高三函数复习专题

第一讲---函数的定义域

一、解析式型

当函数关系可用解析式表示时，其定义域的确定只需保证这个解析式在实数范围内有意义即可.求解时要由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，此不等式（或组）的解集就是所求函数的定义域.

例1 、求下列函数的定义域．

（1）

y =

（2）y =；

（3）2

lg(31)

y x =++；

（4）x y cos =

例2、求函数()lg()lg(1)f x x k x =-+-的定义域.

二、抽象函数型

抽象函数就是指没有给出具体对应关系的函数，求抽象函数的定义域一般有两种情况：一种情况是已知函数()f x 的定义域，求复合函数[()]f g x 的定义域；另一种情况是已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域.

例3、已知函数)(x f 的定义域是(12]-，，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域.

三、实际问题型

四、学过的函数

第二讲---函数的值域

求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面给出常见方法。

一、分析观察法：结构不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出

函数的值域。

例1、求函数()1y x =≥的值域。

例2、求函数y

例3、求函数32

y x =

-的值域。

三、换元法

求值域；

注意:(1)新元的取值范围，(2)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。

例4、求函数y x =-

例5、求函数4y x =+的值域

四、配方法：二次函数或可转化为二次函数的复合函数常用此方法来还求解

例6、求函数y =

五、判别式法

程，由于方程有实根，即0≥∆从而求得y 的范围，即值域。

注意：①定义域为R ，②要对方程的二次项系数进行讨论。

例7、求函数22122

x y x x +=

-+的值域。

例8、求函数3cos 2

y x =

-的值域。

例9、求函数2sin 2sin x y x -=

+的值域。

例10、求函数sin 2cos x y x

=

-的值域

七、基本不等式法：

得最值。注意“一正、二定、三等”

例11、求函数1y x x

=+

的值域。

例12、求函数2

12y x x =+

(0)x >的值域

八、利用函数单调性：

结合函数的定义域，可求得值域。

例13、求函数x y 2=，[]2,2-∈x 的值域。

例14、求函数y =

例15、求函数y x =-

例16、求函数21()(2)x f x x x

+=≥的值域。

九、数形结合法

若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法。 例17、求函数()()2282++-=

x x y 的值域

十、导数法

例18、求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的值域

第三讲---函数的单调性

一、主要方法：

1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2.判断函数的单调性的方法有：

()1定义；()2已知函数的单调性；()3函数的导数；()4如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数；()5图像法；()6复合函数的单调性结论：“同增异减”； ()7奇函数在对称的单调区间内单调性相同，偶函数在对称的单调区间内单调性相反；()8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(9)在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增

函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数；()10函数)0,0(>>+=b a x

b ax y 在

,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝

或上是单调递减。 3.证明函数单调性的方法：利用单调性定义

二、典型例题

例1、求下列函数的单调区间：

()

120.7log (32)y x x =-+ ()2y =

例2、若函数()y f x =在R 上单调递增，2()()f m f m >-，求m 的取值范围

例3、函数()()2212-+-+=a x a x x f 在(]3,∞-上是减函数，求a 的取值范围。

例4、函数()()14322-+-+-=a x a x x f 在[)+∞,1上是减函数，求a 的取值范围。

例5、函数()b ax x x f +-=2在()1,∞-上是减函数,在()+∞,1上是增函数，求a

例6、求函数()8log 2log 2

12

21++-=x x x f 的的单调区间.

例7、求函数⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=x y 24sin log 2π的单调区间.

例8、若函数()x f 的图象与函数()x x g ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=31的图象关于直线x y =对称，求()

22x x f -的单调递减区间.

例9、函数()()1132++-=x m mx x f 在[-1,2]上是增函数,求m 的取值范围。

例10、已知函数21)(++=

x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，试求a 的取值范围

例11、已知函数()()a ax x x f +-=221log 在区间()

2,∞-上是单调增函数，求a 的

取值范围。