第八章计算长度
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.
２、平面内计算长度：（各种类型，源于弹性稳定的临界力）
（１）单层框架柱： a.μ值的计算： 基本假定： 材料弹性； 只有竖向节点荷载； 柱同时达到临界状态； 只考虑相连梁的约束；
无侧移时，横梁反向转角同； 有侧移时，两端转角同； 弯扭屈曲被约束。
.
框架失稳：有侧移和无侧移
柱脚刚性嵌固：
6K1tg
端铰接压杆（有相同临界力） 几何意义：构件弯曲屈曲两反弯点之间的距离。
（２）框架柱稳定计算方法： 方法１：一阶分析求内力→柱当作单独压弯构件计算稳定（考虑杆
件约束→计算长度） 方法２：考虑变形影响的二阶分析。 方法３：考虑P－△（轴力附加弯矩）近似求解内力。 2、3采用几何长度
（３）类型： 平面内计算长度→约束有关；平面外计算长度→支撑有关。
.
（５）有侧移失稳的层模型：（可解决非刚性梁柱连接情 况）
a.方法：一阶分析→乘以侧移放大系数→二阶内力 （位移）（整体分析得到）
m
1
11.2P Sh
S－侧移刚度
失稳条件：m→∞，即分母＝０得：
Pcr
Sh 1.2
.
Picr
Pcr
Pi Pi Sh P P1.2
令
Picr
2EI
ui l 2
2EI
u 2h2
c2 2
考虑相互支援：（实际情况）
P3
2EI
u 3h3
c3 2
P1e
2 E I c1
u1e h1 2
P2e
2EI c2
u 2 e h2 2
P3e
2EI c3
u 3e h3 2
依据总荷载不变原则：（ P－△效应不变；弯曲的P－δ效应不
一定不变）
P 1 P 2 P 3 P 1 eP 2 eP 3 e
0
柱脚铰支：
tg 6K1 0
K1
Ibh I cl
表征梁的约束大小
.
b.影响因素： 图中影响μ唯一因
素：柱端约束条件
柱脚（固、铰）:下 端转动约束
柱顶（有无侧移）： 上端侧向约束
K1值（梁约束）： 柱端转动约束
K1
Ibh I cl
.
其它需考虑的因素：
荷载条件影响：
左柱临界荷载提高
.
框架柱刚度影响
同理： 代入（1）式：
u3e
h1 h3
P1Ic3 P3 Ic1
u1e
uI1h c1 12uI2h c2 22uI3h c3 32u1 Ieh c1 12P P 1
（P=∑Pi）
令
P
Ic1 u1h1
2uI2hc2 2
2
Ic3 u3h3
2
.
则：
u ie
1 hi
I ci P PP i
原因： 失稳模式和屈曲前变 形比较接近； 横梁轴向力的不利影 响在对称失稳时比反 对称更为不利。
.
b.水平荷载效应： 一阶弹性分析
结论：水平荷载对框架柱计算长度影响不大
.
二阶分析 H作用产生侧移△→附加弯矩 M＝P1△ +P2△→框架内
力增大。 P△—荷载的不稳定效应，简称P·△效应。 H在梁中产生轴力，梁约束下降。
P百度文库i ui2
得：
ui
PEi
1.2
P
Pi
Sh
b.摇摆柱的处理：系数1.2→1.0；非摇摆柱不变。
补充：假定各柱
h
N相同，横梁的约束按线刚度分配。
EI
.
b. μ系数求解 临界条件：
G A 4 G B 2 G A 2G B 2 1 cot 2tg 2 10
GA
A I c h A I B lB
GB
B I c h B I B lB
A、B两点柱与梁线刚度和之比，反映梁柱连接的 柔度。
5.5 杆端约束和杆计算长度
１、计算长度概念 ２、平面内计算长度
（１）单层框架柱 （２）多层框架柱 （３）有侧移框架μ系数 （４）其它影响因素 （５）有侧移失稳的层模型 （６）半刚性连接框架柱 （７）山形门架柱 （８）弱支撑框架
３、平面外计算长度
.
１、计算长度概念：
（１）源自轴心压杆（借用）：轴压杆件的弹性屈曲分析。 物理意义：把不同支撑情况的轴心压杆等效为一定计算长度的两
当h1=h2=h3时u:ie
IciP PPi
Ici Pi
Pi
Ici ui2
注：公式的缺陷：未考虑弯曲的P－δ效应相同。 故：对弱柱承受较大荷载时误差大（I2/I1≤4时，误差不大） 设计时应适当放大弱柱截面，减小其它柱截面。
.
