利用单调性解不等式
高中数学破题致胜微方法(函数的奇偶性全析)：十五、利用函数的奇偶性和单调性解不等式 (1)
1利用函数的奇偶性和单调性解不等式函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，同时它也能应用到解决实际问题中去，今天我们就来看用这两种性质解不等式.要注意，当我们遇到的不等式中，没有给出函数解析式，或者解析式很复杂时，就可以考虑借助函数的性质来辅助解题.先看例题：例：已知定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,)+∞单调递增，且f (1)=0，则不等式(2)0f x -≥的解集是______.所以不等式的解集为：{|31}x x x ≥≤或练：已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，若()(21)f x f x >-，则实数x 的取值范围是( ) 首先通过观察函数含有绝对值和平方，应该是一个偶函数，所以f (x )在[0,)+∞单调递增；由偶函数的性质将原不等式转化为：(||)(|21|)f x f x >- 等价于解不等式|||21|x x >- 两边平方得：22441x x x >-+ 整理得：23410x x -+< (31)(1)0x x --<所以x 的取值范围是1(,1)3练：已知函数f (x )是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，f (-3)=0，则()0xf x <的解集是( ) 解：同上面的题目，函数是抽象函数，且为奇函数由已知f (-3)=0，则原不等式等价于0()0(3)x f x f <⎧⎨>=-⎩或 0()0(3)x f x f >⎧⎨<=-⎩2再根据函数的单调性，30x -<< 03x <<所以解集为(3,0)(0,3)-练习：1.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足|1|(2)(a f f ->,则a 的取值范围是________.2.已知f (x )是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,f (x )=x 2－4x ,那么,不等式f (x +2)<5的解集是________.。
利用函数单调性求不等式问题的三种技巧
Җ㊀安徽㊀孙光元㊀㊀函数的单调性会在很多题型中出现或应用,如求解函数最值㊁解函数不等式㊁求函数中参数的范围等．因此,利用函数的单调性就成为解题的关键,我们要学会巧妙利用题干中的条件把原问题进行等价转换,利用函数单调性顺利求解问题．１㊀直接法采用直接法构造函数要求考生掌握函数㊁不等式和方程之间的关系,熟悉不等式和方程所对应的函数的单调性,从而熟练构造函数,利用单调性顺利完成问题求解．直接法是构造函数最常用的一种方法,在解题时要学会灵活运用．例１㊀已知１x ＋１＋１x ＋２＋ ＋１２x ȡ１１２l o g a (a －１)＋２３对于大于１的正整数x 恒成立,试确定a 的取值范围．构造函数f (x )＝１x ＋１＋１x ＋２＋ ＋１２x,因为f (x ＋１)－f (x )＝１２x ＋１＋１２x ＋２－１x ＋１＝１２x ＋１－１２x ＋２＞０,所以函数f (x )是增函数．又因为x 是大于１的正整数,所以f (x )ȡf (２)＝７１２．若要使目标不等式成立,那么１１２lo g a (a －１)＋２３ɤ７１２,即l o g a (a －１)ɤ－１,解得１＜a ɤ１＋５２．２㊀作差或作商法作差㊁作商法简单来说就是在解题过程中,可直接利用作差f (x １)－f (x ２)或作商f (x １)f (x ２)(f (x ２)＞０)来构造函数,这是比较直观和简单的一个方法．例２㊀已知x ＞－１,且x ʂ０,n ɪN ∗,当n ȡ２时,求证:(１＋x )n＞１＋n x ．令f (n )＝１＋n x(１＋x )n,因为x ＞－１,且x ʂ０,所以f (n ＋１)－f (n )＝１＋(n ＋１)x (１＋x )n ＋１－１＋n x (１＋x )n ＝－n x ２(１＋x )n ＋１＜０,故f (n )在N ∗上是减函数,则f (２)＜f (１)＝１＋x１＋x＝１,所以当n ȡ２时,f (n )＜１,即(１＋x )n＞１＋n x ．３㊀分离参数法题目中含有参数的情况比较复杂,会使解题的过程变得有些困难,而这个时候就需要把参数单独分离在等号或者不等号的一边,让另外一边的函数关系变得清晰明了,从而利用函数单调性进行求解．例３㊀已知x ＞０时,１＋l n (x ＋１)x ＞k x ＋１恒成立,求正整数k 的最大值．当x ＞０时,１＋l n (x ＋１)x ＞k x ＋１恒成立,即[１＋l n (x ＋１)](x ＋１)x＞k 恒成立．设f (x )＝[１＋l n (x ＋１)](x ＋１)x(x ＞０),则要使f m i n (x )＞k ,易知fᶄ(x )＝x －１－l n (x ＋１)x ２．设g (x )＝x －１－l n (x ＋１)(x ＞０),所以gᶄ(x )＝xx ＋１＞０,所以g (x )在区间(０,＋ɕ)上单调递增,且g (２)＝１－l n３＜０,g (３)＝２－２l n２＞０．所以存在唯一实数a ,使得g (x )＝０,且a ɪ(２,３)．当x ＞a 时,g (x )＞０,f ᶄ(x )＞０,函数f (x )单调递增;当０＜x ＜a 时,g (x )＜０,fᶄ(x )＜０,函数f (x )单调递减．所以f mi n (x )＝f (a )＝(a ＋１)[１＋l n (a ＋１)]a ＝a ＋１ɪ(３,４)．综上,正整数k 的最大值为３．直接法㊁作差或作商法㊁分离参数法等都是构造函数最常用的几种技巧和方法,除此之外,还有很多其他方法,如换元法㊁辅助法等,在解题的过程中要善于举一反三㊁灵活运用．(作者单位:安徽省肥东第一中学)５１。
利用单调性解不等式、比较大小的方法(解析版)
利用单调性解不等式、比较大小的方法利用单调性解不等式或比较大小，常需要构造函数，构造的函数一般与已知的不等式（推出构造函数的单调性）和所要解的不等式有关。
要构造函数的常见形式有三种。
⑴加乘型：题目常见形式 ⇒ 原函数 ⇒ 导函数 ()()'f x f x + ()x e f x ()()()''x x e f x e f x f x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦()()'f x xfx + ()xf x ()()()''xf x f x xf x =+⎡⎤⎣⎦()()'nf x xfx + ()n x f x ()()()'1'n n x f x x nf x xf x -⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⑵减除型：题目常见形式 ⇒ 原函数 ⇒ 导函数()()'f x f x - ()x f x e ()()()''x xf x f x f x e e -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()()'xf x f x - ()f x x ()()()''2f x xf x f x x x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()()'xf x nf x - ()n f x x ()()()''1n n f x xf x nf x x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⑶带常数型：题目常见⇒ 原函数 ⇒ 导函数()()'f x f x k +± ()x x e f x ke ± ()()()''x xx e f x ke e f x f x k ⎡⎤⎡⎤±=+±⎣⎦⎣⎦()()'f x f x k -± ()x f x k e ()()()''x xf x k f x f x k e e -±⎡⎤=⎢⎥⎣⎦一、利用单调性解不等式例1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x xe f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(0)(0)-∞+∞，，B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，分析：首先根据已知不等式()()1f x f x '+>和所要解不等式()3x xe f x e ⋅>+构造函数。
