必修一 3.1函数与方程

必修一 3.1函数与方程
一、选择题
1、已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y＝f(x)的两个零点，则实数a，
b，α，β的大小关系是( )
A．a<α<β<b B．α<a<b<β
C．α<a<β<b D．a<α<b<β
2、用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
3、若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
4、函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( )
A．[0,1] B．[1,2]
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C．[2,3] D．[3,4]
5、已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( )
A．(0,0.5)
B．(0.5,1)
C．(1,1.5)
D．(1.5,2)
二、填空题
6、已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．
7、若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范
围为___________________．
8、已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．
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9、用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.
三、解答题
10、当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
11、已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
12、分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，
(1)有两个负根；
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(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3)有两个实根，且都比1大．
13、若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
求方程x3＋x2－2x
以下是答案
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一、选择题
1、A [函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .
由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a <α<β<b .]
2、A [由于f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
3、D [构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，由f (1.75)＝f (74)＝lg 74－14
<0，f (2)＝lg 2>0，知x 0属于区间(1.75,2)．]
4、B [因为f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，
所以存在一个零点x ∈[1,2]．]
5、B
二、填空题
6、a <0
解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12
，不符题意；
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当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．
当a ≠0时，由Δ＝4－4a >0，得a <1，
又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点，
f (x )图象的对称轴方程为x ＝－2
2a ＝－1a
， 当－1a
>0，即a <0时， 方程f (x )＝0有一正根(结合f (x )的图象)；
当－1a
<0，即a >0时，由f (x )的图象知f (x )＝0有两负根， 不符题意．故a <0.
7、(－1,0)
解析 设f (x )＝x 2－2x ＋p ＋1，根据题意得f (0)＝p ＋1>0，
且f (1)＝p <0，f (2)＝p ＋1>0，解得－1<p <0.
8、0
解析 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.
由f (－x )＝f (x )可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，
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于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.
9、7
解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为
1
27＝1128<1100＝0.01.
三、解答题
10、解 ①当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． ②当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0
f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1>0a －2＋1<04a －4＋1>0，解得34
<a <1. ③当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，
则x 1x 2＝1a
<0，x 1，x 2一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34
<a <1.
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11、解 (1)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ， x ≥4，－x 2＋4x ， x <4.
图象如右图所示． (2)当x ∈[1,5]时，f (x )≥0且当x ＝4时f (x )＝0，故f (x )min ＝0； 又f (2)＝4，f (5)＝5，故f (x )max ＝5.
(3)由图象可知，当0<a <4时，
方程f (x )＝a 有三个解．
12、解 (1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x 1，x 2，
则有两个负根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1＋x 2＝－2<0，
x 1x 2＝m ＋1>0，
解得－1<m ≤0.
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方法二 (函数思想) 设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点均在y 轴左侧，结合函数的图象，有
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－
b 2a ＝－1<0，
f (0)＝m ＋1>0，
解得－1<m ≤0. (2)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为x 1，x 2，则令y 1＝x 1－2>0，y 2＝x 2－2<0，问题转化为求方程(y ＋2)2＋2(y ＋2)＋m ＋1＝0，即方程y 2＋6y ＋m ＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y 1y 2＝m ＋9<0，解得m <－9.
方法二 (函数思想)
实用文档 设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，
有f (2)＝m ＋9<0，解得m <－9.
(3)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1－1＋x 2－1>0，
(x 1－1)(x 2－1)>0(方程思想)，
或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－b 2a ＝－1>1，f (1)＝m ＋4>0(函数思想)，
因为两方程组无解，故解集为空集．
13、解 ∵f (1.375)·f (1.437 5)<0， 且|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1， ∴方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根可取为区间(1.375，1.437 5)中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如1.437 5.。