14-关于有限元等参单元存在条件
第四章 等参数有限元方法
第四章 等参数有限元方法§4.1 引言在有限元法中，提高计算精度的有效方法是提高单元的计算精度。
一种高精度的单元不仅要求采用高阶插值函数的位移模式，而且应能较好地适应物体的边界几何形状。
§4.2 等参数单元的概念本节首先从平面任意四边形单元着手，介绍等参元的一些基本概念。
平面问题的有限元法中，最简单而又常用的是常应变三角形单元，其次是具有4结点的矩形单元。
矩形单元，由于它的位移是坐标的二次函数，因而能比常应变三角形单元较好地反映实际应力的变化情况，但是矩形单元不能适应曲线边界和非正交的直线边界，也不能随意地改变大小，如果能改用任意的四边形单元，如图4-1所示，上述缺点就能克服，但是对于任意四边形单元，如采用矩形单元的双线性位移模式xy y x u 4321ββββ+++=xy y x v 8765ββββ+++= （4.2.1）则相邻单元的公共边界上位移将是不连续的。
这是由于在单元不平行于坐标轴的任意一个边界上，上述位移模式是二次函数C Bx Ax u ++=2而不是线性变化的，因而在边界上的插值函数值不能由同一边界上两个结点的位移唯一的确定。
双线性位移模式不能直接地用于任意四边形单元。
但是对于矩形单元，由于在边界上位移模式是线性的，即在矩形单元中的边界上位移完全由同一边界上的两个端点的位移唯一确定，因而单元间位移是连续的。
也就是说单元是协调的。
为解决任意四边形单元的协调性问题，我们通过坐标变换，首先将xy 平面上的任意四边形单元变换为ξη平面上以原点为中心，边长为2的正方形单元，而xy 平面上的结点1，2，3，4分别映射为ξη平面上的结点1，2，3，4。
这种变换不是对应于整个求解域进行，而是针对每个单元进行的，ηξ,是局部坐标，它只应用于单元范围内，而y x ,为整体坐标，它适用于所有单元。
下面我们考虑局部坐标系下的单元。
设位移模式为ξηβηβξββ4321+++=uξηβηβξββ8765+++=v （4.2.2）每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α )4,3,2,1(=i 每个单元有8个结点位移分量，于是单元结点的位移向量可表示为[]Te v u v u v u v u 443322114321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ααααα e α为单元结点位移列阵。
等参单元
等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中，m是用以进行坐标变换的单元节点数，Ni’是 用于坐标变换的形函数，它也是用局部（自然）坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元
等参变换的条件
由微积分学知，两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0，等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下，面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3
V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1
1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1
A
g ( x, y, z )dS e
1 1
1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ，2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
U e 1 (x( )) (x( ))dV 1 x2 Ee (x( )) (x( ))Aedx
2 e
2 x1
U e 1 1 EeB( )qeB( )qe Ae (le / 2)d
2 1
U e
1 qeT [
1
(l e
/
T
2)B
( )Ee AeB( )d ]qe
2
1
U e 1 qeT Keqe 2
x(,) N(,)xe
u(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe
N1
1 4
(1
)(1 )
N2
1 4
(1
)(1 )
N3
1 4
(1
)(1 )
N4
1 4
(1 )(1)
ε(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe B(,)qe
x
B(
, )
0
y
0