函数型不等式的解法
函数型不等式的解法在数学学习中“等”与“不等”是建立各种量之间关系的桥梁，在函数中，常常利用函数的性质（单调性）来解不等式。
下面举例从三个角度进行简单的分析。
一．直接法例1.[2014年I15]设函数f(x)=;则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是______.解析：由 或 解得 。
所以使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是 .你能否作出f(x)的图象，观察图象得出f(x)≤2的解集了？ 由图象可知f(x)是R 上的增函数，有f(8)=2, 所以使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是点评：在解不等式的过程中，应用到了基本初等函数y= 与的单调性,说明解决函数类不等式问题一般都需要研究函数的单调性。
二．图像与性质法例2．(1)(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞(2)[2015年Ⅱ12]设函数f(x)=ln(1+|x|)-，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )A ．() B ．(-∞)∪(1,+∞) C ．() D ．(-∞)∪(,+∞)解析：（1）由基本初等图象与性质可知f(x)在（ ]上递减，在（0， ）恒为1.所以f(x+1)<f(2x)等价于,解得x<0（2）因为f(-x)=ln(1+|x|)- =f(x),所以f(x)是偶函数，又y=ln(1+|x|)与y=-都在[0，+∞)上递增。
所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|>|2x-1|,解得 .所以x 的取值范围是() 点评：借助函数图象与性质(单调性)，利用单调性的定义，去掉对应关系f 来解不等式，在解题过程中作出图象更直观，有助于辅助分析。
三．图象法例3.[2012年Ⅰ11]当0<x ≤12时， <log a x ，则a 的取值范围是___ 分析：a>1时， >log a x 恒成立，不符合题意，所以0<a<1; 当x=时，<log a解析：经分析0<a<1,结合函数图象有,解得点评：画画图象有助于解题哟！！！ 四．分类讨论例4．（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x的取值范围是____．分析：由于这里1()()12f x f x +->有常数1的存在，利用单调性去f 不是很合适，所以根据分段函数的处理方式讨论：根据x ，与0的大小关系进行讨论，也就是x 与0、的大小关系讨论。
利用函数的单调性解方程或解(证)不等式
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利用函数的单调性解方程或解（证）不等式作者：吴厚荣
来源：《中国新技术新产品》2009年第15期
摘要: 函数的单调性是中学数学教材中介绍函数的一种重要性质,函数的单调性在解决方程,不等式问题时扮演着重要角色。
关键词: 单调性;解方程;解(证)不等式
我们知道函数,方程,不等式三者之间是互相联系的,函数的单调性是中学数学教材中介绍函数的一种重要性质,函数的单调性在解决方程,不等式问题时扮演着重要角色,本文介绍利用函数的单调性解方程或解(证)不等式。
如何解函数不等式
解函数不等式是高中数学中的重点内容，主要涉及到对函数性质的深入理解和运用。
一般来说，解函数不等式的方法包括以下几种：1. 利用函数的单调性解不等式：当函数在其定义域上单调增加或单调减少时，可以利用这一性质来判断函数值与零点的大小关系，从而解决不等式问题。
例如，如果函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，那么对于任意x1, x2 ∈[a, b]，如果x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
2. 利用函数的奇偶性解不等式：如果函数是奇函数，那么对于所有x，有f(-x) = -f(x)；如果函数是偶函数，那么对于所有x，有f(-x) = f(x)。
这种性质可以帮助我们在解不等式时，通过考虑函数在特定点的值来简化问题。
3. 利用函数图象解不等式：通过绘制函数的图象，可以直观地看出函数在各个区间内的取值情况，从而判断不等式的解集。
这种方法通常适用于一次函数、二次函数等简单函数。
4. 导数法：在已知函数f(x)的基础上，构造新函数g(x) = f'(x)，通过研究g(x)的单调性来判断f(x)的取值范围。
例如，如果f(x)在点x0处取得极值，那么可以通过研究f'(x)在x0附近的符号变化来确定f(x)的增减性。
5. 转化法：当原不等式不易直接求解时，可以通过转化，例如构造辅助函数、变量替换等方式，将原不等式转化为易于求解的形式。
以一个具体的例子来说明如何解函数不等式：假设我们需要解不等式f(x) > 0，其中f(x) = x^2 - 3x + 2。
步骤如下：-分析函数性质：f(x)是一个二次函数，开口向上，其顶点为(1.5, -0.25)。
-找出关键点：通过求导数f'(x) = 2x - 3，并找出其零点，我们可以得到关键点x=1.5。
-绘制函数图象：在坐标轴上绘制f(x)的图象，并找出其与x轴的交点（即解集）。
-分析图象：从图象上可以看出，f(x)在x < 1.5和x > 1.5的区间内是大于零的。
专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题(解析版)
专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题1．设函数2()(1||)f x ln x x =++，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 【解析】解：函数2()(1||)f x ln x x =++，那么22()(1||)()(1||)()f x ln x x ln x x f x -=+-+-=++= 可知()f x 是偶函数， 当0x >，()f x 是递增函数，()(21)f x f x ∴>-成立，等价于|||21|x x >-，解得：113x <<，故选：A ． 2．设函数21()||2019f x x x=-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．1(3，1)B ．(-∞，1)(13⋃，)+∞C ．1(3-，1)3D ．(-∞，11)(33-⋃，)+∞【解析】解：()f x 是R 上的偶函数，0x 时，21()2019f x x x =-+，()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，∴由()(21)f x f x >-得，(||)(|21|)f x f x >-，|||21|x x ∴>-，22441x x x ∴>-+，解得113x <<，x ∴的取值范围是1(,1)3．故选：A ．3．函数21||21()log (1)12x f x x =+--，则使得()(21)f x f x -成立的x 取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．111[,)(,1]322⋃C ．1[,1]3D ．1(,][1,)3-∞+∞【解析】解：()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减；∴由()(21)f x f x -得，(||)(|21|)f x f x -；|||21|x x ∴-，且0x ≠，210x -≠；22(21)x x ∴-，且0x ≠，12x ≠； 解得113x ，且12x ≠；x ∴的取值范围是：111[,)(,1]322⋃．故选：B ．4．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-【解析】由222()4224240x x x x f x x e e x e e x --'=-++-+=，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数，故2222(1)(2)0(1)(2)12210f a f a f a f a a a a a -+⇔--⇔--⇔+-， 解得112a-． 