A1-1-数制与码制
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1 + 1 = 0 （产生进位）
⑵ 减法运算规则：
0－0=0 0 － 1 = 1 （产生借位） 1－0=1
1101 －） 0 1 1 1 0110
1－1=0
⑶ 乘法运算规则：
1101 ×） 1 0 0 1
0×0=0 0×1=0 1×0=0
1101
0000 0000 1101 1110101
1×1=1
= 92.71875D
（其中B表示二进制，D表示10进制）
十进制转换为二进制
十进制到二进制的转换，要区分数的整数部分 和小数部分。 整数部分一般采用降幂法和除2取余的方法。 小数部分一般采用降幂法和乘2取整的方法。
降幂法
降幂法的步骤：
一个简单的例子
117D 64 32 16 8 4 2 1 117 － 64 ＝ 53 53 － 32 ＝ 21 21 － 16 ＝ 5 5 < 8 5 －4＝1 1<2 1 －1＝0 a6=1 a5=1 a4=1 a3=0 a2=1 a1=0 a0=1
得到Bm
除2取余法
除2取余的规则为：
用2除实际十进制数的整数部分，取余数为转 换后二进制整数部分的低位数字； 再用2去除所得到的商，取余数为转换后的高 一位的数字； 重复上一步的操作，直到商为0，结束转换。
除2取余法
例如,将十进制的37转换成二进制整数: 2 37 ………… 1 低位 2 18 ………… 0 2 9 ………… 1 37D = 100101B 2 4 ………… 0 2 2 ………… 0 2 1 ………… 1 高位 0
0.43D = 0.01101B
十进制转换为二进制
在对小数进行转换的过程中，转换后的二 进制已达到要求位数，而最后一次的乘积 的小数部分不为0，会使转换结果存在误差， 其误差值小于求得的最低一位的位权。 对既有整数部分又有小数部分的十进制数， 可以先分别转换整数部分和小数部分，然 后再将二者合并起来，得到最后结果。例 如 37.43D = 100101.01101B
的、唯一的一组数字或符号来表示该集合中的各个具体事 物，这组数字或符号就是这个事物的编码。码的长度成为 码长; 码的集合成为码集或码表。
码制：编码的方法(规则)。
§1.1
数制
一、进位计数制
1. 定义
用一组数字或符号表示数时，如果每个数字表示的量不仅 决定于数字本身，还决定于它所在的位置，称为位置表示 法，也称进位计数制。 其中，对每个数位赋予一定的值，称为权。 每个数位上的数字所表示的量是这个数字和权的乘积。 相邻两数位，高位与低位的权之比一般为常数，称为基数。 基数不同便得到不同进位制的数。
原码的几何性质
原码在数值上是全部大于等于0的，较大的负数对应 的原码较小 0 2n-1 2n [x]原
x
-2n-1
0
2n-1
仅为整数，定点 小数情况类似
记N1 = Bm*2m-1 + Bm-1*2m-2 +… +B1 则有： N＝ 2*N1 + B0 根据整数的除法性质，N1和B0是唯一的， 所以 N1为N/2 的商， B0为所得到的余数。
除2取余法
同样，对N/2得到的商N1，有： N1 = Bm*2m-1 + Bm-1*2m-2 +… +B1 = 2(Bm*2m-2 + Bm-1*2m-3 +… +B2) + B1 推出: N1/2 商为N2，余数为B1 同理: N2/2 商为N3，余数为B2 . . . Nm/2 商为0， 余数为Bm 从而可得到N的二进制表示BmBm-1…B1B0 得到B1 得到B2
乘2取整法
例如，将十进制的0.43转换成二进制小数的过程 如下： （假设小数点后取5位）
0.43 0.86 0.72 0.44 0.88
. .
