流体力学 第三章 一元流体动力学基础(第一次)
工程流体力学--第三章--流体动力学基础ppt课件
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
流体力学泵与风机-第3章 一元流体动力学基础
hl12
总流：
( z1
p1
u12 )dQ
2g
(z2
p2
u22 2g
hl12 )dQ
A2
A1
缓变流截面
z p
g
常数
(z p )dQ (z p )Q
g
A
u2 dQ u3 dA v3 dA v2 Q
2g
2g
2g
2g
A
A
A
1
v3 A
u3dA 1
A
hl12dQ hl12Q
缓变流：流线近于平行的流动 急变流：流向变化显著的流动
缓变流
急变流
缓变流 缓变流
急变流
急变流
二、速度沿流线主法线方向的变化
分析流线主法线方向所受的力：
端面压力： pA ( p p)A
p+p
重力分量： W cos 法线方向的加速度： u2 / r
A M
z
r
牛顿第二定律
p W
rA u2 ( p p)A pA W cos
(z p ) 0
r g
z1
p1
g
z2
p2
g
z
r
p2
2 p1 1
流线
水平面内的直线流动： p 0 r
在均匀流动条件下，沿垂直于 流线方向（即过流断面）的压 强分布服从于静力学基本方程 式。
忽略重力影响的直线流动，沿垂 直于流线方向的压强梯度为零， 即没有压强差。
四、均匀流动时压强沿流线主法线方向（过流断面）的变化
v Q A Q vA v f (s) 简化为一元问题！
§3.5 连续性方程
问题：v(s)沿流向如何变化（规律）？
流体力学课件一元流体动力学基础(上)
M、dt、ρ一定，则A越大，v越小。A越大，则流线 越疏，故此，流线疏松，说明A越大，故此，v越小； 反之，越密集，说明A越小，v越大。
在恒定流中，流线和迹线是完 全重合的。
第四节 一元流动模型
一、流管与流束
1.流管:在流场中取任一封闭曲线（不是流线）， 通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成 的管状空间称为流管。
表达式中的自变量（ a 、 b 、c、 t ) ，称为拉 格朗日变量。
速度 加速度
应用前景
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而 实用上也无须知道个别质点的运动情况， 所以除了少数情况（如波浪运动）外，在 工程流体力学中很少采用。
二、欧拉法
步哨监控
特点
将个别流体质点运动过程置之不理,以 固定空间点为研究对象，描述各瞬时物 理量在空间的分布来研究流体运动的方 法。通过观察在流动空间中的每一个空间点
均匀流——流线是平行直线的流动，
非均匀流——流线不是平行直线的流动，
4.渐变流与急变流
定义：渐变流——沿程逐渐 改变的流动。
性质：非均匀流中如流动变 化缓慢，流线的曲率很小 接近平行，过流断面上的 压力基本上是静压分布者 为渐变流，否则为急变流。
二、流体流动的分类
（1）层流 层流亦称片流，是指流体质点不互相混杂，
位变加速度？ 2、如图，在水位变化的情况下：
A — A’和B —B’是否存在时变加速度和 位变加速度？
本书以下的流动描述均 采用欧拉法！
第二节 恒定流动和非恒定流动
一、 流体流动
1. 恒定流动
流场中各点流速不随时间变化，由流速决定 的压强，粘性力和惯性力也不随时间变化。这种流 动称为恒定流动。
第三章 一元流体动学基础
在恒定流动中，迹线和流线完全重合。 在非恒定流动中，两线不重合。
第四节
一元模型流动
一元流动模型的建立，首先要建立几个概念，这些概念是由流线进一步发展 而来的。 1、流管：在流场中，取任意非流线的封闭曲线 、流管 这些流线组成的管状流面，就是流管。
l
，经此曲线上全部点作流线，
2、流束：流管所包围的流体称流束。围成流束的 、流束 流面由流线构成，因为流线是互不相交的，所以流 面构成一个封闭的面，外部的流体不能流入，内部 的流体不能流出。 3、过流断面：与流束中的流线处处垂直的断面称为 、过流断面：
2、控制体：是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。 、控制体：
与系统不同，控制体一经选定，它在坐标系中的位置和形状都不再变化。如果这 个坐标是固定的就称为固定控制体，如果是运动坐标系，则称为运动控制体。
系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 系统是对应拉格朗日法对研究对象的划分； 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 控制体是对应欧拉法对研究对象的划分。 利用控制体可以推导出流体所具有的某种物理量（如质量、动量、动 量矩）随时间的变化率，由此可得出流体力学中若干个重要方程，如 总流连续性方程、动量方程和动量矩方程。
§3-1 描述流体运动的两种方法
二、欧拉描述法
