南充高中高2019级下学期第一次月考试题(文科)答案
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3
2
2 24
由余弦定理得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A = 25+16 - 20 = 21，故 a = 21 .
从而由正弦定理得
sin
B
sin C
=
b a
sin
A×
c a
sin
A=
bc a2
sin 2
A=
20 × 21
3 4
=
5 7
.（12
分）
19.解(1) A 2,3（4 分）
a
a
系,均包含趋于 部分,一定不符合,舍去.
综上可知: a 1 3 （12 分）
20.解（1）设等差数列an 的公差为 d
,由
S2n Sn
4
得： a1 a2
a1
4 ，所以 a2
3a1
3 ，且 d
a2
a1
2
所以 an a1 (n 1)d 1 2(n 1) 2n 1
Sn
n(1
即 (2 cos A -1)(cos A+2)= 0 ，解得 cos A = 1 或 cos A = -2 (舍去)．
2
因为 0< A< π ，所以 A = π .(6 分）
3
（2）由 S = 1 bc sin A = 1 bc×
3=
3 bc = 5
，得 bc = 20 ，又 b = 5 ，知 c = 4 .
(2) A B B B A
当 a 0 时, B 1,,不符合题意,舍去;
当 a 0 时 , 不 等 式 可 化 为 : x 1 x 1 0 , 注 意 到
a
1
0
1 a
B
1,
1 a
1 3a 1
a
3
当 a 0 时,不等式可化为: x 1(x 1 ) 0 ,注意到无论 1 与 1大小关
{ {⇔ f (2)<0 f (-2)<0
2 x2 -2 x-1<0 -2 x2 -2 x+3<0
－1＋ 7 1＋ 3
所以 x 的取值范围是{ x |
<x<
}．
2
2
(3)∵
x
>1
，∴
m
<
2 x
x
2
-1 -1
.
设
2x
-1=
t(t
>1), x 2
-1=
t
2
+ 2t 4
-
3
，∴
m
<
t
2
4t + 2t
-
3
3
则直线方程为 y 3 3(x 1) 化简得 3x y 3 3 0 （5 分）
（2）由题意可知，所求直线的斜率为 .
又过点 3, 4 ，由点斜式得 y 4 x 3 ，
所求直线的方程为 x y 1 0 或 x y 7 0.（10 分）
18.解（1）由 cos 2A - 3cos(B+C)=1得 2 cos2 A+3cos A - 2 = 0 ，
=
t
-
4 3+2
.
t
设 g(t)= t - 3 +2,t ∈ (1,+∞)，显然 g(t)在 (1,+∞)上为增函数．
t
∴ g(t)> 0 ，∴ m ≤ 0 .
若 m ≠ 0 时，若对于任意实数 x 恒成立，
当且仅当 m < 0 且 Δ = 4 - 4m(1- m)< 0 ，
不等式解集为∅ ， 所以不存在实数 m ，使不等式恒成立．
(2)设 f (m)= (x2 -1)m - (2x -1)，
当 m ∈[- 2,2]时， f (m)< 0 恒成立．
而 f (m)在 m ∈[- 2,2]时表示线段，当且仅当
2n 2
1)
n2
(6 分)
（2）由 bn an 2n1 ，得 bn (2n 1) 2n1 所以Tn 1 3 21 5 22 (2n 1) 2n1 ， ①
2Tn 2 3 22 5 23 (2n 3) 2 n1 (2n 1) 2 n ， ②
①-②得
Tn 1 2 2 2 22 2 2n1 (2n 1) 2n
2(1 2 22 2n1) (2n 1) 2n 1
2(1 2n ) (2n 1) 2n 1 1 2
所以 Tn (2n 3) 2n 3
（12 分）
21.
(1)由题意
P
=
t
at +1
，
Q
=
bt
，
故当 t = 3时， P = 3a = 9 ， Q = 3b =1 . 解得 a = 3,b = 1 .
南充高中高 2019 级下学期第一次月考（文科）
数学试卷答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B
D
C
C
D
B
C
A
A
B
A
C
13. y = 2x 或 x y 3 0 14. an = 2n2 - 1 15. (- 4,2) 16.①②④
17.解：1tan =
3 ，k 3
tan
2
2 tan 1 tan2
x+1 3
x+1 3
从而 f (x)≤ 13 - 2 = 7 .
33
所以 f (x)的最大值为 7 .
3
答：分别投入 2 万元、1 万元销售甲、乙两种商品时，所得利润
总和最大，最大利润是 7 万元．(12 分)
3
22.(1)原不等式等价于 mx2 - 2x+(1- m)< 0 ，
若 m = 0 时， - 2x+1< 0 不恒成立，
ห้องสมุดไป่ตู้
3+1 4
3
所以 Q = 3t ，Q = 1 t . 从而 f (x)= 3x + 3 - x ,x ∈ [0,3]. (6 分)
t +1
3
x+1 3
(2)由(1)可得
f
(x)=
3x + x +1
3- x 3
=
13 （3
3+ x +1
x +1）.
3
故 3 + x+1 ≥ 2 ，当且仅当 3 = x+1 ，即 x = 2 时取等号．
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由余弦定理得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A = 25+16 - 20 = 21，故 a = 21 .
