为139．所以所有这样的6个三位数中最小的三位数是139．14．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l 倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．【分析与解】方法一：17=..0.142857，27=..0.285714，37＝..0.428571，47＝..0.571428，57＝..0.714285，67＝..0.857142。
小升初奥数思维训练第3讲：数字谜、数阵图、幻方(经典透析)
第3讲数字谜、数阵图、幻方【例1】（☆☆☆）右面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的乘积是。
审题要点：此题为乘法数字谜，由于其中A中4出现在高位，所以利用高位分析法进行突破。
详解过程：解：1、由c×4a=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则c×a必须向前进8，不可能。
所以c=9。
2、c=9时，a×9至少向前进4，即a×9≥40，知a≥5。
3、对a=5，6，7，8，9进行逐一验算，验算的主要方法是通过c中的4进行，若a=5，则A=405，f=4，但5×b末位不可能为4，排除。
若a=6，则A=414，f=3，但6×b末位不可能为3，排除。
若a=7，则A=423，f=2，7×b末位为2，则b=6，所以乘积为3243。
若a=8，则A=432，f=1，但8×b末位不可能为1，排除。
若a=9，则A=441，f=0，但9×b末位不可能为0，（因为乘数不能0开头），排除。
专家点评：此题是乘法数字谜中比较经典的一个题型，用到的分析法依次包括：高位分析法（步骤1），进位分析法（步骤1），估算分析法（步骤2），个位分析法（步骤3），逐一尝试法（步骤3），及排除法（步骤3），注意寻找数字谜突破口的方法，抓住题目所给的已知数字，从涉及已知数字所有的计算处考虑，首先考虑乘法的关系，因为能够使用的分析法最多。
希望同学也可以自己根据做题体会进行总结。
【例2】（☆☆☆）已知右面的除法算式中，每个□表示一个数字，那么被除数应是。
审题要点：此题属于数字谜中的复杂题型，题目给出已知数字只有两个，不能直接使用个位分析法与高位分析法，可以结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析。
详解过程：解：1、首先比较明显可得出d=0，然后从2个数字的相关计算⨯=，由于B只有两位数，所以可估算进行突破，首先，8ab B推知ab=10，11或12。
小学数学五年级《数阵、数字谜综合》练习题(含答案)
《数阵、数字谜综合》练习题（含答案）解决数阵类问题可以从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.Ⅰ、数阵问题【例1】（★★★）如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大可能是多少?分析：第一步：确定关键区格，计算三条边时，其中有3个角上共6个区格内的数被重复计算了2遍，而位于每条边中心位置的区格值计算了一次.第二步：由于，边上的三个数分别计算了1遍，因此（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2再减去三个边上的数，所得应该为3的倍数，当三条边上的三角形中分别填入1、2、3时，这个和取得最大值，各条边上的和也取得最大值28.第三步：通过试验得到可行的填法：【例2】（★★）把1，2，3，…，13这13个数分别填在下图所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．31 4 7_5_4_6 _7_8_9_3 _2_12 11 125 6 8 910 1331 4 7分析：第一步：由已知可推出6只能填在中间的圆中.第二步：由已经填的数可以得到：2、5、8、11不能出现在第一个圆中，且（2、8）和（5、11）不能在第二个圆中成对出现，（2、5）（5、8）（8、11）不能在第三个圆中成对出现，判断5和8的位置的各种情况，可以得出5、8只能都填在在第二个圆中，2、11填在第三个圆中.第三步：判断其余几个数的位置关系：13只能填在第一个圆中，9只能填在第二个圆中，12只能填在第三个圆中，10只能填在第一个圆中.【例3】（★★★）请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和．分析：第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出这四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则20=x+w+3（y+z ），所以y+z 不超过6（事实上不超过5，此处可以讨论一下）.第二步：由于y+z 的和不超过5所以，y 和z 只可能为1和2，1和3，1和4，2和3,通过尝试可以得到不止一个答案，下面的答案是其中一个.20911638421720[前铺]把1．2，3．7，6．5，2．9，4．6分别填在下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少?分析：设个小圆中的数依次为a1、a2、a3、a4、a5，则三个正方形中的数依次为123a +a +a 3、234a +a +a 3、345a +a +a 3，继而求出三角形中的数值为12345a +2a +3a +2a +a 9.所以，a 3中应该填入最小的数1.2，a 2、a 4中应该填入次大的2.9和3.7，a 1、a 5中填入4.6和6.5.Ⅱ、数阵问题乘法解决数字谜类问题也需要寻找关键的突破口，运用的主要知识和方法主要有： 1、 数字乘法个位数字的规律，2、 数值大小的考量，3、 加减法进位规律，4、 合数分解质因数性质，5、 奇偶数性质规律.6、 余数性质.【例4】（★★保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）下面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的乘积是 ．分析：容易看出，乘数个位为9，而被乘数个位不小于5．依次验证各种可能情况，通过奇偶性等分析乘积的十位，可知只有7可能．此时乘数十位必须是6才能使乘积十位为4．故所求为47×69=3243．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、奇偶分析等【例5】（★★★全国小学数学奥林匹克）在下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是 ．分析：为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0．从c ab ⨯的个位数是1，b 可能是3，7，9三数之一，两位数ab 应是（100+f ）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5也明显不行．102=17×6，则ab =17，C 只能取3，317c ab ⨯=⨯，不是三位数；104=13×8,则13ab =，c 可取7，c ×ab =7×13，仍不是三位数；108=27×4，则ab =27，c 是3．327c ab ⨯=⨯，还不是三位数．只有106=53×2，53ab =，c=7，753c ab ⨯=⨯是三位数．因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数字乘法个位数字规律.【例6】（★★★2005年全国小学数学奥林匹克）下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是 ．分析：如式(2)，由题意a ≠2，所以b ≥6，从而d ≥6．由22□÷c ≥60和c ＞2知c=3，所以22□是225或228，75de =或76．因为75×399＜30 000，所以76de =．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数量大小的考量，合数的分解等.【例7】（★★★★2003年北京市迎春杯数学邀请赛）在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 .分析：观察竖式可知：乘数个位数字，“习”ד争”的个位数字是1，则“习”与“争”取值有两种情况：①“习”=3，“争”=7；②“习”=7，“争”=3．先看第①种情况：“习”=3，“争”=7时，第二个部分的积其末位与千位对齐，可知“力=0”，“数学学习”×7，积仍为四位数，则“数”只能为1，“学”只能是2．又由于“学”×7+2(进位)=“学”，不能成立．所以“习”=3，“争”=7时，不能成立，无解. 再看第②种情况：由“习”=7，“争”=3，推出“数”=2或l ，“学”=9．当“数”=2时，积千位为8，则“努”×7的末位数应为“1”，不符合条件．所以“数”=1，“学”=9，“习”=7，“争”=3，则“努”=2，“努力力争”=2003．所以“努力力争”四个汉字所代表的数字和为5．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律等.【例8】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字?分析：由于乘积最后一位是1，还有三个9，可知乘数是7773或3337．于是可以逐一来确定被乘数的每一位，就知7773不符合，只有3337合适，并且逐一定出被乘数是4543．4543×3337—15 159 991．所以，“新年”两字是15．[点评]本题运用到的主要数学方法和知识点有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律.Ⅲ、数字谜除法【例9】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面的除法算式(1)是一个小数的除法竖式，其中所注明的两个字母要求：A＜B，那么满足这个竖式的除数与商的和是．C，分析：因为能够除尽但含有两位小数，所以除数含有因子2或5．由式(2)知除数应大于60，且能整除00所以除数只能是75，C≤7．又商的整数部分是9，75×9=675，B=5，因为A＜B，所以C≥5．因为5≤C C是75的倍数，所以C=6，从而被除数等于675+6=681．这个和是75+681÷75=84．08．≤7，且00[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法主要有：整除性质、数值大小的考量等.