调和函数例题

若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面 例3.16 内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
( x, y)
du(x,y)=uxdx+uydy= vydx-vxdy
故 g( y ) y c ,
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
例3.22
已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ), 试确定解析函数 f ( z ) u iv .
解
两边同时求导数
2 2
ux v x ( x 4 xy y ) ( x y )( 2 x 4 ) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
u 解 因为 2 x, x
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 c1 ,
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 , 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f ( z ) i ( z c ).
3
(c 为任意实常数)
f (z) 例3.21 用不定积分法求解例2中的解析函数
虚部 v( x, y ) e ( y cos y x sin y ) x y.
x
解
f ( z ) V ( z ) v y iv x e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
x
e x (cos y i sin y ) i ( x iy )e x sin y ( x iy )e x cos y 1 i
u y v y ( x 2 4 xy y 2 ) ( x y )(4 x 2 y ) 2,
u v u v 且 , , x y y x
所以上面两式分别相加减可得
v y 3 x 2 3 y 2 2,
v x 6 xy,
f ( z ) v y iv x 3 x 2 3 y 2 2 6 xyi
u 2, 2 x
2
u 2ky, y
2u 2k , 2 y
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f ( z ) U ( z ) ux iu y 2 x 2kyi
2 x 2kyi 2 x 2 yi 2z ,
根据不定积分法 f ( z ) 2 zdz z 2 c ,
得 u [e (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
x
u e ( x cos y y sin y ) x g( y ),
x
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e x ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
3 z 2 2,
f ( z ) ( 3 z 2)dz z 2 z c .
2
3
(c 为任意实常数)
课堂练习 证明 u( x , y ) x 3 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为
调和函数, 并求其共轭调和函数.
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
例3.17 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
e (cos y i sin y ) ( x iy )e [cos y i sin y ]
x x
1 i
e
x iy
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
解
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
y vx 2 x y2
x vy 2 x y2
2 2
vxx
x
2 xy
2
y

v yy
x
2 xy
2
y
2 2

vxx v yy 0
du ux dx uy dy vy dx vx dy x y 1 2 2 2 d x dy d ln( x y ) 2 2 2 x y x y 2
由 f ( i ) 1, 得 c 0,
所求解析函数为
f ( z ) x 2 y 2 2 xyi z 2 .
例3.20 用不定积分法求解例1中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 x y.
3 2
解
f ( z ) U ( z ) ux iuy 3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,