高中数学必修第二册 第四章 2.4积化和差与和差化积公式-教案-北师大版(2019)

积化和差与和差化积公式【教学目标】

1．能根据公式Sα

±β和Cα

±β

进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．

2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

【教学重难点】

三角函数的积化和差与和差化积公式

【教学过程】

一、问题导入

两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？二、合作探究

1．积化和差问题

【例1】（1）求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.

（2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.

[思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．

[解]（1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°

＝1

2

(sin 90°－sin 50°)－

1

2

(cos 60°－cos 40°)

＝1

4

－

1

2

sin 50°＋

1

2

cos 40°

＝1

4

－

1

2

sin 50°＋

1

2

sin 50°＝

1

4

.

（2）原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°

＝

3

2

cos 10°cos 50°cos 70°

＝

3

2⎣

⎢

⎡

⎦

⎥

⎤1

2

(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°

＝

3

8

cos 70°＋

3

4

cos 40°cos 70°

＝38cos 70°＋38

(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316

. 【教师小结】积化和差公式的功能与关键

(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).

②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.

(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.

2．和差化积问题

【例2】已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13

，求sin(α＋β)的值． [思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．

[解] ∵cos α－cos β＝12

， ∴－2sin α＋β

2sin α－β2＝1

2. ①

又∵sin α－sin β＝－13

， ∴2cos

α＋β2sin α－β2＝－13. ② ∵sin α－β2≠0，

∴由①②，得－tan α＋β

2＝－32，即tan α＋β2＝32

. ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2

α＋β2

＝2tan α＋β

21＋tan 2α＋β2＝2×

3

21＋94＝1213.

1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值．

[解]因为cos α－cos β＝1 2，

所以－2sin α＋β

2

sin

α－β

2

＝

1

2

.

①

又因为sin α－sin β＝－1 3，

所以2cos α＋β

2

sin

α－β

2

＝－

1

3

.

②

因为sin α－β

2

≠0，

所以由①②，得－tan α＋β

2

＝－

3

2

，即tan

α＋β

2

＝

3

2

.

所以cos (α＋β)＝cos2

α＋β

2

－sin2

α＋β

2 sin2

α＋β

2

＋cos2

α＋β

2

＝1－tan2

α＋β

2

1＋tan2

α＋β

2

＝

1－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫3

2

2

1＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫3

2

2

＝－

5

13

.

2．(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝1

2

，sin α－sin β＝－

1

3

”变为“cos α

＋cos β＝1

2

，sin α＋sin β＝－

1

3

”，结果如何？

[解]因为cos α＋cos β＝1 2，

所以2cos α＋β

2

cos

α－β

2

＝

1

2

. ①

又因为sin α＋sin β＝－1 3，

所以2sin α＋β

2

cos

α－β

2

＝－

1

3

.