* * * * *
2 2 2 2 2
= = = = =
0.86 1.72 1.44 0.88 1.76
………… ………… ………… ………… …………
0 1 1 0 1
（4）除法运算规则 二进制数除法的计 算方法与十进制数 除法类似，也由减 法、上商等操作分 步完成。
1101
1001 1110101 1001 1011 1001
1001
1001 0
⑸ 逻辑或运算规则： (运算符为∨)
0∨0=0
0∨1=1 1∨0=1 1∨1=1
1100 ∨）1010
1110
定点整数
n位
定点小数
在原码中零有两种表示：
[+0]原 = 0 0000000B [- 0]原 = 1 0000000B
原码和真值之间的转换 （整数）
已知真值求原码 如 x = + x1x2x3…xn-1即x>=0, (xi皆为二进制数码) [x]原=0 x1x2x3…xn-1 ，即x0=0 如 x = - x1x2x3…xn-1 即x<=0, [x]原 =2n-1 – x = 1 00…00 – (- x1x2x3…xn-1) = 1 x1x2x3…xn-1 ，即x0=1
N
i k
D
m 1
i
Wi
如果该数制符合“逢r进位”的规则，则每 位的权可表示为 Wi＝ri。 此时该进制又称为 “r进位数制”，简称“r进制”。
3. 常用进位制
在计算机中常用的几种进位数制有：
二进制
r=2，基本符号为0和1，为了能与其它进制数值区分
开来，常在二进制数值后加B表示，如：11010101B。
第一章 数制与码制
数制、二进制、八进制、十六进制、十进制
原码、反码、补码 加、减、乘、除 无符号数、有符号数 整数、小数、浮点数 ASCII、BCD码、格雷码、校验码 汉字编码 真值 溢出、进位 数制转换
§1.0
名词解释
数：即数字，客观事物的量（多少、大小等）在人脑中
的反映。
数制：计数方法(规则)，即数的表示形式。 码：即编码，是指针对某个特定事物集合，用特定长度
首先写出要转换的十进 制数 其次写出所有小于此数 的各位二进制权值 然后用要转换的数减去 与它最近的二进制权值， 够减则在相应位记1， 不够则记0；如此不断 往复，直到0为止
降幂法
小数部分也可以采用降幂法来转换
给定十进制小数0.8125D 小于此数的二进制权为0.5 0.25 0.125 0.0625 0.8125－0.5 = 0.3125 0.3125－0.25 = 0.0625 b1=1 b2=1
2. 进位计数制的一般形式
假定用m+k个自左向右排列的符号来表示N，即：
N=Dm-1Dm-2…D0 ﹒D-1D-2 …D-k 其中Di为该进制的基本符号，小数点在D0和D-1之间， D0 之前为整数部分， D-1后为小数部分。 假如每个Di的单位值都赋以固定的值Wi，则称Wi为该位的
权，N的实际值为：
由两个基本符号：0 和 1 遵循逢二进一的规则 基为2，每位的权为2i 由于二进制数书写较长，难以记忆，因此常用易于与二进制转换的十 六进制数或八进制数来描述二进制数。
二进制数的优缺点
优点：
只有两个符号，数字符号少，表达简单清楚 运算规则简单，控制简单 可使用逻辑代数这一工具
八进制 r=8，基本符号为0～7，在数值后加Q表示，如325Q 十进制 十六进制 r=10，基本符号为0～9，在数值后加D(或无字母)表 r=16，基本符号为0～9和A~F，在数值后加H表示， 示，如928D或928
如AF08H。
4. 二进制数
为了方便在计算机中的存储以及计算的物理实现，在计算机中一般采 用二进制数。
⑹ 逻辑与运算规则： (运算符为∧)
0∧0=0
0∧1=0 1∧0=0 1∧1=1
1100 ∧）1010
1000
⑺ 逻辑非运算规则： (运算符为～)
～0 ＝ 1
～1 ＝ 0
～1101 ＝ 0010
(8) 逻辑异或运算规则： (运算符为 + )
0+0＝0
0+1＝1 1+0＝1 1+1＝0 1100
八进制和十六进制之间的转换