从而由正弦定理得
sin
B
sin C
=
b a
sin
A×
c a
sin
A=
bc a2
sin 2
A=
20 × 21
3 4
=
5 7
.（12
分）
19.解(1) A 2,3（4 分）
a
a
系,均包含趋于 部分,一定不符合,舍去.
综上可知: a 1 3 （12 分）
20.解（1）设等差数列an 的公差为 d
,由
S2n Sn
4
得： a1 a2
a1
4 ，所以 a2
3a1
3 ，且 d
a2
a1
2
所以 an a1 (n 1)d 1 2(n 1) 2n 1
Sn
n(1
即 (2 cos A -1)(cos A+2)= 0 ，解得 cos A = 1 或 cos A = -2 (舍去)．
2
因为 0< A< π ，所以 A = π .(6 分）
3
（2）由 S = 1 bc sin A = 1 bc×
3=
3 bc = 5
，得 bc = 20 ，又 b = 5 ，知 c = 4 .
(2) A B B B A
当 a 0 时, B 1,,不符合题意,舍去;
当 a 0 时 , 不 等 式 可 化 为 : x 1 x 1 0 , 注 意 到
a
1
0
1 a
B
1,
1 a
1 3a 1
a
3
当 a 0 时,不等式可化为: x 1(x 1 ) 0 ,注意到无论 1 与 1大小关
{ {⇔ f (2)<0 f (-2)<0
2 x2 -2 x-1<0 -2 x2 -2 x+3<0
－1＋ 7 1＋ 3
所以 x 的取值范围是{ x |
<x<
}．
2
2
(3)∵
x
>1
，∴
m
<
2 x
x
2
-1 -1
.
设
2x
-1=
t(t
>1), x 2
-1=
t
2
+ 2t 4
-
3
，∴
m
<
t
2
4t + 2t
-
3
3
则直线方程为 y 3 3(x 1) 化简得 3x y 3 3 0 （5 分）
（2）由题意可知，所求直线的斜率为 .
又过点 3, 4 ，由点斜式得 y 4 x 3 ，
所求直线的方程为 x y 1 0 或 x y 7 0.（10 分）
18.解（1）由 cos 2A - 3cos(B+C)=1得 2 cos2 A+3cos A - 2 = 0 ，
=
t
-
4 3+2
.
t
设 g(t)= t - 3 +2,t ∈ (1,+∞)，显然 g(t)在 (1,+∞)上为增函数．
t
∴ g(t)> 0 ，∴ m ≤ 0 .
若 m ≠ 0 时，若对于任意实数 x 恒成立，
当且仅当 m < 0 且 Δ = 4 - 4m(1- m)< 0 ，
不等式解集为∅ ， 所以不存在实数 m ，使不等式恒成立．
(2)设 f (m)= (x2 -1)m - (2x -1)，
当 m ∈[- 2,2]时， f (m)< 0 恒成立．
而 f (m)在 m ∈[- 2,2]时表示线段，当且仅当
2n 2
1)
n2
(6 分)
（2）由 bn an 2n1 ，得 bn (2n 1) 2n1 所以Tn 1 3 21 5 22 (2n 1) 2n1 ， ①
2Tn 2 3 22 5 23 (2n 3) 2 n1 (2n 1) 2 n ， ②
①-②得
Tn 1 2 2 2 22 2 2n1 (2n 1) 2n
2(1 2 22 2n1) (2n 1) 2n 1
2(1 2n ) (2n 1) 2n 1 1 2
所以 Tn (2n 3) 2n 3
（12 分）
21.
(1)由题意
P
=
t
at +1
，
Q
=
bt
，
故当 t = 3时， P = 3a = 9 ， Q = 3b =1 . 解得 a = 3,b = 1 .
南充高中高 2019 级下学期第一次月考（文科）
数学试卷答案
题号 1
2
3
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5
6
7
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9 10 11 12
答案 B
D
C
C
D
B
C
A
A
B
A
C
13. y = 2x 或 x y 3 0 14. an = 2n2 - 1 15. (- 4,2) 16.①②④
17.解：1tan =
3 ，k 3
tan
2
2 tan 1 tan2
x+1 3
x+1 3
从而 f (x)≤ 13 - 2 = 7 .
33
所以 f (x)的最大值为 7 .
3
答：分别投入 2 万元、1 万元销售甲、乙两种商品时，所得利润
总和最大，最大利润是 7 万元．(12 分)
3
22.(1)原不等式等价于 mx2 - 2x+(1- m)< 0 ，
若 m = 0 时， - 2x+1< 0 不恒成立，
ห้องสมุดไป่ตู้
3+1 4
3
所以 Q = 3t ，Q = 1 t . 从而 f (x)= 3x + 3 - x ,x ∈ [0,3]. (6 分)
t +1
3
x+1 3
(2)由(1)可得
f
(x)=
3x + x +1
3- x 3
=
13 （3
3+ x +1
x +1）.
3
故 3 + x+1 ≥ 2 ，当且仅当 3 = x+1 ，即 x = 2 时取等号．