高中数学向量专题复习

向量专题复习一、与三角形“四心”相关的向量问题

题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭

uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuu r ,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心解：由已知得||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，||

AB AB 是AB 方向上的单位向量，||AC AC 是AC 方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P 在∠BAC 的角平分线上，故点P 的轨迹过△ABC 的内心，选B.练习：在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(–3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC = ，则OC =_________________.

略解：点C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使

()||||

OA OB OC OA OB λ=+ =34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-,而||2OC = ，可得3λ=，∴10310(,)55OC =- .题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++ ,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的()

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心解：由已知得()AP AB AC λ=+ ，设BC 的中点为D ，则根据平行四边形法则知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，故P 的轨迹过△ABC 的重心，选C.

题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C

λ=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()

A.重心

B.垂心

C.外心

D.内心

解：由已知得()||sin ||sin AB AC AP AB B AC C λ=+ ，

由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C = ，∴()||sin AP AB AC AB B

λ=+ ，设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A.

题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点

P 满足(||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C

λ=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(

)

A.重心

B.垂心

C.外心

D.内心解：由已知得()||cos ||cos AB AC AP AB B AC C

λ=+ ，∴()||cos ||cos AB BC AC BC AP BC AB B AC C

λ⋅⋅⋅=+ =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC C AB B AC C πλ⋅-⋅+ =(||||)BC BC λ-+ =0，∴AP BC ⊥ ，即AP ⊥BC ，所以动点P 的轨迹通过△ABC 的垂心，选B.题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C

λ+=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(

)

A.重心

B.垂心

C.外心

D.内心解：设BC 的中点为D ，则2

OB OC OD += ，则由已知得()||cos ||cos AB AC DP AB B AC C

λ=+ ，∴()||cos ||cos AB BC AC BC DP BC AB B AC C

λ⋅⋅⋅=+⋅ =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC C AB B AC C

πλ⋅-⋅+ =(||||)BC BC λ-+ =0.∴DP ⊥BC ，P 点在BC 的垂直平分线上，故动点P 的轨迹通过△ABC 的外心.

选C.题6：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+ =(||BA OB BA ⋅ +||

CB CB )=()||||BC CA OC BC CA ⋅+ =0，则O 点是△ABC 的()

A.垂心

B.重心

C.内心

D.外心解：||||

AB CA AB CA + 表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量，由()||||

AB CA OA AB CA ⋅+ =0知OA 垂直∠A 的外角平分线，因而OA 是∠A 的平分线，同理，OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线，故选C.

题7：已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足1[(1)(1)(12)]3

OP OA OB OC λλλ=-+-++ (,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定通过△ABC 的(

)

A.内心

B.垂心

C.重心

D.AB 边的中点

解：CP OP OC =- =1[(1)(1)2(1)]3

OA OB OC λλλ-+--- =1[()()]3

OA OC OB OC λ--+- =1()3CA CB λ-+ ,由平行四边形法则知CA CB + 必过AB 边的中点，注意到0λ≠，所以P 的轨

迹在AB 边的中线上，但不与重心重合，故选D.

题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++ =0,则O 点是△

ABC 的()

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心解：若OA OB OC ++ =0,则OA OB OC +=- ，以OA 、OB 为邻边作平行四

边形OAC 1B ，设OC 1与AB 交于点D ，则D 为AB 的中点，有1OA OB OC += ，得

1OC OC =- ，即C 、O 、D 、C 1四点共线，同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线，所以O 是△ABC 的重心.选C.