故选：D ．5．已知函数31()sin x xf x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-+∞D ．1(,][1,)2-∞-+∞【解析】解：由于3()sin x x f x x x e e -=-+-， 则3()sin ()x x f x x x e e f x --=-++-=-， 故函数()f x 为奇函数．故原不等式2(1)(2)0f a f a -+， 可转化为2(2)(1)(1)f a f a f a --=-， 即2(2)(1)f a f a -；又2()3cos x x f x x x e e -'=-++， 由于2x x e e -+，故2()3cos 1x x f x x x e e -'=-++恒成立， 故函数()f x 单调递增， 则由2(2)(1)f a f a -可得， 221a a -，即2210a a +-，解得112a-， 故选：B ．6．已知函数2020()2020log )20202x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为()A ．1(4-，)+∞B ．1(,)4-∞-C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【解析】解：设2020()()22020log )2020x x g x f x x -=-=+-，2020()2020log )2020()x x g x x g x -∴-=+-=-，即()g x 为奇函数且单调递增，由(31)()4f x f x ++>可得(31)()0g x g x ++>即(31)()()g x g x g x +>-=-， 所以31x x +>-，解得，14x >-．故选：A ．7．已知函数())2x x f x e e ln x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )A ．1(,)4-+∞B ．1(,)4-∞-C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【解析】解：根据题意，函数())2x x f x e e ln x -=-++，其定义域为R ；设()()2)x x g x f x e e ln x -=-=-+，有())[)]()x x x x g x e e ln x e e ln x g x ---=-+=--+=-，即函数()g x 为奇函数，又由函数x x y e e -=-和)y ln x =都是R 上的增函数，故()g x 为R 上的增函数；(31)()4(31)22()(31)2[()2](31)()(31)()f x f x f x f x f x f x g x g x g x g x ++>⇒+->-⇒+->--⇒+>-⇒+>-，则有31x x +>-，解可得14x >-；即x 的取值范围为1(4-，)+∞；故选：A ．8．已知函数2018()20182018log )2x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为()A ．1(,)4-+∞B ．1(,)4-∞-C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【解析】解：2018()20182018log )2x x f x x -=-++，令()()2g x f x =-，2018()20182018log )()x x g x x g x -∴-=-++=-，(31)()4f x f x ++>， (31)2()24g x g x ∴++++>， (31)()0g x g x ∴++>， (31)()()g x g x g x ∴+>-=-，2018()20182018log )x x g x x -=-+单调递增，31x x ∴+>-， 解可得，14x >-．故选：A ．9．偶函数()y f x =满足下列条件①0x 时，3()f x x =；②对任意[x t ∈，1]t +，不等式()8()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(-∞，3]4-B ．3[,0]4-C ．[2-，3]4D ．4[,1]3-【解析】解：根据条件得：(||)8(||)f x t f x +；33(||)8(||)x t x ∴+； 33(||)(2||)x t x ∴+；||2||x t x ∴+；22()4x t x ∴+；整理得，22320x tx t --在[t ，1]t +上恒成立； 设22()32g x x tx t =--，()0g t =；22(1)3(1)2(1)0g t t t t t ∴+=+-+-； 解得34t -； ∴实数t 的取值范围为(-∞，3]4-．故选：A ．10．已知函数()2020)20201x x f x ln x -=+-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为()A ．1(,)4-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,)4+∞D ．1(,)2+∞【解析】解：()()2020)202012020)20201x x x x f x f x ln x ln x --+-=+-+++-+))2ln x ln x =++)2ln x x =+22(1)2ln x x =+-+122ln =+=，则()()2f x f x -+=，则不等式(21)(2)2f x f x -+<，等价于(21)(2)(2)(2)f x f x f x f x -+<-+， 即(21)(2)f x f x -<-， ()f x 在R 上是增函数，212x x ∴-<-得41x <，得14x <， 即不等式的解集为1(,)4-∞．故选：A ．11．设函数2111()()21||x f x x +=++，则使得(21)(12)2()f x f x f x -+-<成立的x 的取值范围是( )A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 【解析】解：函数2111()()21||x f x x +=++，由解析式可知，()f x 为偶函数且在[0，)+∞上单调递减， 则(21)(12)2(21)f x f x f x -+-=-， (21)(12)2()f x f x f x ∴-+-< 2(21)2()f x f x ⇔-< (21)()f x f x ⇔-< (|21|)(||)f x f x ⇔-<⇔22221|21||||21|||(21)3x x x x x x x ->⇔->⇔->⇔<或1x >， 故选：B ．12．已知定义域为R 的函数()f x 在[2，)+∞上单调递增，若(2)f x +是奇函数，则满足(3)f x f ++ (21)0x -<的x 范围为( )A ．2(,)3-∞-B ．2(3-，)+∞C ．2(,)3-∞D ．2(3，)+∞【解析】解：(2)f x +是奇函数；()f x ∴关于点(2,0)对称；又()f x 在[2，)+∞上单调递增； ()f x ∴在R 上单调递增；∴由(3)(21)0f x f x ++-<得，(3)(21)f x f x +<--；(3)((23)2)f x f x ∴+<--+； (3)(25)f x f x ∴+<-+；325x x ∴+<-+；解得23x <； x ∴的范围为2(,)3-∞．故选：C ．13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =．若对任意的[x a ∈，2]a +，不等式()(2)f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．0aB ．2aC ．2aD ．0a【解析】解：（排除法）当0a =时，则[0x ∈，2]，由()(2)f x a f x +得()(2)f x f x ，即22220x x x ⇒在[0x ∈，2]时恒成立，显然不成立，排除A 、C 、D ，故选：B ．14．已知a 是方程4x lgx +=的根，b 是方程104x x +=的根，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()(4)f x x a b x =++-，若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2，)+∞C ．