基本思想：在任意指定的时刻逐点描述当地的运动特征量（如速度、加速度） 基本思想 及其它物理分布（如压力，密度）的方法。这种通过描述物理量在空间的分布 来研究流体运动的方法称为欧拉法 欧拉法。 欧拉法 欧拉法中时空坐标 ( x, y , z , t ) 是自变量，任一点速度可表示为：
r r s = s (a, b, c, t)
它在
x, y, z方向的分量为：
流体力学 第三章 流体动力学
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
三章一元流体动力学基础
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第3章 一元流体动力学基础
伯努利方程的几何意义与物理意义
mgz z mg
p mgh h g mg
某点到基准面的位置高度，或位置水头 单位重量流体所具有的位置势能，或位能
该点的测压管高度，或压强水头； 单位重量流体所具有的压强势能，或压能
z
p g
该点测压管液面的总高度，或测压管水头 单位重量流体所具有的总势能
该点的流速高度，或流速水头 单位重量流体所具有的动能； 该点的总水头 单位重量流体所具有的机械能； 沿元流各点总水头相等，总水头线水平 沿元流机械能守恒，故又称能量方程
3.4.7 流量（flow rate/discharge） 单位时间内通过过流断面流体的体积，单位为立方米每秒（m3/s） 若以 dA 表示元流过流断面面积，u 表示该断面流速，总流流量
Q A udA
除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等 3.4.8 断面平均流速（mean velocity） 总流过流断面上的假想速度 v
uz
u y z
uz uz uz uz az ux uy uz t x y z
3.2 恒定流和非恒定流（steady and unsteady flows）
流场中各空间点的运动要素均不随时间变化的流动为恒定流 反之为非恒定流 对于恒定流
ux ux x, y, z
或
2 u A pB pA h 2 g g g
由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头
使用毕托管测量点流速 对于液体
u 2 gh
pA u 2 pB g 2g g
pB pA
对于气体
u 2
2
u AB
h
U型管内
pB pA ' gh
2-流体力学-第三章-流体动力学(1)-三大方程-黄国钦
d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等。
11 12
2
例题 例题:
r r r r V = x 2 yi − 3 yj + 2 z 2 k
3.2 几个概念 3.2.1 流动的分类——定常流和非定常流
试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量 解:
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为：
选定某一空 选定某一空 间固定点 间固定点
记录流动空间 某固定位置 处，流体运动 要素（速度、 加速度）随时 间变化规律
r r u =u (x,y,z,t)
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
(( x ,, y ,, zz )) 是 x y 是空 空间 间点 点（ （场 场 r u 点）。流速 是在 点）。流速 是在 tt 时 时 刻占据 (( x ,, y ,, zz )) 的那个流 刻占据 x y 的那个流
工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
制造工程系：黄国钦
1
2
3.1.2 描述流体运动的两种方法及质点导数概念
3.1.2 描述流体运动的两种方法 3.1.2.1 拉格朗日法
基本思想：以研究个别流体质点的运动为基础，跟踪每个流体质点的运动全 基本思想： 过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。即通过描述每一质 点的运动了解流体运动。(随体法或跟踪法)
迹线
M(-1,-1)
o
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
19
dx dy dz = = vx v y vz
《流体力学》第三章一元流体动力学基础
02
能源领域
风力发电机的设计和优化需要考虑风力湍流对风能转换效率的影响；核
能和火力发电厂的冷却塔设计也需要考虑湍流流动的传热和传质特性。
03
环境工程领域
大气污染物的扩散和传输、城市空气质量等环境问题与湍流流动密切相
关，需要利用湍流模型和方法进行模拟和分析。
06
一元流体动力学的实验研 究方法
实验设备与测量技术
一元流体动力学
研究一元流体运动规律和特性的学科。
