一元二次方程知识点总结及习题

【基础知识巩固】

知识点1. 一元二次方程概念

只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

1、判别下列方程是不是一元二次方程， (1)2x 2-x-3=0. (2)

4

y -y 2

=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x

-3=0. (7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x 2-x 4+6=0. (10)3x 2=4x

-3.

2、判断下列方程是否为一元二次方程：

3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是

（ ）

（A ）()()2

3121x x +=+ （B ）

211

20x x

+-= （C ）2

0ax bx c ++= （D ）2

2

21x x x +=+

4、下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）

（A ）2x 2+7=0 （B ）2x 2

+23x+1=0

（C ）5x 2

+

x

1+4=0 （D ）3x 2

+(1+x) +1=0 5、若关于x 的方程a (x －1)2

=2x 2

－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于2 6、已知关于x 的方程()()

0312

2

=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当

时，两根中有一个为零a 。 7、已知关于x 的方程()22

20m m x

x m --+-=：

（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是：()2

00ax bx c a ++=≠，其中2

ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫

一次项系数，c 是常数项。

特别警示：（1）“0a ≠”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

(5)

3)2(2

=+x (6)0)3)(3(=-+x x 2、关于x 的方程2

320ax x ++=是一元二次方程，则 （ ） （A ）0a > （B ）0a ≠ （C ）1a = （D ）0a ≥

3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a 、b 、c 的值. (1) 2

435x x -=； (2) ()()

22831x x x ++=+

4、方程（m 2

－1）x 2

＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1

5、关于x 的方程06232

=-+x x 中a 是 ；b 是 ；c 是 。 6、方程()()()()495235232

=-+--++x x x x 的一般形式为 。

7、方程(m-5)(m-3)x 2-m +(m-3)x+5=0中，当m 为何值时，此方程为一元二次方程 知识点三.一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。

1、已知方程2

390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 。

2、已知1x =是一元二次方程2

210x mx -+=的一个解，则m 的值是 （ ） （A ）1 （B ）0 （C ）0或1 （D ）0a ≥

3、若1x =是一元二次方程220ax bx +-=的一个根，则a b += 。

4、实数a

ac

b b 242-±是方程 的根 （ ）

（A ）02

=++c bx ax （B ）02

=+-c bx ax （C ）02

=--c bx ax （D ）02

=-+c bx ax

5、设a 是一元二次方程052

=+x x 的较大根，b 是0232

=+-x x 较小根，那么b a + 的值是 （ ） （A ）-4 （B ）-3 （C ）1 （D ）2 6、已知关于x 的一元二次方程2

20x kx +-= 的一个解与方程1

31

x x +=-的解相同。 （1） 求k 的值；

（2） 求方程2

20x kx +-=的另一个解。

7、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，

121,1x x ++是关于x 的一元二次方程2

0x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少

知识点四.一元二次方程的解法

一元二次方程的四种解法：

（1）直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如

b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；

配方法的理论根据是完全平方公式2

2

2

)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有

222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 （4）因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。

1、方程2

250x -=的解是： （ ） （A ）125x x == （B ）1225x x == （C ）125,5x x ==- （D ）1225,25x x ==-

2、方程220x x -=的解是： （ ） （A ）121x x == （B ）121,3x x =-= （C ）122,0x x == （D ）122,0x x =-=