初中解题技巧之构造法专题
初中数学方法大全之构造法
构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无 从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以 化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。 一、以概念为框架构造 【例 1】已知方程 ax bx c 0(a 0) 的两根之和为 S1 ,两根平方和为 S 2 ，两根立1 CAD 2
五、以函数为突破构造 【例 5】如图：在一块长 60m、宽 48m 的矩形公园 ABCD 中，P、Q 分别位于边 AB、AD 上，且 AP=24m，AQ=12m，M 在线段 PQ 上，ME⊥BC，MF⊥CD。求：当 M 在什么位置上 时： （1）四边形 MEFC 周长最大； （2）四边形 MECF 面积最大。 【思路分析】以相似为突破口，设 DF=x，用 x 表示出 FM、FC 的长，用函数的增减 性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。换一个思 路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思 想来解决本题，会有意料之外的效果。 解：以 AB、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直 角坐标系 xOy。 根据题意有： P(24,0), Q(0,12) ，易得 PQ 所在的直线 解析式为： y
设 M (m, ∴当 m=0 时，周长最大等于 192m； 当 m=0 时，面积最大等于 2160m2。 六、其它构造 【例 6】在锐角三角形 ABC 中，求作一个正方形 DEFG，使 D、E 都落在 BC 边上， F、G 分别落在 AC、AB 边上。 【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困 难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个 顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以 马上作出一个这样的正方形 D1E1FG 这个正方形可以成 1 1。 为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形， 可以利用位似去作出需要的正方形 DEFG 。 解： （略） 在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”， 这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我 们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理 地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造 性思维也有很大的帮助。
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
九年级数学中考专题复习——构造法
CBAD CBAME DCBA九年级中考数学思维训练——构造法“构造法”是武汉市近几年中考的热点，它对学生常规常法的训练要求很高，并能灵活的运用. 本案例就平时积累的自编自改的题目，谈谈构造法如何解决问题，仅供参考.一、全等与相似的相互转换例1、如图，△ACD 中，AD ＝3，CDBC ⊥AC 于C ，AC =BC ，求BD 的最大值.简解：作CE ⊥CD ，且CE =CD⇒2BCD ACEDE ∆≅∆⎧⎪⎨==⎪⎩，∴AE =BD ，又∵AD -DE ≤AE ≤AD+DE ，∴1≤BD ≤5.变式：如图，△ACD 中，AD，CD＝BC ⊥AC 于C ，AC =2BC ，求BD 的最大值.简解：作CE ⊥CD ，CE =2CD⇒BCD ACEDE ∆∆⎧⎪⎨==⎪⎩ ∴AE =2BD ，又∵AD -DE ≤AE ≤AD+DE ，∴0≤AE≤∴0≤BD.例2、如图，五边形ABCDE 中，∠BCD =∠BAE =90°，CB = CD ，AB ＝3，AE ＝4，连AC ，M 在DE 上，且∠CAM =45°，求DMEM.MED CBAEDC BAPCBA作CF ⊥CA 交直线AM 于F ，⇒CDF CBA ∆≅∆，∴DF =BA=3，易证DF ∥AE ，∴DM EM =DF AE =34变式：如图，五边形ABCDE 中，∠BCD =∠BAE =90°，CB = CD ，AB ＝AE ，连AC ，M 在DE 上，AC ＝10，且∠CAM =45°，求五边形ABCDE 的面积.简解：作CF ⊥CA 交直线AM 于F ，⇒CDF CBA ∆≅∆，∴DF =BA=AE ，⇒DFM EAM ∆≅∆，∴A C F A B C D E S S ∆=五边形 而11010=502ACF S ∆=⨯⨯，∴=50ABCDE S 五边形.二、全等三角形的构建例3、如图，四边形ABCD 中，对角线相交于E ，且E 为对角线BD 的中点， ∠DAE =45°，∠BCE =135°，若CE =1， BC=，则AC = .简解：作DM ⊥DA 于D ，⇒ADM ∆为等腰直角三角形，且DM ∥CB ，易证DME BCE ∆≅∆，∴DM =BC=， 再作DN ⊥AC 于N ，可得MN =3，∴AC =8.例4、等腰直角△ACB ，BC = AC=4，∠ACB =90°，P 为△ACB 内一点，连BP 若∠CBP =∠PCB =15°，求P A 的长(两种构建思维)；简解：思考一：作BF ⊥CP 于F ，作AE ⊥CP 于E ，易证：BFC CEA ∆≅∆.∴BF =CE =m ，可得PB =PC=2m ，∴CE = PE =m ，∴P A = CA=4.Q EDCAβαQPEDCBAFEDA思考二：作等边△EPC，证：CPB CEA PEA∆≅∆≅∆∴P A= CA=4.三、构建平行线截比或者辅助圆例5、如图：点B在线段AC上，D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD= BC，AD=3，CE=5.P为A，B(与A，B不重合)上，且DP⊥PQ交直线BE于Q，求DP PQ.简解：思考一：作PF∥BD，∴DFBP=DABA=35，易证：PDF QPB∆∆，∴DFBP=DPPQ，而∴DFBP=DAAB=35，∴DPPQ=35.思考二：四点共圆∵∠DPQ=∠DBQ=90°，∴∠α=∠β，而tan∠α=DAAB=35，tan∠β=DPPQ=35.例6、如图：点B在线段AC上，D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，AD= BC ，CD⊥BE于F，连AF.求证：tan∠AFB=AB BC.