离散时间系统的状态空间描述

对上述差分方程模型两端取 z 变换并加以整理可得脉冲传递函数(z 域传递函数)
G(z)

y(z) u(z)

b0zn b1zn1 ...bn zn a1zn1 ... an
上述描述的离散系统输入输出差分方程、传递函数分别与连续系统的输入输出微分方程、
传递函数在形式上相同。为进行离散系统的状态空间分析,需引入离散系统的状态空间模
2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。
电气工程学院 教务科
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摘要
摘 要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述 系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态 响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时 域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析 方法，并以实例形式列举了 MATLAB 实现程序。
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Hz=polyval(b,z)./polyval(a,z); %求各频点的频响 subplot(2,1,1),plot(w/pi,abs(Hz)) %绘制幅频曲线 xlabel('w *pi'),ylabel('abs(Hz)') %加标签 grid; title('幅频特性'); %加网格和标题 subplot(2,1,2),plot(w/pi,angle(Hz)) %绘制相频曲线 xlabel('w *pi'),ylabel('angle(Hz)') %加标签 grid,title('相频特性'); %加网格和标题 绘制的频响曲线如图3所示，由图可知系统有低通效果，且通带内有较好 的线性相位。该程序过程清晰、容易理解，但调用freqz函数则更加简便。 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; freqz(b,a); %直接绘出频响曲线
二、单位脉冲响应的计算根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应，或 将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应，具体算法可参见参考文献[3]。在 MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示，调用impz函数就可直接算 出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统，其单位脉冲响应的计算及显示程序如下：
实例2：试计算实例1中，当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序 列时，系统的输出响应。
方法1：调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125];
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x1=[1,zeros(1,15)]; %产生16点单位脉冲序列 x2=ones(1,16); %产生16点单位阶跃序列 x3=exp(-0.2*[0:15]); %用指数序列代表一般序列 y1=filter(b,a,x1), %计算单位脉冲响应 y2=filter(b,a,x2), %计算单位阶跃响应 y3=filter(b,a,x3), %计算一般序列响应 方法2：调用conv函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; [hn,n]=impz(b,a,16); %求出16点单位脉冲响应 x=exp(-0.2*(0:15)); %输入或产生一般序列 y1=conv(hn,x), %用线性卷积求系统响应 y2=filter(b,a,x), %用系统函数求系统响应 k=1:16;dy=y1(k)-y2(k), %两种计算的误差对比 结果表明，用有限长单位脉冲响应序列代替无限长单位脉冲响应系统会有 一定的误差，但可通过增加单位脉冲响应的长度逼近。
b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn,'.'); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel('n');ylabel('hn');title('单位脉冲响应'); 若要写出闭环形式，可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式，再通过 查表求Z反变换即可。
关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数
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目录
第一章 离散时间系统与状态空间描述 …………………………………1 1.1 离散时间系统……………………1 1.2 状态空间描述……………………………3 1.3 LSI系统的求解方法……………………5
第二章 软件仿真设计……………5 2.1 状态方程…………………………………5 2.2 输出方程…………………………………6 2.3 LSI 系统的单位冲击响应…………………………7
第三章 仿真结果分析……………10 3.1 状态方程…………………………10 3.2 输出方程 ……………………………10 3.3 LSI 系统的单位冲击响应…………………………………………11
第四章 学习心得 …………………………………………………………11 第五章 设计与实验过程中遇到的问题和分析 ……………………12
三、系统输出的时域计算
在时域上计算离散时间系统的输出，实际上就是直接求解差分方程或作卷 积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实 例。考虑到分析系统的目的在于综合，系统设计时不存在初始问题，因此，分 析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法， 繁杂的计算可由MATLAB完成。
离散系统成为控制理论与控制工程中重要的一类系统模型。 系统一般可用常微分 方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中 采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函 数设计单输入-单输出系统极为有效，可从传递函数的零极点分布得出系统定性特性，并 已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛应用。但传递函数对系统是一种外部描 述，它不能描述处于系统内部的运动变量，因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于 六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、 输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分 析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入-多输出系统的问题，但 传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方 法——状态空间分析法。
四、频率响应的计算
稳定系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值，计算系统的频率响 应，可将系统函数中的Z变量用 e j 代入即可得到。频率响应是一个复函数，其 模叫幅度响应，其相角叫相位响应，它反映了输入序列的频谱经系统后所发生 的变化规律。从幅频曲线上可直观看到各频率分量的幅度变化情况，从相频曲 线上可直观看到各频率分量的相移情况。根据频响曲线分析系统对信号频谱的 影响，概念清楚、简单直观，对信号综合也意义重大，但要将一个较复杂的频 率响应复函数转化成幅度响应和相位响应并图示，计算量大且容易出错，图示 结果也不一定精确。利用MATLAB函数这些问题都迎刃而解。
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第一章相关离散时间系统的知识 1.1 离散时间系统
离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型， 其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出 的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的 Z 变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条 件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性， 后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系 统频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并 以实例形式列举 MATLAB 在系统分析过程中的具体应用。
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题目： 离散时间系统的状态空间描述
学院(系）： 电气工程学院 年级专业：_11 级 精仪 1 班 学 号： 110103020058 学生姓名： 指导教师： 教师职称：
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电气工程学院《课程设计》任务书
课程名称： 数字信号处理课程设计
基层教学单位：仪器科学与工程系
其中 x(kT)、u(kT)和 y(kT)分别为 n 维的状态向量、r 维的输入向量和 m 维的输出向 量; G(T)、H(T)、C(T)和 D(T)分别为 n n 维的系统矩阵、n r 维的输入矩阵、m n 维的输 出矩阵和 m r 维的直联矩阵。
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T 采样时刻的状态 x((k+1)T)与在 kT 采样时 刻的状态 x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程为代数方程组,它表示了在 kT 采样时刻时,系统输出 y(kT)与状态 x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
状态空间分析方法是能全面描述和分析动态系统的一种动力学分析与综合的主要 方法,其也适应于离散系统的动力学分析与综合。
与连续系统类似,为更好地分析、控制离散时间被控对象,引入状态空间分析方法。 本节主要研究线性离散系统的状态空间描述及如何建立状态空间模型。下面先讨论 工程控制系统的计算机实现,然后讨论离散系统的状态空间描述等问题。在经典控制理论 中,离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。SISO 线性定常离散系统差分方程的 一般形式为
数
11 精仪一班