(0，2]D ．[1][2-，3]【解析】解：由程4x lgx +=得4lgx x =-， 由104x x +=得104x x =-，记()f x lgx =，则其反函数1()10x f x -=， 它们的图象关于直线y x=轴对称，根据题意，a ，b 为()f x ，1()f x -的图象与直线4y x =-交点A ，B 的横坐标， 由于两交A ，B 点关于直线y x =对称，所以，B 点的横坐标β就是A 点的纵坐标，即(,)A a b ， 将(,)A a b 代入直线4y x =-得，4a b +=， 则当0x 时，22()(4)f x x a b x x =++-=， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴若0x <，则0x ->，则2()()f x x f x -==-， 即2()f x x =-，0x <， 则22,0(),x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立， 即若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()(2)f x t f x +恒成立， 则2x tx +恒成立，则(21)t x -，则1)21xt =-，[x t ∈，2]t +， 2(21)t t ∴++，即22t 则22t=故选：A ．15．设函数|1|21()(1)x f x e x -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为( )A ．(1,0)-B ．(,1)-∞-C ．1(1,3⎫-⎪⎭D ．1(1,0)(0,3⎫-⎪⎭⋃【解析】解：根据题意，函数|1|21()(1)x f x e x -=--，设||21()x g x e x =-，其定义域为{|1}x x ≠， 又由||21()()x g x e g x x -=-=，即函数()g x 为偶函数， 当(0,)x ∈+∞时，21()x g x e x =-，有32()xg x e x '=+，为增函数， ()g x 的图象向右平移1个单位得到()f x 的图象，所以函数()f x 关于1x =对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ≠⎧⎪+≠⎨⎪->+-⎩，解可得：113x -<<且0x ≠，即x 的取值范围为1(1,0)(0,3⎫-⎪⎭⋃；故选：D ．16．已知()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，且在[2b -，0]上为增函数，则不等式(21)f x f +（1）的解集为( ) A ．(1,0)- B ．31[,1][0,]22--C ．(-∞，1][0-，)+∞D ．31[,]22-【解析】解：()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，220b ∴-+=，1b ∴=，函数()f x 在[2b -，0]上为增函数，∴函数()f x 在[2-，0]上为增函数，故函数()f x 在[0，2]上为减函数，则由(21)f x f +（1），可得|21|1x +，且2212x -+， 解得312x --或102x， 故不等式(21)f x f +（1）的解集为31[,1][0,]22--．故选：B ．17．已知定义在R 上的函数1131122()(1)22x x x x f x x -----=--+，则不等式(23)(2)0f x f x ++-的解集为( ) A ．(-∞，1]3B ．(0，2]3C ．(-∞，3]D ．(0，3]【解析】解：令1t x =-，则322(1)22t t t tf t t ---+=-+， 则(1)f t +是奇函数，则当0t 时，2333332221214(14)2212212141414t t t t t t t t t t ty t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++，为减函数， ∴当1x 时，()f x 为减函数，即()(1)g x f x =+是奇函数，则(23)(2)0f x f x ++-等价为(221)(31)0f x f x +++-+， 即(22)(3)0g x g x ++-， 则(22)(3)(3)g x g x g x +--=-， 则223x x +-，得31x ，13x ，即原不等式的解集为(-∞，1]3， 故选：A ．18．函数()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=，且对任意12x x >，有1212()()0f x f x x x ->-，则不等式2(1)2f x --的解集为( ) A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1-，1]D ．[1-，0]【解析】解：对任意12x x >，有1212()()0f x f x x x ->-，()f x ∴在R 上单调递增，又()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=， 所以(1)2f -=-，则由不等式2(1)2f x --可得(1)(1)f f x f --（1）， 所以111x --， 解可得，02x ． 故选：A ．19．已知()f x 是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，且在(2b -，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x -的解集为()A ．2[1,]3-B ．1(1,]3-C ．1[1,]3-D ．1[,1]3【解析】解：根据题意，由于函数()y f x =是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，则定义域关于原点对称， 则有(2)10b b -++=，解可得1b =， 所以，函数()y f x =的定义域为(2,2)-，由于函数()y f x =在区间(2-，0]上单调递增，则该函数在区间[0，2)上单调递减， 由于函数()y f x =为偶函数，则()(||)f x f x =，由(1)(2)f x f x -，可得(|1|)(|2|)f x f x -，则|1|2||212222x x x x -⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解可得：113x-<． 因此，不等式(1)(2)f x f x -的解集为1(1,]3-，故选：B ．20．设函数1()(2)3x f x x lgx --=++，则不等式3(21)()2f x f --的解集是( ) A ．131(0,][,)482B ．131(1,][,)482-C ．13(,][,)44-∞+∞D ．31(1,][,0)44---【解析】解：由题意知，函数()f x 可由1()1x g x x lg x -=-+而函数()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数，函数()m x x =和函数12()(1)11x n x lglg x x +==---在(0,1)上递增，且()0m x >，()0n x >， ∴1()()1x y x lg m x n x x-==-+在(0,1)上递减， ()g x ∴在(0,1)上递减，()f x ∴的定义域为(3,1)--，关于2x =-对称，并且在(2,1)--上递减，∴不等式3(21)()2f x f --等价于32113|212|22x x -<-<-⎧⎪⎨-+-+⎪⎩，解得314x -<-或104x -<． 故选：D ．21．已知函数23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x+---=-+，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是 1(0,]2． 