算符的对易关系
3.7 算符对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB
3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
§3.6算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系 一． 算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[]A B B A B A -=, 对易式 (4-5) []A B B A B A+=+, 反对易式 (4-7)若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- (4-6a) 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ (4-6b) 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = (4-6c) 4) [][][]B C A C B A C B A,,,+= (4-6d)5)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++=——称为 Jacobi （雅克比恒等式）。
(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x ,和ˆx pi x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= （3.7.1） 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 （3.7.2） 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ， ˆˆz z zpp z i -= （3.7.3） 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
11/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆ ˆ y ] z,p ˆ ˆx 0 [z,p
ˆx,p ˆ y ] p ˆx,p ˆz ˆ y,p ˆz [p p 0
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0
ˆ G ˆF ˆ G ˆF ˆG ˆ) a ˆG ˆ ) = (F 则： (F n n
ˆ G ˆF ˆG ˆ) n = a n (F
n
n
ˆF ˆ ˆ G ˆ =F ˆ G ˆG ˆ G ˆF ˆG ˆ) n = F 而 (F n n n n n n
ˆx p ˆ x x 作用在任意波函数 ( x ) 上，即： ˆ x xp 将 x, p
(x (x)) ˆx p ˆ x x (x) x(i ) (x) xp x i x x (x) x (x) (x) i x i x i
定理2（定理1的逆定理）：如果两个算符对易，则这
两个算符有组成完全系的共同本征函数。
ˆ 的完全本征函数系，且本征值 证明：设{ n }是 F n
非简并。
ˆ 则： F n n n
n 1,2,3,
①
ˆ 和G ˆ 对易，则： 而F
ˆF ˆ ）= G ˆ ) ˆ = (G ˆ (G F n n n n
ˆ 有确定值 n ，…（按3.6节讲的基本假 有确定值 n ， G ˆ ,ˆ ˆ ,… ˆ,G 设）。于是会存在这样的态，在这些态中，H I， F
代表的力学量可同时取确定值。
结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件
是在这些力学量算符的共同本征态中。
例如：
ˆ y， ˆ x， ˆ z 对易，则它们有完全共同的本 ①动量算符 p p p
动量算符和角动量算符的对易关系
动量算符和角动量算符的对易关系
动量算符和角动量算符的对易关系是量子力学中一个重要的基本原理。
在物理学中，对易关系是指两个算符A和B，它们的对易子是0，即[A,B]=AB-BA=0。
如果两个算符A和B的对易子不等于0，那么它们是不对易的。
在量子力学中，动量算符和角动量算符的对易关系是：
[Px, Lz]=iħYx
[Py, Lz]=iħYy
[Pz, Lz]=iħYz
其中Px、Py和Pz分别表示沿着X、Y和Z方向的动量算符，Lz表示沿着Z方向的角动量算符，ħ是普朗克常数除以2π，而Yx、Yy和Yz 表示一个轨道角动量算符在X、Y和Z方向上的本征值，它们称为
“本征矢”。
这个对易关系告诉我们，在量子力学中，动量算符和角动量算符是互
相影响的。
如果我们测量一个粒子的动量，就会影响其角动量，并且
在测量其角动量时，会影响其动量。
这个关系是量子力学的基本原理
之一，它描述了物理世界的量子性质。
总的来说，动量算符和角动量算符的对易关系是量子力学中一个非常
重要的基本原理，它不仅仅涉及到动量和角动量的测量，还涉及到粒
子的本质结构和量子性质。
因此，对于每一个学习量子力学的人来说，理解动量算符和角动量算符的对易关系是非常必要的。
算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系
对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）
算符的对易关系
2
,m
三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量， 通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量， 称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
px , p y , pz 氢原子中电子，3个自由度： 三个量子 ˆ ˆ 数 H , l , lz
x a, x px
2 2
2
4
, px
2
2
4a
T
px
2
2
2
8 a
例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小 能量 p2 1 2 2 E x 2 2 2 2 x 2 而 x Nn e H n2 x xdx 0
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
又
(33)
(b) 算符的函数
设给定一函数 F x 存在各阶导数，幂级数张开收敛：
F x
n 0
F
n
0
n!
