用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
三维拉普拉斯方程的基本解
三维拉普拉斯方程的基本解为了找到三维拉普拉斯方程的基本解，我们可以使用分离变量法。
假设u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，我们可以将三维拉普拉斯方程分解为三个关于x、y、z的常微分方程。
将u(x,y,z)带入三维拉普拉斯方程中，得到如下关系：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0因为等式的左边是x的函数，而右边是y和z的函数，所以等式两边必须等于一个常数λ。
我们将这个常数记为-k^2，k为一个实数。
这样，我们可以分别得到关于x、y、z的三个常微分方程：X''(x)+k^2X(x)=0Y''(y)-k^2Y(y)=0Z''(z)-k^2Z(z)=0每个常微分方程的解都可以表示为三角函数或指数函数的线性组合。
对于方程X''(x) + k^2X(x) = 0，解可以表示为X(x) = Acos(kx) + Bsin(kx)；对于方程Y''(y) - k^2Y(y) = 0，解可以表示为Y(y) =Ce^(ky) + De^(-ky)；对于方程Z''(z) - k^2Z(z) = 0，解可以表示为Z(z) = Ecos(kz) + Fsin(kz)。
因此，三维拉普拉斯方程的基本解可以表示为：u(x, y, z) = (Acos(kx) + Bsin(kx))(Ce^(ky) + De^(-ky))(Ecos(kz) + Fsin(kz))其中A、B、C、D、E、F为待定常数。
根据边界条件和问题的性质，我们可以确定这些常数的值，从而得到具体的解。
除了分离变量法之外，还可以使用其他的解法技术，如傅里叶变换、格林函数等，来求解三维拉普拉斯方程。
这些方法都有其适用范围和特点，可以根据具体问题的要求选择合适的方法。
三维拉普拉斯方程的基本解广泛应用于物理领域，如电场与磁场的分布、热传导等；工程领域，如结构力学、流体力学等；以及数学领域，如调和分析等。
Laplace方程的变量分离解析
s1 k 限多负幂次项。 w1 z ak z z0 k 0 w z b z z s2 k 2 k 0 k 0
s1 , s2 是判定方程 s s 1 sp1 q2 0 的两个根。
k 2 k 1 ak 2 l l 1 k k 1 ak 0.
10
从而一般的系数递推公式是:
ak 2
k k 1 l l 1 k l k l 1 ak ak k 2 k 1 k 2 k 1
2 d y dy 2 1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
4
在正交曲线坐标系中对泛定方程分离变量会出现 各种各样的常微分方程，一般可表示如下：
y '' p x y ' q x y 0
通常这些方程还要满足相应的定解条件的要求， 这可以归结为求解以下定解问题：
x
对于 l 不为零的情形，易知有如下结论：
1 s l . 2
y x C1 J
1 l 2
x C2 J l 1 x
17
令 s1 s2 m , 当 m 是整数时， 第二个根应该用如下形式 替代： w2 z Aw1 z ln z z0
k
b z z
k 0
s2 k
．
将级数解的形式代入原常微分方程，合并同幂次 的项，并要求各幂次相应的系数为零。其中最低幂次
方程的第二个特解应为：
k
2
2 y2 x AJ 1 x ln x bx x J 1 x cos x. x 1 2 2 k
用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
所以
【参考文献】
[1]梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社.
[2]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社.
[3]华南理工大数学系.线性代数与解析几何.高等教育出版社.