【解析】解：由已知得：23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x+---=-+的定义域为(1,1)-， 2332112()()x x x x x xx xe x e xe x e xe ef x f x e e -----------===-， 311()21x x x f x e x x ln e x -=+---+， 故函数是奇函数，且增函数，2(1)(2)0f a f a -+，2221211(2)(1)1110212a f a f a a a a a ⎧-<<⎪∴<-⇒-<-<⇒<⎨⎪-⎩， 故答案为：1(0,]222．已知函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数），且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围为13(,)(,)24-∞+∞ ． 【解析】解：函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数）， ()()(||)f x f x f x ∴-==，且在(0,)+∞单调递增，(32)(1)f a f a ->-，|32||1|a a ∴->-，即281030a a -+>，实数a 的取值范围为12a <或34a >， 故答案为：(-∞，13)(24⋃，)+∞ 23．()f x 是定义在R 上函数，满足()()f x f x =-且0x 时，3()f x x =，若对任意的[21x t ∈+，23]t +，不等式(2)8()f x t f x -恒成立，则实数t 的取值范围是 4[7-，0] ． 【解析】解：由x R ∈，()()f x f x =-，可得()f x 为R 上偶函数，3()f x x =在0x 上为单调增函数， 则(2)8()(2)f x t f x f x -=，即为|2||2|x t x -，即22(2)(2)x t x -，化简可得240t xt -，①（1）当0t >时，①的解为：4t x ， 对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需234t t +， 解得t ∈∅；（2）当0t <时，①的解为4t x ， 对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需214t t +， 解得407t -<； （3）当0t =时，①式恒成立；综上所述，407t -． 故答案为：4[7-，0]． 24．已知()||f x x x =，若对任意[2x a ∈-，2]a +，()2()f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是a <【解析】解：22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩， 可得()f x 在[0，)+∞递增，在(-∞，0]递增，且(0)0f =，则()f x 在R 上递增，由()2()f x a f x +<可得()())f x a f f x f +<=，则x a +<在[2x a ∈-，2]a +恒成立，即有1)a x <在[2x a ∈-，2]a +的最小值，可得1)(2)a a <-，解得a <故答案为：a <25．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =，则2())f x f -= 0 ；若对任意的[x a ∈，1]a +，不等式()2()f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【解析】解：()f x 是奇函数，0x 时，2()f x x =， ∴当0x <时，2()f x x =-．∴当0x 时，222())220f x f x x -=-=，当0x <时，222())2(2)0f x f x x -=---=．2())0f x f ∴-=．2())f x f =，()2()f x a f x ∴+恒成立()(2)f x a f x ⇔+恒成立． ()f x 是增函数，2x a x ∴+在[a ，1]a +上恒成立．(21)a x ∴-，[x a ∈，1]a +．令()1)g x x =，则()g x 在[a ，1]a +上是增函数．()(1)1max g x g a a ∴=+=-+．21a a a ∴-+，解得2a ．故答案为：0，，)+∞．26．已知函数||221()()x f x x e ππ-=+-则，则不等式(1)(21)f x f x -<-的解集是 2(0,)3 ． 【解析】解：根据题意，函数||221()()x f x x e ππ-=+-，其定义域为R ，且||221()()()x f x x e f x ππ--=+-=， 则()f x 为偶函数，在[0，)+∞上，||222211()()1()xxf x x e e x ππππ-=+-=-+，在[0，)+∞上为减函数，不等式(1)(21)(|1|)(|21|)|1||21|f x f x f x f x x x -<-⇒-<-⇒->-，解可得203x <<， 即不等式的解集为2(0,)3， 故答案为：2(0,)3．。
利用函数性质解不等式5大题型
利用函数性质解不等式5大题型高中数学解不等式主要分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。
利用函数性质解不等式一般情况以选择题形式出现，考查的角度较多，除了基础的函数性质，有时候还需要构造函数结合导数知识，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。
一、利用单调性、奇偶性解不等式原理1、解()()f m f n <型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f ”，而是常数（如()<f m a ），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。
2、()f x 为奇函数，形如()()0f m f n +<的不等式的解法第一步：将()f n 移到不等式的右边，得到()()>-f m f n ；第二步：根据()f x 为奇函数，得到()()>-f m f n ；第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，列出不等式求解。
二、构造函数解不等式的技巧1、此类问题往往条件较零散，不易寻找入手点，所以处理这类问题要将条件与结论结合分析，在草稿上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么，两者对接通常可以确定入手点；2、在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能具备乘除关系的函数，在构造时多进行试验与项的调整；3、此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性和图象知识辅助手段，所以要能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点，那么问题便易于解决了。
三、利用函数性质解不等式的要点1、构函数：根据所解不等式的结构特征和已知条件构造相应的函数，把不等式看作一个函数的两个函数值大小比较问题；2、析性质：分析所构造函数的相关性质，主要包括函数定义域、单调性、奇偶性、周期性等；3、巧转化：根据函数的单调性，把函数值大小比较转化为某个单调区间内自变量大小比较；4、写解集：解关于自变量的不等式，写出解集。
函数单调性的应用
一、利用函数单调性比较大小例：比较log3（x+1）和log3（2x+3）的大小。
分析：从题设的两个对数，便联想起y=log3t在（0，+∞）上是单调增函数，因此，只须比较真数的大小，原题就获解。
解：由x+1＞02x+3＞0嗓得x＞-1。
当x＞-1时，有0＜x+1＜2x+3，因为函数y=log3t在（0，+∞）上递增，故log3（x+1）＜log3（2x+3）。
二、利用函数单调性解不等式例：已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时f（x）＜0。
解不等式f（x2-2x）＞f（x+4）。
分析：若函数f（x）在区间D上单调递增，则x1，x2∈D且f（x1）＞f（x2）时，有x1＞x1。
若函数f（x）在区间D上单调递减，则x1，x2∈D且f（x1）＞f（x2）时，有x1＜x1。
本题为抽象函数，故代入求值解不等式不可行，因此，利用上述函数单调性的这种可递性来解。