x 1 2 3 4 N1x1 N2x2 N3x3 N4x4
y
1
2
3
4
N1 y1
N2
y2
N3
y3
N4
y4
N1
有限元分析 第五章 等参数单元
(5.7)
(5.8)
B、体积微元的变换
对于体积微元，按向量积形式可定义为：
d d d * d
(5.9)
投影到直角系中，在X方向 的分量为： dx x d 同理有
dy y d
d
dz
z d
于是，
x y z d d i d j d k
5.1 基本概念
先考虑一个任意四边形单元，其节点坐标如图。 对应地，选择一个规则的基准单元—正方形单元，设立 自然坐标系 ，。
设想：若正方形单元可以通过某种变换关系变换为任一四边 形单元，对任意四边形单元的研究就可转化为这一基准 单元的研究。
首先要考虑，几何图形的变换。 正方形单元内任一点 P( , ) 都应对应于四边形单元的一个 点 P( x, y) 。 四个节点对应四边形的四个角点； 正方形单元四条边对应四边形的四条边。 相当于通过坐标变换将正方形单元映射为一个任意四边形 单元。 直角坐标与自然坐标之间应存在一个变换关系：
Ni Ni x Ni y Ni z x y z
Ni x N i x Ni x y y y z Ni Ni x x z Ni Ni J y y z Ni Ni z z
正方形单元节点 1，1 1,1 由(5.2) x N1 x1 N2 y2 x x1 同理 y y1
意指：正方形单元中节点 1 对应的实际单元节点1。 同理：基准单元（等参元）的节点 2,3,4 分别对应实际单元 节点2、3、4。 再考虑等参单元中任一点，如中点 i(1,0)
有限元基础知识 归纳 复习题
有限元分析的基本步骤
（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编 号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定 （2）等效结点力的计算 （3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再 组装成整体刚度矩阵） （4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结 点位移 （5）应力计算
8 单元位移函数应满足什么条件
9 刚度矩阵具有什么特点
A、 刚度矩阵是对称矩阵，每个元素有明确的物理 意义。刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的， B、 刚度矩阵是一个稀疏矩阵， C、 刚度矩阵是一个奇异阵； 1．
2
单元分析（平面桁架单元、平面梁单元、平面
3 节点三角形单元、平面 4 节点四边形单元、平面 8 节点四边形单元）
u = α1 + α 2 x + α 3 ( Ax + B) v = α 4 + α 5 x + α 6 ( Ax + B)
u = α1 + α 2 x + α3 y 3 节点 三角 形单元的位移函 v = α 4 + α5 x
2.) 插值函数法——即将位移函数表示为各个节 点位移与已知插值基函数积的和。
u = α1 − θ 0 y ， （平动和转动） v = α 4 + θ0 x
而在其他节点上的值为 0。 3) 单元 内 任 一 点的 三 个 形 函数 之和 恒 等 于 1 。
等参单元定义、存在条件及特性
定义：矩形单元比三角形有更高的精度，而三 角 形有较 矩 形单元 更好 的边界 适 应性。实际 工程 中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单 元。等参单元具有此特点。即以规则形状单元（如 正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次 函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所 获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单
有限元基础知识
一、课程论文：等参单元及其应用1.概述：等参单元的原理及其对有限元法在工程应用的意义工程中一些结构的形状是比较复杂的，有的具有曲面边界，而常用的三角形单元、矩形单元、四面体单元和六面体单元都是直线边界，不能模拟任意形状几何体，在处理曲边界几何体时误差较大。
为解决这些单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，如果再增加边中间点还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度使用单元，就引入了等参单元的概念。