（２）多层框架柱：（无侧移）
a.基本假定：同单层框架柱
Ic Ic P P
两个参数 ρ α
e
.
c.多跨时的情况：
采用式（8.33）、（8.34）或图8.21求得。中柱
K1
(Ib / l) Ic / h
如考虑梁柱之间的相互支援，最不利柱计算长度减小
荷载作用于柱顶，忽略弯矩的影响 .
不考虑相互支援：
P1
2EI
u 1 h1
c1 2
P2
cot 0
.
c.尺解法
梁远端连接的修正： 远端固支时：γ=2/3 远端铰支时：γ=0.5
d.近似计算
u 1.64K1K27.5K1K2
K1K27.5K1K2
.
（４）其它影响因素： a.梁的约束下降：弯矩→屈曲前变形 压力→梁刚度下降 分析表明： 单层框架对称失稳时，梁上分布荷载影响大。 单层框架反对称失稳时，梁上分布荷载影响小。
.
非弹性修正：（切线模量理论）
G A
A A E E ItIB clB hE E t
AIc h AIBlB
GB：同上修正 Et fy E E
实际上，修正与否影响不大。
.
（３）有侧移框架μ系数（多层 框架柱）
a 基本假定：同前（转角同 向、相等）
b 临界条件及μ值：
2
GAGB
36
6GAGB
即： u I 1 h c 1 12 u I 2 h c 2 22 u I 3 h c 3 32u 1 I e h c 1 12 u 2 I e h c 2 22 u 3 I e h c 3 32 （1）
.
2
∵
P P 1 2 eeIIc c1 2 u u2 1e eh h1 2 u2eh h1 2 P P 12 IIcc 21u1e
.
尺解法：
.
梁远端连接的修正： 远端固支时：分母→∑（γiIBi/lBi)（γi=2） 远端铰支时：分母→∑（γvIBi/lBi)（γi=1.5）
GA
A I c h A I B lB
GB
B I c h B I B lB
约束刚度：K1=1/GA k2=1/GB
简化公式：
u33 12 .4K K 11 K K 22 10 .2 .6 84 K K 1K 1K 22
２、平面内计算长度：（各种类型，源于弹性稳定的临界力）
（１）单层框架柱： a.μ值的计算： 基本假定： 材料弹性； 只有竖向节点荷载； 柱同时达到临界状态； 只考虑相连梁的约束；
无侧移时，横梁反向转角同； 有侧移时，两端转角同； 弯扭屈曲被约束。
.
框架失稳：有侧移和无侧移
柱脚刚性嵌固：
6K1tg
端铰接压杆（有相同临界力） 几何意义：构件弯曲屈曲两反弯点之间的距离。
（２）框架柱稳定计算方法： 方法１：一阶分析求内力→柱当作单独压弯构件计算稳定（考虑杆
件约束→计算长度） 方法２：考虑变形影响的二阶分析。 方法３：考虑P－△（轴力附加弯矩）近似求解内力。 2、3采用几何长度
（３）类型： 平面内计算长度→约束有关；平面外计算长度→支撑有关。
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（５）有侧移失稳的层模型：（可解决非刚性梁柱连接情 况）
a.方法：一阶分析→乘以侧移放大系数→二阶内力 （位移）（整体分析得到）
m
1
11.2P Sh
S－侧移刚度
失稳条件：m→∞，即分母＝０得：
Pcr
Sh 1.2
.
Picr
Pcr
Pi Pi Sh P P1.2
令
Picr
2EI
ui l 2
2EI
u 2h2
c2 2
考虑相互支援：（实际情况）
P3
2EI
u 3h3
c3 2
P1e
2 E I c1
u1e h1 2
P2e
2EI c2
u 2 e h2 2
P3e
2EI c3
u 3e h3 2
依据总荷载不变原则：（ P－△效应不变；弯曲的P－δ效应不
一定不变）
P 1 P 2 P 3 P 1 eP 2 eP 3 e
0
柱脚铰支：
tg 6K1 0
K1
Ibh I cl
表征梁的约束大小
.
b.影响因素： 图中影响μ唯一因
素：柱端约束条件
柱脚（固、铰）:下 端转动约束
柱顶（有无侧移）： 上端侧向约束
K1值（梁约束）： 柱端转动约束
K1
Ibh I cl
.