【例10】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面这个残缺算式中，只知道其中两个数字，请补全．那么这个除法算式的商数是．分析：容易看出，第三行首位是9．另外，第三行的个位与第四行首位数字之和不小于10．如果商的首位数字大于1，那么除数要小于50，故第四行首位数字小于5，而第三行个位数字不小于6．分别验证6，7，8，9四种情况，知均不满足条件．如果商的首位数字等于1，验证第三行个位数字各种情况，知只有2满足条件．此时除数等于92，而商等于109．[点评]本题运用到的知识点和数学方法主要有：十进制数进位规律、数值大小的考量等.【例11】（★★2004年全国小学数学奥林匹克）已知下面的除法算式中，每个□表示一个数字，那么被除数应是．分析：由竖式知，商的十位是0，并且商的千位比百位大，只能是9，所以商是9807．因为除数乘8是两位数，乘9是3位数，所以除数是12．被除数=9807×12=117 684．[点评]本题运用到的知识点和数学方法有，数值大小的考量等.【例12】（★★★2002年全国小学数学奥林匹克）在下面的算式中，只有四个4是已知的，则被除数为．分析：设除数为4m n，商为abc，根据除法竖式可知4m n×b=□□4，再由减法竖式可知4m n×b=9□4．因为4m n×c=4□□，所以m≤4．试验：m=1时，由4m n×b=9□4，推出b=7，n=2；由142×a=□□4，推出a=2；由142×c=4□□，推出c=3．所以被除数为142×273=38 766．m=2，3，4时，均无解．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、乘法个位数字规律等.练习1、（★★）有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：第一步：首先确定数阵图中的关键区格，即相邻两个正方形相交的两个区格；第二步：由于9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，2+3+……11=65除以3余2，因此被重复计算两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值，第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个正方形中的和也取得最小值24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数和为24，如图：4697103811522、（★★武汉明心奥数挑战赛）下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是．分析：容易看出，乘数的个位大于8，故只能是9．又被乘数的9倍是三位数，8倍是两位数，它只能是12．故所求为12×89=1068．3、（★★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面算式(1)中。
五年级计算数阵图与数字谜学生版
数阵图与数字谜知识要点解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用．数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．数论知识【例1】（第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试）如图，4个小三角形的顶点处有6个圆圈。
如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等。
问这6个质数的积是多少？【例2】 一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，这样的整数中最小的是多少？【例3】 红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字。
小明将这4张卡片如图放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差。
结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。
问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？蓝白黄红【例4】 如图算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，请求出这个算式。
春夏秋冬四季季年年年年年年【例5】 将1~9分别填入这九个区域，使得每个圆里的数字和相等。
【例6】已知76⨯=⨯，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求ABCXYZ XYZABCABCXYZ是多少？【例7】三位数AAA乘三位数AAB等于六位数CCCDDD，求A，B，C，D分别是多少？【例8】（第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛）试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：（这是一个三位数）、（这是一个三位数）、（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质。
小学数学《数字谜与数阵图》练习题(含答案)
小学数学《数字谜与数阵图》练习题（含答案）数字谜这类题目往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用.数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜.横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜来解答.解题技巧：（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位、重复数字以及位数的差异. （二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算.（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性.（四）注意结合进位及退位来考虑.（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法.【例1】右式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?【分析】显然，“新”=9．因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中”=8．因为十位加法(含个位加法进位)等于20，所以“北+奥”在1～7中的取值有三种可能：7，5；7，4；6，5．再考虑到“国+京+运”的个位数是8，经试算，只有“北”、“奥”等于7，5，“国”、“京”、“运”等于1，3，4．“国”取l，3，4中最大的4，得到“中国”最大是84．【例2】下图的等式中，不同的汉字表示不同的数字，如果“巧+解+数+字+谜=30”，那么，“数字谜”所代表的三位数是_______.【分析】谜字只能取0或5．如果谜=0，字也要取0，不合题目要求，所以谜=5．3个字加上2是10的倍数，所以字=6． 2个数加上2是10的倍数.所以数=4或9，如果数=4，那么解+1=10，所以解=9．但这时巧=30-9-4—6—5=6与字相同，不合题意.因此数=9，解+2=10，所以解=8，巧=30-8-9-6-5=2，所以“数字谜”所代表的三位数是965.【巩固】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？【分析】根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取 (1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)．但l，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+ “赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9，同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3，6)，(4，5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例3】在图所示的乘法算式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，这个乘法算式的最后乘积是多少?【分析】问题中出现的都是末位数.而且都是奇数，故应先从末位数开始考虑．第三行的末位为1，共有三种可能的组合：1×1，3×7，9×9．由于第二行数的每一位与第一行相乘后都得到五位数，故第二行的各位数字不会为1．故1×1、9×9均不满足条件．第一行和第二行末位数为3、7或者7、3．分两种情况来讨论：若第一行末位为3，第二行末位为7，由末位的9推知第二行的数应为3337，由第三行的十位应为0知第一行的十位为4．从而得到第四、五、六行的十位皆为2，进而有第三行的百位应该是8，于是推出第一行的百位为5．这样便立刻得到第四、五、六行的百位为6，从而由第三行的4位为1得到第一行的千位为4．于是有4543×3337=15159991，满足条件．若第一行末位为7，第二行末位为3，同样的方法立刻有第二行数应为7773．依次推得第一行的十位、百位、千位分别为6、4、0，不符合题目要求．于是本题答案为15159991．评注：本题采用了枚举的方法，对可能的有限种情况分别讨论，从而求解出问题．在数字谜的求解中常常用到这种方法．【例4】内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：【分析】由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc×a=□5□,推出c不等于3，所以c=8，故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262.数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例5】请你把1～7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？【分析】关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，设每条直线上的数字和为k.根据题意可得：2a＋（1+2+3+4+5+6+7）=3k，2a＋28=3k，由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,经过尝试可知:a为1、4或7.答案如下：（1）当a=1，时2+7=5+4=3+6，得到第一种答案。