简解：思考一：作AQ⊥CD于Q，∴∠α=∠β，tan∠α=tan∠β，易证：CQA EFC∆≅∆∴AQ=CF，而tan∠β=QF AQ，即tan∠β=QFAQ=QFCF，又∵BF∥AQ，∴QFCF=ABBC∴tan∠AFB=AB.FE DCBAF EDCBAFEDCBAFEDCBA思考二：四点共圆∵∠DAB=∠DFB =90°，∴可证∠ADB =∠AFB ，而tan ∠ADB =ABAD，易证：DAC BCE ∆≅∆ ∴AD = CB ，∴tan ∠ADB =AB AD =AB BC ，∴tan ∠AFB =AB AD =ABBC. 四、依托基本图形构建相似例7、□ABCD 中，AB =6，BC =8，E ，F 分别为BC ，AB 上的点，当∠DEF =∠B =60°，DF ⊥EF 于F ， 求AF 的长度(三种构建思维).由条件知：∠EFD =60°，∴EF ED =12. 思考一：作等边△BEQ ，易证：FQE ECD ∆∆ ，∴QF CE =QE CD =EF ED =12，∴QE =3，∴BE =3，CE =5，∴QF =2.5， ∴AF =0.5.思考二：作等边△CDM ，易证：FBE EMD ∆∆ ，∴FB EM =BE EM =EF ED =12，∴DM =DC =6，∴BE =3，ME =11，∴BF =5.5，∴AF =0.5.思考三：作EQ ⊥AB 于Q ，DM ⊥BC 于M ，易证：FQE EMD ∆∆ ，∴FQ EM =QE DM =EF ED =12，∴CM =3，∴DM =QE BE =3，∴QF =12EM =4，∴BF =5.5，∴AF =0.5.。
2018年中考数学方法技巧：专题四-构造法训练(含答案)
5．如图F4－3，直线y＝kx＋b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式0＜kx＋b＜x的解为________．方法技巧专题四构造法训练构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性．常见的构造形式有：1.构造方程；2.构造函数；3.构造图形．一、选择题图F4－11．如图F4－1，OA＝OB＝OC，且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是()A．40°B．50°C．60°D．70°2．已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是()A．6B．3C．－3D．03．设关于x的一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足() A．1＜α＜β＜2B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2D．α＜1且β＞2二、填空题4．如图F4－2，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于________．图F4－213图F4－36．关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是________．7．[2016·成都]如图F4－△4，ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB ＝________．图F4－48．如图F4－5，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，EF⊥BC于点F，BC＝5，EF＝3.图F4－5(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝________；(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用“＞”或“＝”或“＜”填空)．三、解答题9．如图F4－6，直立于地面上的电线杆A B，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝6m，CD＝4m，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)图F4－6参考答案1．C[解析]以点O为圆心，以OA为半径作⊙O.∵OA＝OB＝OC，∴点B，C在⊙O上．∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.故选C.注：此题构造了圆．2．A[解析](1)当m＝n时，(m－1)2＋(n－1)2＝2(m－1)2.此时当m＝1时，有最小值0.而m＝1时，代入原方程求得a＝.＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3.∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值．∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6.故选A.5．3＜x＜6[解析]作直线OA，易知直线OA的解析式为y＝x.由图可知，不等式kx＋b＞0的解为x＜6；不等式kx＋b＜x的解为x＞3.所以不等式0＜kx＋b＜x的解为3＜x＜6.注：此题构造了一次函数y＝x.7.[解析]如图，作直径AE，连结CE，则∠ACE＝90°.32∵不满足条件a≥2，∴舍去此种情况．(2)当m≠n时，∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的方程x2－2ax＋2＝0的两个根．∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋11212注：此题根据两个等式构造了一个一元二次方程．3．D[解析]一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两根实质上是抛物线y＝(x－1)(x－2)与直线y＝m两个交点的横坐标．如图所示，显然α＜1且β＞2.故选D.注：此题构造了二次函数．4．15[解析]分别将线段AB，CD，EF向两端延长，延长线构成一个等边三角形，边长为8.则EF＝2，AF＝4，故所求周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.注：此题构造了等边三角形．131133136．x1＝－4，x2＝－1[解析]根据方程的特点联想二次函数的顶点式．将函数y＝a(x＋m)2＋b的图象向左平移2个单位得函数y＝a(x＋m＋2)2＋b的图象，因此将方程a(x＋m)2＋b＝0的解x1＝－2，x2＝1分别减去2，即得所求方程的解．注：此题构造了二次函数．392∴＝.∴AB＝.∴AB＝＝.∴AB＝BE×tan E＝(6＋43)×3∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°.∴∠ACE＝∠AHB.∵∠B＝∠△E，∴ABH∽△AEC.AB AH AE·AHAE AC AC∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，18×2639242注：此题构造了直角三角形．8．(1)15(2)＝[解析](1)平行四边形的面积等于底乘高；(2)如图，连结BE，并延长BE交CD的延长线于点G，连结CE.易证△EAB≌△EDG.∴BE＝EG.∴S四边形ABCD＝△SBCG＝2△SBCE＝BC·EF＝15.注：此题根据平行线间线段的中点构造了全等三角形．9．解：如图，延长AD交BC的延长线于E，过点D作DF⊥BE于F.∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°.∵CD＝4，∴DF＝2，CF＝2 3.由题意得∠E＝30°，∴DC＝DE.∴CE＝2CF＝43.∴BE＝BC＋CE＝6＋4 3.3＝23＋4.答：电线杆的高度为(23＋4)m.注：此题构造了直角三角形．三角函数只能应用于直角三角形中，因此用三角函数解决四边形或斜三角形的问题时，必须构造直角三角形．。