研究内容
包括流体运动的基本方程、流体的物理性质、流动状态和流动特 性等。
02
一元流体动力学基本概念
流体静力学基础
静止流体
流体处于静止状态，没有相对运动，只有由于重力引起的势能变 化。
平衡状态
流体内部各部分之间没有相对运动，且作用于流体的外力平衡。
流体静压力
总结词
求解无旋流动的方法主要包括拉普拉斯方程和泊松方程。
详细描述
拉普拉斯方程是描述无旋流动的偏微分方程，它可以通过求 解偏微分方程得到流场的速度分布。泊松方程是另一种求解 无旋流动的方法，它通过求解泊松方程得到流场的速度分布 。
无旋流动的应用实例
总结词
无旋流动在许多工程领域中都有应用，如航 空航天、气象学、环境工程等。
能量方程
• 总结词：能量方程是一元流体动力学的基本方程之一，用于描述流体能量的传递和转化规律。
• 详细描述：能量方程基于热力学第一定律，表示流体能量的变化率等于流入流体的净热流量和外力对流体所做的功。在直角坐标系下，能量方程可以表示为：$\frac{\partial}{\partial t}(\rho E) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j E + p u_j) = \frac{\partial}{\partial x_j}(k \frac{\partial T}{\partial x_j}) + \frac{\partial}{\partial xj}(\tau{ij} u_i)$，其中$E$为流体 的总能，$T$为温度，$k$为热导率。
第三章流体动力学基础(1)
A Control Volume is a region in space, mass can cross its boundary 8
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流体力学基础
第三章 流体动力学基础
§2 流体运动中的几个基本概念
一、物理量的质点导数（全导数） • 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、压强、 密度、温度、质量、动量、动能等）对时间的变化率称 为物理量N的质点导数。 • 流体质点处于静止状态，则不存在质点导数概念； • 质点导数是针对某一物理量； • 质点导数必然是数学上多元复合函数对独立自变量t的 导数
流体微团的标识：通常取 t0 时刻该流体微团的初始空间坐标 （a, b, c ）作为该流体微团的标识 （a, b, c ）可以是直角坐标系下，也可以任选，只要能把所 研究的流体微团彼此区别开即可
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流体力学基础
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第三章 流体动力学基础
• 拉格朗日变数 ： ( a, b, c ) 和 t • 任一时刻流体微团(a, b, c )的运动空间坐标（x， y，z）
r t
(2)
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流体力学基础
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第三章 流体动力学基础
• 欧拉参数转换为拉格朗日参数
若已知欧拉法表示的速度场为 v = v (r, t) = v (x, y, z, t ) 利用流体质点的速度关系式： dr/dt = v(r, t) 或分量形式： dx/dt = u(x, y, z, t) dy/dt = v(x, y, z, t) dz/dt = w(x, y, z, t) 设此组常微分方程组的解为： x = x(c1, c2, c3, t) y = y(c1, c2, c3, t) z = z(c1, c2, c3, t) 由起始条件确定积分常数，t=t0时有： a = x(c1, c2, c3, t0) b = y(c1, c2, c3, t0) c = z(c1, c2, c3, t0) 积分常数由拉格朗日参数（a, b, c）表示，获得拉氏与欧氏 参数关系：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t), 原速度场：v = v [x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t), t] = v (a,b,c,t) 完成欧氏参数向拉氏参数转换 流体力学基础 17
第三章一元流体动力学基础ppt
注意：流线和迹线微分方程的异同点。
dx ux dy uy dz uz
——流线方程
第四节 一元流动模型
