概率论课后习题答案

习题1解答

1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为

{|0,1,2,

,100}i

i n n

Ω==.

（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为

{10|0,1,2,}k k Ω=+=，

或写成{10,11,12,

}.Ω=

（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.

（3）取直角坐标系，则有2

2

{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有

{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.

2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1) A 发生而B 与C 不发生； (2) A 、B 、C 中恰好发生一个； (3) A 、B 、C 中至少有一个发生； (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5) A 、B 、C 中至少有两个发生； (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.

解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；

(2)ABC ABC ABC ；

(3)A

B C 或ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC ；

(4)ABC ABC

ABC .

(5)AB AC BC 或ABC ABC ABC

ABC ；

(6)ABC

ABC

ABC

ABC .

3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：

(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .

解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；

（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}A

B x x x =≤<<≤或.

4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为2

2,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以

2241 1.p p p ++-=

解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以

3p =-5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；

(3)()P AB .

解：(1)由()()()()P A

B P A P B P AB =+-得

()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.

(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P A

B =-=-=-=

6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P A

B P A P B P AB =-=-=--+得

()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-

7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，

()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .

解：

()

()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.

P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=

8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为3

4个.

以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有3

4A 种方法，故

3

4136

().416

A P A ==

2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，

放法总数为211

343C C C 种，故

21134323

9

().416

C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有1

4C 种放法，故

1

4331

().416

C P A ==

9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?

解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为

498748798741

1098790

P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=

=

⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.

解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .

(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .

(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217

551010

=

+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .

(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一张小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.

解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，

所以 23

342/1/2P A A =⨯=.

12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.

解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为7

9.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各

有一位乘客离开电梯”.所以包含79

A 个样本点，于是77

9

9

)(A A P =.

13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一