2020中考数学专题13—方法技巧之构造与转化
2020中考专题13——方法技巧之构造与转化班级姓名.构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.【例题分析】例1例2.如图，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，点P为AB边上一动点，连接CP，过点P 作PM⊥CP，交BC于点M，则BM的最大值为____________.例3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（-4，0）、B（0，4），⊙0的半径为1（O 为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________.例4.如图，己知y=12-x2+32x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点，现一直线经过B、C两点，点P为BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，求PQ的最大值.【巩固训练】1.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根分别为α,β,且α<β,则α,β满足()A.1<α<β<2B.1<α<2<βC.α<1<β<2D.α<1且β>22.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是.3.如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于.第3题图第4题图第5题图4.如图，⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为。
5.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为。
初中数学解题方法之一构造法之构造方程
初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。
构造方程是其中一种常见的构造法。
构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。
下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。
1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。
例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。
2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。
可以采用等量关系、比例关系等。
3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。
下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。
例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。
已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。
即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。
将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。
例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。
设正方形的边长为x厘米。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
中考数学复习专题09 构造法专题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题9 构造法专题【方法简介】构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。
【真题演练】1. （2018•桂林）若|3x﹣2y﹣1|+=0，则x，y的值为（）A．B．C．D．【分析】根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案．【解答】由题意可知：解得：故选：D．2. （2019•湖北天门•3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是100 ．【答案】100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．3. （2019•浙江衢州•4分）如图，人字梯AB，AC的长都为2米。
当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。
参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】 1.5【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：在Rt △ADC 中， ∵AC=2，∠ACD=50°， ∴sin50°=，∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5. 故答案为：1.5.【分析】在Rt △ADC 中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.4. （2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元． （1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元； （2）当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱．【解答】解：（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元，35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，57x y =⎧⎨=⎩， 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；（2）设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯（200﹣a ）只，费用为w 元， w ＝5a+7（200﹣a ）＝﹣2a+1400， ∵a≤3（200﹣a ）， ∴a≤150，∴当a ＝150时，w 取得最小值，此时w ＝1100，200﹣a ＝50， 答：当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱． 【名词释义】构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性，常见的构造形式有：1.构造方程；2.构造函数；3.构造图形。