等参单元也就是运用了等参变换方法的单元，即采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。
等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要的意义。
如图1为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。
将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。
但在建立单元位移模式时产生了新的问题：单元上没有一个如矩形单元中的简单直接的局部坐标系，而又不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式（位移沿边界二次变化，不协调）。
图1、4节点任意四边形单元及其母单元需建立一种新的局部坐标系ξ-η，使得4条边的坐标为常数（±1）,则在ξ-η平面内，单元成为一个边长为2的正方形。
同时，该局部坐标系的建立在x-y 平面上的任意四边形单元与ξ-η平面上的正方形之间形成了一个1-1对应的映射关系。
称ξ-η平面内的正方形单元为基本单元或母单元，x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。
显然，母单元节点对应不同的x，y坐标就可以得到不同大小、形状和方位的任意四边形实际单元。
建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在ξ-η平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。
任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为ξ-η坐标系下的位移模式）与矩形单元相同：44332211u N u N u N u N u +++= 44332211v N v N v N v N v +++= 其中，形函数为：)1)(1(41ηηξξi i i N ++=(i=1,2,3,4) 当然，该位移模式在x ，y 坐标系下不是双线性位移模式，位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。
有限元作业——精选推荐
有限元作业等参单元的原理及应⽤摘要：在平⾯问题的有限元法中，最简单因⽽最常⽤的是具有三个节点的简单三⾓形单元，其次是具有四个节点的矩形单元。
矩形单元能较好地反映实际盈利的变化情况，但是矩形单元不鞥适应曲线边界和⾮正交的直线边界，也不能随便改变其⼤⼩，如果改⽤任意四边形单元，则在相邻两单元的公共边界上，位移将不是相性变化，公共边上位移的连续性将得不到保证。
利⽤等参变换，则可以解决这个⽭盾。
关键字：等参单元；有限元⽅法；Newton-Cotes 积分；刚度矩阵；1概述部分：1.1等参单元的概念及其原理所谓的等餐变换是指单元的位移模式与坐标变换表达式中具有完全相同的插值函数的变换。
采⽤等参变换的单元即称为等参单元。
对于如图1.1（a ）所⽰的任意四边形单元，参照前⾯源于矩形单元的位移模式，可以取+++=+++=4433221144332211νννννN N N N u N u N u N u N u （1-1）图1.1 等参单元⽽其中的形函数为：()()1114i i i N ξξηη=++ （1-2）式中：ζ、η为该四边形单元的局部坐标，ζi 、ηi 为四个⾓节点的局部坐标值，其值为：（1-3）由公式（1-1）、（1-2）可以看出，该位移模式在四个节点处给出节点位移。
⽽且，在单元的死边上，位移是线性变化的，从⽽保证了位移的连续性，因此，式（1-1）、（1-2）就是所需的正确的位移模式。
同时，如果效仿位移模式式（1-1）、（1-2），把坐标变换式取为：+++=+++=4433221144332211x N x N x N x N y x N x N x N x N x （1-4）也显然可见，该变换式在四个节点处给出节点的整体坐标；⽽且，在单元的四边上，⼀个局部坐标等于±1，⽽另⼀个局部坐标是线性变化的，从⽽课件，整体坐标也是线性变化的。
因此，式（1-4）就是所需的正确的坐标变换式。
在这⾥，图1-1（b ）中的正⽅形单元称为基本单元或母单元，⽽图1-1（a ）中的任意四边形单元，是由该基本单元通过变换⽽得来的实际单元。
平面有限元分析-等参单元
等参元变换的条件为 J ≠ 0 ，因此在有限元网格划分时，要 特别注意这一点。
等参单元等效节点力（4节点）
（1）集中力引起的单元节点载荷
单元内某点受到集中载荷P=[Px Py]T，移置到单元节 点上的等效节点力为：
j