数阵图与数字谜问题教案
数阵图与数字谜问题教案一、教学目标1. 让学生理解数阵图的概念，能够识别和描述数阵图的特征。
2. 培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流的能力，提高学生对数阵图与数字谜问题的兴趣。
二、教学内容1. 数阵图的概念及基本特征2. 数字谜问题的类型及解题策略3. 数阵图与数字谜问题的关系三、教学重点与难点1. 重点：数阵图的概念、特征和解题方法。
2. 难点：数字谜问题的解决策略，以及数阵图与数字谜问题的联系。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、解答问题。
2. 运用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的合作意识和团队精神。
3. 结合案例分析，让学生在实践中掌握数阵图与数字谜问题的解决方法。
五、教学准备1. 数阵图与数字谜问题的案例材料2. 教学课件或黑板3. 学生分组，准备小组讨论六、教学过程1. 引入数阵图的概念，展示实例，让学生观察和描述数阵图的特征。
2. 引导学生思考数阵图与数字谜问题的联系，提出解题策略。
3. 通过案例分析，让学生实践运用解题策略，解决数字谜问题。
4. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习。
5. 总结数阵图与数字谜问题的解决方法，强调重点知识点。
七、课堂练习1. 设计具有代表性的数阵图与数字谜问题，让学生独立解答。
2. 选取学生解答的问题，进行讲解和分析，巩固所学知识。
八、课后作业1. 布置相关的数阵图与数字谜问题，让学生课后巩固所学知识。
2. 鼓励学生自主探索，尝试解决更复杂的数阵图与数字谜问题。
九、教学评价1. 学生课堂参与度、思考问题的方式和解决问题的能力。
2. 学生小组合作、交流的表现，以及分享解题心得的态度。
3. 学生课后作业的完成情况，以及巩固所学知识的程度。
十、教学反思1. 总结课堂教学的优点和不足，提出改进措施。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
3. 关注学生的学习兴趣和需求，不断丰富教学内容，提高教学质量。
小学奥数 数论 数字谜综合 数阵图(一).题库版
1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2010年，学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
5-8-1数字谜语算式谜综合,题库教师版
数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。
横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。
主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问题一、数字迷加减法1.个位数字分析法2.加减法中的进位与错位3.奇偶性分析法 二、数字迷乘除法数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质三、数阵图1.从整体和局部两种方向入手，单和与总和2.区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）3.在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设臵未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系， 得到关键点上所填数的范围4.运用已经得到的信息进行尝试（试数）四、数字谜问题解题技巧1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；4.注意结合进位及退位来考虑；5.有时可运用到数论中的分解质因数等方法．模块一、数字迷【例 1】 下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是 例题精讲知识点拨教学目标5-8数字迷与算式迷综合【解析】如式(2)，由题意a≠2，所以b≥6，从而d≥6．由22□÷c≥60和c＞2知c=3，所以22□是225或228，75de=或76．因为75×399＜30 000，所以76de=．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．【巩固】每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立？x7【解析】一位质数只有2、3、5、7，且两位数乘以三位数都需要进位，相乘个位为质数的只有3-5和5-7，逐步递推，答案775X33．【巩固】下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？【解析】为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0．从c ab⨯的个位数是1，b可能是3，7，9三数之一，两位数ab应是（100+f）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5也明显不行．102=17×6，则ab=17，C只能取3，317c ab⨯=⨯，不是三位数；104=13×8,则13ab=，c可取7，c ×ab=7×13，仍不是三位数；108=27×4，则ab=27，c是3．327c ab⨯=⨯，还不是三位数．只有106=53×2，53ab=，c=7，753c ab⨯=⨯是三位数．因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816。
六年级下册数学试题-小升初：第十一讲 数字谜与数阵图(解析版)全国通用
第十一讲数字谜与数阵图1．回顾常用的数字谜的解题技巧。
2．精讲经典数字谜、及数阵数表。
【解题技巧】（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。
（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。
（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。
（四）注意结合进位及退位来考虑。
（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。
【例1】★★★（小学数学ABC）从12，13，14，16，18中选出四个填入下式的中，使得等式成立.那么A有种可能的值.÷ = ÷ =A【解】考虑五个分数的分母2，3，4，6，8.因为2×6=3×4，所以11112634⨯=⨯，由此得到1 2÷14=13÷16=2；12÷13=14÷16=32；1 6÷14=13÷12=23；16÷13=14÷12=12.同理，由3×8=4×6得到1 3÷14=16÷18=43；13÷16=14÷18=2；1 8÷14=16÷13=12；18÷16=14÷13=34.所以，A有6种可能值，分别是2，12，32，23，43，34.有人把数字谜问题叫做思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。
数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决.教学目标专题回顾【例2】★★★请在下式中填入+和×，使等式成立（不要求每两个数之间都填入符号，但不能填+和×以外的符号）：1 2 3 4 5 6 7 8 9 9=1998 。
【解】:1234+5+678+9×9=1998【例3】★★★（小学数学奥林匹克决赛民族卷第4题） 在下面三个算式中，三个方框内都填同一个数．口一0．07=1950 口×0．75=9280．375÷口=56如果在这三个算式中，恰好有两个算式是正确的，那么方框中所填的数是_______.【解】:如果三个算式都是正确的,那么三个方框依次应其中9209出现两次，所以方框中填的数是20【例4】★★★（101中学选拔试题）()()()11112=++(括号内必须填不同的自然数)【解】: 11111123637421111112444520=+=++=+=++或等等 答案并不唯一．【例5】★★★★（清华附中入学真题） 在47152口中的“口”内，可以填写的整数只有_________. ①10、11、12、13； ②9、10、11、12、13； ③8、9、10、11、12、13； ④无数个．199359007075=0375********+=÷÷=9、，、，、28【解】： 由71714214=，得口口又47749101112135985=，而，所以口，，，，，应选○2.数字谜【例1】★★★（北京市“迎春杯”决赛第一题第7题）下面乘法的算式1 A B C D E × 3 A B C D E 1则ABCDE 是____________. 【解】：从乘法算式最后一位看起，由于积E ×3的禾位数字是l ，我们可以断定E=7．于是，再根据积D × 3的末位数字是7—2=5，可以断定D=5;同样，根据积C ×3的末位数字是5一l=4，可以断定C=8；根据积B ×3的末位数字是8—2=6，可以断定B=2；根据积A ×3的末位数字是6，从而断定A=4． 答：ABCDE 是42857．【例2】★★★（南京市“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛C 卷笫3题）在算式131abcde abcde ⨯=中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么_______abcde =． 【解】：令,abcde x =则(100000+z)×3=x ×10+1，即 7x =299999， 解得 x =42857．【例4】★★（《小数报》数学竞赛初赛填空题第5题）在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出： △□□〇 +〇□□△ □□☆☆口+○+△+☆=_________． 【解】： 比较竖式中个位与千位的加法，推知口比☆大1．由十位于百位数的加法可知 口+口=10+☆专题精讲并且口=☆+1将后一式代入上一式得口+口=10+口一1，从而口=9，☆=8．再由个位加法，推知○+△=8．从而口+○+△+☆=9+8+8=25【例5】★★★（小学“希望杯”全国数学邀请赛）右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是______ 。