一.流管、元流与流束 流管—在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通 过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的 管状空间称为流管。 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的 一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于 流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限 制在管内流动。
u x u x x, y , z , t
写成分量形式
u y u y x, y , z , t u z u z x, y , z , t
（x,y,z,t）——欧拉变量
(2) 欧拉加速度
流体质点，某一时刻，处于流场不同位置，速度是坐标及时 间的函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得加速度: du x, y , z , t a dt
流体质点速度为：
x a，b，c，t vx t y a，b，c，t vy t z a，b，c，t v z t
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
d2
d1
d3
2) 各断面流速比例保持不变， Q=8L/s,即流量增加为2倍， 则各断面流速亦加至2倍。即
流体力学第三章课后习题答案
流体⼒学第三章课后习题答案⼀元流体动⼒学基础1.直径为150mm 的给⽔管道，输⽔量为h kN /7.980，试求断⾯平均流速。
解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→//A Qv ρ=得：s m v /57.1=2.断⾯为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出⼝处断⾯收缩为150mm ×400mm,求该断⾯的平均流速解：由流量公式vA Q = 得：A Q v =由连续性⽅程知2211A v A v = 得：s m v /5.122=3.⽔从⽔箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流⼊⼤⽓中. 当出⼝流速10m/ 时,求(1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速解：(1)由s m A v Q /0049.0333==质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性⽅程：33223311,A v A v A v A v ==得：s m v s m v /5.2,/625.021==4.设计输⽔量为h kg /294210的给⽔管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。
试确定管道直径，根据所选直径求流速。
直径应是mm 50的倍数。
解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代⼊得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代⼊vA Q ρ= 得m v 18.1=5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。
试设计直径，根据所定直径求流速。
直径规定为50 mm 的倍数。
解：vA Q = 将s m v /20≤代⼊得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代⼊vA Q = 得：s m v /5.17=6.在直径为d 圆形风道断⾯上，⽤下法选定五个点，以测局部风速。
设想⽤和管轴同⼼但不同半径的圆周，将全部断⾯分为中间是圆，其他是圆环的五个⾯积相等的部分。
流体力学选择题库(1)
《流体力学》选择题库第一章绪论1．与牛顿内摩擦定律有关的因素是：A、压强、速度和粘度；B、流体的粘度、切应力与角变形率；C、切应力、温度、粘度和速度；D、压强、粘度和角变形。
2．在研究流体运动时，按照是否考虑流体的粘性，可将流体分为：A、牛顿流体及非牛顿流体；B、可压缩流体与不可压缩流体；C、均质流体与非均质流体；D、理想流体与实际流体。
3．下面四种有关流体的质量和重量的说法，正确而严格的说法是。
A、流体的质量和重量不随位置而变化；B、流体的质量和重量随位置而变化；C、流体的质量随位置变化，而重量不变；D、流体的质量不随位置变化，而重量随位置变化。
4．流体是一种物质。
A、不断膨胀直到充满容器的；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受剪切力的；D、在任一剪切力的作用下不能保持静止的。
5．流体的切应力。
A、当流体处于静止状态时不会产生；B、当流体处于静止状态时，由于内聚力，可以产生；C、仅仅取决于分子的动量交换；D、仅仅取决于内聚力。