初中数学构造法的归纳整理(保证精品)(最新整理)
构造法深度探索构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．1 构造代数式初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．1．1 构造多项式例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.1．2 构造有理化因式例2 已知.2002)2002)(2002(22=++++y y x x 计算.58664322+----y x y xy x 1．3 构造对偶式根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．例3 已知是方程的两根．则的值？βα、012=--x x βα34+1．4 构造递推式数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．例4 实数满足，，，y x b a ,,,3=+by ax 722=+by ax 1633=+by ax ，求4244=+by ax 55by ax +2 构造几何图形如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．2．1 构造对称图形例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求的最小值.4122+++=b a u 2．2构造矩形例6 已知，求以，，为三边长的三角形0,0>>b a 22b a +224b a +224b a +的面积。
2．3 构造圆例7 已知为正实数，且，求证：.y x b a ,,,1,12222=+=+y x b a 1≤+by ax 2. 4 构造三角形例8 已知方程组满足．求 xy+2yz+3xz 的值． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x例9 已知正数满足,求证：C B A c b a ,,,,,k c C b B a A =+=+=+.2k cA bC aB <++3 构造方程、不等式、函数3．1 构造二次方程方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．例10已知实数 a ≠b ，且满足;,则)1(33)1(2+-=+a a 2)1(3)1(3+-=+b b 的值为.ba a ab b +例11．已知a<0，b>0，且．则代数式值为．15152=+=+b b a a b b b b a 13+3．2 构造不等式利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y 99．则7 ≥x+5y 的最小值为 ．3．3 构造函数用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．例 13 已知实数,且，求的最小值.0,0,0>≤<c b a ac b ac b 242-=-ac b 42-例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足：.)1)(1(1201222y x xy y x ++≤--4 其他构造4．1构造反例构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
初中数学构造法的归纳整理(保证精品)
构造法深度探索构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．1 构造代数式初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．1．1 构造多项式例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.1．2 构造有理化因式例2 已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x . 计算58664322+----y x y xy x .1．3 构造对偶式根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．例3 已知βα、是方程012=--x x 的两根．则βα34+的值？1．4 构造递推式数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．例4 实数y x b a ,,,满足3=+by ax ，722=+by ax ，1633=+by ax ， 4244=+by ax ，求55by ax +2 构造几何图形如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．2．1 构造对称图形例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求4122+++=b a u 的最小值.2．2构造矩形例6 已知0,0>>b a ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的面积。
2．3 构造圆例7 已知y x b a ,,,为正实数，且1,12222=+=+y x b a ，求证：1≤+by ax .2. 4 构造三角形例8 已知方程组满足 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x ．求 xy+2yz+3xz 的值．例9 已知正数C B A c b a ,,,,,满足k c C b B a A =+=+=+,求证：.2k cA bC aB <++3 构造方程、不等式、函数3．1 构造二次方程方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．例10已知实数 a ≠b ，且满足)1(33)1(2+-=+a a ;2)1(3)1(3+-=+b b ,则 ba a ab b+的值为.例11．已知a<0，b>0，且15152=+=+b b a a ．则代数式b b b b a 13+值为．3．2 构造不等式利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y ≥99．则7 x+5y 的最小值为 ．3．3 构造函数用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．例 13 已知实数0,0,0>≤<c b a ,且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足： )1)(1(1201222y x xy y x ++≤--.4 其他构造4．1构造反例构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。