下面对 阶勒让德方程考虑:
求解关于 的二阶常微分方程:
在 的邻域上求解上述方程，采用常点邻域上级数法求解。
令该方程在 的邻域上的级数解为:
将其代入到方程式中，得到 的递推关系: 从而得到 阶勒让德方程的解: 其中 为:
上述中在 是某个奇数 时 止到 ，从而 退化为多项式，在 是某个偶数 时 止到 ，从而 退化为多项式。
用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
郝晨阳
（晋中学院信息技术与工程学院）
由于在解决静电场问题时常常会用到拉普拉斯方程，同时有很多物理问题也用到它，因此对它的求解非常重要。
直角坐标系中
直角坐标系中拉普拉斯方程:
变立的唯一条件是三项中每一项都为常数，故可分解为下列三个方程
带入方程得到一个简单的二阶常微分方程:
解这个常微分方程得到其通解为： ，
进而得到方程(1)的通解为：
1.求解方程(2)
继续进行变量分离: ,将形式解 带入方程(2)整理，分离并令其中常数为 得到:
及
对该式中关于 的方程，由 的几何意义，其有自然边界条件 ，所以求解 的方程:
求解该方程得到: 。
将 代入 式中的第二个式子，得到关于 的微分方程，作变量代换 得到 阶连带勒让德方程: ，其 的特例叫勒让德方程。
其中 且 、 和 为常数，但不能全为实数或全为虚数。
以常微分方程 为例，其解的形式为:
若 为零，则
若 为实数，则
6.2 拉普拉斯方程的分离变量法
)
QN =
U1 (1 − e
2 Nπa b
)
Nπ a b
将前式改写为
PN e
Nπ a b
+QN e
− Nπ a b
Nπ a b
= U 1e
减后式，得
(e
Nπ a b
−e
) PN = U1 e
Nπ a bBiblioteka PN = U1 (ee
Nπ a b
Nπ a b
−e
−
Nπa b
)
PN =
U1 (1 − e
− 2N π a b
YZ
∂2X ∂2 Y ∂2 Z + ZX + XY =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
（6-2-4）
方程的两侧同除以 XYZ ，得
1 ∂2 X 1 ∂ 2 Y 1 ∂ 2Z + + =0 X ∂x 2 Y ∂y 2 Z ∂y 2
每一项只能是常数。即
（6-2-5）
观察方程（6-2-5） ：第一项只跟 x 有关，第二项只跟 y 有关，第三项只跟 z 有关。因此
例题：计算均匀介质区域中电位分布。基本方程：∇ 2 u = 0 ，边界条件：u
y = 0, y = b
=0，
u
x =0
= U1 sin
Nπ y ， u b
x =a
= U 2 sin
Mπ y b
y = 0, y = b
解：根据方程，解 u ( x, y ) 可以包括（6-2-21）中的所有项。根据边界条件 u 可以确定解中不含 ( A sin kx + B cos kx )(Ce ky + De − ky ) 和 ( S + Tx)(U + Vy ) 。
分离变量法求解拉普拉斯方程 贝塞尔函数
题目：深入探讨分离变量法求解拉普拉斯方程和贝塞尔函数的应用在物理和工程领域中，求解微分方程是一项至关重要的任务。
而分离变量法作为一种常见的求解微分方程的方法，在求解拉普拉斯方程和应用贝塞尔函数中发挥着重要作用。
本文将深入探讨分离变量法在求解拉普拉斯方程和应用贝塞尔函数时的原理和应用，以及相关的物理和工程实际问题。
1. 分离变量法的基本原理我们需要了解分离变量法的基本原理。
对于一个多变量的微分方程，如果可以将变量分离，化为单变量的微分方程，那么就可以通过逐步求解单变量微分方程来求解原方程。
这种方法在求解偏微分方程中特别有用，因为它可以将原方程转化为一系列容易求解的常微分方程。
2. 分离变量法在求解拉普拉斯方程中的应用拉普拉斯方程是一种重要的二阶偏微分方程，它在电场、热传导和流体流动等问题中都有广泛的应用。
分离变量法正是一种常用的方法来解决拉普拉斯方程。
通过将方程中的变量分离，得到一系列常微分方程，并求解这些常微分方程，最终可以得到原拉普拉斯方程的解。
3. 贝塞尔函数在分离变量法中的应用在分离变量法中，贝塞尔函数是一种非常常见且重要的特殊函数。
它广泛地出现在圆形和圆柱形边界条件下的分离变量法中。
贝塞尔函数具有良好的性质，对于某些特定的问题有着特别方便的应用。
通过适当地选择边界条件和使用贝塞尔函数的性质，可以简化原方程的求解过程，从而得到更加简洁和优美的解析解。
4. 分离变量法的物理和工程应用我们将讨论分离变量法在物理和工程领域中的具体应用。
以电场分布、热传导问题和匹兹堡问题为例，我们将说明分离变量法是如何应用于这些实际问题中的。