6．A、静止液体的动力粘度为0；B、静止液体的运动粘度为0；C、静止液体受到的切应力为0；D、静止液体受到的压应力为0。
7．理想液体的特征是A、粘度为常数B、无粘性C、不可压缩D、符合RT=。
pρ8．水力学中，单位质量力是指作用在单位_____液体上的质量力。
A、面积B、体积C、质量D、重量9．单位质量力的量纲是A、L*T-2B、M*L2*TC、M*L*T(-2)D、L(-1)*T10.单位体积液体的重量称为液体的______，其单位。
A、容重N/m2B、容重N/M3C、密度kg/m3D、密度N/m311.不同的液体其粘滞性_____，同一种液体的粘滞性具有随温度______而降低的特性。
A、相同降低B、相同升高C、不同降低D、不同升高12.液体黏度随温度的升高而____，气体黏度随温度的升高而_____。
A、减小，升高；B、增大，减小；C、减小，不变；D、减小，减小13.运动粘滞系数的量纲是：A、L/T2B、L/T3C、L2/TD、L3/T14.动力粘滞系数的单位是：A、N*s/mB、N*s/m2C、m2/sD、m/s15.下列说法正确的是：A、液体不能承受拉力，也不能承受压力。
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
流体力学 第3章 一元流体力学基础
度问题。
描述流体运动的两种方法
➢ 拉格朗日法
拉格朗日法是把流场中流体看作是无数连续的质点所组成的质点系,如果能对每一质点
的运动进行描述,那么整个流动就被完全确定了。
✓ 在这种思路的指导下,我们把流体质点在某一时间t0时的坐标(a,b,c)作为该
流。
图3-3
流束
图3-4
元流是总流的一个微分流动
一元流动模型
过流断面：处处垂直于总流中全部流线的断面,。断面上的流速一般是不相等的,
中点的流速大,边缘的流速较小。
✓ 假定过流断面流速分布如图3-5所示,在断面上取微元面积dA,u为dA上的流速,因
室内空气在打开窗户和关闭窗户瞬间的流动,河流在涨水期
和落水期的流动,管道在开闭时间所产生的压力波动,都是
非恒定流动。
恒定流动和非恒定流动
式3-3是对非恒定流的全面描述。这里,u是空间和时间的函数。
运动平衡的流动,流场中各点流速不随时间变化,由流速决定的压强、黏性力
和惯性力也就不随时间变化,这种流动称为恒定流动。在恒定流动中,式(3-3)可简
质点的标志,则不同的(a,b,c)就表示流动空间的不同质点。这样,流场中的
全部质点,就用(a,b,c)变数全部描述出来。
✓ 随着时间的迁移,质点将改变位置,设(x,y,z)表示时间t时质点(a,b,c)的坐标,则下
列函数形式
= (,,,)
= (,,,)ቑ (3-1)
= (,,,)
e、f、…,我们便得到一条折线abcdef…。当折线上各点距离趋于零
时,便得到一条光滑曲线,这就是流线。
图3-2Βιβλιοθήκη 流线的定义流线和迹线 根据流线的定义,流线上任一点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合,
流体力学_03一元流体动力学基础
2019/7/9
2019/7/9
能量方程式说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各断面 总水头相等，单位重量的总能量保持不变。
元流能量方程式，确立了一元流动中，动能和势能，流速 和压强相互转换的普遍规律。提出了理论流速和压强的计算公 式。在水力学和流体力学中，有极其重要的理论分析意义和极 其广泛的实际运算作用。
z1
p1
g
U12 2g
z2
p2
g
U
2 2
2g
h' l12
A1 (z1
p1
u12 ) dQ
2g
A2 ( z2
p2
u22 ) dQ
2g
Q hw' dQ
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• 势能积分
A
(
p
Z
)dQ
A
(
p
Z
)
dQ
(
p
Z
)
Q
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§3.6 恒定元流的能量方程
动能定理：运动物体在某一时段内动能的增量等于各外
力对物体所作的功之和
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W
1 2
mu22
1 2
mu12
重力作功为
dQV dt(Z1 Z2 )
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根据动能定理，有
作业：3-8，3-9，3-12
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流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
第三章一元流体动力学基础