xn
(34)
d ax 如 F x e : F e dx
a
d dx
二、两个算符对易的条件
an d n n n ! dx n 0
2
0
(43)
ˆ 不对易， ˆ,G ˆ 的均方偏差不能同 ˆ,G 当 F k 0 ，则 F 时为0，而者乘积恒大于某一正数。
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
所有算符的对易关系总结
所有算符的对易关系总结法是一种解决问题的方法，它以某种系统的方式搜集、推理和分类信息，并得出问题的答案。
算法涉及到许多不同的数学概念和表达式，其中包括算符，算符可以用来表示不同的运算功能，如加减法，乘法和除法。
在数学中，算符表示两个数字之间的运算，有时也称为算术算符。
算符也可以用来表示其他种类的运算，比如逻辑算符，如and、or和not。
算符可以用来表示操作的类型或者关系，例如加法、减法、乘法和除法；也可以用来表示比较关系，如大于、小于、等于等。
算符可以用来构建算式，这些算式可以表示不同的数学操作，也可以用来编写程序。
本文将总结所有的算符的对易关系，并讨论它们的用途和实现方法。
1.减法算符减法是最常用的算法之一，它用来表示加法或减法运算。
加法算符的对易关系是加法的逆元，即可以把加法的结果减去两个数，得到原来的结果。
因此，如果有一个数a，它可以用另外一个数b表示为a+b，那么它的逆元b可以表示为a-b。
2. 乘法算符乘法算符用来表示乘法运算，它的对易关系是除法，即可以把乘法的结果除以两个数，得到原来的结果。
因此，如果有一个数a，它可以用另外一个数b表示为a*b，那么它的倒数b可以表示为a/b。
3.法算符法算符用来表示除法运算，它的对易关系是乘法，即可以把除法的结果乘以两个数，得到原来的结果。
因此，如果有一个数a，它可以用另外一个数b表示为a/b，那么它的乘法结果b可以表示为a*b。
4.较算符较算符用来表示不同的比较关系，如大于、小于、等于等。
它们的对易关系是反转，即可以把一个比较关系反转，得到另一个比较关系。
例如，如果有一个关系a>b，那么它的反转关系就是b>a。
5.辑算符辑算符用来表示不同的逻辑关系，如and、or和not。
这些算符的对易关系是反转，即如果一个算符表达的逻辑是真，那么它的反转算符表达的就是假，反之亦然。
例如，如果有一个逻辑表达式a and b，那么它的反转表达式就是not (a and b)。
算符对易关系_第三章教材
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F
* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
高二物理竞赛课件：算符的对易关系+
( ypˆ z zpˆ y )(zpˆ x xpˆ z ) (zpˆ x xpˆ z )( ypˆ z zpˆ y )
( ypˆ x xpˆ y )( pˆ z z zpˆ z )
i lˆz 同理： lˆy , lˆz i lˆx
lˆz , lˆx i lˆy
角动量算符定义： lˆ lˆ i lˆ
证明：设 Fˆn fnn ， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况：设任意波函数态为，因 组n 成完备系，
所以
Cnn
n
(FˆGˆ GˆFˆ ) Cn(FˆGˆ GˆFˆ )n 0
共同本征函数 nlm RnlYlm
Hˆ nlm En nlm
lˆ2 nlm (l 1)l
2 nlm
En
es4 2 2n2
L2 l(l 1) 2
lˆz nlm m nlm
lz m
在 态nl下m ，能量，角动量平方，角动量z分
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互 对易的力学量（通常通过它们的本征值），这一 组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完 全集合.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
同时确定时，状态才能唯一确定。而m ↔ L^z力
学量相对应。即需另找一个与 L对2 易的力学量， 才能确定完全状态。 ( L^r 2, ^Lz ) 构成一组力学§量完全集。
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p^个p^力学量.