通过分离变量法的应用，我们不仅可以求解这些问题中的微分方程，还可以得到这些问题的具体物理量和工程参数的解析表达式，为实际问题的分析和计算提供了重要的便利。
总结回顾通过本文的讨论，我们深入探讨了分离变量法在求解拉普拉斯方程和应用贝塞尔函数中的原理和应用。
我们分析了分离变量法的基本原理，探讨了其在求解拉普拉斯方程和应用贝塞尔函数时的具体方法，并讨论了其在物理和工程领域中的重要应用。
拉普拉斯方程的解
拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，它在物理、工程和数学领域中具有广泛的应用。
它描述了一个无源无汇的平稳场，这意味着场在空间中没有任何源或汇。
拉普拉斯方程的解可以用于研究许多问题，如电势、温度、流体力学等。
拉普拉斯方程的一般形式如下：= 0，其中是拉普拉斯算符，是待求解的函数。
这个方程表示函数的二阶偏导数之和等于零。
在二维情况下，拉普拉斯算符为 = /x + /y。
在三维情况下，拉普拉斯算符为 = /x + /y + /z。
对于给定的边界条件，可以求解拉普拉斯方程的解。
求解拉普拉斯方程的方法有很多，其中一种常见的方法是使用分离变量法。
这种方法假设解可以表示为一系列单一变量的乘积，然后将这些分离变量带入方程进行求解。
在二维情况下，可以使用分离变量法将拉普拉斯方程转化为两个常微分方程。
例如，可以将解表示为两个单独变量的乘积：(x,y) =X(x)Y(y)，然后将其带入拉普拉斯方程进行求解。
通过适当选择边界条件，可以得到特定问题的解。
在三维情况下，使用分离变量法将拉普拉斯方程转化为三个常微分方程。
例如，可以将解表示为三个单独变量的乘积：(x,y,z) =X(x)Y(y)Z(z)，然后将其带入拉普拉斯方程进行求解。
同样地，通过适当选择边界条件，可以得到特定问题的解。
拉普拉斯方程的解具有一些重要的性质。
首先，拉普拉斯方程的解是唯一的，这意味着给定边界条件下只有一个解。
其次，拉普拉斯方程的解通常具有良好的光滑性，即在解的定义域内具有连续的偏导数。
这个特性使得拉普拉斯方程的解在物理和工程领域中更加有用。
总之，拉普拉斯方程是一个重要的偏微分方程，它在许多领域中都有广泛的应用。
求解拉普拉斯方程的方法有很多，其中一种常见的方法是使用分离变量法。
拉普拉斯方程的解具有唯一性和光滑性等重要性质。
三维拉普拉斯方程的泛定方程
三维拉普拉斯方程的泛定方程一、引言拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，它描述了物理问题中的稳态情况。
在三维空间中，拉普拉斯方程的泛定方程可以用来解决一类三维问题，其重要性不言而喻。
本文将详细介绍三维拉普拉斯方程的泛定方程的定义、性质以及求解方法。
二、三维拉普拉斯方程的泛定方程的定义三维拉普拉斯方程的泛定方程可以用如下形式表示：△V = ∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² + ∂²V/∂z² = 0其中，V是待求函数，△表示拉普拉斯算子，∂²/∂x²、∂²/∂y²、∂²/∂z²分别表示对x、y、z的二阶偏导数。
三、三维拉普拉斯方程的性质1.稳态解：三维拉普拉斯方程的泛定方程描述的是稳态情况下的问题。
稳态解是指在任何时间点上，系统的状态不随时间变化而变化。
2.线性方程：三维拉普拉斯方程是一个线性方程，满足叠加原理。
即如果V1和V2是三维拉普拉斯方程的解，那么V = V1 + V2也是三维拉普拉斯方程的解。
3.唯一解：在一定的边界条件下，三维拉普拉斯方程的泛定方程存在唯一解。
4.平均值性质：对于任何实数解V，它在任意球形区域内的平均值等于球心处的值。
这个性质在许多物理和数学问题中都起到了重要作用。
四、求解三维拉普拉斯方程的泛定方程求解三维拉普拉斯方程的泛定方程可以采用多种方法，其中常用的方法有以下几种：1. 分离变量法将待求函数表示为关于x、y、z的乘积形式，然后将其代入方程，进行计算和求解。
2. 格林函数法通过引入格林函数，将三维拉普拉斯方程转化为积分方程，然后通过求解积分方程得到解析解。
3. 有限差分法将求解区域离散化，将二阶偏导数用中心差分近似表示，然后通过迭代求解离散形式的方程组，最终得到数值解。
4. 有限元法将求解区域进行网格划分，通过适当的插值函数以及高斯积分等数值方法，将原方程转化为一个关于有限个自由度的方程组，然后通过求解方程组得到数值解。
分离变量三-Laplace方程
n Yn ( y ) , n 1, 2,... b
第三章分离变量法三
6
求解方程 X ''( x ) n X ( x ) 0 n n 得 X n ( x ) Cn ch x Dn sh x, n 1, 2, ...
