数学学科热点专家数学应用性问题的解题技巧

每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗
A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得
最大利润是
A． 12 万元
B． 20 万元
C． 25 万元
D． 27 万元
．
【解析】设甲、乙种两种产品各需生产 x 、 y 吨， 可使利润 z 最大，故本题即
2、解决一个应用题，重点过三关： （1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大， 要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义． （2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数 学问题． （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模 型．
3、中学数学中常见应用问题 （1）最（极）值等优化问题：实际工农业生产、建设及实 际生活中中的“优选”、“控制”等问题，常需建立“函 数方程不等式模型”转化为求函数的最值问题，或“线性 规划”问题加以解决． （2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成 “数列模型”来解决． （3）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解 决．
(mB
mB 2 20)(mB
5)
，
h乙
3 5
mB
mB
3 5
mB
3
mB 20
mB 2
，
(mB 5)(mB 20)
h甲 = h乙 ．
（2）当
mA
3 5
mB 时，
h甲 =
mB 2
(mB 20)(mB 5)
1
(1 20 )(1 5 )
mB
mB
1
,
100( 1 )2 25 1 1
mB
mB
由
mB
4y)
5 2
,
当且仅当
x
y
1 4
，即 mA
=
mB
时，取等号．
所以不能适当选取mA 、 mB 的值，使得h甲 h0 和 h乙 h0同时成立，但等号不同时成立．
例 2、（2009 四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产
每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用
A 原料 1 吨、B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，
一、应用问题的解答基本步骤、关键环节和常见问题
1、求解应用题的一般思路和步骤（四步法）： （1）读题：读懂和深刻理解题意，译为数学符号和语言，找出 主要关系； （2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； （3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法计算和求解； （4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将 结果应用于现实，作出解释或验证．
解答数学应用性问题是分析问题和解决问题的能力的高 层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力．从2000年新 课程的试卷开始，突出新增加知识的应用性．但是应用题的 范围是很广泛的，建立函数、数列、三角、二次曲线等模型 解决实际问题是学习的重点．要想掌握好应用问题的求解， 重点在于提高整理分析实际问题中数据的能力，抽象概括出 数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力．
数学学科热点专家数学应用性问题的解题技巧
数学应用性问题 的解题技巧
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也 是考生失分较多的一种题型． 高考中一般命制一道解答题 和两道选择填空题．高考对数学应用和实践能力的考查具体 要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问 题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅 读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料 进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立 数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能 用数学语言正确地表述、说明．
【典例导悟】
例 1、（2009 江苏卷) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成
本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为 m ；如
ma
果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 n ．如果一个人对两种
na
交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ，则他对这两种交易的综合满
意度为 h1h2 ． ．
现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为
mA 元和 mB 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ，乙卖出 A 与买进 B
的综合满意度为 h乙.
（1）求
h甲 和
h乙关于 mA 、
mB
的表达式；当
mA
3 5
mB 时，
求证： h甲 = h乙；
(2)设
mA
3 5
mB ，当
mA
、
mB
分别为多少时，甲、乙两人的综
合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为 h0 ，试问能否适当选取 mA 、
mB 的值，使得 h甲 h0 和 h乙 h0 同时成立，但等号不同时成立？
令 3 x, 5 y, 则 x、y [1 ,1] ，即： (1 4x)(1 y) 5 ．
mA
mB
4
2
同理，由 h乙 h0
10 得： (1 x)(1 4y) 5
5
2
另一方面，
x、y
[1 4
,1]
,1
4x、1+4y
[2,5],1
x、1+y
[
5 2
,2],
(1
4x)(1
y)
5 2
, (1
x)(1
试说明理由．
本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知
识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．
【解析】（1） h甲
mA mB , mA 12 mB 5
h乙
mA mA
3
mB mB
20，（mA
3,12,mB
5,
20）
当
mA
3 5
mB
时，
h甲
3 5
mB
mB
3 5
mB
12
mB 5
[5, 20]得
1 mB
[ 1 Байду номын сангаас 20
1]，
5
故当 1 1 即 mB 20, mA 12 时，．
mB 20
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 ．
5
（3）由（2）知： h0 = 10
5
由 h甲=
mA mA 12
mB mB 5
h0
10 得： mA 12 mB 5 5 ，
5
mA
mB 2
二、常见应用问题的数学模型分析
一、函数不等式模型：
【理论阐释】
函数是高中数学中最重要的一部分内容，现实生活中普 遍存在着的最优化问题，此类问题常常可归结为函数的最值 问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运 用函数知识和方法去解决．
⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型； ⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型．