龙驭球结构力学Ⅱ(第3版)知识点笔记课后答案

第11章静定结构总论
11.1复习笔记
一、几何构造分析与受力分析之间的对偶关系
1.从计算自由度W的力学含义和几何含义看对偶关系
（1）W的几何含义
W＝各部件的自由度总数-全部约束数。

（2）W的力学含义
W＝各部件的平衡方程总数－未知力总数。

（3）根据W的数值，可对体系的静力特性得出下列结论
①W＞0，平衡方程个数大于未知力个数，体系不是都能维持平衡，体系为几何可变；
②W＜0，平衡方程个数小于未知力个数，体系如能维持平衡，体系有多余约束，是超静定的；
③W＝0，平衡方程个数等于未知力个数，考虑方程组的系数行列式D
当D≠0,方程组有唯一解，体系几何不变且无多余约束；
当D＝0，方程组无解或有无穷多解，体系几何可变且有多余约束。

2.从Ｗ＝０的一个简例看对偶关系
（1）几何构造分析（图11-1（a））
图11-1
①α≠0（链杆1和2不共线）时，体系为几何不变，且无多余约束；
②α＝0（链杆1和2为共线）时，体系为几何可变（瞬变），且有多余约束。

（2）受力分析
取结点C为隔离体（图11-1c），可写出两个投影平衡方程：
F1cosα－F2cosα＝F x
F1sinct＋F2sinoc＝F y
下面分为两种情况讨论
①α≠0时（两根链杆1和2不共线）
②α＝0时（两根链杆共线）
当荷载F y≠0时，方程组无解；
如果考虑F y＝0而只有水平荷载F x作用的特殊情况，
此时解为：
F1＝F2＋F x＝任意值。

二、零载法
1.零载法的作法表述
对于W＝0的体系，如果是几何不变的，则在荷载为零的情况下，它的全部内力都为零；反之，如果是几何可变的，则在荷载为零的情况下，他的某些内力可不为零。

2.零载法适用体系
零载法是针对W＝0的体系，用静力法来研究几何构造问题，用平衡方程的解的唯一性来检验其几何不变性的方法。

3.从虚功原理角度看零载法
由于载荷为零，因此虚功方程左边只有一项
Fx•△x＝0
（1）与F x相应的约束是非多余约束，△≠0，解得F＝0；
（2）与F x相应的约束是多余约束，△＝0，则F等于任意值。

三、空间杆件体系的几何构造分析
1.空间杆件体系的基本组成规律
（1）四个点之间的连接方式
规律1：不共面的四个点用四个链杆两两相连，则所组成的铰结四面体空间体系是一个几何不变的整体，且没有多余约束。

（2）一点与一刚体之间的连接方式
规律2：空间中一点与一刚体用三根链杆相连，且三链杆不在同一平面内，则组成的空间体系是一个几何不变的整体，且无多余约束。

（3）两个刚体之间的联接方式
规律3：一刚体与另一刚体（基础）用六根链杆相联，如果六根链杆与任一轴线不同时相交，而且在任一轴线上的投影不同时为零，则组成几何不变的整体，且无多余约束。

（4）空间刚体用六根链杆与基础相连，其一般规律比较复杂。

一般情况下采用零载法来判断更为简便，有以下规律
规律4a 一刚体与基础用六根链杆相连。

在零载下用截面法列出六个平衡方程，其系数行列式为D。

如D≠0，则此空间体系为几何不变，且无多余约束。

规律4b 一刚体与基础用六根链杆相连。

如果在零载下求出六杆轴力均为零，则此空间体系为几何不变，且无多余约束。

2.空间铰接体系的计算自由度W
（1）计算自由度w
W＝3j－b（a）
（2）W值对体系作出的定性结论
①W＞0，体系是几何可变的；
②W＜0，体系是有多余约束的；
③W＝0，体系可能是几何不变且无多余约束，也可能是几何可变且有多余约束。

四、静定空间刚架
1.内力计算
（1）空间结构杆件轴线与荷载不在同一平面内，杆件截面一般有六个内力分量如图11-2（a）(b)所示。

图11-2
（2）作内力图时的规定
①轴力F N以受拉为正；
②扭矩M t以双箭头矢量向外为正；
③弯矩图不注正负号，弯矩M1、M2都画在杆件受拉纤维一侧；
④剪力图也不注正负号，但需预先规定杆件轴线的正方向，并规定截面的正面和反面。