八进制和十六进制之间的转换一般不用， 当需要的时候，可以使用二进制作为中间 结果来实现。
三、二进制数的运算规则
二进制数之间可以执行算术运算和逻辑运算，其运算规则简单，容易 实现。
⑴ 加法运算规则：
0+0=0 0+1=1 1101 +） 1 0 0 1 10110
1+0=1
1011 1100 1101 1110
12
13 14 15 16
A
B C D E
10
11 12 13 14
二进制、八进制、十六进制之间的转换
在把二进制数转换为八进制或十六进制数 时，应从小数点所在位置开始每三位(八进 制)或每四位(十六进制)进行分组，然后根 据上表写出所对应的八进制或十六进制数。 （不够3或4的倍数时，用0补齐） 1100111B 001 100 111 147Q 1100111B 0110 0111 67H
十进制转换为八、十六进制
采用类似的方法也可以实现从十进制到八 进制、十六进制的转换，例如：
8 8 1109 …… 5 138 …… 2 8 17 …… 1 8 2 …… 2 0
1109D＝2125Q
二进制、八进制、十六进制之间的转换
由于用二进制来表示一个数，书写起来比 较长，因此在计算机中常常采用八进制和 十六进制来表示数值数据。 由于8和16都是2的整数幂，因此它们之间 的转换非常方便，它们之间的对应关系如 下图所示：
缺点：
阅读书写麻烦，转换不方便
二、数制之间的转换
二进制转换为十进制
二进制的每一位的数码与对应位的权相乘，然后再求 和，即为对应的十进制的值。 如 1011100.10111B
6 5 4 3 2 1 0 -1
=1· +0· +1· +1· +1· +0· +0· +1· 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -3 -4 -5 +0· +1· +1· +1· 2 2 2 2
二、八、十六和十进制的对应关系
二进制数 0000 八进制数 00 十六进制数 0 十进制数 0
0001
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
ຫໍສະໝຸດ Baidu01
02 03 04 05 06 07 10 11
1
2 3 4 5 6 7 8 9
1
2 3 4 5 6 7 8 9
1010
乘2取整法
对小数部分，可以采用乘2取整法完成十进制到二 进制的转换，其原理证明类似于整数部分的除2取 余法，请同学们自己完成。其规则为：
用2乘十进制数的小数部分，取乘积的整数为转换后的 二进制数的高位数字； 再用2乘上一步乘积的小数部分，取新乘积的整数为转 换后二进制小数低一位数字； 重复前一步操作，直至乘积部分为0，或已得到的小数 位满足要求，结束转换过程。
+） 1 0 1 0
0110
§1.2
原码、补码和反码
在计算机中为了表示有符号数，需要将符号数值化，通常用0表示正 数，1表示负数； 为了区别原来的数和它在计算机中的表示形式，通常将在计算机中 表示的二进制编码称为“机器数”，而它所对应的实际数值称为该 机器数的“真值”。 要用N位的二进制来表示N-1位的真值 最常用的编码方法有原码、补码和反码三种表示方法。
已知原码求真值 [x]原= x0x1x2x3…xn-1 如X0 = 0, 则 x>=0, 因此 x = [x]原 = + x1x2x3…xn-1 如X0 = 1, 则 x<=0, 因此 ： x = 2n-1 - [x]原 = 1 00…00 -x0x1x2x3…xn-1 = 1 00…00 – (100…00 – (- x1x2x3…xn-1)) = - x1x2x3…xn-1
一、原码
原码
原码是用最高位表示符号（正为0，负为1）， 其它位直接表示数值大小。 符号位 原码的定义为：
n 1 x 0 x2 [ x ]原 n 1 n 1 2 x 2 x 0 0 x 1 x [ x ]原 1 x 1 x 0
0.8125D=0.1101B