解题中的构造技巧
解题中的构造技巧江西省宜黄中学吴建国构造技巧是指分析解决化学问题时，根据需要或可能，添设题给条件以外的其它化学对象，在相距较远的条件与结论之间建立“中转站”，以便通过它的作用，实现由条件向结论转化的一种思维技巧。
一、巧设情景，构造模型[例1]30ºC 时，有等量的相同浓度的硫酸铜溶液两份。
一份蒸发了55克水，回到30ºC ，刚成饱和溶液；另一份中加入25克胆矾并保持30ºC 也成饱和溶液。
则30ºC 时，硫酸铜的溶解度为（ ）A 、45.5克B 、29.1克C 、25.克D 、20.0克析解：初看上去，两次实验好像无什么联系。
如按题意作出图示。
可知25克胆矾溶于55克水即成饱和溶液。
设30ºC 时CuSO 4溶解度为X 克，则100：X=（55+9）：16，X=25.0克，答案为（C ）。
二、巧妙形变，构造化学式[例2]由两种有机物组成的混和物，在一定温度和压强下完全气化为气体，在相同的温度和压强下，只要混和气体的体积一定，那么无论混和物以何种比例混和，它在完全燃烧时所消耗的氧气体积也是一定的，符合这种情况可能是（ ）A 、乙醇与乙酸B 、苯和苯甲酸C 、丙醛和甘油D 、丙酮和丙二醇析解：将备选项中的化学式变形，很容易判断谁耗量多。
A 、可分别变形为C 2H 4·H 2O 和C 2H4·O 2，显然前者耗氧多；B 、可分别变形为C 6H 6和C 6H 6·CO 2，显然两者耗氧相同；C 、可分别变形为C 3H 4·H 2O 和C 3H 2·3H 2O ，显然前者耗氧多；D 、可分别变形为C 3H 6O 和C 3H 6·H 2O ，显然两者耗氧量相同，选B 、D 。
三、巧借等价，构造反应方程式[例3]将甲烷和氧气的混和气体通入盛有23.4克过氧化钠的密闭容器中，用电火花点燃，反应停止后，在105ºC 时容器内压强约为零帕斯卡。
应用“构造法”解题例析
应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。
一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。
BD=CE ，要证AB=AC 。
假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。
E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。
二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。
分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。
22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。
M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。
分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
专题06构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n k b b b a c a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列{}n a 中,12a =,21n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以12a =为底的对数(不能取c 为底,因为1c =,不能作为对数的底数),得到1222loglogn n a a +=,122log 2log n n aa+=,设2log n an b =,则有12n n b b +=,所以{}n b 是以112log 1ab ==为首项,2为公比的等比数列,所以12n n b -=,所以12log =2n an -,122n n a -=.【经典例题2】数列{}n a 中,11a =,212n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取11a =为底数的对数了吧),得到12222loglogn n a a +=,12222log log 2log n n a a +=+,122log 12log n n a a +=+设2log n an b =,则有1=12n n b b ++,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出1+1=2(1)n n b b ++,所以{}1n b +是以111b +=为首项,2为公比的等比数列,所以112n n b -+=,所以1=21n n b --,12log =21n a n --,1212n n a --=.【经典例题3】已知12a =,点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上,其中*n N ∈,求数列{}n a 的通项公式.【解析】将()1,n n a a +代入函数得212n n n a a a +=+,()2211211n n n n a a a a ++=++=+,即()2111n n a a ++=+两边同时取以3为底的对数,得()()21111113333loglog log 2log n nn n a a a a ++++++=⇒=(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为113log a +,113a +=,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以(){}13log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,即()113log 12na n +-=⨯,1213n n a -+=,1231n n a -=-.