b b n n n y 一般解为 u ( x, y ) (Cn ch x Dn sh x )sin b b b n 1 由边界条件 u (0, y ) f ( y ), u (a , y ) g ( y ) n y f ( y) 得 u (0, y ) Cn sin b n 1
u u r u , x r x x
2 2 2 2
u u r u , y r y y
2 2
u u r u r u u 2 r u 2 2 2 2 , 2 2 2 x r x r x x x r x x
第三章分离变量法三
4
上述用分离变量法求解Laplace方程边值问题的过程 中，仍然是从方程及一组对边上给定的齐次边值条 件导出固有值问题，在解出全部固有值和固有函数 后，不难得到问题的一般解。而一般解中的系数将 由矩形另一组对边上给定的定解条件确定。由此可 知，在矩形区域一组对边上给定的齐次边界条件是 用分离变量法直接求解的重要前提。
解 令 u ( x, y ) X ( x )Y ( y ) 带入方程得 X Y XY 0, 分离变量得
X ( x ) Y ( y ) X ( x) Y ( y)
左端是x的函数(与y无关)，右端是y的函数(与x无关) 因此是常数，记为
第三章分离变量法三
柱坐标拉普拉斯方程分离变量
柱坐标拉普拉斯方程分离变量拉普拉斯方程是数学物理中一种常见的偏微分方程，描述了二维和三维空间中的静态场的行为。
柱坐标是一种常见的坐标系，在处理与圆柱形物体相关的问题时非常有用。
本文将介绍柱坐标系下的拉普拉斯方程，以及如何利用分离变量的方法解决这个方程。
柱坐标系简介柱坐标系是一种三维坐标系，由径向r、极角$\\theta$和高度z三个坐标表示。
在柱坐标系中，点的位置可以用$(r, \\theta, z)$表示，其中$r\\geq0$，$0\\leq\\theta<2\\pi$，$-\\infty<z<+\\infty$。
通过极坐标系的转换，我们可以将直角坐标系中的点的坐标转换为柱坐标系中的坐标。
柱坐标系下的拉普拉斯方程在柱坐标系下，拉普拉斯方程可以写作：$$\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}\\left(r\\frac{\\partial\\Phi}{\\partial r}\\right) + \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 \\Phi}{\\partial\\theta^2} + \\frac{\\partial^2 \\Phi}{\\partial z^2} = 0$$其中$\\Phi(r, \\theta, z)$是待求解的场量。
分离变量方法为了解决柱坐标系下的拉普拉斯方程，我们引入一个假设：$\\Phi(r, \\theta, z) = R(r)\\Theta(\\theta)Z(z)$。
将这个假设代入到拉普拉斯方程中，我们可以将方程分解为三个独立的普通微分方程。
首先考虑径向方程$\\frac{1}{r}\\frac{d}{dr}\\left(r\\frac{dR}{dr}\\right) +\\left(\\lambda - \\frac{m^2}{r^2}\\right)R = 0$，其中$\\lambda$和m是待定常数。
三维拉普拉斯方程的求解
三维拉普拉斯方程的求解三维拉普拉斯方程，也被称为三维热传导方程或三维扩散方程，是数学中的一个重要方程，被广泛应用于物理、化学、工程和生物等领域。
下面将介绍三维拉普拉斯方程的求解过程，希望能对您有所帮助。
一、三维拉普拉斯方程的定义三维拉普拉斯方程是指一个三维空间中的标量函数u(x,y,z)满足以下方程：∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，表示函数在三个方向上的二阶导数之和。
二、三维拉普拉斯方程的求解方法三维拉普拉斯方程的求解方法主要有两种，分别是分离变量法和有限差分法。
1. 分离变量法对于满足特定边界条件的三维拉普拉斯方程，可以采用分离变量法进行求解。
具体步骤如下：（1）假设u(x,y,z)可以表示为三个单变量函数的乘积，即u(x,y,z) =X(x)Y(y)Z(z)。
（2）将上述假设代入三维拉普拉斯方程中得到：X''/X + Y''/Y + Z''/Z = 0（3）由于等式左边是一个关于x、y、z的函数和，而等式右边却是一个常数，因此只有当等式右边的常数为一定值时，等式左边才可能满足条件。
将等式右边的常数定义为-k²，于是原方程变为：X''/X + Y''/Y + Z''/Z = -k²（4）对上述三个单变量函数分别使用互不干扰的求解方法。
对于每一个单变量函数，得到其通解后将其相乘，最终得到三维拉普拉斯方程的通解。
2. 有限差分法有限差分法是将求解区域离散为许多小区域，通过有限差分的数值方法计算每个小区域内的函数值，并逐步逼近真实解。
具体步骤如下：（1）将求解区域分割为若干个小区域，并在网格节点上确定解的近似值。
（2）将三维拉普拉斯方程化为差分方程，并通过有限差分公式计算网格节点上的解的近似值。