同理 得
dη = ∂x dηi + ∂y dη j
∂η
∂η
∂x dξ
dA =
dξ × dη
=
∂ξ
∂x
dη
∂µ
∂y dξ ∂x
∂ξ
∂y
dη
=
∂ξ
∂x
∂η ∂µ
∂y
∂ξ
∂y
dξdη
∂η
等参单元刚度（4节点）
因为
∂x ∂y
J
=
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂η ∂η
雅可比行列式 Jacobi
曲边面积元dA:
dA = J dξdη
8 平面问题有限元分析 等参单元
8.1等参曹单国元华刚度（4节点） 8.2等参单元等效节点力（4节点） 8.3矩形单元（8节点） 8.4等参单元（8节点） 8.5高斯积分法
等参单元刚度（4节点）
4
4
=u ∑= Ni (ξ ,η )ui ,v ∑ Ni (ξ ,η )vi
=i 1 =i 1
4
4
=x ∑= Ni (ξ ,η ) xi , y ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1
4
y = ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1
有限单元法 第5章 等参单元
! "#! 平面等参单元
第 & 章介绍的三角形单元的计算精度较低 " 而矩形单元虽然有较高的计算精度 " 但只 能适应于比较规则的区域 # 对于不规则的区域 " 必须用任意等参单元来代替 # 下面介绍直 四边形等参单元和曲四边形等参单元这两种较常用的单元 # ! "# ""! 直四边形等参单元 # " 单元刚度矩阵 图! % 知道 " 标准 " # 所示为边长为 % 的正方形标准单元和直四边形单元 # 由式 $ & ! ’ ! 元的位移函数为 & !!!! (’ ’( # )
然后在此基础上再进行如下的分析利用母单元的形函数和单元结点位移建立子单元的位移场有了单元的位移函数就可以利用虚位移原理或最小势能原理来建立等参单元的单元刚度方程章介绍的三角形单元的计算精度较低而矩形单元虽然有较高的计算精度但只能适应于比较规则的区域对于不规则的区域必须用任意等参单元来代替下面介绍直四边形等参单元和曲四边形等参单元这两种较常用的单元知道标准元的位移函数为直四边形等参元其中章的步骤进行它本身并没有多大的使用价值但可以利用它得到实际计算单元利用形函数式平面上的四个角点如果对实际计算单元的位移函数仍采用标准元的形函数即可以证明它满足完备性和协调性的要求由于描述单元变形的函数和描述单元几何形状的函数相同故称计算元为等参单元将位移函数式1234矩阵集中力集中力的处理很简单一般直接把集中力作用点取为结点不需要作特殊处理就可以直接把集中力加入到结点荷载列阵中去体积力设单元内单位体积上作用的体积力为则移置到单元各结点的等效结点力为表面力设单元某边上作用的表面力为曲四边形等参单元如果是非线性的相应的变换不仅可以把标准单元的结点映射到计算单元的结点而且可以将标准单元的直边映射为计算单元的曲边图所示为曲四边形等参单元曲四边形等参单元由于标准单元有空间轴对称等参单元上一章介绍的空间轴对称问题采用三角形线性单元进行分析往往精度差不能很好地处理弯曲边界并且使相应的空间有限元分割变得十分困难如果采用等参单元进行分割则要方便得多并且各单元之间的相互关系也变得比较清楚下面介绍一种较常用的四边形等参单元单元刚度矩阵利用建立平面等参单元的方法可以建立空间等参单元在空间轴对称问题中采用的整体坐标系是圆柱坐标系坐标系的映射关系和位移模式分别采用下列形式对于图以消除奇异项单元刚度矩阵为体积力设单元内单位体积上作用的体积力为则移置到单元各结点的等效结点力为表面力设单元某边上作用的表面力为分别为单元表面力在作用边外法线方向和切线方向的投影则移置到单元各结点的等效结点力为72573737如果在自然坐标系表示的插值函数中含有刚体位移那么在总体坐标系中常应变条件是可以保证满足的提示如果含有常应变那么可写出6
有限元法应用_等参数单元
K B D B dv B D B dxdydz t B D B dxdy
e
将坐标变换式代入
ve
为计算方便,在ξ、η坐标下计算以上积分，即利用等参变换公式进行 变量替换， 则有 dx dy
ve
Ae
J d d
等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系的规整 形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用 形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单 元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置 坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换 式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元。