（3）空间刚架的内力图
图11-3
①杆BC的杆端内力，隔离体如图11-3（a）所示
②杆AB的杆端B内力，隔离体如图11-3（b）所示
③杆AB的杆端A内力，隔离体如图11-3（c）
④作内力图
图11-4
2.位移计算
（1）位移计算公式
五、静定空间桁架
1.空间桁架的几何构造
（1）空间桁架的组成
空间桁架由结点和链杆组成，每个结点在空间有三个自由度，而每个链杆或支杆相当于一个约束。

（2）空间桁架的分类
①简单桁架；
②联合桁架；
③复杂桁架。

2.结点法和结点单杆
（1）结点法
结点法是截取结点为隔离体，利用每个结点所受的空间汇交力系的三个平衡条件：
（2）结点单杆
如果在空间桁架某个结点相交的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共面，则称该杆为此结点的单杆，有下面两种常见情况
①结点只包含三个杆，且此三杆不共面，则每杆都是单杆；
②结点包含四个杆，其中三杆共面，则第四杆是单杆。

3.截面法与截面单杆
（1）截面法
截面法是用截面从空间桁架中截取隔离体（截断六根以上杆件，所作用的力系为空间一般力系），利用空间一般力系的六个平衡条件来求各杆轴力的常用方法。

（2）截面单杆
如果某个截面所截各杆中，除某一杆外，其余各杆轴力与同一轴线都相交（包括在无穷远处相交）或在同一轴线上的投影都为零，则称该杆为截面单杆。

4.分解成平面桁架法
图11-5
图11-5（a）为一空间桁架，将作用在E点的荷载沿EH。

EF、EA三个方向分解为三个分力，分别计算每个分力产生的内力并叠加即得到所要解答。

（1）只使平面桁架ADHE受力，其余各杆轴力为零。

如图11-5（b）；
（2）只使平面桁架ABEF受力，其余各杆轴力为零。

如图11-5（c）；
（3）只使杆AE受压，其余各杆轴力为零。

如图11-5（d）所示。

六、悬索结构
1.悬索结构的特点
（1）悬索结构是由一系列受拉的索作为主要承重构件，并悬挂在相应的支承上的结构。

（2悬索结构的形式
①单层悬索；
②双层悬索；
③鞍形索网；
④斜拉式屋盖；
⑤索梁体系等。

（3）单根悬索计算时的基本假设
①索是理想柔性的，不能受压，不能受弯，只能受拉；
②索在使用阶段时应力和应变符合胡克定律（线性关系）。

2.支座等高悬索在竖向集中载荷作用下的计算
图11-6
图11-6（a）为一集中荷载作用下的悬索，图11-6（b）为同跨度的简支梁，可得：
悬索任一截面D的弯矩为零，则有
3.悬索在分布荷载作用下的计算
图11-7
根据微分单元的静力平衡条件，有
方程（a）、（b）就是单索的基本平衡微分方程。

如果悬索只承受竖向荷载的作用，即q x＝0时，由方程（a）得
f H＝a（常量）（c）
因此，式（b）可写成
七、静定结构的受力特性
1.静定结构与超静定结构的差别
（1）在几何构造方面，静定结构无多余约束，超静定结构有多余约束。

（2）在静力平衡方面，静定结构的内力，可以由平衡条件完全确定，得到的解答只有一种；超静定结
构的内力，由平衡条件不能完全确定，而需要同时考虑变形协调条件后才能得到唯一的解答。

2.温度改变、支座位移和制造误差等因素在静定结构中不引起内力。

（1）图11-8（a）中，可以假想先把B端的-支杆去掉，梁就成为几何可变的，使梁绕A点转动，等B端移至B′后，再把支杆重新加上。

在这个过程中，梁内不会产生内力。

（2）图11-8（b）中，设三铰拱的杆AC因施工误差稍有缩短，拼装后结构形状略有改变（如虚线所示），但三铰拱内不会产生内力。

（3）图11-8（c）中，设简支梁的上方和下方温度分别改变了干t，因为简支梁可以自由地产生弯曲变形（如虚线所示），所以梁内不会产生内力。

图11-8
3.静定结构的局部平衡特性
在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某一局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。