其它需考虑的因素：
荷载条件影响：
左柱临界荷载提高
.
框架柱刚度影响
同理： 代入（1）式：
u3e
h1 h3
P1Ic3 P3 Ic1
u1e
uI1h c1 12uI2h c2 22uI3h c3 32u1 Ieh c1 12P P 1
（P=∑Pi）
令
P
Ic1 u1h1
2uI2hc2 2
2
Ic3 u3h3
2
.
则：
u ie
1 hi
I ci P PP i
原因： 失稳模式和屈曲前变 形比较接近； 横梁轴向力的不利影 响在对称失稳时比反 对称更为不利。
.
b.水平荷载效应： 一阶弹性分析
结论：水平荷载对框架柱计算长度影响不大
.
二阶分析 H作用产生侧移△→附加弯矩 M＝P1△ +P2△→框架内
力增大。 P△—荷载的不稳定效应，简称P·△效应。 H在梁中产生轴力，梁约束下降。
P百度文库i ui2
得：
ui
PEi
1.2
P
Pi
Sh
b.摇摆柱的处理：系数1.2→1.0；非摇摆柱不变。
补充：假定各柱
h
N相同，横梁的约束按线刚度分配。
EI
.
b. μ系数求解 临界条件：
G A 4 G B 2 G A 2G B 2 1 cot 2tg 2 10
GA
A I c h A I B lB
GB
B I c h B I B lB
A、B两点柱与梁线刚度和之比，反映梁柱连接的 柔度。
5.5 杆端约束和杆计算长度
１、计算长度概念 ２、平面内计算长度
（１）单层框架柱 （２）多层框架柱 （３）有侧移框架μ系数 （４）其它影响因素 （５）有侧移失稳的层模型 （６）半刚性连接框架柱 （７）山形门架柱 （８）弱支撑框架
３、平面外计算长度
.
１、计算长度概念：
（１）源自轴心压杆（借用）：轴压杆件的弹性屈曲分析。 物理意义：把不同支撑情况的轴心压杆等效为一定计算长度的两
当h1=h2=h3时u:ie
IciP PPi
Ici Pi
Pi
Ici ui2
注：公式的缺陷：未考虑弯曲的P－δ效应相同。 故：对弱柱承受较大荷载时误差大（I2/I1≤4时，误差不大） 设计时应适当放大弱柱截面，减小其它柱截面。
.
（２）多层框架柱：（无侧移）
a.基本假定：同单层框架柱
Ic Ic P P
两个参数 ρ α
e
.
c.多跨时的情况：
采用式（8.33）、（8.34）或图8.21求得。中柱
K1
(Ib / l) Ic / h
如考虑梁柱之间的相互支援，最不利柱计算长度减小
荷载作用于柱顶，忽略弯矩的影响 .
不考虑相互支援：
P1
2EI
u 1 h1
c1 2
P2
cot 0
.
c.尺解法
梁远端连接的修正： 远端固支时：γ=2/3 远端铰支时：γ=0.5
d.近似计算
u 1.64K1K27.5K1K2
K1K27.5K1K2
.
（４）其它影响因素： a.梁的约束下降：弯矩→屈曲前变形 压力→梁刚度下降 分析表明： 单层框架对称失稳时，梁上分布荷载影响大。 单层框架反对称失稳时，梁上分布荷载影响小。
.
非弹性修正：（切线模量理论）
G A
A A E E ItIB clB hE E t
AIc h AIBlB
GB：同上修正 Et fy E E
实际上，修正与否影响不大。
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（３）有侧移框架μ系数（多层 框架柱）
a 基本假定：同前（转角同 向、相等）
b 临界条件及μ值：
2
GAGB
36
6GAGB
即： u I 1 h c 1 12 u I 2 h c 2 22 u I 3 h c 3 32u 1 I e h c 1 12 u 2 I e h c 2 22 u 3 I e h c 3 32 （1）
.
2
∵
P P 1 2 eeIIc c1 2 u u2 1e eh h1 2 u2eh h1 2 P P 12 IIcc 21u1e
.
尺解法：
.
梁远端连接的修正： 远端固支时：分母→∑（γiIBi/lBi)（γi=2） 远端铰支时：分母→∑（γvIBi/lBi)（γi=1.5）
GA
A I c h A I B lB
GB
B I c h B I B lB
约束刚度：K1=1/GA k2=1/GB
简化公式：
u33 12 .4K K 11 K K 22 10 .2 .6 84 K K 1K 1K 22