五年级数学培优：数阵图、数字谜(含解析)
五年级数学培优：数阵图、数字谜（含解析）将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22.知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析.2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜.②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）.例1数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法. 名师点题【解析】首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6.在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等.那么b处应该填入的数是（）.【解析】这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b，进而得到2b=2.8，b=1.4.在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________.【解析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□=0），且有“□+□+1＝10+□”，从而□=9，☆=8.例3例2再由个位加法，推知○+△=8.从而口+○+△+☆=9+8+8=25.【巩固拓展】1.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数的和都相等，a共有（）种填法.【解析】由于每边上的三个数字和都相等，设每边和为S，从整体考虑将其全部相加和为5S，从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作8至18均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（8+9+......+18）+4a，列出等式为5S=（8+9+ (18)+4a，化简为5S=143+4a，要使等式成立，4a的末位必须为2，得出三种答案，8，13，18.2.将1-12这十二个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________.【解析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍.所以，6(12312)2S=++++⨯，得到S=26，即所求的相等的和为26.3.在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______.s t v av t s tt t v t t+【解析】首先可以判断t=1，所以s+v=11，v=t+t+1=3，可解得s=11-3=8，又因为a+t=t，所以a=0，1038tavs=.将自然数1、10、19、28、37、46、55分别填人右图中的七个方框中，使每条直线上的三数之和与每个圆周上的三数之和都相等．那么圆心上的那个数应该填多少？【解析】圆心上的数属于三条直线，其余数都属于一条直线一个圆周，所以除中心的数被计算3遍外.其余数都被计算2遍.由()11019283746552392++++++⨯+=+中心数中心数，应是5的倍数，推知中心数为28.【巩固拓展】将3、5、7、11、13、17、19、23、29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等.请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和.例1【解析】设三个顶点○内所填的数为a、b、c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K+++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷=，所以()a b c++的和应被3除余2，a b c++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=.请将1～9这9个数填入右图3×3表格中，使得第1,2行三数的乘积分别是70，24，第l、2列三数的乘积分别是21、72.【解析】因为70=2×5×7，21=1×3×7，所以A=7，D等于2或5，因为D×E×F=72，72不能被5整除，所以D为2，72=2×4×9，即E为4或9，且B×E×H=24.24不能被9整除，所以E为4，24=1×4×6，也就是B=1，H=6，剩下的数易得.最后结果为：F IHGEDCBA986542317【巩固拓展】能否在8行8列的方格表的每个空格中（如图），分别填入1、2、3这三个数字中的任一个，使得每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同？对你的结论加以说明.例2【解析】不可能.这里一共有8行、8列、2条对角线，每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同，所以数字和一共有8+8+2=18（个）；又根据题目要求，每行、每列及对角线的8个数的和最小取值是8×1=8，最大为8×3=24，8到24一共有17个数.17＜18，所以不可能实现每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同.将1、2、3、4、5填入5×5的正方形表格的小方格中，使每个数字在每行、每列、每条对角线上都只出现一次，其中部分数字已经填出，请按照以上要求填写其他小方格.【解析】①根据唯一解法，可以快速得到第四行第一列填5；②观察第5列，可知第5行第5列方格中不能填4、5（根据列摒除法）；再观察从左上至右下的对角线，可知第5行第5列方格中不能填1、3（根据对角线摒除法）.那么根据唯一解法，可以确定第5行第5列方格中填2；③对两条对角线进行分析，可以确定第3行第3列方格中只能填4；④再根据唯一解法确定第2行第2列方格中填5；⑤接着可确定第2行第4列方格中填2，第5行第1列方格中填3；至此我们已经填出第1行、第4行、两条对角线上的所有方格中的数字，根据以上解题思路，可以顺势得出其他方格中的数字，最终的问题答案如下：例3【巩固拓展】如右下图，9个3×3的小方格表合并成一个9×9的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3 3的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是.【解析】①先确定第6列4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（1+9+8+4+2）=21；②确定第2层第3宫（9宫格）4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（3+4+5+6+9）=18；③确定第1行第8列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是5；④确定第3行第1列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是2；所以10个“☆”处所填数的总和是：21+18+5+2=46.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为.□÷□+□+□□＝□÷□+□□例4【解析】 因为左边必是奇数，所以右边最大值为87.（否则为88），经过尝试，得3÷1+5+79=6÷2+84【巩固拓展】请在算式1111⨯=⨯中填入不同的四个数字，使等号成立.【解析】 在10-19这10个数中，剔除质数后只剩下6数，通过尝试可得到10×18=12×15.在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字.求A 、B 和C 分别代表什么数字.941A B CA B C⨯【解析】 第一个部分积中的9是C×C 的个位数字，所以C 要么是3，要么是7，假设C =3，第二个部分积中的4是积3×B 的个位数字，所以B =8.同理，第三个部分积中的1是积3×B 的个位数字，因此A =7.如果C =7，类似地可知B =2，A =3，但这时第二个部分积不是四位数，因此C ≠7.【巩固拓展】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？例5【解析】显然的D=1，由AB×A=IF可知，A不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果A=3，那么B也不能超过3，所以B只能是2，这样的AB×B=32×3=96与AAH矛盾，所以A≠3，所以A=2，根据AB×B=AAH，可以尝试出B=8时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：I=5，F=6，E=0，G=9，所以被除数DEFGF是10696.（第十一届中环杯初赛试题及答案）从1至13中选出12个自然数填入3×4的方格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等（横行的和没有必要与竖列的和相等）.【解析】因为1+2+…+13=91，从中去掉一个数后应该能够被3以及4整除，即能被12整除.由于91÷12=7…7，应该去掉7，所有数的和为84.这样，每个横行的数字之和为84÷3=28，每个竖列的数字之和为84÷4=21.进一步分析可知，六个奇数必须有三个在一列，另外三个在另外一列.三个奇数和为21的，只有1+9+11和3+5+13两组，填好奇数，剩下的数就好填料.典型的两组答案（其余的答案均由这两个答案交换行列得到）如下：1 13 4 10 3 112 12例1如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：（1）能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？ （2）能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？ 如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由.【解析】 （1）不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S.考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次.即()42468360S =+++⨯=.所以S=60÷4=15.但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等.（2）能，下图是一种填法.8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22.248668862244（第十二届中环杯试题）如图，纸片盖住了乘法算式的所有数字，但是已知每一个被盖住的数都是质数，那么积的个位数是（）【解析】积的个位数等于两个因数的个位数积的个位数；一位质数有2、3、5、7；2×3=6，2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35；其中符合积的个位数也是质数的只有3×5=15或5×7=35，故积的个位数是5.在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式.⨯数字谜数字谜谜谜谜谜谜【解析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破.由“⨯=数字谜谜谜”可知“谜”≠1，因此“谜”=5或6.例4例3（1）若“谜”=5，“⨯=数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”=2，由于“⨯=数字谜字谜”，可知“255⨯=字字”，“字”是单数且小于5，故“字”=1或3，当“字”=1时，21521546225⨯=，不符合条件，当“字”=3时，23523555225⨯=，符合题意.（2）若“谜”=6，同理，“⨯=数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由266⨯=字字，可知“字”=1，但21621646656⨯=，不符合条件.所以满足条件的算式是：23523555225⨯=.下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数.=美妙数学___________【解析】由⨯=美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”ד妙”＜10，所以“美”≥2，“秒”≤4，“美”+“学”=“数”；1）当“秒”=1，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和7，此时“美”+“学”=10，但题目中“美”+“学”=“数”＜10，所以“妙”不等于1；2）当“妙”=2，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和4，或者4和8，但4+8=12＞10，所以“美”、“学”为3和4，“数”=3+4=7，但274×3=822，积出现重复数字2，不合要求，273×4＞1000也不合要求.3）当“妙”=3，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和9，“美”+“学”＞10，不合要求.4）当“妙”=4，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和2，或者6和9，又“美”+“学”＜10，所以“美”、“学”为7和2，“数”=7+2=9.497×2=994，合乎要求.因此，2497=美妙数学【练习1】在5×5方格表的空白处填入1-5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各例5不相同？【解析】先确定右下角的方格，只能填“2”；左下角只能填3，最下一行只能是3、4、5、1、2.其他方格不难填成，结果如下图.【练习2】下图中有五个正方形和12个圆圈，将1-12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等.那么这个和是多少？【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1-12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得()++++=，x x121225 x=，具体填法如：26758649112310121【练习3】下图中有三个正三角形，其中有三条通过四点的线段.请你把1~9这九个自然数分别填在九个黑点的旁边，使每个正三角形顶点上三个数的和相等，每条线段上四个数的和也相等.【解析】每个正三角形顶点上三个数的和：（1+9）×9÷2÷3=15每条线段上四个数的和：[（1+9）×9÷2+15]÷3=20根据以上结论可以得到如下填法（答案不唯一）：【练习4】如下图所示，A B C D E F G H I J、、、、、、、、、表示0-9这10个各不相同的数字.表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“G+C=14”.请将表中其它的数全部填好.A B C D E F G H I J+56771414【解析】 由于A+F=5，B+F=14，所以B-A=14-5=9，所以A 和B 只能是0和9.因此可以推出：A=0，B=9，C=6，D=3，E=2，F=5，G=8，H=1，I=4，J=7.可得下图.1013101041731694113107711881114147765+JI H G FE D C B A【练习5】 电子数字0-9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：______________________.【解析】（1）显然乘积的百位只能是2；（2）被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除；（3）如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数.所以被乘数十位是2，相应得乘数是.（4）被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：28×8=224.【练习6】 下面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?【解析】由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由积的百位数知“玩”=9.竖式化简为下式.由于“1真”×9= “10好”，所以“真”=2，“好”=8，“啊”=6.所以，“数学好玩”=1089.【练习7】在□中填入恰当的数字使算式能够成立.2【解析】①这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为0；②除数的2倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知商的万位数字为1，同样可知商的个位数字也为1，即商为10201；③又一个两位数的两倍必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1.而一个三位数与一个两位数之差为1，只能是100-99=1，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99×10201=1009899.。
奥数讲座 数阵图与数字谜
3741【分析】第一步：由已知可推出6只能填在中间的圆中；第二步：由已经填的数可以得到：2、5、8、11不能出现在第一个圆中，且(2、8)和(5、11)不能在第二个圆中成对出现，(2、5)、(5、8)、(8、11)不能在第三个圆中成对出现，考虑5和8的位置的各种情况，可以得出5、8只能都填在第二个圆中，2、11填在第三个圆中；第三步：判断其余几个数的位置关系：13只能填在第一个圆中，9只能填在第二个圆中，12只能填在第三个圆中，10只能填在第一个圆中。
12112986510133741111098765432【分析】第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；第二步：计算三个22⨯正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22⨯的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？把1，2，3，…，13这13个数分别填在下图所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．数阵图与数字谜12中有两个数被重复计算了两次，而231165+++=，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值；第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个22⨯正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24，如图，所以所求的最小值是24。
20911638421720【分析】 第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出第一行的四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则()320x w y z +++=，由于x w +至少为3，所以y z +不超过5；第二步：由于y z +的和不超过5，所以，y 和z 只可能为1和2、1和3、1和4或者2和3，通过尝试可以得到不止一个答案，右面的答案是其中一个。
全国通用六年级下册数学试题-小升初：第十一讲 数字谜与数阵图(解析版)
【例 10】★★★如图为一个三阶幻方，其中两个数已填好，求标有*的空格中所填的数。
*
19
95
【解】如图，设第一行第三个数为 x,则通过比较过中心方格的一行及一条对角线知第二行 第一个数为 x+76，再比较第一行与第一列得标有*的方格内数为：95+（x+76）-x=171.
