初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型地构造(倍长中线法;构造中位线法)

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教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线

开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格

新课导入知识点归纳

1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）；

2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；

3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；

4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.

新课内容做辅助线思路一：倍长中线法

经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围.

【课堂训练】

1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：

①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）

A.①②④

B.①③④

C.①②③

D.①②③④

第1题图第2题图

2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）

①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为

∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交

CA的延长线于G，求证：BF＝CG．

F

G

E D

B C

A

5.如图所示，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AE ＝EF ，求证：AC ＝BF.

6.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ，F

F

D

B

C

A

E

为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE ＝2AF ；②FG ⊥DE ．

7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？

G

F

B

C

A

D

E

F

D

A

B

C

E

8.四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上的中点，△ABE 沿着直线AE 翻折，点B 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G ，请探究线段AB 、AG 、GC 之间的关系．

G

F

E

D

B

C

A

9.如图所示，△ABC 中，点D 是BC 的中点，且∠BAD ＝∠DAE ，过点C 作CF//AB ，交AE 的延长线于点F ，求证：AF ＋CF ＝AB.

做辅助线思路二：构造中位线法

经典例题2：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12，BC ＝16，中位线EF 与对角线分别相交于H 和

G ，则GH 的长是________.

F

D

B

C

A

E

【课堂训练】

1.已知，如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N.求证：∠AME ＝∠DNE.

A

B

F

C

D

N M E

2.已知，如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N.求证：OM ＝ON.

3.BD 、CE 分别是的△ABC 外角平分线，过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F 、G ，易证FG=

2

1

（AB+BC+AC ）。 （1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形

D A

B

C

O

E

F

M

N

P

（图1）并说明理由；

（2）若BD、CE分别是△ABC的内角和外角平分线，FG与△ABC三边有怎样的数量关系？画出图形（图2）并说明理由．

4.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝AB，M 是CD的中点试说明：AM⊥BM。

B C

M

N

A D

5.如图所示，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD于D，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，则求DE的长.

6.如图所示，在△ABC中，∠A＋∠B＝2∠ACB，BC＝8，D为AB的中点，且CD＝197

，

2

求AC的长.