概率论与统计学试题与解答

一、选择题：（每空4分，共20分）

1、设,A B 为两个随机事件，且B A ⊂，则下列式子中正确的是[ A ] （A ）()()P A B P A += (B) ()()P AB P A = (C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=-

2、袋中共有5个球，其中3个球为新球，2个旧球，每次取1个，无放回地取2次，则第二次取到新球的概率是[ A ] （A ）

35

(B)

34

(C)

24

(D)

310

3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的期望分别为a 和b ，则随机变量23X Y -的期望是[ D ]

（A ）23a b + (B) 2223a b - (C) 49a b + (D) 23a b - 4、设随机变量ξ的概率密度为()()

()2

34

12x f x e

x π

+-

=-∞<<+∞，

则η=[ B ]()0,1N （A ）

3

2

ξ+ (B)

32

ξ+ (C)

3

2

ξ- (D)

32

ξ-

5、设1ˆθ112ˆ(,,,)n X X X θ= 、2ˆθ212ˆ(,,,)n X X X θ= 都是参数θ的无偏估计量，若

1ˆθ较2ˆθ有效，应满足[ C ]条件

（A ）()1ˆE θ()2ˆE θ< (B) ()1ˆE θ()2ˆE θ> (C)()1ˆD θ()2ˆD θ< (D)

()1ˆD θ()2

ˆD θ>

二、填空题：（每题4分，共20分）

1、设()()0.10.3P A P A B =+=，，且A B ，互不相容，则()P B =0.2

2、设随机变量,X Y 相互独立，且()22,3X N ，Y 服从参数3θ=的指数分布其

概率密度为()1,00,x e

x f y θ

θ

-⎧>⎪=⎨⎪⎩

其他，则()E XY =6

3、若(),01

0,kx x f x <<⎧=⎨⎩

其他是某连续性随机变量X 的概率密度，则k =2

4、设某批电子元件的正品率为

45

，次品率为1

5

，现对这批元件进行测试，只要

测得1个正品就停止测试工作，则测试次数X 的分布律为

{}1

1455

k P x k -⎛⎫

==⨯

⎪

⎝⎭

5、设有来自正态总体()2,X N μσ ，容量为9的简单随机样本的样本均值5x =，总体样本标准差0.9σ=，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是[4.412，5.588]。其中（0.025 1.96z =）

三、计算题（共60分） 1、（本题8分）将一枚完全对称的色子接连掷两次，试求两次掷出的点数之和等于9的概率p 。

解：将一枚色子掷两次，总共有6636⨯=个基本事件，其中导致“点数之和为9”的基本事件有4个：()()()()3,66,34,55,4。所以有：------------------------------4分

4136

9

p =

=----------------------------------4分

2、（本题8分）设,A B 为相互独立的随机事件，且()()0.6,0.5P A P B ==，求()

P A B 和()()P A A B +的值。

解：因为,A B 相互独立，所以()()()0.60.50.3P AB P A P B ==⨯=---------3分

()()

()()()

()

()()()

0.630.60.50.3

4

P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB ++=

=

=

=

++-+---5分

3、（本题8分）甲、乙、丙3台机床加工一种零件，零件由各台机床加工的百分比依次是50%，30%，20%。各机床加工的优质品率依次是0.8，0.85，0.9，将加工的零件混在一起，从中任取1个，求取得优质品的概率。

解：设,,A B C 分别表示取出的零件是甲、乙、丙机床生产的，X 表示取出的产品是优质品。

由全概公式得

()()()()()()()P X

P A P X A P B P X B P C P X C =++-----------6

分

50%0.830%0.8520%0.90.835

=⨯+⨯+⨯=----------------2分

4、（本题8分）现有10张奖券，其中2000元的8张，500元的2张，今某人从中随机地无放回地抽取了3张，求此人得奖金额的数学期望。 解：设X 表示此人所得奖金额，其分布律为

()30

82310

7600015C C P X C

==

=

-----------------------1分

()21

823

107450015C C P X C ==

=

-----------------------1分

()1

2823101300015

C C P X C ==

=

-----------------------1分

()

7716000450030005100

15

15

15

E X =⨯+⨯

+⨯

=-----5分

5、（本题8分）设随机变量X 的分布律为

X

-1 2

3

p

14

12

14

（1）求X 的分布函数；（2）求3522P X ⎛⎫

<≤

⎪⎝⎭

。 解：（1）()k k x x

F x p ≤=

∑

，则X 的分布函数为----------------1分

()0,11

,124

3,234

1,3x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩

----------------------------3分

（2）3553311

2

222442

P X F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<≤

=-=-=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-------------4分

6、（本题12分）设X 的概率密度函数为()3,0

0,0

x X Ae x f x x -⎧>=⎨≤⎩

(1)确定常数A ;(2)求X Y e =的概率密度函数()Y f y 解：（1）由分布密度的性质，有

()330

1

133x

x X A f x dx A e

dx A e +∞

+∞+∞---∞

⎛⎫

=

==-= ⎪⎝⎭⎰

⎰

3A =-------------------------4分（列出积分式子给2分）

（2）(),ln ,0,x y e x y x ==∈+∞时，()1,x y e =∈+∞-------2分