2012年广州一模数学试题

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学( 理科 ) 一.选择题（40分）
1.已知复数)1(i i bi a -=+（其中R b a ∈,，i 是虚数单位），则b a +的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2 2．已知全集R U =，函数1
1+=
x y 的定义域为集合A ，函数
)2(log 2+=x y 的定义域为集合B ，则=⋂B A C U )(（
）
A ．)1,2(--
B ．]1,2(--
C ．)2,(-∞-
D ．
),1(∞+-
3．如果函数)6
sin()(π
ω+=x x f （0>ω）的相邻两个零点之间的距离为
12
π
，则ω的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24 4．已知点),(b a P 是圆22
2:r y x O =+内一点，直线l 的方程为
02=++r by ax ，那么直线l 与圆O 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不确定 5．已知函数
12)(+=x x f ，对于任意正数a ，a x x <-||21，是
a x f x f <-|)()(|21成立的（
）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 6．已知两个非零向量a 与b ，定义θsin ||||||=⨯，其中θ为
与的夹角，若)4,3(-=a ，)2,0(=b ，则||b a ⨯的值为（
）
A ．8-
B ．6-
C ．8
D ．6
７．在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，2=AB ，6=BC ，在BC 上任意取一点D ，使得ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ）
A ．61
B ．31
C ．21
D ．3
2 8．从9,8,7,6,5,4,3,2,1,0这十个数中任取三个不同的数字构成空间直角坐标系中的点坐标),,(z y x ，若z y x ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）
A ．252
B ．216
C ．72
D ．42
二．填空题（30分） （一）必做题
9．如图是一个空间几何体的 三视图，正视图、侧视图均为边 长为2的正三角形，俯视图为边长
为2的正方形，则该几何体的体 积为
10．已知4)1(22
1≤+≤⎰dx kx ，则实数k 的取值范围是 11．已知幂函数622
)75(-+-=m x m m y 在区间),0(∞+上单调递
增，则实数m 的值为
12．已知集合}21|{≤≤=x x A ，}1|||{≤-=a x x A ，若A B A =⋂，则实数a 的取值范围是
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数
,22,12,5,1，被称为五角形数，其中第1个五角形数记为11=a ，
第2个五角形数记为52=a ，第3个五角形数记为123=a ，第4个五
角形数记为
,224=a ，若按照此规律继续下去，则
=5a ，若145=n a ，则=n
．
（二）选做题
14．（几何证明选讲）如图，圆O 的 半径为cm 5，点P 是弦AB 的中点，cm OP 3= ，弦CD 过点P ，3
1
=CD CP ，则弦CD 的长为
15．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l 与曲线C 的参数方程分别为⎩⎨
⎧-=+=s
y s
x l 11:（s 是参数）和⎩⎨⎧=+=2
2:t y t x C （t 是参数），若l 与C 相交于A 、B ，则=||AB
三．解答题
16．（12分）已知函数)4
3tan()(π
+=x x f
（1）求)9
(π
f 的值；
（2）设)23,(ππα∈，若2)43(=+παf ，求)4
cos(π
α-的值．
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1７．（12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示，已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求a 的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两个小组的同学中随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）
18．（14分）如图所示，在三棱锥ABC P -中，6==BC AB ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1=AD ，3=CD ，3=PD ．
（1）证明PBC ∆为直角三角形；
（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．
P
A
B
C
D
19．（14分）等比数列}{n a 的各项均为正数，42a ，3a ，54a 成等差数列，且2
23
2a a =．
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n a n n n b )
32)(12(5
2+++=
，求数列}{n b 的前n 项和．
20．（14
分）已知椭圆14
2
2
=+y x 的左右两个顶点分别为A 、
B ．曲线
C 以A 、B 为顶点，离心率为5的双曲线．设点P 在第
一象限，且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；
（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12
1=x x ；
（3）设TAB ∆与POB ∆（O 为坐标原点）的面积分别为1S 、2S ，
15≤⋅PB PA ，求2221S S -的取值范围．
21．（14分）设函数
x e x f =)(（e
是自然对数的底数），
!
!3!21)(32n x x x x x g n
n +
++++= (*N n ∈）．
（1）证明：)()(1x g x f ≥；
（2）当0>x 时，比较)(x f 与)(x g n 的大小，并说明理由； （3）证明：e g n n n
<≤+++++)1()1
2(
)3
2()2
2
(121 （*N n ∈）．。