x
x+76
19
95
【点评】本题本来是填幻方的题目中较难的一道，题目中已知每个条件这么少，还能得到 这样的结论，可见幻方是多么的有趣。这里有一种重要的思想，就是在相交于一格的两条 线（行与列，行或列与对角线），则必有除相交格的剩余格之和相等。
÷ = ÷ =2；
2 43 6
1 11 13
÷= ÷= ；
2 34 62
1 11 12 1 11 11
÷=÷=； ÷=÷=.
6 43 23 6 34 22
同理，由 3×8=4×6 得到
1 11 14 1 11 1
÷ = ÷ = ； ÷ = ÷ =2；
3 46 83 3 64 8
1 11 11 1 11 13
4
在
7
1
中的“口”内，可以填写的整数只有_________.
5口 2
①10、11、12、13； ②9、10、11、12、13；
③8、9、10、11、12、13； ④无数个．
【解】： 由 7 1 7 ，得口 14 口 2 14
又 4 7 ，而，7 所4以口，，，，9 1，0应11选12 1有人把数字谜问题叫做思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、 判断及推理能力。数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.解这类 问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决.
五年级奥数-数阵图与数字谜(含解析)
数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。
精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。
【例1】 （2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。
【分析】 由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。
【例2】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。
【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。
所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。
【例3】 （2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。
表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。
请将表中其它的数全部填好。
C BA【分析】 由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。
因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。
可得右下图。
【例4】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
小学数学五年级《数阵图与数字谜》练习题(含答案)
《数阵图与数字谜》练习题（含答案）你还记得吗【复习1】把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.分析：(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和＝(15+重叠数)÷2.因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5.若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。
填法见下图（1）；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。
填法见下图（2）；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。
填法见下图（3）.【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次. 所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12.中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5.于是得到右下图的填法.【复习3】在右图所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。
如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排除）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以. 所以“数字谜”代表的三位数是965.数 阵 图数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n 阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例1】 （1）将九个数填入下图（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k ，则中心方格中的数必为3k .请你说明理由！ （2）将九个数填入下图（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a b e +=.请你说明理由！（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a b c +=.请你说明理由！分析：（1）因为每行的三数之和都等于k ，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右下图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k ，四条虚线上的所有数之和等于4k ，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k ，3k+中心方格中的数×3=4k ，中心方格中的数=3k （2）和=3e ，a+e+b=和=3e ，所以a+b=2e ，即得：2a b e +=.（3）设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由此可得右图，那么有：c +（2d -b ）= a +（2d -c ），由此可得：2a b c +=. 值得注意的是，这个结论对于a 和b 并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同.【巩固】在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.分析：中心数为90÷3＝30；右上角的数为（23＋57）÷2＝40，其它数依次可填（见右下图）.【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.分析：右下角的数为（8＋10）÷2=9，中心数为（5＋9）÷2=7，且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法.【巩固】图中3×3的正方形的每一个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上三个数之和都相等．若f=19，g=96．那么b是多少？分析：我们知道：g=（b+f）÷2，易得b=173.【例2】在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .分析：中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8，7，6．另两个角上的数，和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9，不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：【巩固】在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.分析：【例3】将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方. 分析：（法1）：易得中心数为9，然后将剩余那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右图. 答案不唯一，仅供参考.（法2）：其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式.【前铺】将自然数1至9，分别填在右图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.分析：（法1）：三行的总和=1＋2＋3＋4＋…＋9=45，所以每行三个数的和是45÷3=15，所以E代表15÷3=5，由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.（法2）：从法1知道中心数为5，那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是10，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接受.【拓展】如图（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图（2），请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.分析：①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了.【例4】右图是一个四阶幻方，请将其补全：分析：根据各行，各列，各对角线和相等为34，可得图（1），此时我们可以设未知数，如图（2），将一些数表示出来，进而根据和为34求得x代表9，随后得到答案，如图（3）.【拓展】在图中所示方格表的每个方格内填入—个恰当的字母；可使每行、每列及两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、D，那么标有“＊”的方格内应填的字母是什么？分析：考虑含A和＊的对角线上的元素．第二行第二个元素与C同行，因此不是C，第三行第三个元素与C同列，因此也不是C，所以＊代表的元素必为C．【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4.分析：如下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.【例5】右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.