大物第1章 习题答案

第1章 习 题
1-6.
某质点的速度为
v
2i 8t j ，已知 t
0
时它
过点 (3,7) ，求该质点的运动方程。
解：r
t vdt
0
t 0
(2i
8t
j )dt
2ti
4t
2
j
r0
代入
r t0
(3,7)
解得：r0
(3,7)
r
(2t
3)i
(4t
2
7)
j
1-8. 某质点作直线运动，其运动方程为 x 1 4t t 2 ，
的大小和方向。
解：an
v2 R
102 400
0.25m s2
总加速度
a
an
n
a
a an2 a2 0.252 0.22 0.32m s2
其方向与行驶方向的夹角为：
90 arctan a 90 arctan 0.2 128.7
an
0.25
处的目标吗？在这里距离上他能击中的最大高度是？
解：建立坐标系如图，设出手角度为
则石子运动的抛物线轨迹为：
y
x
tan
2v
gx 2 2 cos2
y
v
在水平距离 L 50 处的高度为
y
50
tan
19.6
cos2
x
L
y
50
tan
19.6
cos2
y
hmax
v
求其极值：
dy
d
50
cos2
39.2 sin cos3
求：（1）第3秒末质点的位置；（2）头3秒内的位移；
（3）头3秒的路程。
解：（1） x(3)
1 4t
t2
t3
4
（2）
r
x(3)
x(0)
3
（3） S
3 v dt
3
4 2t dt 5
0
0
1-10. 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过距离河面 H
的滑轮拉船靠岸，设绳子的原长是
l0
，人以匀速
H
v0t
1 2
gt 2
8.9 0.907
1 2
9.8 0.9072
4.04
1-12. 一人站在山坡上，扔出一个初速度为 v0 的小石
子，如图所示。
（1）证明小石子落到山坡上的距离
S
2v02
sin( )cos g cos 2
（2）由此证明当 时，
S 有最大值
42
v0
Smax
v
2 0
(v tB1
tA1 0
gt )dt
v0 (t B1
t A1 )
1 2
g(
t
2 B1
t
2 A1
)
h
yA2
yB2
v0 (t A2
tB2)
1 2
g(t
2 A2
t
2 B
2
)
h
yB2 B yA2 A
整理得：
v0 (tB1 v0 (t A2
t A1 )
1 2
g(
t
2 B1
t
2 A1
)
h
(1)
tB2 )
1 2
质点的总加速度与半径成45°角
a
an
v2 R
代入数据解得：t 1s
（2）
v R
t
1
1
dt tdt 0.5 rad
0
0
1
1
S 0 vdt 0 3tdt 1.5 m
1-20. 汽车在半径为 R 400m 的圆弧弯道上减速行驶， 设某一时刻汽车的速率为 v 10m s1 ，切向加速度 为 a 0.2m s2 ，求汽车的法向加速度和总加速度
y
v0
l0
H
o
x
r
a dv
v02 H 2
dt
(l0 v0t)2 H 2 (l0 v0t)2 H 2
1-11. 大马哈鱼总是逆流而上，游程中有时要跃上瀑布，
这种鱼跃出水面的速度可达 32k m h1 ，它最高可跃
上多高的瀑布？
解：v0 32km h1 8.9m/s
t v0 8.9 0.907 g 9.8
常矢量
1-15. 若上抛物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔
为 t A ，而沿两个方向经过A上方h处的另一水平线B 的时间间隔为 tB ，试求重力加速度。
解：设该物体垂直向上的
yB1
初始速度分量为 v0 ，则任
h
意时刻的速度为
v v0 gt
y A1
yB1 yA1
tB1 vdt
t A1
v0
拉绳，试描述小船的运动轨迹并求其速度和加速度。
解：设置坐标轴如图。
y
v0
由几何关系可知：
r2 H2 l2
l0
H
其中，
l l0 v0t
o
x
r
r (l0 v0t)2 H 2
r (l0 v0t)2 H 2
v dr dt
d dt
(l0 v0t)2 H 2
v0(l0 v0t) (l0 v0t)2 H 2
d
d
d
2v02
sin( )cos g cos2
2v02 g cos2
d
d
sin(
)cos
2v02 g cos2
cos (2
)
令
0
42
代入得：Smax
v02 (sin 1) g cos 2
1-13. 一人扔石子的最大出手速度为 v 25m/s ，他能 击中一个与他的手水平距离 L 50 m ，高 h 13 m
令
0
51.9
代入求得：ymax 12.3 m h 13m
x
L
所以此人打不到目标，在这个距离上能打到的最大 高度为12.3m
1-14. 如果把两个物体A和B分别以初速度 v0A 和 v0B
抛出去，v0A与水平面的夹角为 α ， v0B 与水平面的夹
角 ，试证明在任一时刻物体B相对于物体A的速度
g(
t
2 A2
t
2 B
2
)
h
(2)
由运动的对称性可知：t B1
t A1
t A2
tB2
1 2
(t A
tB )
代入上式：
v0
1 2
(t A
tB
)
1 4
g(t A
tB
)( t B1
t A1 )
h
(1)
v0
1 2
(t A
tB
)
1 4
g(t A
tB
)(t A2
tB2
)
h
(2)
(1) (2)得：
1 4
(s
in
1)
g cos 2
S
（1）证明：建立坐标如图。
则石子的轨迹曲线为：
x
v0t
sin
y
v0t
cos
1 2
gt 2
y v0
S
设石子在 t1 时刻落地，则有
S
cos
v0t1
sin
S
sin
v0t1
cos
1 2
gt12
解得：
S
2v02
sin( )cos g cos 2
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x
（2）证明：
dS
1-18. 某质点作圆周运动的方程为 2t 4t 2 ，在
t=0 时开始逆时针旋转，试求：（1）t=0.5 时，质点 以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，其
角位置 为多大？ 解：角速度 d 2 8t
dt
（1） t0.5 2 0 此时质点顺时针转动。
令
（2） 2 8t 0 t 0.25
g(t A
tB
)(t A2
tB2
)
1 4
g(t A
tB
)(t B1
t A1
)
2h
解 得 ：g
8h
t
2 A
2
t
2 B
2
1-16. 以初速度 v0 将物体斜向上抛，抛射角 ，不计
空气阻力，求物体在轨道最高点处的曲率半径。
解：物体在最高点时，
v
v0
cos
an
g
v2 R
R v02 cos2
g
v0
t0.25 2t 4t 2 0.25
1-19. 质点从静止出发沿半径 R 3m 的圆周作匀变速
运动，切向加速度 a 3m s2 ，试求：（1）经过多
长时间后质点的总加速度恰好与半径成45°角？（2） 在上述时间内，质点经历的角位移和路程分别为多少？
解：（1）质点线速度 v a t 3t
v
an
1-17. 某质点从静止出发沿半径 R 1m 的圆周运动， 其角加速度随时间的变化规律为 12t 2 6t ，试求
质点的角速度及切向加速度的大小。
解：角速度
t
dt
t (12t 2 6t )dt 4t 3 3t 2
0
0
线速度 v R 4t 3 3t 2
切向加速度
a
dv 12t 2 6t dt
为常矢量。
证明：在任意时刻t，
vA
v0 Ax
i
v0
Ay
j
vB v0Bx i v0By j
(v0 A (v0B
sin sin
gt gt
) )
k k
物体B相对于物体A的速度 ：
vB v A (v0Bx v0Bx ) i (v0By v0 Ay ) j
(v0B sin v0A sin ) k