0.0625<0.125
0.0625－0.0625 = 0
b3=0
b4=1
除2取余法
整数部分的转换也可以采用除2取余法。 原理：
设十进制整数N，采用二进制可表示为：
N = BmBm-1…B1B0 = Bm*2m + Bm-1*2m-1 +… +B1*21 + B0 = 2*(Bm*2m-1 + Bm-1*2m-2 +… +B1) + B0 (其中Bi为0,1)
⑵ 减法运算规则：
0－0=0 0 － 1 = 1 （产生借位） 1－0=1
1101 －） 0 1 1 1 0110
1－1=0
⑶ 乘法运算规则：
1101 ×） 1 0 0 1
0×0=0 0×1=0 1×0=0
1101
0000 0000 1101 1110101
1×1=1
= 92.71875D
（其中B表示二进制，D表示10进制）
十进制转换为二进制
十进制到二进制的转换，要区分数的整数部分 和小数部分。 整数部分一般采用降幂法和除2取余的方法。 小数部分一般采用降幂法和乘2取整的方法。
降幂法
降幂法的步骤：
一个简单的例子
117D 64 32 16 8 4 2 1 117 － 64 ＝ 53 53 － 32 ＝ 21 21 － 16 ＝ 5 5 < 8 5 －4＝1 1<2 1 －1＝0 a6=1 a5=1 a4=1 a3=0 a2=1 a1=0 a0=1
得到Bm
除2取余法
除2取余的规则为：
用2除实际十进制数的整数部分，取余数为转 换后二进制整数部分的低位数字； 再用2去除所得到的商，取余数为转换后的高 一位的数字； 重复上一步的操作，直到商为0，结束转换。
除2取余法
例如,将十进制的37转换成二进制整数: 2 37 ………… 1 低位 2 18 ………… 0 2 9 ………… 1 37D = 100101B 2 4 ………… 0 2 2 ………… 0 2 1 ………… 1 高位 0
0.43D = 0.01101B
十进制转换为二进制
在对小数进行转换的过程中，转换后的二 进制已达到要求位数，而最后一次的乘积 的小数部分不为0，会使转换结果存在误差， 其误差值小于求得的最低一位的位权。 对既有整数部分又有小数部分的十进制数， 可以先分别转换整数部分和小数部分，然 后再将二者合并起来，得到最后结果。例 如 37.43D = 100101.01101B
的、唯一的一组数字或符号来表示该集合中的各个具体事 物，这组数字或符号就是这个事物的编码。码的长度成为 码长; 码的集合成为码集或码表。
码制：编码的方法(规则)。
§1.1
数制
一、进位计数制
1. 定义
用一组数字或符号表示数时，如果每个数字表示的量不仅 决定于数字本身，还决定于它所在的位置，称为位置表示 法，也称进位计数制。 其中，对每个数位赋予一定的值，称为权。 每个数位上的数字所表示的量是这个数字和权的乘积。 相邻两数位，高位与低位的权之比一般为常数，称为基数。 基数不同便得到不同进位制的数。
原码的几何性质
原码在数值上是全部大于等于0的，较大的负数对应 的原码较小 0 2n-1 2n [x]原
x
-2n-1
0
2n-1
仅为整数，定点 小数情况类似
记N1 = Bm*2m-1 + Bm-1*2m-2 +… +B1 则有： N＝ 2*N1 + B0 根据整数的除法性质，N1和B0是唯一的， 所以 N1为N/2 的商， B0为所得到的余数。
除2取余法
同样，对N/2得到的商N1，有： N1 = Bm*2m-1 + Bm-1*2m-2 +… +B1 = 2(Bm*2m-2 + Bm-1*2m-3 +… +B2) + B1 推出: N1/2 商为N2，余数为B1 同理: N2/2 商为N3，余数为B2 . . . Nm/2 商为0， 余数为Bm 从而可得到N的二进制表示BmBm-1…B1B0 得到B1 得到B2
乘2取整法
例如，将十进制的0.43转换成二进制小数的过程 如下： （假设小数点后取5位）
0.43 0.86 0.72 0.44 0.88
. .