3.7 算符对易关系
ˆ iB ˆ iB ˆ , A ˆ I ( ) A
ˆ , A ˆ A ˆ , iB ˆ iB ˆ iB ˆ , A ˆ , iB ˆ A
ˆ , A ˆ i A ˆ , B ˆ B ˆ i B ˆ , A ˆ , B ˆ 2 A
ˆ 2 i , A ˆ, B ˆ , B ˆ 2 2 , A
2
ˆ ˆ i , ik ˆ , B , A
2 2
ˆ ˆ 2 , k ˆ 2 2 , A ,B
所以
2 ( k ) ˆ ) 2 (B ˆ )2 (A 4
2
ˆ ˆ，B ˆ] [A ˆ，B ˆ ] ik [A
（二）坐标和动量的测不准关系
（1）测不准关系
ˆ ˆ，B ˆ] [A ˆ，B ˆ ] ik [A
2 ( k ) ˆ ) 2 (B ˆ )2 (A 4
n
ˆ G ˆF ˆG ˆ ) cn ( F n
ˆ ) ˆ G cn ( F n n n
n
n
cn ( n n n n )n 0
n
因为 (x) 是 所以 任意函数
ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 F
两力学量同时有确定值的条件
• 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般 没有确定值。
j (1,2,3) ( x, y, z)
2 2 2
[ L j , p ] 0 , [ L, p ] 0 , [ L , p ] 0
[ L,U (r )] 0 , [ L ,U (r )] 0
算符对易关系_第三章
们最多相差一个常数因子n ，即
可见，
n
Gˆn nn
也是 Gˆ 的本征方程的解。因此，n
是
Gˆ 的本征函数完全系
8
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续8）
注
★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简 并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立 （这里就不再证明了）
★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个 算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数 所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时 有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量 同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。
2
* (Fˆ
2
)
d
i
*[FˆGˆ GˆFˆ ]d
*(Gˆ )2 d
2 (Fˆ )2 k (Gˆ )2 0
由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件 是系数必须满足下列关系：
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 （称为测不准关系）
4
如果 k 不等于零，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 F 和 G 不能 同时测定。
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续9）
Ex.1 动量算符 pˆx, pˆ y , pˆz彼此对易，它们有共同的
本征函数完备系
p(r)
(2)
3
2
e
i
pr
在 pv (rv) 描述的状态中，px , py , pz 同时有确定值。
4．测不准关系
量子力学中的对易关系
量子力学中的对易关系量子力学是研究微观粒子行为的重要分支。
在量子力学中，有一个重要的概念就是对易关系。
对易关系是描述两个算符之间的联系的数学表达式，它在量子力学的许多方面起到了关键的作用。
本文将探讨量子力学中的对易关系，并讨论其在实际应用中的意义。
一、对易关系的定义与性质量子力学中，对易关系是通过算符的对易子来定义的。
算符是在量子力学中用来描述测量物理量的数学对象。
对易关系的定义如下：[A, B] = AB - BA其中，A和B分别是两个算符，[A, B]表示A和B的对易子。
对易关系可以有两种情况：对易（commutative）和反对易（anti-commutative）。
如果[A, B] = 0，则称A和B是对易的；如果[A, B] = AB - BA ≠ 0，则称A和B是反对易的。
对易关系具有以下性质：1. 对易关系是线性的。
即对于任意的A, B, C和任意的复数a, b，有[aA + bB, C] = a[A, C] + b[B, C]。
2. 对易关系满足雅可比恒等式。
即对于任意的A, B和C，有[A, [B, C]] + [B, [C,A]] + [C, [A, B]] = 0。
这个恒等式是对易关系的一个重要性质，它保证了对易关系的传递性。
3. 如果A和B是对易的，那么A和B的任何函数也是对易的。
即对于任意的函数f(x)和 g(x)，如果[A, B] = 0，则有[f(A), g(B)] = 0。
这个性质说明了对易关系的传递性在函数层面上的推广。
二、对易关系的意义与应用对易关系在量子力学中有着重要的意义和广泛的应用。
下面我们将讨论几个关于对易关系的典型例子。
1. 不确定关系：对易关系在不确定性原理中起到了重要作用。
根据不确定性原理，对于两个物理量A和B，他们的不确定度满足一个基本的限制，即ΔAΔB ≥ħ/2。
这个关系可以通过对易关系得到推导。
考虑到对易关系[A, B] = AB - BA = cħ（其中c是一个常数），我们可以推导出不确定关系的一种形式。