y N i y N i
T T
1
J
——Jacobi 矩阵
所以有Βιβλιοθήκη N i x x N x i y
x, y
u x, y
ve j ue j
j
i
uie
x
p1,1
m1,1
0,0
i 1,1
j 1,1
三、单元分析
s
在单元内部分 假定： l 1,1 k 1,1
e vk
y
r
v
vle
0,0
i 1,1
4
l
e i
u
e l
vx, y u x, y
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
其中
0 N4
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
有限元三角形等参单元
北方工业大学高等有限元课程总结姓名:韩双鹏学号: ************* 专业班级:结构研-11 系(部、院):建筑工程学院2012 年5 月25 日高等有限元学习总结——六节点三角形等参数单元1 概述从弹性力学基本方程到有限元原理再到最新进展，经过本课程的学习，比较系统的掌握了有限元相关内容，更学习到了一种方法、一些生活中的哲理。
首先从大方向掌握所学内容，避免迷失在局部造成一叶遮目不见泰山之悲剧，比如弹性力学原理从大方向说就是三类方程，以及其在各类问题中的应用；其次了解了科研的相关过程及创新之处，从已知的东西到无知的领域，正如老师所说，能成功地把某一领域的东西搬到相关领域，这就是一大创造，比如有限元中将梁弯曲的理论研究厚板弯曲问题，由有限元标准单元到等参元的研究等；再有，我们生活中的常识、学习中的某些东西值得我们细细品味，也许这就是平时所说的小事反应大道理，老师的理论：“很多想法都是错误的”“很好想到的方法也许很难走通”“有缺陷的东西才更体现出美”“平衡的理论，吃点亏也许是福”等等，受益匪浅。
不再一一赘述，本文将取其中的一个知识点，总结六节点三角形等参单元的相关内容。
我们知道，无论三节点或者六节点三角形单元还是四节点或者八节点矩形单元，它们形状简单、规则但计算精度低，且对于复杂边界的适应性差，难以很好的拟合曲边边界，解决这一问题的通用方法是细分边界，以直代曲，利用更多的简单单元去拟合边界复杂的区域。
但这样处理仍存在折线代替曲线所带来的误差，且这种误差不能通过提高单元位移函数的精度来补偿。
那么能否构造出单元形状任意、边界适应性好、计算精度高的曲边单元，以便在给定的精度下用较少数目的单元去解决实际问题？这就是有限元中一类重要的单元——等参数单元。
本文将总结等参数单元的基本概念，并以六节点三角形单元为例讲述等参元实现过程中的三种变换，以及该等参元的收敛性等问题。
2 等参数单元及实现过程2.1 等参数单元概念由于实际问题的复杂性，通常需要使用一些形状不规整和形状复杂的单元来离散边界形状复杂的原问题。
第5章 平面问题有限元分析-等参单元
2020/6/30
平面问题有限元分析-等参单元
2
5.1四节点矩形单元位移函数
如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的长、
宽分别为2a、2b。矩形单元有4个节点，共8个自由度，即 共有8个节点位移，采用类似三角形单元的分析方法，同样 可以完成对矩形单元的力学特性分析。
y
4 3
2b
o
1
2a
2
o
x
2020/6/30
14
5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵
由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式比常
应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了项（即相
当于xy项），把这种位移模式称为双线性模式。在这种模 式 下 ， 单 元 内 的 应 变 分 量 将 不 再 是 常 量 ， 这 一 点 可 以 从Be 的表达式中看出。另外四边形单元的位移模式中的1 ~ 7 与 三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单
求出α1, α2, α3, α4；α 5, α 6 , α7 , α8
u1 1 1 1
u2 1 1 1
u3 1 1 1
1
u4 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
