14-关于有限元等参单元存在条件

J detJ
1 0
11 2 1 2 2 1 2
4 0
Jacobi行列式是的线性函数，Jacobi行列式的值恒为正，因此，母体单 元与单元１的变换是可逆的。
x 3 . 09375 , y 1 . 90625
单元２： x1 x4 2, x2 3, x3 5, y1 0, y 2 2, y3 y 4 3
x y
N i ( , ) xi 3 2
i 1 4
4

2


2
J detJ
2

2
N
i 1
i
( , ) y i 4

2
1
2 0 2 1
0
J detJ
1

2
1
2 0 2 0
若将单元3的结点编号顺序改为逆钟向，即：
Jacobi行列式的值小于零表 示：右手坐标系映射到左手 坐标系，这种变换关系在有 限元方法中也是不允许的。
x1 2, x2 x3 5, x4 0, y1 y 2 3, y3 y 4 5
x y
N i ( , ) xi 3
i 1 4
4

2


2

４
ˆ e
３

1 0
N
i 1
i
( , ) y i 2

2 1

2


2
1
２
4
e2
3 2
J detJ
1
1 2
3 2 1 1 4 1 2
xi yi
i 1 4
3
e1
1
2
x
yi
i 1
Fra Baidu bibliotek
单元１： x1 x4 0, x2 x3 2, y1 y 2 0, y3 3, y 4 5
x y
N
i 1 4
4
i
( , ) xi 2 N 2 2 N 3 1
1 N i ( , ) y i 3 N 3 5 N 4 1 2 2 i 1
(3) 协调性
对于二阶问题要求穿过单元边界 时位移连续。
y,v
４
３
η
4 ３
e
M
ê
２

ξ
２
１ s
e’
x,u
１
M
沿 1-2 边η ＝常数，x、y、u、v 都是ξ 的线性函数。
ξ
图10-5
因而u，v也是Ｓ 的线性函数，完全由 考察单元 e 和 e’ 共同边界 1-2 ： 这个边界上两个结点1、2的位移值u1、u2、 其上的位移处处相同，即在边界上位 v1、v2所决定。 移是连续的。
4. 收敛性分析 (1) 单元内位移场连续
x、y、u、v 都是ξ，η 的双线性函数（连续函数）。只要Jacobi行列式detJ≠0， u、v 就是 x，y 的连续函数。即在实际单元内 u、v 连续。
(2) 刚体位移和常应变条件 对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总体坐标的完全一 次多项式。或者换一个提法：假定的位移场可以精确地表述任何一种线性变 化的真实位移场。 形函数满足：
4 4

3
,
3
单元３： x1 2, x2 0, x3 x4 5, y1 y 4 3, y 2 y3 5
x y
N
i 1 4
4
i
( , ) xi 3

2
2

2
N
i 1
i
( , ) y i 4
1 2 2
5.0
１
2
图10-1
y 2 4 1 3 4
e1
3
e3
4
e2
3.0
2.0
3
2
x
1 0.0
2 1 2.0 3.0
5.0
计算出Jacobi矩阵中的各元素如下:
x x y y
y 4
x
i 1 4 i 1 4
4
N i
i
N i N i N i
1
Jacobi行列式的值沿着直线 1 0 为零，母体单元中的阴影部分将映 射到实际单元的阴影部分，这部分显然在实际单元之外。例如，母体单元中的点
落在阴影部分，该点映射到了实际单元的 x 3.09375, y 1.90625 。 因此，母体单元与单元２的变换不是可逆的。所以内角大于 180 的网格在任何 单元中都是不允许的。一般来说，有限元网格中内角过大或过小都是不合适的。

N
i i 1
4
1
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
2 xi 3 y i u
N u
i i 1
4
i
v N i vi
i 1
4
只要所定义的形函数满足（10-6）（不管形函数的具体表达式如何），且坐标 变换和假定的位移场使用同一组形函数（等参数单元总是如此），那么这样假设的 位移场一定能够精确地表述任何一种线性位移场，即刚体位移和常应变条件总可以 得到满足。

1 4 1 4 1 4 1 4
x1 1 x 2 1 x3 1 x 4 1 x1 1 x 2 1 x3 1 x 4 1 y1 1 y 2 1 y 3 1 y 4 1 y1 1 y 2 1 y3 1 y 4 1
1 当 j i N i ( i , i ) ij 0 当 j i
(10-6)
4
N
i 1
4
i
( , ) 1
u 1 N i 2 N i xi 3 N i y j
i 1 i 1 i 1
4
4
设真实位移场为 x，y 的线性函数
四结点四边形等参元的优缺点：
4
η 3
(1,1) ξ
形状有较大灵活性 只能精确地再现线性变化的位移场 虽然能保证有限元解的收敛性，但精度不够满意
(-1,-1)
5. 四结点单元的应用实例及相关限制条件 １、2号单元与母体单元的结 点编号顺序一致，均为逆钟向，而 ３号单元的编号顺序为顺钟向；１、 ３号单元为凸形单元，即连接任意 两点结点的线段均在单元内部，而 单元２是非凸形单元，如连接结点 １、３的线段不在单元内。下面讨 论这些差别在母体单元与实际单元 进行映射时的影响。