* * * * *
2 2 2 2 2
= = = = =
0.86 1.72 1.44 0.88 1.76
………… ………… ………… ………… …………
0 1 1 0 1
（4）除法运算规则 二进制数除法的计 算方法与十进制数 除法类似，也由减 法、上商等操作分 步完成。
1101
1001 1110101 1001 1011 1001
1001
1001 0
⑸ 逻辑或运算规则： (运算符为∨)
0∨0=0
0∨1=1 1∨0=1 1∨1=1
1100 ∨）1010
1110
定点整数
n位
定点小数
在原码中零有两种表示：
[+0]原 = 0 0000000B [- 0]原 = 1 0000000B
原码和真值之间的转换 （整数）
已知真值求原码 如 x = + x1x2x3…xn-1即x>=0, (xi皆为二进制数码) [x]原=0 x1x2x3…xn-1 ，即x0=0 如 x = - x1x2x3…xn-1 即x<=0, [x]原 =2n-1 – x = 1 00…00 – (- x1x2x3…xn-1) = 1 x1x2x3…xn-1 ，即x0=1
N
i k
D
m 1
i
Wi
如果该数制符合“逢r进位”的规则，则每 位的权可表示为 Wi＝ri。 此时该进制又称为 “r进位数制”，简称“r进制”。
3. 常用进位制
在计算机中常用的几种进位数制有：
二进制
r=2，基本符号为0和1，为了能与其它进制数值区分
开来，常在二进制数值后加B表示，如：11010101B。
第一章 数制与码制
数制、二进制、八进制、十六进制、十进制
原码、反码、补码 加、减、乘、除 无符号数、有符号数 整数、小数、浮点数 ASCII、BCD码、格雷码、校验码 汉字编码 真值 溢出、进位 数制转换
§1.0
名词解释
数：即数字，客观事物的量（多少、大小等）在人脑中
的反映。
数制：计数方法(规则)，即数的表示形式。 码：即编码，是指针对某个特定事物集合，用特定长度
首先写出要转换的十进 制数 其次写出所有小于此数 的各位二进制权值 然后用要转换的数减去 与它最近的二进制权值， 够减则在相应位记1， 不够则记0；如此不断 往复，直到0为止
降幂法
小数部分也可以采用降幂法来转换
给定十进制小数0.8125D 小于此数的二进制权为0.5 0.25 0.125 0.0625 0.8125－0.5 = 0.3125 0.3125－0.25 = 0.0625 b1=1 b2=1
2. 进位计数制的一般形式
假定用m+k个自左向右排列的符号来表示N，即：
N=Dm-1Dm-2…D0 ﹒D-1D-2 …D-k 其中Di为该进制的基本符号，小数点在D0和D-1之间， D0 之前为整数部分， D-1后为小数部分。 假如每个Di的单位值都赋以固定的值Wi，则称Wi为该位的
权，N的实际值为：
由两个基本符号：0 和 1 遵循逢二进一的规则 基为2，每位的权为2i 由于二进制数书写较长，难以记忆，因此常用易于与二进制转换的十 六进制数或八进制数来描述二进制数。
二进制数的优缺点
优点：
只有两个符号，数字符号少，表达简单清楚 运算规则简单，控制简单 可使用逻辑代数这一工具
八进制 r=8，基本符号为0～7，在数值后加Q表示，如325Q 十进制 十六进制 r=10，基本符号为0～9，在数值后加D(或无字母)表 r=16，基本符号为0～9和A~F，在数值后加H表示， 示，如928D或928
如AF08H。
4. 二进制数
为了方便在计算机中的存储以及计算的物理实现，在计算机中一般采 用二进制数。
⑹ 逻辑与运算规则： (运算符为∧)
0∧0=0
0∧1=0 1∧0=0 1∧1=1
1100 ∧）1010
1000
⑺ 逻辑非运算规则： (运算符为～)
～0 ＝ 1
～1 ＝ 0
～1101 ＝ 0010
(8) 逻辑异或运算规则： (运算符为 + )
0+0＝0
0+1＝1 1+0＝1 1+1＝0 1100
八进制和十六进制之间的转换
八进制和十六进制之间的转换一般不用， 当需要的时候，可以使用二进制作为中间 结果来实现。
三、二进制数的运算规则
二进制数之间可以执行算术运算和逻辑运算，其运算规则简单，容易 实现。
⑴ 加法运算规则：
