流体力学 第三章 一元流体动力学基础(第一次)

y
( a x z) 0
g
z a x g
自由面为一与 y 轴平行的过坐标轴原点的倾斜面
自由面与xOy面夹角： tan a
g
a ,
（4）等压面方程
等压
dp 0
另外有 X a, Z g
代入流体平衡微分方程：
z
x
a
dp (Xdx Ydy Zdz)
等压面 传递性
p1 o (c a) p1 w (b a)
p2 wb p1 w (b a) p2 p1 wa
A油
1
D
2 B水
c b
a
习题3-11：圆筒行闸门，直径D=4m，长度L=10m，H1=4m， H2=2m。求作用于闸门上的静水总压力Fx、Fy。
Fx F1 F2
Fy：选取压力体 G1
x
y
G2
Fy1
Fy 2
Fy G1 G2
三种不同平衡状态总体对比
静止、匀加速直线运动、匀速旋转运动
静止流体 匀加速直线流体 匀速旋转流体
偏导数 反映的是 函数沿坐 标轴方向 的变化率。
1 p 0
x
1 p 0
y 1 p g z
有： (adx gdz) 0
积分，得： ( a x z) C
g
或
a xz C g
z a xC g
结论：匀加速直线运动中，液体的等 压面是与自由面平行的一系列倾斜面。
核心问题2、匀速旋转运动中液体的平衡
z

（1）质量力（两部分）
X X1 X2 2x Y Y1 Y2 2 y Z Z 1Z2 g
探索未知，传承文明
流体力学
作业点评
习题3-6: 一开口圆柱形容器，直径D= 0.4m，上部为油，下部 为水。(1) 若a=0.2m, b=1.2m, c=1.4m, 求油的相对密度。 (2) 如 果油的相对密度为0.84， a=0.5m，b=1.6m，求容器中水和油的 体积。
点评：判断等压面，选择等压面，巧用传递性。
x
A
y
R
（2）压强分布
O
x
p

pa



(
2
r
2
2g

z)

pa
h
y 2
x 2
r 2
y
x、y 固定不变： 压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
R
p pa
自由面相对压强：
p

p

pa

(2r2
2g

z)
0
z
2R2
2g
O
x
自由面方程：
(2r2 z) 0
O
x
有： (2 xdx 2 ydy gdz) 0
y
积分，得： 1 2 x 1 2 y gz C
2
2
2r2
z C 2g
整理 1 2r 2 gz C 或 2r2 z C
2
2g
结论：匀速旋转运动中，液体的等压面是绕直轴旋 转的抛物面，当 C 值不同时，得到旋转抛物面簇。
AB
C D
跟踪
A D
BC
t2时刻
t1时刻
拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过 程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个液 体的运动。
拉格朗日法
跟踪
着重于流体质点
跟踪每个 流体质点
研究其位移、 速度、加速 度等随
时间的变
化情况
综合流场中 所有流体质 点的运动
流场的 运动
z t
结论：轨迹方程是初始 坐标与时间的连续函数
1 p a
x
1 p 0
y
1 p g
z
铅直方向压强递增率相同
xOy平面内压强递增率不同
1 p 2 x x 1 p 2 y y
1 p g
z
p p0 h
等压面不同
内容回顾
核心问题1、匀加速直线运动中液体的平衡
（1）质量力（两部分） X X1 X2 a Y Y1 Y2 0
（t0）
（x，y，z）
x x(a,b, c,t)

y

y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
全部质点的速度：
O M （a，b，c） x
y (a, b, c, t) 通常称 作拉格朗日变量
ux

x(a, b, c, t ) t
uy

y(a, b, c, t ) t
第三章 一元流体动力学基础
§3.1 描述流体运动的拉格朗日法与欧拉法 §3.2 （非）恒定元流的概念与特征 §3.3 流线与迹线的概念及区别 §3.4 一元流动模型 特点：概念多、较抽象 学习要求：理解基本概念
引言
学习进程： 静力学→（相对平衡） →动力学
流体的基本特征：流动性→研究运动规律更有价值 动力学的主要问题：→压强和流速→两者在空间的分布
y
点评：整体受力分析、 压力体的叠加。
H1
x D
H2
F1
Fx1
Fx F1 F2
Fx 2
F2
“转嫁危机”
y
x D
H1
H2



习题3-12：拦河大坝，坝内水深80m，坝外水深20m，计算静 水压力作用下，大坝所受合力及其与x轴方向。
点评：整体受力分析、 选取压力体。
x
y
F1
Fx1
F2
Fx 2
uz

z(a,b, c,t) t
ux , uy , uz
质点流速在各轴的分量
全部质点的加速度：
Z Z 1Z2 g
（2）压强分布
z
x
பைடு நூலகம்ya
a
g
p

pa
(
a g
x
z)

pa
h
z 固定不变：压强沿 x 轴线性变化。 x 固定不变：压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
z
p pa
自由面相对压强：
p

p

pa
(
a g
x

z) 0
x
O
自由面方程：
2g
y
z 2r2 2 (x2 y2)
2g 2g
结论：自由面为一旋转抛物面，形状与ω有关。
2R2
h 2g
, h
（4）等压面方程
等压
dp 0
R
另外有 X 2 x, Y 2 y, Z g
z
代入流体平衡微分方程：
dp (Xdx Ydy Zdz)
由静到动：受力变化 出现了和流速密切相关的惯性力 和粘性力
惯性力： 由流体质点本身流速变化引起的。
粘性力： 由流层与流层之间，质点与质点之间存 在流速差引起的。
结论： 流体动力学的基本问题是流速问题
§3.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
蹲点
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性