【经典例题4】在数列{}n a 中,11a =,当2n 时,有2142n n n a a a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由2142n n n a a a +=++,得21244n n n a a a ++=++,即()2122n n a a ++=+,两边同取以3为底的对数,得()212233loglog n n a a +++=,即()12233log 2log nn a a +++=,所以数列(){}23log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,()213log 2nan +-=,1223n n a -+=,即1232n n a -=-.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .【经典例题1】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N ,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由()1111322n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-⇒-=-,故{}1n n a a +-是以212a a -=为首项,2为公比的等比数列,即()112122n n n n a a a a -+-=-=,接下来就是叠加法啦,1121...22n n n a a a a --⎫-=⎪⎬⎪-=⎭全部相加得:122nn a a -=-,所以21nn a =-.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,22a =,212133n n n a a a ++=+,求数列{}n a 的通项公式。
学会使用构造法，巧解初中几何题
学会使用构造法，巧解初中几何题
辅助线在几何的解题中应用非常广泛，在解题时，正确的添加辅助线，可以挖掘题目中隐藏的条件，让我们在解题的过程中，有一种“柳暗花明”的感觉，不知同学们是否有过这种体会？
今天我分享一种辅助线的作法——构造法，那么什么是构造法呢？我想就是根据题目中的已知条件，构造成我们熟悉的图形，如含30º角的直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
再利用这些特殊图形的相关结论、性质对问题进行求解。
下面结合例题进行详细讲解
例1.构造等腰三角形
如图，AB//CD，∠1=∠2，E是BC的中点。
求证：AD=AB+CD。
证明:延长DE与AB的延长线交于点F
∵AB//CD，∠1=∠2
∴∠2=∠F=∠1，∠EBF=∠DCE
又∵E是BC的中点
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(AAS)
∴D C=BF
∵∠1=∠2
∴AD=AF=AB＋BF
∴AD=AB＋CD
[思路小结]
根据题意，要求不在同一条直线上的线段和相等，我们必须将线段转化到同一条直线上，再证明相等就容易多了。
本题就是利用构造法，通过作辅助线构造一个等腰三角形，利用等腰三角形两个底角相等，那么底角所对应的边也相等的性质，将三个线段转化到一条线段，再求解。
例2.构造30º的直角三角形
[思路小结]
通过作辅助线延长CD至E，使DE=DC，连接BE；构造直角三角形，证明△BDE≌△ADC，BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，最后得AC=2BC.
例3.构造等边三角形。
人教版八年级数学上册专题(八) 构造“三线合一”巧解题(选用)
方法技巧二：遇到等腰作底边上的高，构造“三线合一”图形． 4．如图，点D，E分别在BA，AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE. 求证：DE⊥BC. 解 ： 作 AG⊥DE ， ∵ AD ＝ AE ， ∴ ∠ DAG ＝ ∠ EAG ， 又 AB ＝ AC ， ∴∠B＝∠ACB，∵∠DAE＝∠B＋∠ACB＝2∠B＝2∠DAG，∴∠DAG ＝∠B，∴AG∥BC，∴DE⊥BC
2 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 是 BC 的 中 点 ， 过 A 点 的 直 线 EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
解：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC， ∴AD⊥EF，又∵AE＝AF，∴DE＝DF
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分 别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：(1)DE＝DF；(2)DE⊥DF.
八年级上册人教版数学 第十二章 全等三角形
专题(八) 构造“三线合一”巧解题(选用)
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一 线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明 角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
方法技巧一：有等腰三角形底边中点时，常作这底边上的中线，构造“三线 合一”图形．
方法技巧三：遇有垂直时，将图形以垂线为轴翻折，构造“三线合一”． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝ AB＋BD. 解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵BD＝DE，AD⊥BC，∴AB＝ AE，∠B＝∠AEB＝∠EAC＋∠C，又∵∠ABC＝2∠C，∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝EC，∴CD＝CE＋DE＝AE＋ED＝AB＋BD
2019-2020年中考数学复习方法技巧专题四：构造法训练含分类汇编解析
三、解答题
பைடு நூலகம்
9．如图 F4－ 6，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是
BC，CD，测得 BC＝ 6 m，
CD＝ 4 m，∠ BCD＝ 150°，在 D处测得电线杆顶端 A的仰角为 30°，试求电线杆的高度． ( 结果保留根号 )
图 F4－6
参考答案
1． C [ 解析 ] 以点 O为圆心，以 OA为半径作⊙ O. ∵ OA＝ OB＝ OC，∴点 B， C在⊙ O上．∴∠ AOB＝ 2∠ ACB＝ 60° . 故选 C. 注：此题构造了圆．
A． 1＜ α ＜ β ＜ 2 B ． 1＜ α＜ 2＜ β
C． α ＜ 1＜ β ＜ 2 D ． α ＜ 1 且 β ＞ 2
二、填空题
4．如图 F4－2，六边形 ABCDE的F 六个内角都相等． 若 AB＝ 1，BC＝ CD＝ 3，DE＝2，则这个六边形的周长等于 ________．
图 F4－2 1
程的解．
注：此题构造了二次函数．
39 7. 2 [ 解析 ] 如图，作直径 AE，连结 CE，则∠ ACE＝ 90° .