解：令x=y=0，则f（0）=0令x=-y，可得f（-x）=-f（x）在R上任取x1＞x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）∵x1＞x2，∴x1-x2＞0，又∵x＞0时f（x）＜0，∴f（x1-x2）＜0即f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在R上单调递减。
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。
———《荀子》以上的名言警句都有共同的特点，都是说无论做什么事都要懂得积累。
水滴石穿，绳锯木断。
千里之堤，溃于蚁穴。
成就事业也需要积累，不懈地努力奋斗。
学习也应如此，要不断地积累才会有知识，这是成功的前提从细小到伟大是一个有量变到质变的过程。
现在中国的发展依靠着马克思理论、毛泽东思想、邓小平理论、三个代表重要思想等，但有多少人知道马克思主义是怎样炼成的呢？马克思为写《资本论》，阅读了1500多种书，留下了100多本读书笔记。
他几乎掌握欧洲所有国家的语言，他在头脑里积累储存了取之不尽、用之不竭的信息和资料。
利用函数的单调性证明具有条件a+b=1的一些不等式
易求 得 ）的导数 为 ： ） ＝ ｆ（
２ ［
令 ｇ ： （）
一 巫
】
，０ ＜ｆ＜ １ ， （ ）
例 ２ 已知 ａ ｂ∈Ｒ 且 ａ＋６＝１ 求 证 ：ａ＋ ， ， ， （
）＋） 莩 （ ≥ ６１
证明 ． 构造函数 ）：（ ）１一 ＋ ＋ （
求 （ 的 数 ：（ ： 堑 得ｇ ） 导 为ｇ 去 ｆ ，）
当 ０ ＜ ＜ １时 ． ｆ ） ＞ ０ ＝ ｆ ＝ ＞当 ０ ＜ ￡＜ ｌ时 ．
ｇ（ ）早 碉 远 瑁 ， ｔ
例 ５ 设 ８ ６∈Ｒ 且 口＋６＝ｌ求证 ： ＋ １ ， ， ，
而 号＜ ｌ， １ （ ＞（ 当 ＜时 ＞一 ｇ 一 ｚ ） １
， ＝
口
Ｄ
ｒ
，
例 ３ 已知 ａ ６∈Ｒ 且 ａ＋ｂ＝１求证 ：ａ＋ ， ， ， （ 时， 两边 相等 ） ，
） ＋（ ≥ ２ ６＋ １） ５
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若 口一： ｌ。寺 ＜≤ 令 ＝， ６ ＞≥ ， ６号 １ ０
且 ａ＋ｂ＝１时 ， 不等式 成立 ， 原
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中学 数学杂 志
２１ ００年第 ３期
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利用函数的单调性证明具有条件
甘肃成县陇南师范高等专科学校数 学系
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７２０ ４５０ 东洪平
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利用单调性处理不等式问题
利用单调性处理不等式问题函数的单调性是高考的重点和热点内容之一，特别是单调性质的应用更加突出，通过以下几个例题帮助同学们学会怎样利用单调性解与不等式结合的试题，掌握基本方法，形成应用意识.一、运用函数的单调性比较大小例1 如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )A.(1－a )31＞(1－a )21B.log (1－a )(1＋a )＞0C.(1－a )3＞(1＋a )2D.(1－a )1＋a ＞1 解析：因函数(1)x y a =-在R 上是单调递减函数，故(1－a)31＞(1－a)21.选择A.例2 已知0<a <b <1,设a a ，a b ，b a ，b b 中的最大值是M ，最小值是m ，则M ＝ ，m ＝_________．解析：由x y a =在R 上为减函数得a b a a >；由x y b =在R 上为减函数得a b b b >；由a y x =在R +上为增函数得a a b a >；由b y x =在R +上为增函数得b b b a >,即最小值为b a ；最大值为ab 。
注意：我们在比较对数式和指数式的大小时往往利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性来比较。
二、运用函数的单调性定义的逆用脱去“f ”号。
例3 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的范围。
解析：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即x 的范围是{x |2<x <6}.注意：借此类问题时，千万不能忽视函数的定义域。
函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、定义法判断函数奇偶性判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数； 如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 三、利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()<f m f n 型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f ”，而是常数（如()<f m a ），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。
抽象函数不用急,单调既定脱外衣——利用单调性解不等式.doc
抽象函数不用急，单调既定脱外衣——利用
单调性解不等式
利用函数的单调性解不等式
过程：
（1）“常数”化成带“f( )”符号的函数值，不等号两侧，一侧有且仅有一个“函数符号f( )，且f( )前的符号必定为正号”
（2）要将各括号内的式子放入定义域内
（3）根据单调性脱去“函数符号f( )”，分两类：
增函数：函数值大自变量大，函数值小自变量小，不等号顺取。
（增则顺）
减函数：函数值大自变量小，函数值小自变量大，不等号逆取。
（减则逆）
典型例题：
典例1：f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A.(8，＋∞)
B.(8,9]
C.[8,9]
D.(0,8)
关键词：函数f(x)的解析式没有给出，为抽象函数，且有不等式，求参数范围，关键词找到
分析：符号f( )在不等号两侧，每侧有且只有一个，所以利用题目性质，左侧f(x)＋f(x－8)可以化成f[x(x－8)]的形式，右侧的2=1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)即化成带符号的函数值f(9)，
再利用单调性脱去符号f( ).
解析：
典例2：已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)0，求实数m的取值范围.
解析。
专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式
专题06利用函数性质解决抽象函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。
而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