拉普拉斯方程的完整求解
拉普拉斯方程的完整求解△u=0其中△是拉普拉斯算子，表示空间坐标的二阶导数之和。
如果对二维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²如果对三维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²接下来我们将分别介绍二维和三维情况下的拉普拉斯方程的求解方法。
一、二维情况下的拉普拉斯方程求解。
在二维空间中，拉普拉斯方程的解可以用解析函数来表示。
由于存在解析函数的特性，我们可以采用分离变量法求解。
假设解为u(x,y)=X(x)Y(y)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)=0由于等式两边的第一项仅依赖于x，第二项仅依赖于y，所以它们必须都等于一个常数，记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=k²对于上面的两个常微分方程，我们可以分别求解。
对第一个方程，可得到：X(x) = Ae^(kx) + Be^(-kx)对第二个方程，可得到：Y(y) = Ccos(ky) + Dsin(ky)将X(x)和Y(y)代回原方程，得到解为：u(x,y) = (Ae^(kx) + Be^(-kx))(Ccos(ky) + Dsin(ky))其中A、B、C、D都是常数，通过边界条件可以确定它们的值。
二、三维情况下的拉普拉斯方程求解。
在三维空间中，拉普拉斯方程的求解方式可以类似于二维情况，通过分离变量法得到解析函数。
假设解为u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)Z(z)+X(x)Y''(y)Z(z)+X(x)Y(y)Z''(z)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)Z(z)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0同样地，等式两边的第一、第二、第三项都只依赖于x、y、z，所以它们必须都等于一个常数，分别记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=-k²Z''(z)/Z(z)=k²对于上述的三个常微分方程，我们可以分别求解。
2-3 拉普拉斯方程 分离变量法
Z ( z ) E sin kz F cos kz
（2）若
( x, y ) k , k
2
2
0
d2X X 0 X ( x) Aekx Be kx 2 dx Y ( y ) C sin ky D cos ky 2 d Y Y 0 2 dy 注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边 k 界条件， 1 , k 2 , k 将与某些正整数有关，它们可取1， 2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。
3 1 p R 0 E0 R0 cos 3 2 40 R 2 0 R
例3 半径为R0的导体球置于均匀 外电场E0中，求电势和导体上的电 荷面密度。
解： 用导体表面边界条件，照上例方法可
解出导体球外电势
E0 R E0 Rcos cos 2 R
E0 r cos E0 z
（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。
（2）内部边值关系：介质分界面上
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
例1 一个内径和外径分别为R2和R3 的导体球壳，带电荷Q，同心地包围 一个半径为R1的导体球（R1 <R2） ，使这个导体球接地。求空间各点的 电势和这个导体球的感应电荷。
导体面上电荷面密度为
3 0
0 R
3 0 E0cos
R R0
例4 导体尖劈带电势V，分 析它的尖角附近的电场。
解：
用柱坐标系, 取z轴沿尖边, 柱坐标下的 拉氏方程为
1 1 0, 0 2 r 2 2 r r r r
第三节拉普拉斯方程，分离变量法
第三节 拉普拉斯方程，分离变量法教学目的：当所研究区域内没有电荷分布时，电标势的Poisson 方程将简化为Laplace 方程。
需要掌握通过分离变量法对Laplace 方程进行求解。
重难点：分离变量法求解Laplace 方程。
教学方法与手段：多媒体＋课堂板书讲授。
教学内容：本节研究的主要内容是研究Poisson 方程的求解方法。
如所周知，电场是带电导体所决定的。
自由电荷只能分布在导体的表面上。
因此，在没有电荷分布的区域V 内，Poisson 方程将转化为Laplace 方程，即0 22=∇→-=∇ϕερϕ(3.20)产生这个电场的电荷都是分布在区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来：给定边界电势值S ϕ；给定边界电势的法向微分分量n∂∂ϕ或导体总电量Q ds nS=∂∂-⎰⎰ϕε。