∵ AH⊥ BC，∴∠ AHB＝ 90° .
∴∠ ACE＝∠ AHB.
∵∠ B＝∠ E，∴△ ABH∽△ AEC.
AB AH
AE·AH
∴ ＝ . ∴ AB＝
.
AE AC
AC
∵ AC＝ 24， AH＝ 18，AE＝ 2OC＝ 26，
4(2
－
1 )
2－
3＝
6.
故选
A.
2
注：此题根据两个等式构造了一个一元二次方程．
3． D [ 解析 ] 一元二次方程 ( x－ 1)( x－ 2) ＝ m( m＞ 0) 的两根实质上是抛物线 y＝ ( x－ 1)( x－ 2) 与直线 y＝ m两个交 点的横坐标．如图所示，显然 α ＜1 且 β ＞ 2. 故选 D.
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法的基本概念构造法是指通过建立某种结构或模型来解决问题的方法。
在数学中，构造法是一种重要的解题方法，它可以帮助我们更好地理解问题，并找到问题的解决方案。
构造法主要包括几何构造法、代数构造法、概率构造法、组合数学构造法和数论构造法等多个领域。
通过构造法，我们可以通过建立模型或结构来逐步推导问题的解，从而达到解决问题的目的。
在使用构造法解题时，我们需要根据问题的特点选择适当的构造方法，比如在解决几何问题时，可以通过画图或建立几何结构来推导问题的解；在解决代数问题时，可以通过代数运算或代数结构来建立问题的模型；在解决概率问题时，可以通过概率模型或事件概率的计算来找到问题的解决方案。
构造法是一种灵活多样的解题方法，它在数学中扮演着重要的角色。
通过掌握构造法，我们可以更好地理解数学问题，提高解题效率，同时也可以培养我们的逻辑思维能力和创造性思维能力。
在接下来的正文中，我们将具体探讨构造法在各个数学领域的运用方式和效果。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法是数学问题解决的一种方法，通过构造出满足题目条件的对象来解决问题。
在解决数学问题的过程中，构造法可以帮助我们更直观地理解问题的本质，并且能够激发我们思维的活跃性，提高问题解决的效率。
构造法在数学研究中被广泛应用，并在许多数学领域取得了重要的成果。
无论是几何、代数、概率、组合数学还是数论等领域，构造法都发挥着重要的作用，为数学领域的发展提供了重要的思路和方法。
构造法在数学教学中也具有重要意义。
通过引导学生运用构造法解决问题，可以帮助他们培养逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣和学习动力。
2. 正文2.1 构造法在解决几何问题中的运用构造法在解决几何问题中的运用是数学中常见且重要的应用之一。
通过构造法，我们可以通过几何图形的绘制和分析来解决各种几何问题，从而深入理解几何知识并提高解题能力。
在解决几何问题中，构造法可以帮助我们找到几何问题的解决方法。
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7.已知 (b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0，则 =______。
8.（2012•郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
例2当x=_____时，分式 无意义；当x=______时，此分式的值为零。
解要使此分式无意义，只需x2-7x–8=0，解之得x1=8，x2=-1，即当x=8或x=-1时，该分式无意义。
要使该分式的值为零，只须分子x2–1=0且分母x2-7x–8≠0；由x2–1=0，得x=±1，但当x=-1时，分母x2-7x-8=0，分式无意义。故当x=1时，此分式的值为零。
综上所述，知 =2。
8.解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，
y=20x+80（100-x）=8000-60x；（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100-x），根据题意得：
100-x≥3x 20x+80(100-x)≤6620，
一．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4，b=15
二．构建几何图形
对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
9.（2012•佳木斯）如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD=20°，BD是直径，则∠ACB=70°
10.如图2，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若 。求证： 。
∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得：
∵ ，∴P随x的增大而减小.∴当x= 32时，P最小＝3600.