4.静定结构的荷载等效性
当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。

这里，等效荷载是指荷载分布虽不同，但其合力彼此相等的荷载。

5.静定结构的构造变换特性
当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时（变换后，尽管结构形式变了，但仍应是一个静定结构），其余部分的内力不变。

八、各种结构形式的受力特点
1.结构形式的分类
（1）无推力结构，如梁、梁式桁架；
（2）有推力结构，如三铰拱、三铰钢架、拱式桁架和某些组合结构。

2.杆件的分类
（1）梁杆，如桁架中的各杆、组合结构中的某些杆件；
（2）梁式杆，如多跨梁和钢架中的各杆、组合结构中的某些杆件。

3.各种结构形式的特点：
（1）在静定多跨梁和伸臂梁中，利用杆端的负弯矩可以减小跨中的正弯矩。

（2）在有推力结构中，利用水平推力的作用可以减少弯矩峰值。

（3）在桁架中，利用杆件的铰接和合理布置及荷载的结点传递方式，可使桁架中的各杆处于无弯矩状态，在三铰拱中，采用合理轴线可以使拱处于无弯矩状态。

九、简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
1.内力包络图
内力包络图是指在设计承受移动荷载的结构时，必须求出每一个截面内力的最大值，连接各截面内力最大值的曲线。

2.绝对最大弯矩
弯矩包络图中最高的竖距，称为绝对最大弯矩，它代表在一定移动荷载作用下梁内可能出现的弯矩最大值。

十、位移影响线
1.根据影响线的定义，得出位移影响线的原始作法
（1）将移动荷载F p＝1置于任意位置x，得出梁的位移图
（2）按原始定义作影响线,以荷载位置x作横坐标，以位移影响系数δKP作纵坐标。

2.借助位移互等定理，导出位移影响线的比拟作法
11.2课后习题详解
11-1试用零载法检验图所示体系是否几何不变。

图11-1
解：（a）荷载为零，即支反力为零，再逐个取出二元体和零杆，可知所有桁架杆件内力都为零，如下图所示，所以体系是几何不变的。

图11-2
（b）荷载为零，即支反力为零。

去除二元体，可知桁架各杆都是零杆，如下图所示，所以体系几何不变。

图11-3
（c）按照零杆判断原则，中间竖杆为零杆，去掉后再逐个去掉二元体，故体系几何不变。

图11-4
（d）如图所示，假设其中一杆的内力为X，运用结点法可求出各杆内力。

计算可知，内力是平衡的。

所以X可以不为0，所以体系是几何可变的。

图11-5
11-2试分析图示空间体系的几何构造。

图11-6
解：（a）可以把四面体GDEF看出一个刚片，通过DA、EA、EB、EC、FC、GH六链杆与基本体系
相连，且EA、EB、EC三链杆支于一点，并六链杆不交与同一直线上，则体系几何不变、且无多余约束。

图11-7
（b）计算自由度，6个结点、12根杆件、6根支杆，则有：
结构组成（注意体系是空间结构），B点被三杆固定在基础上，由杆BF和两支杆固定F点，再由杆BD、杆FD和支杆固定D点，这部分为无多余约束的几何不变体系。

刚体AEC由六根链杆与几何不变部分相连，由杆AB和DA固定的A点只能绕BD轴作圆周运动。

同理，E
点只能绕BF轴作圆周运动，C点只能绕FD轴作圆周运动。

要使这三个运动瞬时成为可能，只有两种情况：
①三个圆的切线相互平行，即三个圆运动平动，刚体有同一方向运动的可能。

显然，这种情况不可能；
②三个圆圈的三条切线有转动中心，这时刚体存在一个转轴，使得这三点都保持原有切线方向运动。

显然，平面ACE为点A、点E和点C三点作圆周运动的切线所在的公共面。

过这三点作切线的垂线，若这三条垂线交于一点，则过这点做平面ACE的垂线，该垂线为刚体的瞬时转动轴。

结构为瞬变体系，而三角形AEC的三边就是这三条垂线，显然不交于一点，于是结构不可能成为瞬变体系。