分析：设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1～9的和45，再加上两两重叠处的四个数之和. 而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是6＋7＋8＋9＝30，所以，5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，即11≤k≤15 .当k＝11，13，14时可得四种填法（见下图），k＝12，15时无解.【前铺】将1～11填入左下图的○内，使每条虚线上的三数之和都等于18.分析：设中心数为a，由五条虚线上的数字之和得到5×18=（1+2+…+11）+4a，解得a=6. 填数方法如下图.【例6】将1～7这七个自然数分别填入右图的七个○内，使得三个大圆周上的四个数之和都等于定数，指出这个定数所有的可能取值，并给出定数为13时的一种填法.分析：设每个大圆周上的四个数之和为k（即题中的定数）. 图中有一个○属于三个大圆公有，有三个○各属于两个大圆公有. 设属于三个大圆公有的○内的数为w，属于两个大圆公有的三个○内的数字之和为v.将三个大圆上的数字和相加，得到：3k＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋v＋2w＝28＋v＋2w，因为v＋2w最小为11（w＝1，v＝2＋3＋4），最大为29（w＝7，v＝6＋5＋4），分别代入上式，解得13≤k≤19，即定数可以取13至19之间的整数.本题是k＝13的情况，此时w＝1，v＝2＋3＋4，填法见右下图.【例7】在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.分析：标出的八个数是每面四个数和的2倍，是偶数，1～9和为45 ，因此未标出的数是一个奇数，在1，3，5，7，9中选一个数，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，依此可知未标出的数是7.下面用余下的8个数填图，每面四个数和为：（45-7）÷2=19.如果已知某一面上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8，9不公面，因此8在顶点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数和为10，且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为：（6，3，1），（5，4，1），（3，2，5），填图如右下图.数字谜【例8】将0～9中的8个不同的数字分别用a、b、c、d、e、f、g、h替换．在替换规则+=，如上面4个式子中，“+”、“×”、下：g×g=db，g×c=bd，g×f=ef，ag b eh⨯的“=与平常算术中相应的符号意义相同，而且也是十进位制．在这种替换规则下，ca e数值等于 .分析：由g×g=db知，g≥4．若g=4，d=1，与g ×c=bd 是偶数矛盾； 若g=5，则d=2，b=5，与g ≠b 矛盾；若g=6，则d=3，b=6，与g ≠b 矛盾；若g=7，则d=4，b=9，由g×c =bd =94,得到c =4÷7=3137也不合题意； 若g=8，则d=6，b=4，由g×c =bd 46，得到c=46÷8=354，仍不合题意； 若g=9，则d=8，b=1，由g×c =bd =18，得到c=18÷9=2，再由g ×f=ef ,f=5，e=4，再由ag b eh +=,得a=e-1=3.所以23492ca e ⨯=⨯=.【例9】 在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把下面汉字算式翻译成数字算式．分析：首先“华”=1．由于“人”≠“华”，故“人”只能是0．从百位看出. 百位没有向千位进位，即有“香”=9．看百位，知“回”比“港”大1；再看十位，可知“爱”=8，并且个位要向十位进位，即“归”+“港”=10 +“游”．因为“游”≠0，1，知“游”≥2，即“归”+“港”≥12．又“归”≠8，9，知“归”≤7，从而“港”≥5．同样，“归”也不小于5，并且由于“回”比 “港”大1，知“归”、“港”、“回”应该是5，6，7(次序未确定)．容易验证，只有“归”=7，“港”=5，“回”=6符合条件，此时“游”=2，即算式为 ：9567+1085=10652 .【巩固】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？分析：根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取 (1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)．但l ，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+ “赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这 时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9， 同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3，6)，(4，5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例10】在右面的□内，各填一个合适的数字，使算式成立．分析：从被乘数个位上的□里填什么数字入手及竖式中□×6=（）4，是本题的突破口．这里有两种情况：4×6=24或9×6=54，都可使□×6=（）4成立．也就是说，被乘数个位上的数字可能是4，也可能是9．先考虑被乘数个位上的数字是9的可能性，因为在乘数十位上找不出任何数字与9相乘得“整十数”，所以被乘数个位上的数字不可能是9．如果被乘数个位上的数字是4，很容易推出乘数十位上的数字应是5，才能与4相乘得“整十数”．由被乘数乘以乘数十位上的5得270，也很容易推出被乘数十位上的数字是5，进而可推出其它各数字．【巩固】在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立：分析：（1）17×64=1088；（2）5283×39=206037；（3）734×619=454346，被乘数是6606和4404的三位数的公约数.【例11】□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：分析：由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc×a=□5□,推出c不等于3，所以c=8，故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262。
学而思二数阵图4
学而思二数阵图4第四天：数阵图和数字谜【知识点】一、数阵图方法一：尝试法1.先填重叠数（大忙人）砍头、砍腰、砍尾（等差数列）2.再填其余数大手拉小手方法二：计算法（已知线和）1.先填重叠数（总线和-数和）÷多算次数2.再填其他方法一：尝试法【例】把5、8、11、14、17、20、23这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于36.【解析】：砍头、砍腰、砍尾，尝试发现重叠数为5为正确答案。
李方法二：计算法【例】将5、9、13、14、17、21、25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44.【解析】不是等差数列，不能直接用砍头、砍腰、砍尾的方法。
这里三条线，每条线的和加起来称为总线和：44×3=132；所有数加起来称为数和：5+9+13+14+17+21+25=104；差值：132-104=28；多算两次重叠数多出来28，所以重叠数：28÷2=14，其他六个数，大手拉小手分组即可。
【例】把2、3、4、5、6、7、8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和等于19.【解析】计算法：找到重叠部分，重叠了两次，多算一次。
总线和：19×2=38；数和：2+3+4+5+6+7+8=35；多算一次的重叠数：38-35=3；重叠数为3÷1=3，剩余6个数，左边3个，右边3个，先在左边填最大数8，那左边另外两个数相加为19-8-3=8，所以另两个数只能是2和6了，剩余的4，5，7填到左边。
【例】把1、2、3、4、5、7这6个数分别填入图中的圆圈内，使每个大圆上的4个数的和都等于13。
【解析】计算法（把一个大圆看成一条线）。
总线和：13×2=26；数和：1+2+3+4+5+7=22；总线和-数和：26-22=4。
本题中重叠部分是中间两个圆，每个圆多算了一次。
所以知道两个圆相加的和为4，满足条件的只有1和3，所以中间填1和3，其余可以大手拉小手，答案如下：二、数字谜1、横式数字谜分别：一一对应（一个萝卜一个坑）从情况少的入手【例】将1~9这九个数字分别填入下面四个等式的九个中，使得四个等式都成立。
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版
知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析。
2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜。
②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）。
数阵图、数字谜数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法。
名师点题将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。
【解析】 首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6。
在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等。
那么b 处应该填入的数是（ ）。
【解析】 这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b ，进而得到2b=2.8， b=1.4。
在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
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练习2：
将1至12分别填入图中正方形四条边上的圆圈内，使每条边上四个圆 圈内的数之和均等于22.请填出一种解法。
练习2：
将1至12分别填入图中正方形四条边上的圆圈内，使每条边上四个圆 圈内的数之和均等于22.请填出一种解法。
1 10 8 3
12
6
5
11
47 9 2
例题4、请你将数1、2、3、4、5、6、 7填入图中的圆圈内,使得每个圆上三个 数之和相等,并且也等于每条直线上三 个数的和。应怎样填?