11 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 u1
23 4
1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
uu23 u4
5 1 1 1 1 v1
K
e rs
4ab
Et 1
2
K1
K3
K2
K4
式中：
K1
b2rs
1
rs
3
1
有限元
1有限元基本思想：①将求解的连续体分割成有限的单元，单元之间只在数目有限的节点处连接，构成一个单元集合体代替原来的系统；②对每个单元利用分块近似的思想，按一定规则建立求解点与未知量之间的关系（力—位移，矢量—温度，电流—电压）；③把所有单元按照一定的关系和条件（变形协调条件，连续条件，变分原理）集合起来，引入边界条件，构成一组以节点变量为未知量的代数方程组。
2有限元的特点:①概念清楚，容易理解；②实用性强，应用范围广；③采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用高速数字计算机的优势；④主要缺点是解决工程问题必须首先编制计算机程序，必须用计算机求解。
3单元划分需要注意的问题（主要是平面问题）：①从有限元本身看，单元划分越细，节点布置越多，计算结果也越精确，但单元太多不经济；②分割方式比较随意，在边界较曲折，应力比较集中，且变化较大的地方，应分的细一些，反之，分少些，单元由小到大逐步过渡，在受力均匀部位布置较少单元；③单元分割尽量与外载荷匹配，集中力布置为节点，分布载荷按等效原则转为集中力作用在节点上；④节点顺序必须是逆时针（从小到大）。
4刚度矩阵的四个性质（特点）：①对称性—关于主对角线对称；②稀疏性—矩阵中有大量零元素；③带状分布—矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带状分布；④奇异性—不存在逆矩阵，只有加上边界条件后，才能求解刚度矩阵方程。
5位移插值函数需要满足的三个条件（三角形单元）：①反映单元的刚体位移；②反映常量应变—常应变准则；③能保证单元内及相邻单元间位移的连续性—变形协调条件（相容性）准则。
6三角形单元内任一点形函数的特点：①本点为1，它点为0；②在单元内任一点处形函数之和等于1。
7轴对称问题需要满足的三个条件：①几何轴对称；②边界条件轴对称；③载荷轴对称。
8等参数单元的优点和特点:优点：①精度高；②能较好的模拟曲线边界求解区域；③单元需要输入数据少；④缺点：由于要进行等参数变换，使程序的编制变的复杂。
有限元第7章等参数单元
1
4
2
(1, 1)
1
1
1
(1, 1)
2
1
x
子单元的位移场和母单元的位移场是一样的，但是子单元的位移 是以斜坐标表达的。而母单元的位移场是以正则坐标表示的。因 此，子单元和母单元的位移分布在节点坐标相同时也不同。
位移插值函数公式和坐标变换公式具有完全相同的形式，它们 用同样数目的对应节点值作为参数，并且具有完全相同的形状 函数作为这些节点值前面的系数，我们称具有这种特点的单元 为等参数单元。
i 1
4
Ni ( , ), i 1, 2,3, 4 是与形状函数完全一样的双线性函数
在正方形每一条边上， N
i
( , )
是一个坐标变量的线性函数，而线性变换是点点对应的，那么四边形 四条边上的变换是点点对应的。
4
3
(1,1)
3
p( , )
(1,1)
1
y
p ( x, y )
[ B1
B2
B3
{d1e } e {d 2 } B4 ] e [ B]{d e } {d3 } e { d 4 }
第五步 单元应力-应变-节点位移之间的关系
{ ( x, y)} [ D]{ ( x, y)} [ D][ B]{d e}
第六步 单元力-节点位移之间的关系 由虚位移原理，利用以前所推导的方法，可得到节点力与节点位移之间的 关系式
若由节点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比 由节点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所 用节点参数个数少，则称为亚参元； 反之，若阶次高，节点个数多，则称为超参元。
亚参元和超参元虽然也有应用，但是不如等参数元应用普遍。
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N i ( , ) xi 3 2
i 1 4
4
2
2
J detJ
2
2
N
i 1
i
( , ) y i 4
2
1
2 0 2 1
0
4 4
3
,
3
单元３： x1 2, x2 0, x3 x4 5, y1 y 4 3, y 2 y3 5
x y
N
i 1 4
4
i
( , ) xi 3
2
2
2
N
i 1
i