第三章 一元流体动力学基础§3-1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法),,,(t c b a),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x === tt c b a z u t t c b a y u t t c b a x u z y x ∂∂=∂∂=∂∂=),,,(),,,(),,,(二、欧拉法),,,(t z y x),,,(),,,(),,,(t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x ===§3-2 恒定流动和非恒定流动 一、恒定流动),,(),,(),,(z y x u u z y x u u z y x u u z z y y x x ===二、非恒定流动),,,(),,,(),,,(t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x ===§3-3 流线和迹线 一、流线0=⨯s d u流线不能相交(驻点或无限大) 二、迹线dtu s d =一般情况下，流线和迹线不重合，但在恒定流动下，两者重合。
§3-4 一元流动模型过流断面 流量 断面平均流速 §3-5 连续性方程 恒定流动 质量守恒CQdt =ρ分叉管路321Q Q Q ρρρ+=§3-6 恒定元流能量方程压力作功 dQdtp p dt u dA p dt u dA p )(21222111-=-动能增加 )22()22(21222122u u dQdt u u gdQdt-=-γγ势能增加)(12z z dQdt -γ能量守恒 )()22()(12212221z z dQdt u u dQdt dQdt p p -+-=-γγ总能量方程 dQgu z p dQ gu z p )2()2(22222111γγγγ++=++单位重量的能量方程Cgu z p gu z p =++=++2222222111γγZ 位置水头，单位重量的位置势能测压管上升的高度，压强水头，单位压能 初始速度上升的理论高度，单位动能前两项之和为测压管水头§3-7、过流断面的压强分布 一、均匀流断面上的压强分布满足静压分布。
《流体力学》第三章 一元流体动力学基础3.1-3.5
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
欧拉法：以固定空间点为研 究对象。 只要对流动的 欧拉变量（x,y,z,t) 描述是以固定 空间、固定断
§3-1 描述流体运动的两种方法
面或固定点为 对象，应采用 欧拉法
第二节 恒定流动和非恒定流动
恒定流动： 指流场中流动参数不随时间变化 而改变的流动。
u x u y u z p u x ( x, y , z ) u y ( x, y , z ) u z ( x, y , z ) p ( x, y , z )
1 1 1 v1 : v2 : v : : A1 A2 A
连续性方程确立了总流各断面平均流 速沿流向的变化规律
§3-5 连续性方程
例3-1
d1=2.5cm d2=5cm d3=10cm
Q=4l/s, 8l/s, 2l/s
v1,v2,v3=? Q
Q vA
Q v A
例3-2
1
2 b c 2ຫໍສະໝຸດ 3 d 3Q0
a 1
Q
Q
Q
Q
送风管断面50cm*50cm,送风口40cm*40cm,送 风口气流平均速度5m/s,,求1-1,2-2,3-3各 断面的流速和流量。
Q vA
Q v A
例3-3
v
1
d
1
d1=76.2mm,ρ1=4kg/m3, d2=38.1mm,v2=10m/s, ρ2=20kg/m3,求：
§3-3 流线和迹线
第四节
一元流动模型
流管：在流场中任意画出一条封闭曲线 （曲线本身不能是流线），经过曲线 上每一点作流线，则这些流线组成一 个管状的表面，称为流管。
§3-4 一元流动模型
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惯性力： 由流体质点本身流速变化引起的。
粘性力： 由流层与流层之间，质点与质点之间存 在流速差引起的。
结论： 流体动力学的基本问题是流速问题
§3.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
蹲点
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
1 p a
x
1 p 0
y
1 p g
z
铅直方向压强递增率相同
xOy平面内压强递增率不同
1 p 2 x x 1 p 2 y y
1 p g
z
p p0 h
等压面不同
内容回顾
核心问题1、匀加速直线运动中液体的平衡
（1）质量力（两部分） X X1 X2 a Y Y1 Y2 0
Fx F1 F2
Fy：选取压力体 G1
x
y
G2
Fy1
Fy 2
Fy G1 G2
三种不同平衡状态总体对比