2、如果重叠数有1个时，数阵图的填法是唯 一的；如果重叠数有2个时，数阵图的填法可 能是不唯一的；如果重叠数有3个或4个时， 重叠数的确定还需要用尝试法进行确定，然 后再来完成数阵图。
方法总结:小结---数阵图
1.如果数•阵1.图如果中数有阵若图干中个有相若等干的个和相，等可的以把其中 某几个和和累，加可在以一把起其，中或某者几比个较和有累公加共在部分的两 个相等的一和起。，或者比较有公共部分的两
1
x3
2
3
2
2
5
1
8
0
2.5特殊数位分析
（1）如果是字母（文字）替数的问题，就要 多留意相同字母出现较多的数位。
2 0 09 QHFZ
+ QHFZ
1QHDX
• 可以先判断出 • Q和H
(2)、解字谜
ABCDEF
x
3
BCDEFA
（3）选讲：
在下面除法竖式的方框内填入适当的数字，使竖式成立
36
9 3 32 27 62 54
x
=
x
= 5568
例题1
将0至8这九个数字填入下面的方框内，使这个算式的 结果最大
876 5—34 x1 02
要差最大？ 被减数要怎么样？ 减数要怎么样？
差最大 被减数要最大 减数要最小
最大的4位数8765 最小的乘积 百位数的数字要小于十位的数字 百位数最小，十位数中，个位数小 百位数：102 十位数：34
学 数学 爱数学
+ 喜爱数学
20 0 0
例题：在下面的加法竖式中， 每个汉字代表一个数字，不 同的汉字代表不同的数字。 这些汉字分别代表什么数字 时，下面的算式可以成立。
喜=1，爱=4 数=6，学=5
2.2高位分析
分析数字谜中几个数的最高位 也常常是个突破口。
BAD
+
BAD
GO O D
从下面的算 是中
例题2、
在下面的等式中，“数”和“学”分别代表两个不同的数字。等等 式传给你立时，数学是多少？
数 数 数 学 x 学 — 学 学 学 = 2002
数 数 数 学 x 学 = 2002 +学 学 学
2002 +学 学 学 < 3002 数 数 数 学 x 学 < 3002
学< 3
若学=1，等式显然不成立 若学=2，等式成立
个相等的和。 2.重数分析法
•2.重数分析法 3.从关键位置和关键数入手分析。
•3.从关键位置和关键数入手
8
8<26 余数小于除数，所 以除数是8+1=9， 所以这个三位数为 36×9+8=332
回家习题：
下面竖式中的字母分别代表了什么数字才 能使得这个算式成立？
ABCD
x
9
DCBA
位数乘九后仍得四位数
第一个因数的首位（即A=1） 积的首位（即D＝9） 百位（即B），B不可能大于2， 否则会向前一位进位，积变为五 位数。B只可能为0。 算式变为10C9×9＝9C01。积 的十位是0，减去个位进上来的8 得2， 八九七十二，C为8。 最终算式为1089×9＝9801 结 果：A＝1，B＝0，C＝8，D＝9。
【详解】 看图可以发现，计算每条直线的总和过程中，中间数字会用到3次， 其它数都用到2次，中间数最特殊，那么你能先确定出中间数是几吗？ [解答]
或者
数阵图：是我们经常接触到的一类数学趣题，它需要我们运用
智慧去解决，也能锻炼和培养我们的思维能力，一般在解题时需 要注意以下几点：
1、每个数阵图，总有1个或几个圆圈里所要 填的数是重复运用的，这样的数是重叠数， 应先求出来！
数 字 谜 综 合
密码之谜
第三讲
数阵图类型
数阵图一般类型： ①辐射型数阵图 ②封闭型数阵图 ③复合型数阵图
分类
辐射型数阵图
所有的先都交于同一数，其他数均是独立的；
封闭型数阵图
关键：所有的 线和与所有的 数和的关系
所有的线都围成一个封闭的图形
复合型数阵图
几条线围成一个封闭的图形，另外几条线交于同一数
7
4
1
6
2
9
例题3、请分别将1,2,4,6这四个数填在下图的
各空白区域内，使得每个圆圈里的4个数的和都
等于15
1246
3+7=10 5=1+4
3+5=8 7=1+6
5+7=12 3=1+2
15-10=5 15-8=7 15-12=3
2
57 1
6 34
练习1、
分别将数字1至9填 入下图圆圈内，使 两条线段上的数字 之和相等。中心的 圆圈有几种填法？
数=1 数学=12
例题3、
将1至9这九个数字填入下面的方框内，使这个算式的乘 积最小
14 7 x 258 x 3 6 9
乘积最小要最小怎么办？ 则数字最小 百位1、2、3； 十位4、5、6； 个位7、8、9 组数字分别为147、258、369
2.4进退位分析
进退位分析即根据进位或退位来确定某一数字。 • 在下面乘法竖式的方框内填入适当的数字，使得竖式成立
得知G=1
课堂练习---解字谜
好好学
学习
+
习
习好学
例题：在下面的加法竖式中， 每个汉字代表一个数字，不 同的汉字代表不同的数字。 这些汉字分别代表什么数字 时，下面的算式可以成立。
习=5，好=4，学=9
2.3位数分析
一个三位数乘以一个三位数，结果可能是五位数或 者六位数，根据乘积的位数就能判断出乘数的大小。
个相等的和。 2.重数分析法
•2.重数分析法 3.从关键位置和关键数入手分析。
•3.从关键位置和关1键74x数32=入96x手58
竖式数字谜
主要突破口 个位 高位 数位 进位
2.1个位分析
因为只有个位不涉及后面进位或退位的问题，所以可以优先观察个位。
例如在解两个数加减法的竖式数字谜时，观察个位：如果题目中给出 了三个字中的两个，我们就能立即判断出第三个数字是多少了。
横式数字谜
横式加减法数字谜可以转化成 竖式数字谜来解决，相对而言比 较简单。二横式乘除法数字谜语 四十数字谜则有这明显区别，常 常要用到数论方面的知识。
在横式乘除法数字谜中，尤其 盈注意运用整除的知识。
比如： 迎杯x春杯=好好好
37×27=999
方法总结:小结---数阵图
1.如果数•阵1.图如果中数有阵若图干中个有相若等干的个和相，等可的以把其中 某几个和和累，加可在以一把起其，中或某者几比个较和有累公加共在部分的两 个相等的一和起。，或者比较有公共部分的两
例题1
将1至10这十个数分 别填入下图圆圈中， 使得每条线段上四个 圆圈内的数之和相等。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
例题2、将1至9这九个数分别填入下图中的圆圈内， 使得每条线段上的四个圆圈内的数字和都等于17。
123456789
17=4+7+6 17=2+9+6 17=7+1+9