论阶乘函数

论阶乘函数

阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）于1808 年发明的运算符号，是数学术语。

一个正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。

一直以来，由于阶乘定义的不科学，导致以后的阶乘拓展以后存在一些理解上得困扰，和数理逻辑的不顺。

阶乘从正整数一直拓展到复数。传统的定义不明朗。所以必须科学再定义它的概念

真正严谨的阶乘定义应该为：对于数n，所有绝对值小于或等于n的同余数之积。称之为n的阶乘，即n!

对于复数应该是指所有模n小于或等于│n│的同余数之积。。。

对于正实数n= m+x,m为整数部，x为小数部。它的表达式为

!(m)(m-1)(m-2)(m-3)...(1).!

n x x x x x x =+++++

小数x!称之为余数阶乘或小数阶乘。

以上进一步表达为

(1)

m

1

!!(k) n x x =+

∏

而负实数n=-m-x

它的阶乘应该表达如下：

()()-!(-m-)(m+1-)(-m+2-)(m+3-)...(-1-).-!

n x x x x x x =()()()()m

m

m

1

1

-!-!-1(k+)-!cos (k+)n x x x m x π==∏∏

由以上两式，我们得到正负n 的阶乘之间的关系如下

()()()-!

n!-!-!cos !cos !!

x n x m n m x x ππ==

再来一些实例分析：

2！=2*1*0！=2，-2！=-2*-1*（0）！=2

3！=3*2*1*0！=6，-3！=-3*-2*-1*（-0）！=-6，如此我们可以定义余数正负阶乘相等，即()()-!=!x x .如此一来正负数阶乘关系就可以表达为以下关系:

(2) ()-!n!cos n m π= 现在如果我们在把阶乘拓展到纯复数： (3) n= （m+x ）I

()()i !(m ).(m-1).(m-2).(m-3)....(1).!

n x i x i x i x i x i xi =+++++()()()()()()

!

i !i .!!

!-i !-i .-!-!

m

m n n xi x n n xi x ==

如此我们 由实数阶乘，先求解i 与-i 的阶乘

()()()()()()1!

i !i .0!0!

1!

-i !-i .-0!-0!

i

i ====-

现在问题是 复数余数阶乘问题，对于整数我们能够很容易得到结论 现在推导复数阶乘的表达式 现在把以上几个公式放在一起分析

()-!n!cos n m π=

()()()()()232

!i !e !!

-!-i !e !-!

m i

m i

xi n n x xi n n x ππ=

=

()

()()()()()()2

2

!!i !e

i !i !!

!

m i

m i xi x n n e n xi xi ππ-==

()()()()()()()()()33222!!!!-!i !=.e !e !e !!!!!

m i m i m i

m i m i x x xi x n e n e n n n xi xi x x πππππ---=

==()()()32!-!n!cos e !!

m i

x n m n x ππ-==

假设()()2

!!e

m i x x π=-则

()()()-2-!

n!-!-!cos !cos =!cos e !!

m i x n x m n m n m x x ππππ==

如此再演算一遍

()-

2

-!n!cos e

m i n m ππ=

()()()()()2

32

!i !e !

!

-!-i !e !-!

m i

m i xi n n x xi n n x ππ=

=

()()()()()()-2222-!-!!-!-!e !=e .e !=!n!cos e i!i!!!

m i m m m i x x xi x n ni n n m x x x x πππππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

==

()()()()()()()()()33222

!!!!!e !e .e !e !-!-!!-!

m m m i

m i x x xi xi n ni n n xi xi x xi ππππ--==

= 由此()

()-!=e -!m i

xi xi π ()-

2

-!n!cos e

m i

n m ππ=

()()()32-!-i !e !-!

m i

xi n n x π=

()()2!!e m i x x π=-，()()-!=e -!m i xi xi π ()()()()()()()33+m 2m 222

-!!!-i !e !=e !=e !-!!!

m i m i m i

i i xi xi xi n n n n x x x πππππ+=

如此进一步表达为

()-

2

-!n!cos e

m i

n m ππ=

()()2!i !e !!m i xi n n x π=()()()2m !-i !=e !!

i xi n n x π ()()2

!!e m i

x x π=-()()-!=-!e

m i

xi xi π

()()()()()()()-2m 2m 2m 222!!!!=e !=

e e n!e e e n!i !i !

!m i m i m i

i i x x xi n ni x x x ππππππ---=()-2m !e

n!n π

=这明显是错误的，很明显对于小数阶乘，以上假设

存在问题，那么只有一个情况才能使得所有运算均无障碍。就是

()()()()!!=i !=i !x x x x =--

否则运算必然存在矛盾