0+0=0 0+1=1 1101 +） 1 0 0 1 10110
1+0=1
1011 1100 1101 1110
12
13 14 15 16
A
B C D E
10
11 12 13 14
二进制、八进制、十六进制之间的转换
在把二进制数转换为八进制或十六进制数 时，应从小数点所在位置开始每三位(八进 制)或每四位(十六进制)进行分组，然后根 据上表写出所对应的八进制或十六进制数。 （不够3或4的倍数时，用0补齐） 1100111B 001 100 111 147Q 1100111B 0110 0111 67H
十进制转换为八、十六进制
采用类似的方法也可以实现从十进制到八 进制、十六进制的转换，例如：
8 8 1109 …… 5 138 …… 2 8 17 …… 1 8 2 …… 2 0
1109D＝2125Q
二进制、八进制、十六进制之间的转换
由于用二进制来表示一个数，书写起来比 较长，因此在计算机中常常采用八进制和 十六进制来表示数值数据。 由于8和16都是2的整数幂，因此它们之间 的转换非常方便，它们之间的对应关系如 下图所示：
缺点：
阅读书写麻烦，转换不方便
二、数制之间的转换
二进制转换为十进制
二进制的每一位的数码与对应位的权相乘，然后再求 和，即为对应的十进制的值。 如 1011100.10111B
6 5 4 3 2 1 0 -1
=1· +0· +1· +1· +1· +0· +0· +1· 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -3 -4 -5 +0· +1· +1· +1· 2 2 2 2
二、八、十六和十进制的对应关系
二进制数 0000 八进制数 00 十六进制数 0 十进制数 0
0001
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
ຫໍສະໝຸດ Baidu01
02 03 04 05 06 07 10 11
1
2 3 4 5 6 7 8 9
1
2 3 4 5 6 7 8 9
1010
乘2取整法
对小数部分，可以采用乘2取整法完成十进制到二 进制的转换，其原理证明类似于整数部分的除2取 余法，请同学们自己完成。其规则为：
用2乘十进制数的小数部分，取乘积的整数为转换后的 二进制数的高位数字； 再用2乘上一步乘积的小数部分，取新乘积的整数为转 换后二进制小数低一位数字； 重复前一步操作，直至乘积部分为0，或已得到的小数 位满足要求，结束转换过程。
+） 1 0 1 0
0110
§1.2
原码、补码和反码
在计算机中为了表示有符号数，需要将符号数值化，通常用0表示正 数，1表示负数； 为了区别原来的数和它在计算机中的表示形式，通常将在计算机中 表示的二进制编码称为“机器数”，而它所对应的实际数值称为该 机器数的“真值”。 要用N位的二进制来表示N-1位的真值 最常用的编码方法有原码、补码和反码三种表示方法。
已知原码求真值 [x]原= x0x1x2x3…xn-1 如X0 = 0, 则 x>=0, 因此 x = [x]原 = + x1x2x3…xn-1 如X0 = 1, 则 x<=0, 因此 ： x = 2n-1 - [x]原 = 1 00…00 -x0x1x2x3…xn-1 = 1 00…00 – (100…00 – (- x1x2x3…xn-1)) = - x1x2x3…xn-1
一、原码
原码
原码是用最高位表示符号（正为0，负为1）， 其它位直接表示数值大小。 符号位 原码的定义为：
n 1 x 0 x2 [ x ]原 n 1 n 1 2 x 2 x 0 0 x 1 x [ x ]原 1 x 1 x 0
0.8125D=0.1101B
0.0625<0.125
0.0625－0.0625 = 0
b3=0
b4=1
除2取余法
整数部分的转换也可以采用除2取余法。 原理：
设十进制整数N，采用二进制可表示为：
N = BmBm-1…B1B0 = Bm*2m + Bm-1*2m-1 +… +B1*21 + B0 = 2*(Bm*2m-1 + Bm-1*2m-2 +… +B1) + B0 (其中Bi为0,1)