离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：
（2）前提：
结论：
证明：用附加前提证明法。
①p附加前提引入
② ①附加
③ 前提引入
④ ②③假言推理
⑤s④化简
⑥ ⑤附加
⑦ 前提引入
⑧u⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
（1）前提： ， ，
结论：
证明：用归谬法
①p结论的否定引入
（2）反对称性：
（3）传递性：
综合（1）（2）（3）知T满足自反性、反对称性和传递性，故T为 上的偏序关系。
习题九及答案：（P179-180）
8、
（1）
（2） 。
解：（1）
（2）
11、
（3） ；
解：（3）由*运算的定义可知： ，
16、
习题十一及答案：（P218-219）
1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由
则前提： ， ，
结论：
证明：
① 前提引入
② ①化简
③ ①化简
④ 前提引入
⑤ ④UI规则
⑥ ②⑤假言推理
⑦ ③⑥合取引入
⑧ 前提引入
⑨ ⑧UI规则
⑩ ⑦⑨假言推理
习题七及答案：（P132-135）
22、给定 ，A上的关系 ，试
（1）画出R的关系图；
（2）说明R的性质。
解： （1）
● ●
● ●
（2）R的关系图中每个顶点都没有自环，所以R是反自反的，不是自反的；
（1）
解：原式
，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为 ， ， ，所以主合取范式中含有三个极大项 ， ， ，故原式的主合取范式 。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
（1）
解：公式的真值表如下：
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
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1
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0
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0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
解：设p：A到过受害者房间，q：A在11点以前离开，r：A是谋杀嫌犯，s：看门人看见过A。
则前提： ， ， ，
结论：
证明：
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④合取引入
⑥ 前提引入
⑦ ⑤⑥假言推理
习题五及答案：（P80-81）
15、在自然推理系统 中，构造下面推理的证明：
（3）前提： ，
（c）图：a,f互为补元，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d，所以任何元素皆有补元，是有补格； ，所以 对 运算不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格；
（f）图：经过分析知图（f）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f）对应的格是分配格；c和d都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。
结论：
证明：
① 前提引入
② ①置换
③ ②UI规则
④ 前提引入
⑤ ④UI规则
⑥ ③⑤析取三段论
⑦ ⑥EG规则
22、在自然推理系统 中，构造下面推理的证明：
（2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。
解：设F(x)：x为大学生，G(x)：想是勤奋的，c：王晓山
则前提： ，
结论：
证明：
① 前提引入
（c）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d；
（f）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，b和e互为补元，c和d都没有补元。
10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。
解：
（a）图：是一条链，所以是分配格，b和c都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格；
解：（a）、（c）、（f）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界；
（b）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在；
（d）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在；
（e）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。
2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。
（1）L={1，2，3，4，5}；
② 前提引入
③ ①②假言推理
④ 前提引入
⑤ ③④析取三段论
⑥ 前提引入
⑦ r ⑥化简
⑧ ⑤⑦合取
由于 ，所以推理正确。
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A是谋杀嫌犯。
R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R是反对称的，不是对称的；
R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边，但顶点x到顶点z没有边的情况，故R是传递的。
26设 ，R为A上的关系，R的关系图如图7.13所示：
（1）求 的集合表达式；
（2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。
② ①UI规则
③ 前提引入
④ ②③拒取式
25、在自然推理系统 中，构造下面推理的证明：
每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）
解：设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在他的事业中获得成功，c：王大海
1
1
1
0
1
0
1
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式
习题三及答案：（P52-54）
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：
结论：s
证明：
①p前提引入
② 前提引入
③q①②析取三段论
④ 前提引入
⑤r③④析取三段论
⑥ 前提引入
⑦s⑤可判断出：（1）不是格，（2）是格。
4、设L是格，求以下公式的对偶式：
（2）
解：对偶式为： ，参见P208页定义11.2。
9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。
解：
（a）图：a,d互为补元，其中a为全下界，d为全上界，b和c都没有补元；
离散数学习题答案
习题二及答案：（P38）
5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：
（2）
解：原式
，此即公式的主析取范式，
所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：
（2）
解：原式 ，此即公式的主合取范式，
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：
解：（1）由R的关系图可得
所以 ， ，
可得 ；
（2） ，
46、分别画出下列各偏序集 的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
（1）
解：哈斯图如下：
A的极大元为e、极小元为a；
A的最大元为e、最小元为a。
48、设 为偏序集，在集合 上定义关系T如下：
证明T为 上的偏序关系。
证明：（1）自反性：