确定抽象函数单调性解函数不等式万能模板内容使用场景几类特殊函数类型解题模板第一步（定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步（转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式；第三步（去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步（求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步（反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.例1已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】第一步，（去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组：若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，等价为()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦恒成立，即()f x 是定义在R 上的减函数，第二步，（定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性：又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，第三步，（求解）解不等式或不等式组确定解集：当10x +>时，()120f x -<，所以120x ->，联立解得112x >>-，当10x +<时，()120f x ->，所以120x -<，无解，综上应填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式演练1】若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞- C ．[][]1,01,3- D ．[][)1,03,-+∞ 【答案】C【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3- .故选：C.【变式演练2】已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)【答案】A【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=，因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >；当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<，所以不等式()0f x >的解集为(1,2021).故选：A【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值；（2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)(02f f x +-≤．【答案】（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 ．【解析】试题分析：（1）利用赋值法可求)1(f ,)1(-f ；（2）根据函数的奇偶性定义即可证明函数是偶函数；（3）根据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集．试题解析：解：（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，∴(1)0f =，令1x y ==-，则(1)(1)(1)f f f =-+-，∴(1)0f -=（2）令1y =-，则()()(1)()f x f x f f x -=+-=，∴()()f x f x -=（3）据题意可知，函数图象大致如下：1(2)()(21)02f f x f x +-=-≤，∴1210x -≤-<或0211x <-≤，∴102x ≤<或112x <≤.考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x y f x f y f x y++=++；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 是单调递减函数；（3）21111((()()1119553f f f f n n +++>++ ，其中*n N ∈．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证．试题解析：证明：（1）令0x y ==代入()()()1x y f x f y f xy++=+，得到(0)0f =．令y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-．∴()f x 在(1,1)-上是奇函数．（2）设1211x x -<<<，则12121212()()()()()1x x f x f x f x f x f x x --=+-=-∵1211x x -<<<，∴1212||||||1x x x x =<，1211x x -<<．又120x x -<，∴121201x x x x -<-且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x -+++=>--，∴1212101x x x x --<<-，∴1212(01x x f x x ->-，∴12()()0f x f x -<，∴12()()f x f x <所以()f x 在(1,1)-上是单调递减函数．（3）211(1(3)(2)23([][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++1111(()((2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111(()(111955f f f n n +++++ 111111[(([()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()(3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+，∴1()03f n ->+，∴111(()()333f f f n +->+．故21111(()((1119553f f f f n n +++>++ ．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和．。
函数单调性的应用教案
函数单调性的应用教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，解释函数单调递增和单调递减的定义。
通过图形和实例来说明函数单调性的直观含义。
1.2 函数单调性的性质探讨函数单调性的几个基本性质，如传递性、复合函数的单调性等。
通过例题和练习题来巩固对函数单调性性质的理解。
第二章：利用函数单调性解不等式2.1 单调性在不等式解中的应用解释如何利用函数单调性来解决不等式问题，如求解函数的定义域、值域等。
提供实例和练习题，让学生熟悉运用函数单调性解不等式的方法。
2.2 单调性在函数最值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值问题，包括最大值和最小值。
通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决最值问题中的应用。
第三章：函数单调性与方程的解3.1 单调性在函数零点问题中的应用讲解如何利用函数单调性来寻找函数的零点，即解方程f(x)=0。
提供实例和练习题，让学生掌握利用函数单调性求解零点的方法。
3.2 单调性在函数不等式问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决函数不等式问题，如求解f(x)>0或f(x)<0的解集。
通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决不等式问题中的应用。
第四章：函数单调性与数列极限4.1 单调性在数列极限问题中的应用解释如何利用函数单调性来求解数列极限问题，特别是涉及到函数极限的情况。
提供实例和练习题，让学生熟悉运用函数单调性解决数列极限问题的方法。
4.2 单调性在函数极限问题中的应用讲解如何利用函数单调性来求解函数极限问题，即当x趋向于某个值时，函数的极限值。
通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决函数极限问题中的应用。
第五章：函数单调性与微分中值定理5.1 单调性在拉格朗日中值定理中的应用介绍如何利用函数单调性来证明拉格朗日中值定理，即导数存在性定理。
提供实例和练习题，让学生掌握利用函数单调性证明拉格朗日中值定理的方法。
5.2 单调性在柯西中值定理中的应用讲解如何利用函数单调性来证明柯西中值定理，即两个函数的导数之间的关系。
函数单调性的应用
2
a≥（2－a）×1＋1，
7. 已知函数 () = ቐ
( − 2), ≥ 2,
满足对任意的实数 1 ≠ 2 ，都有
− 1, < 2
13
(−∞, ]
8
(1 )−(2 )
< 0 成立，则实数 的取值范围为_______________.