静止、匀加速直线运动、匀速旋转运动
静止流体 匀加速直线流体 匀速旋转流体
偏导数 反映的是 函数沿坐 标轴方向 的变化率。
1 p 0
x
1 p 0
y 1 p g z
x
A
y
R
（2）压强分布
O
x
p
pa
(
2
r
2
2g
z)
pa
h
y 2
x 2
r 2
y
x、y 固定不变： 压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
R
p pa
自由面相对压强：
p
p
pa
(2r2
2g
z)
0
z
2R2
2g
O
x
自由面方程：
(2r2 z) 0
O
x
有： (2 xdx 2 ydy gdz) 0
y
积分，得： 1 2 x 1 2 y gz C
2
2
2r2
z C 2g
整理 1 2r 2 gz C 或 2r2 z C
2
2g
结论：匀速旋转运动中，液体的等压面是绕直轴旋 转的抛物面，当 C 值不同时，得到旋转抛物面簇。
（t0）
（x，y，z）
x x(a,b, c,t)
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
全部质点的速度：
O M （a，b，c） x
y (a, b, c, t) 通常称 作拉格朗日变量
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a, b, c, t ) t
AB
C D
跟踪
A D
BC
t2时刻
t1时刻
拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过 程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个液 体的运动。
拉格朗日法
跟踪
着重于流体质点
跟踪每个 流体质点
研究其位移、 速度、加速 度等随
时间的变
化情况
综合流场中 所有流体质 点的运动
流场的 运动
z t
结论：轨迹方程是初始 坐标与时间的连续函数
探索未知，传承文明
流体力学
作业点评
习题3-6: 一开口圆柱形容器，直径D= 0.4m，上部为油，下部 为水。(1) 若a=0.2m, b=1.2m, c=1.4m, 求油的相对密度。 (2) 如 果油的相对密度为0.84， a=0.5m，b=1.6m，求容器中水和油的 体积。
点评：判断等压面，选择等压面，巧用传递性。
等压面 传递性
p1 o (c a) p1 w (b a)
p2 wb p1 w (b a) p2 p1 wa
A油
1
D
2 B水
c b
a
习题3-11：圆筒行闸门，直径D=4m，长度L=10m，H1=4m， H2=2m。求作用于闸门上的静水总压力Fx、Fy。
uz
z(a,b, c,t) t
ux , uy , uz
质点流速在各轴的分量
全部质点的加速度：
有： (adx gdz) 0
积分，得： ( a x z) C
g
或
a xz C g
z a xC g
结论：匀加速直线运动中，液体的等 压面是与自由面平行的一系列倾斜面。
核心问题2、匀速旋转运动中液体的平衡
z
（1）质量力（两部分）
X X1 X2 2x Y Y1 Y2 2 y Z Z 1Z2 g
Z Z 1Z2 g
（2）压强分布
z
x
ya
a
g
p
pa
(
a g
x
z)
pa
h
z 固定不变：压强沿 x 轴线性变化。 x 固定不变：压强沿 z 轴线性变化。
（3）自由面方程
自由面绝对压强：
z
p pa
自由面相对压强：
p
p
pa
(
a g
x
z) 0
x
O
自由面方程：
2g
y
z 2r2 2 (x2 y2)
2g 2g
结论：自由面为一旋转抛物面，形状与ω有关。
2R2
h 2g
, h
（4）等压面方程
等压
dp 0
R
另外有 X 2 x, Y 2 y, Z g
z
代入流体平衡微分方程：
dp (Xdx Ydy Zdz)
y
( a x z) 0
g
z a x g
自由面为一与 y 轴平行的过坐标轴原点的倾斜面
自由面与xOy面夹角： tan a
g
a ,
（4）等压面方程
等压
dp 0
另外有 X a, Z g
代入流体平衡微分方程：
z
x
a
dp (Xdx Ydy Zdz)
第三章 一元流体动力学基础
§3.1 描述流体运动的拉格朗日法与欧拉法 §3.2 （非）恒定元流的概念与特征 §3.3 流线与迹线的概念及区别 §3.4 一元流动模型 特点：概念多、较抽象 学习要求：理解基本概念
引言
学习进程： 静力学→（相对平衡） →动力学
流体的基本特征：流动性→研究运动规律更有价值 动力学的主要问题：→压强和流速→两者在空间的分布
y
点评：整体受力分析、 压力体的叠加。
H1
x D
H2
F1
Fx1
Fx F1 F2
Fx 2
F2
“转嫁危机”
y
x D
H1
H2
习题3-12：拦河大坝，坝内水深80m，坝外水深20m，计算静 水压作用下，大坝所受合力及其与x轴方向。
点评：整体受力分析、 选取压力体。
x
y
F1
Fx1
F2
Fx 2