因此，讨论的问题归结为：a. 怎样求解Laplace 方程，b. 怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。
可以利用分离变量法求解的Laplace 方程必须满足下列条件：(1)方程是其次的；(2)边界应该是简单的几何面。
1 用分离变量法求Laplace 方程的通解(To Solve Laplace’s Equation Using Separating V ariables’ Method) (1) 在直角坐标系中02222222=∂∂+∂∂+∂∂=∇zy x ϕϕϕϕ (3.21)设)()()(),,(z Z y Y x X z y x =ϕ (3.22)在数学物理方法中，该方程的通解为)sin cos ()sin cos ()sin cos (),,(212121z k C z k C y k B y k B x k A x k A z y x z z y y x x +⋅+⋅+=ϕ (3.23) 或者写成)( ;),,(222y x z zik y ik x ik k k k eee z y x z y x+==±±±ϕ (3.24)(2) 在柱坐标系中01)(1222222=∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇zr r r r r ϕθϕϕϕ (3.25) 设)()()(),,(z Z r R z r θθϕΘ= (3.26)该方程的通解为[][][])sinh()cosh()sin()cos()()(),,(212121kz C kz C n B n B kr N A kr J A z r m m +⋅+⋅+=θθθϕ (3.27)其中，J m 为m 阶第一类Bessel 函数，N m 为m 阶第二类Bessel 函数。
2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
d2 f d 2g d 2h gh 2 fh 2 fg 2 0 dx dy dz
然后用fgh 除上式，得
f " g " h" 0 f g h
令
f" k x2 f
g" 2 k y g
h" k z2 h
知分离变数间有关系为
2 2 kx ky kz2 0
分离变数 kx 、k y 、 kz 与变量无关，且不可全为实数或虚数。
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 0 2 dy d h( z ) 2 k z h( y ) 0 2 dz
这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、 y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微 分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。
f ( x) a2e
或
x x
b2e
x x
f ( x) a3 sinh x x b3 cosh x x
e x ex sinh( x) 2
e x ex cosh(x ) 2
e e sin(x ) 2i
ix
ix
e ix e ix cos(x ) 2
2
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 的特征解有： 2 dx
当
kx 0 时，则Fra bibliotek2 xf ( x) a0 x b0
f ( x) a1 sin kx x b1 cos kx x
时， 则
当 k 0 时， 则 当
2 x
k 0, kx ix (x 0)
热传导方程求解-分离变量法
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
1、定解问题的初始条件也是齐次的
不必分为两部分，本身就是一个非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特征函数法、冲量法求解
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
2、方程中的自由项与t无关（x的函数或者常数）
可得到
(r2 u ) 0 r r
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
u
C1 r
C2
u 1 (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
求其圆对称解 u u(r) （解只与半径有关，与角度无关）可得到
求解得 u C1 ln r C2
求定解问题
utt a2uxx Asint , 0 x l
ux x0 ux xl 0 , t 0
u t0 ( x), ut t0 ( x) , 0 x l
vtt
a 2v xx vx
Asint ,
x0 vx xl
0 0
x
l
特征函数法
v t0 0, vt t0 0