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
四巩固强化
1.（2012常州）已知关于x的方程2x -mx-6=0的一个根2，则m=，另一个根为
答：大货车用8辆，小货车用10辆；…（1分）
（2）w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650[10-（9-a）]…（2分）
=70a+11550，
∴w=70a+11550（0≤a≤8且为整数）…（1分）
（3）16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，…（1分）
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8且为整数，…（1分）
一真题链接
1.（2012青海）若m,n为实数，且 的值为
2.（2012莆田）
3.（2012•铁岭）如果 ，那么xy=
4.（2012•佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
巩固强化的答案：
1.
2.
3..解：根据题意，得
x+1≥0
2-x≥0，
解得，-1≤x≤2；
故选B．
4.解由同类二次根式的定义可知：5a–3=a2+3，解之得a1=2，a2=3。但当a=3时，已知为 ，它不是最简二次根式，所以a只能取2，故本题应选D。
5.因9x2+12x+4=(3x+2)2≥0， ≥0，且(3x+2)2+ =0，则由非负数的性质（几个非负数之和为零，则每个非负数为零）得(3x+2)2=0且 =0，解之得x=- ，y=2。故所求代数式2xy的值：2×(- )2= 。
所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：
在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。
例3：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
5.解：（1）解法一、设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得
x+y=18
16x+10y=228…（2分）
解得x=8 y=10
答：大货车用8辆，小货车用10辆．…（1分）
解法二、设大货车用x辆，则小货车用（18-x）辆，根据题意得
16x+10（18-x）=228…（2分）
解得x=8
∴18-x=18-8=10（辆）
6.根据一元二次方程的定义，得m2–2=2，解之得m=±2。但当m=2时，此方程二次项系数为零，不是一元二次方程，故m=-2。
7.由已知得：(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0。
⑴当a–b=0时，则b–c=0，a=b=c，所以 =2；
⑵当a–b≠0时，由(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0可知关于x的方程(a-b)x2+(b-c)+(c-a)=0有两个相等的实数根。又(a–b)+(b-c)+(c–a)=0，则x1=x2=1，x1x2=1，所以 ，即 =2。
例2：已知 ，则x 的取值范围是（ ）
A 1≤ ≤5 B ≤1 C1＜ ＜5 D ≥5
分析：根据绝对值的几何意义可知： 表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数 的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ ≤5，故选A.
三、构造函数模型，解数学实际问题
得 ，即 。
注：应用构造一元二次方程的方法解决一些几何中的不等式问题，的确让我们有耳目一新的感觉，有益于训练大家思维的发散性、创新性。
三．构建函数解决问题
例5(2012年，辽宁省营口市)（10分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数： ．
三．典题示例
一．构造方程解题
例1若代数式m2+ 3与4m+ 1互为相反数，则m-2等于（）
A. 4 B. - 4 C. D. -
解由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得m2+ 3 + 4m+ 1 = 0，即m2+ 4m+ 4 = 0，(m+ 2)2= 0，解之得：m= - 2，所以m-2= (-2)-2= ，故本题应选C。
答案：解：（1）由题意，得：w= (x－20)·y=(x－20)·( )
.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得： 解这个方程得：x1= 30，x2= 40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
（3）∵ ，∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
初中解题方法之构造法专题
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
二．名词释义
解得：30≤ ≤32
∵ 是正整数
∴ ＝30或31或32
∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。
（2）由题意得； ＝
∵ 随 的增大而减小
∴当 ＝30时， 有最大值，最大值为：
＝45000（元）
答： 与 之间的函数关系式为： ＝ ，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。
5.（2012•佳木斯）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：