1
( )
2
1 −2
2
1
，＋∞.
2
a（x＋2）＋1－2a
1－2a
方法二：f(x)＝
＝a＋
，∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递
x＋2
x＋2
1
增，∴1－2a<0，∴a>2.
(1，2)
4. 已知函数 y＝loga(2－ax)在[0，
1]上是减函数，
则实数 a 的取值范围是________．
【解析】 设 u＝2－ax，∵a>0，且 a≠1，
2 − > 0,
[解析] 由已知可得 ൞ + 3 > 0,
解得 −3 < < −1 或 > 3 ，所以实数 的
2 − > + 3,
取值范围为 (−3, −1) ∪ (3, +∞) .
1
2. 已知函数 () 为 上的减函数，则满足 (| |) < (1) 的实数 的取值范围
− 2 < 0,
1 2
[解析] 由题意知函数 () 是 上的减函数，于是有 ൝
( − 2) × 2 ≤ ( ) − 1,
2
由此解得 ≤
13
13
，即实数 的取值范围是 (−∞, ] .
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运用函数单调性与奇偶性解不等式
1．已知奇函数)(x f 在[-1，1]上为减函数，解不等式0
12
>-+）（）（x f x
f
2、已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足
2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．
解：∵()f x 的定义域为[2,2]-，∴有2
212
212
m m -≤-≤⎧⎨
-≤-≤⎩，解得13m -≤≤ ① 由2
(1)(1)0f m f m -+-<∴2
(1)(1)f m f m -<-- 又由()f x 为奇函数，得2
2
(1)(1)f m f m --=-
∴2
(1)(1)f m f m -<-，又()f x 为奇函数，且在[2,0]-上单调递减， ∴()f x 在[2,2]-上单调递减． ∴2
11m m ->-. 即21m -<< ② 综合①②，可知11m -≤<.
3、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值范围是 4、已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是. )3,1(-.
5、函数()()0f x x ≠是奇函数，且当()x ∈+∞0，时是增函数，若()10f =，求不等式
102f x ⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭的解集。
6、设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0
的解集是______
7、设f （x ）设为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f （-3）=0，则不等式xf （x ）＜0
的解集为______．
8.已知函数3
1()3
f x x x =
+，则不等式2(2)(21)0f x f x -++>的解集是 （ ）A ．()(
),2121,-∞---+∞ B ．()
21,21---
C ．()
(),13,-∞-+∞
D ．()1,3-
9、设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且f （2a 2+a+1）＜f （2a 2-2a+3），求a 的取值范围．a>2/3 10、已知偶函数在上为增函数，且，求的取值范围 11、已知偶函数在
上是增函数，则满足
的实数的取值
范围是__________ X>1,x<-3
12、已知f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋4x (x ≥0)，
4x －x 2
(x ＜0)，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C
13、设定义在[－2,2]上的偶函数()f x 在区间[0,2]上单调递减，若
(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围．
答案：112
m -≤<。
解抽象不等式
1、设()f x 是定义在（0，+∞）上的减函数()f xy =()f x +()f y （1）求(1)f 的值（2）若(8)3f =解不等式()f x +(2)f x ->3
2、已知f(x)是定义在(0, ＋∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1) 求f(4)与f(8)的值;(2)解不等式f(x)-f(x-2)>3;
3．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足
)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为__ ．
4、已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足)()()(y f x f xy f +=, 1)3(=f . (Ⅰ) 求()()9,27f f 的值; (Ⅱ) 解不等式()()82f x f x +-<
0<a<1
5、函数()f x 对任意的a ，b ∈R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，
()1f x >，若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<。
答案：4
13
m -<<。
6、已知函数()x f 的定义域为()+∞,0, 对任意()+∞∈,0,y x 都有()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛,
且当1x >时, ()0f x >. （Ⅰ）求证: ()01=f ;
（Ⅱ）求证: ()f x 在()+∞,0上是增函数; （Ⅲ）若(),12=f 求不等式()231≤⎪⎭
⎫
⎝⎛--x f x f 的解集．．. 7、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且()()1
1
f x
g x x +=-，求()()f x g x 与的表达式。
1、已知定义域为R 的函数()a
b
x f x x ++-=+122为奇函数。
⑴ 求b a ,的值；⑵ 用单调性定义证明函数()x f 为R 上的减函数；
（3） 若对任意的R t ∈，不等式(
)(
)
0222
2
<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围。