– 第四，如果方程是非齐次的，要根据方程的特点选择适 当的方法（特征方程法、冲量法、特解法等）
非齐次方程求解
• 典型的非齐次方程定解问题
也可不分解成两部分，直接 用特征函数法
先分成两部分：齐次 方程非齐次初始条件， 非齐次方程齐次初始 条件，再分别求解。
非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特 征函数法、冲量法求解；
一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值， 特征函数系
三维拉普拉斯方程的求解
』 ＋ ＝０
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４
安 阳 师 范学 院学 报
第５ 期
入方 程 （ ） 整 理 ， 离 ， 其 中的 常数 为 ， 到 ２， 分 令 得 两个微 分方程 ：
＋ ＝ ０及 ｓ 历 ｓ ｄ ） ｉ ｄ（ｉ ｎ ｎ Ｏ
上 述解 ：１ 在 Ｚ 某个奇 数 Ｚ＝２ （） 是 ｎ＋１ ｎ是 （
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第５ 期
安 阳师 范 学 院 学报
３
三 维 拉 普 拉 斯 方 程 的 求 解
田彦 伟 ， 晓娜 崔
（ 阳师 范 学 院 数 学 科 学 学 院 ， 安 河南 安 阳 ４ ５０ ） ５００
［ 摘
要 ］ 文 对 三个 自变 量 情 况下 的拉 普 拉 斯 方 程 运 用分 离变 量 法 以及 级数 解 法 进 行 求 解 。对 于 其 中 的 系 数进 行 本
ｚ
箬 ÷ ＝
１ Ｒ 、 ｄ ｄ ｔ
：０ 求解 关 ，
ｄ Ｒ ｄ ， Ｒ 、 ｄ ｄ ｔ ｄ ，１ ｄＲ 、 ｄ ｔ ｄ 一 ｄ ｄ ｄ — ｄ ｒ ｔ、 ｒ ｒ ｔ、 ｒ ｄｒ ｄ
，
…
１ ｄ Ｒ ｒｄ
一
于 ／ ／ ， ， 的二 阶偏 微分方 程 问题 。 Ｌ＝ Ｌ Ｙ ） （
：０
（ ＊
二 常 分 程口 ＋ ｔ＋）＝ 阶微 方 ： 警一（ １ ０ Ⅱ ｔ Ｒ ￡
在常微分 方程 中 ， 进行 简单计算 ， 可得该 方程
的 通 解 ： （ ）： Ｃ ＋ Ｄ 川 Ｒ ｔ ｅ ｅ
采 用分离变 量法求 解 ， （ 令 ＊）式方 程 有分 离
变量 的形式解 ／ ｒ ０ ）＝ Ｒ（ ） （ ， ） Ｌ ，， （ ｒ Ｙ ０ 即是设方 程具有将 表示方位 和表示 度量 的分
拉普拉斯方程及其解法
拉普拉斯方程及其解法拉普拉斯方程是一个经典的偏微分方程，它的形式为：∇²u=0其中，u表示待求的函数，∇²表示Laplace算子，表示二阶偏导数的和。
拉普拉斯方程在各个领域中都有着重要的应用，如电场、热传导、流体力学等。
在数学上，对于二维或三维函数的拉普拉斯方程，其解法有许多种，其中最常用的为分离变量法与格林函数法。
一、分离变量法分离变量法在解决二维及三维拉普拉斯方程中具有广泛的适用性，它的基本思想是将多维问题化为一系列单变量问题的组合。
假设拉普拉斯方程的解可以表示为三维函数的乘积形式：u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)则将这个表达式代入拉普拉斯方程中，可以得到以下三个方程：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0由于每个方程都与坐标变量无关，因此可以将它们分别表示为常微分方程的形式：X''(x)/X(x)=λ1，Y''(y)/Y(y)=λ2，Z''(z)/Z(z)=λ3上述三个方程中的参数λ1、λ2、λ3为方程的本征值，它们的取值将直接影响到解的形式。
当λ1、λ2、λ3为常数时，可以将三个方程的通解写成以下形式：X(x)=Acos(α1x)+Bsin(α1x)，Y(y)=Ccos(α2y)+Dsin(α2y)，Z(z)=Ecos(α3z)+Fsin(α3z)其中，A、B、C、D、E、F为任意常数，α1、α2、α3为根据本征值计算出来的常数。
将上述三个方程的通解带入原式，经过简单分析、代数变换，可以得到二维或三维拉普拉斯方程的解。
二、格林函数法另一种常用的解法为格林函数法。
在一定条件下，基于格林函数的方法能够得到更加简单和结构精细的解，因此在应用中有着广泛的应用。
假设存在格林函数G(x,y)，它有以下特性：①G(x,y)满足拉普拉斯方程，即∇²G(x,y)=δ(x-x0,y-y0)。
拉普拉斯方程的解分离变量法
参考点主要根据电荷分布是有限还是无限
2． 分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解
- 14 -
王正斌 电动力学
第二章 静电场
3． 根据具体条件确定常数
（1）外边界条件： 电荷分布有限 ϕ ∞ = 0
边界条件和边值关系是相对的。
导体边界可视为外边界，ϕ 给定，或给定总电荷 Q，或给定σ S
2
Z
dz 2
+ γZ
=
0
α +β +γ =0
一般令 α = −k12
β
=
−
k
2 2
γ
= k12
+
k
2 2
= k2