( , ) y i 4
1 2 2
5.0
１
2
图10-1
y 2 4 1 3 4
e1
3
e3
4
e2
3.0
2.0
3
2
x
1 0.0
2 1 2.0 3.0
5.0
计算出Jacobi矩阵中的各元素如下:
x x y y
y 4
x
i 1 4 i 1 4
4
N i
i
N i N i N i
N
i i 1
4
1
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
2 xi 3 y i u
N u
i i 1
4
i
v N i vi
i 1
4
只要所定义的形函数满足（10-6）（不管形函数的具体表达式如何），且坐标 变换和假定的位移场使用同一组形函数（等参数单元总是如此），那么这样假设的 位移场一定能够精确地表述任何一种线性位移场，即刚体位移和常应变条件总可以 得到满足。
四结点四边形等参元的优缺点：
4
η 3
(1,1) ξ
形状有较大灵活性 只能精确地再现线性变化的位移场 虽然能保证有限元解的收敛性，但精度不够满意
(-1,-1)
5. 四结点单元的应用实例及相关限制条件 １、2号单元与母体单元的结 点编号顺序一致，均为逆钟向，而 ３号单元的编号顺序为顺钟向；１、 ３号单元为凸形单元，即连接任意 两点结点的线段均在单元内部，而 单元２是非凸形单元，如连接结点 １、３的线段不在单元内。下面讨 论这些差别在母体单元与实际单元 进行映射时的影响。
(3) 协调性
对于二阶问题要求穿过单元边界 时位移连续。
y,v
４
３
η
4 ３
e
M
ê
２
ξ
２
１ s
e’
x,u
１
M
沿 1-2 边η ＝常数，x、y、u、v 都是ξ 的线性函数。
ξ
图10-5
因而u，v也是Ｓ 的线性函数，完全由 考察单元 e 和 e’ 共同边界 1-2 ： 这个边界上两个结点1、2的位移值u1、u2、 其上的位移处处相同，即在边界上位 v1、v2所决定。 移是连续的。
J detJ
1 0
11 2 1 2 2 1 2
4 0
Jacobi行列式是的线性函数，Jacobi行列式的值恒为正，因此，母体单 元与单元１的变换是可逆的。
x 3 . 09375 , y 1 . 90625
单元２： x1 x4 2, x2 3, x3 5, y1 0, y 2 2, y3 y 4 3
1 当 j i N i ( i , i ) ij 0 当 j i
(10-6)4来自Ni 14
i
( , ) 1
u 1 N i 2 N i xi 3 N i y j
i 1 i 1 i 1
4
4
设真实位移场为 x，y 的线性函数
4. 收敛性分析 (1) 单元内位移场连续
x、y、u、v 都是ξ，η 的双线性函数（连续函数）。只要Jacobi行列式detJ≠0， u、v 就是 x，y 的连续函数。即在实际单元内 u、v 连续。
(2) 刚体位移和常应变条件 对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总体坐标的完全一 次多项式。或者换一个提法：假定的位移场可以精确地表述任何一种线性变 化的真实位移场。 形函数满足：
xi yi
i 1 4
3
e1
1
2
x
yi
i 1
单元１： x1 x4 0, x2 x3 2, y1 y 2 0, y3 3, y 4 5
x y
N
i 1 4
4
i
( , ) xi 2 N 2 2 N 3 1
1 N i ( , ) y i 3 N 3 5 N 4 1 2 2 i 1
J detJ
1
2
1
2 0 2 0
若将单元3的结点编号顺序改为逆钟向，即：
Jacobi行列式的值小于零表 示：右手坐标系映射到左手 坐标系，这种变换关系在有 限元方法中也是不允许的。
x1 2, x2 x3 5, x4 0, y1 y 2 3, y3 y 4 5
1 4 1 4 1 4 1 4
x1 1 x 2 1 x3 1 x 4 1 x1 1 x 2 1 x3 1 x 4 1 y1 1 y 2 1 y 3 1 y 4 1 y1 1 y 2 1 y3 1 y 4 1
1
Jacobi行列式的值沿着直线 1 0 为零，母体单元中的阴影部分将映 射到实际单元的阴影部分，这部分显然在实际单元之外。例如，母体单元中的点
落在阴影部分，该点映射到了实际单元的 x 3.09375, y 1.90625 。 因此，母体单元与单元２的变换不是可逆的。所以内角大于 180 的网格在任何 单元中都是不允许的。一般来说，有限元网格中内角过大或过小都是不合适的。
x y
N i ( , ) xi 3
i 1 4
4
2
2
４
ˆ e
３
1 0
N
i 1
i
( , ) y i 2
2 1
2
2
1
２
4
e2
3 2
J detJ
1
1 2
3 2 1 1 4 1 2