X (x) = Aek1x + Be−k1x Y ( y) = Ce k2 y + De−k2y Z (z) = E sin kZ + F cos kZ
若考虑了某些边界条件（有限边界）
令 ϕ (r,θ ) = f (r)g(θ )
d
2 g(θ dθ 2
)
+ν
2
g(θ
)
=
0
1 r
d dr
(r
df dr
)
−
ν r
2 2
f (r) = 0
解： g(θ ) = a1 sinνθ + a2 cosιθ f (r) 有两个线性无关解 rν 和 r −ν 。
单值性要求 ϕ (0) = ϕ (2π ) ，ν 只能取整数，令ν = n （正整数）
∵ z
王正斌 电动力学
第二章 静电场
它们分别满足 ∇ 2ϕ1 = 0 ∇ 2ϕ 2 = 0 。 解为：
三维拉普拉斯方程的求解
k ) ak = 0, 从而得到 l 阶勒让德方程的解:
y( x ) = a0y0( x) + a1y1( x) , 其中 y0( x) 与
y 1 ( x ) 的表达式为:
y 0( x ) = 1+ ( - l ) ( l + 1) x 2/ 2! + ( 2- l ) ( l ) ( l + 1) ( l + 3) x 4/ 4! + ,+ ( 2k - 2- l ) ( 2k -
- 3 - l ) ,( 1 - l ) ( l + 2) ( l + 4) ,( l + 2k ) x 2 k+ 1 / ( 2k + 1) ! + ,,
上述解: ( 1) 在 l 是某个奇数 l = 2n + 1( n 是 零或 正整 数) a0 = 0 时 y 1 ( x ) 止 到 x 2n+ 1 , 从而
1 r2
5 5r
(
r2
5u 5r
)
+
r
2
1 sin
H
55H(
s
in
H55
uH)
+
1 52 u r2 s in2 H5 U2
=
0
(* )
采用分离变量法求解, 令( * ) 式方程有分离
变量的形式解 u( r , H, U) = R ( r) Y( H, U)
即是设方程具有将表示方位和表示度量的分
量进行分离, 其中 R( r ) 是关于 r 的待定 函数,
5
]m
6 6 u ( r , H, U) =
rl [ A l mcos mU
m= 0 l= m
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郝晨阳
（晋中学院信息技术与工程学院）
由于在解决静电场问题时常常会用到拉普拉斯方程，同时有很多物理问题也用到它，因此对它的求解非常重要。
直角坐标系中
直角坐标系中拉普拉斯方程:
变量分离：
设
拉普拉斯方程变为：
上式成立的唯一条件是三项中每一项都为常数，故可分解为下列三个二阶常微分方程:
在 的邻域上求解上述方程，采用常点邻域上级数法求解。
令该方程在 的邻域上的级数解为:
将其代入到方程式中，得到 的递推关系: 从而得到 阶勒让德方程的解: 其中 为:
上述中在 是某个奇数 时 止到 ，从而 退化为多项式，在 是某个偶数 时 止到 ，从而 退化为多项式。
由于单值性要求 ， 只能取整数， 。
所以
【参考文献】
[1]梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社.
[2]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社.
[3]华南理工大数学系.线性代数与解析几何.高等教育出版社.
带入方程得到一个简单的二阶常微分方程:
解这个常微分方程得到其通解为： ，
进而得到方程(1)的通解为：
1.求解方程(2)
继续进行变量分离: ,将形式解 带入方程(2)整理，分离并令其中常数为 得到:
及
对该式中关于 的方程，由 的几何意义，其有自然边界条件 ，所以求解 的方程:
求解该方程得到: 。
将 代入 式中的第二个式子，得到关于 的微分方程，作变量代换 得到 阶连带勒让德方程: ，其 的特例叫勒让德方程。
对以上两种退化多项式的可能性，取适当 使每种情况下的最高次幂 的系数为:
从而得到 阶勒让德方程的特解 阶勒让德多项式:
下面对 阶连带勒让德方程考虑:
为方便求解先作函数变换:
阶连带勒让德方程化为 的微分方程:
把勒让德方程 求 次导整理得到:
从而看出，勒让德方程的 的 次导数是上述方程的解，从而可得出连带勒让德方程的解:
故拉普拉斯方程的一般解为:
根据 和 的不同而不同，但它们都是拉普拉斯方程的解，则它们的线性叠加也是。
所以拉普拉斯方程在球坐标系中的通解为:
式中:
其中
柱坐标系中
柱坐标系中拉普拉斯方程为:
由于柱坐标系中较为难解，故只讨论 为常数的情况，即 。
分离变量:
令 ，则得到下列常微分方程:
解上述方程得:
有两个线性无关的解 。
其中 且 、 和 为常数，但不能全为实数或全为虚数。
以常微分方程 为例，其解的形式为:
若 为零，则
若 为实数，则
若 为虚数， ，则 或
同理可解出 和
因此拉普拉斯方程在直角坐标系中的解为：
球坐标系中
球坐标系中拉普拉斯方程:
令方程具有分离变量的解：
则得到两个微分方程： (1)
(2)
1.求解方程(1)
进行变量代换，令 ，则