2.利息理论——年金
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( m) a ∞ ｜
= =
1 i
( m)
&& a ( m) ∞ ｜
1 d ( m)
19
变额年金
变额年金是每次收付额不等的年金
常见的有， 每次收付额等差递增或递减 每次收付额等比递增
20
变额递增年金
如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2 单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现 值以 Ia) 表示。 （
2
年金可以简单地定义为在相等时间区间上所作 的一系列给付。在经济生活中，年金是普遍存 在的。如每隔确定时间存入银行的一笔钱；分 期支付的房屋租金；货币借出或贷出后定期获 得的利息收入等。 年金并不局限于每隔一年给付一次，只要是每 隔相等的区间提供一次给付也可形成一个年金。 此外，年金每次的给付额可以是固定量或水平 量，也可以是非固定量或呈不断变化的情形。
17
永续年金
定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收 付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无 穷大时的值。
每年一元期末付永续年金现值 为，
1 a∞ = lim a n = ｜ n→∞ ｜ i
18
永续年金
其他永续年金现值为：
1 && && a∞ = lim a n = ｜ n →∞ ｜ d
13
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年 (m 金现值以 an )表示，
a
(m) n
1 1/ m 1 2 / m 1 n = ν + ν + LL + ν m m m 1 −ν n = (m) i
14
源自文库
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付 期首付年 期首付 金在n 年末的终值为，
1000 = X ⋅ a40 2%
1000 1 X= = 1000( + 2%) = 36.56 （元） a40 2% S 40 2%
11
等额确定年金的终值和现值
n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图
&& an ⋅ (1 + i ) = an && S n ⋅ (1 + i ) = S n
n ｜
( I a ) n = ν + 2ν ｜
2
+ 3ν
3
+ L L + nν
n
21
变额递增年金
(1 + i ) ⋅ ( Ia)n = 1 + 2ν + 3ν 2 LL + nν n−1 ｜
两者相减后得
i ⋅ ( Ia) n = 1 + ν + ν 2 + LL +ν n−1 − nν n ｜ &&｜ = an − nν n
23
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的 n年定期递减的期末付年金为， n − an ｜ ( Da) n = ｜ i 上述定期递减年金在期首付时，为
&& ( Da) n = ｜
&& n(1 + i ) − an ｜ i
变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积
24
例 现有这样的一种递减确定年金，第一年年末给付额 为100元，第二年年末给付额为99元，以后每年年末给 付额较上年给付额递减1，直至给付额为10元为止。试 写出这一年金的现值符号表达式? 解：依题意，递减年金最后一次给付额10元，对应于第九十一 年年末，而每年年末的给付额有公因数10，这些公因数作为给 付额形成一种九十一年期末付确定年金，余下的给付按形成九 十年期末递减确定年金，第一年年末给付额为90元，以后每年 年末递减1，直至第九十年年末给付额为1元为止。所以要求年 金的现值为：
10 ⋅ a 91 +（Ｄa） 9０
25
等比递增年金
对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额 每年递增j比例，n年定期的年金现值为：
P V = 1 + (1 + j )ν + (1 + j ) 2 ν
2
+ L L + (1 + j ) n − 1ν
n −1
设 (1 + j )ν = ν ' ， 上 式 成 为 ： 1 − ν 'n P V = 1 + ν '+ ν '2 + L L + ν 'n −1 = d ' i' i− j 其 中 ， d ' = 1 −ν ' = ，i'= 1+ i' 1+ j
3
确定年金是年金的一种形式。确定年金与人的生死不 发生关系。确定年金的支付总期间事前确定，纯粹 以预定利息率作为累积基础。 确定年金有多种分类，通常情况下的分类有： 年金给付于每期开始时支付的期初付年金以及每期 完了时支付的期末付年金； 年金的给付在签约后即刻开始的即时年金以及经过 一段时间后才开始的延付年金； 年金的给付限于一定期间的有限期年金以及年金的 给付无限期延续的无限期年金等。 4
当i= j时，
34
习题
1.如果实际贴现率为10％，那么
&& a8 为多少？
2.一台新电视的现金价为10000元。某顾客想以月计 息一次18％的年利率分期付款购买该台电视，若她在 4年内每月月末付款250元，问现付款需要多少? 3.某二十年确定年金，每月月初支付100元，年名义 利率为12％，求如下三种情况下该年金的值。 (1)利率每月计息一次； (2)利率每季计息一次； (3)利率每年计息一次。
&& s
(m) n
1 −ν = (m) d
n
15
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付 期末付年 期末付 金在n 年末的终值为，
s
(m) n
1 −ν = (m) i
n
16
例 已知某种十二年期限的确定年金，每 隔四个月月末支付200元，月利息率为2 ％，要求这种年金在十二年年金期期初 的前三年的值。
n
1 −ν = i
n
7
期首付年金终值
&&n = an (1 + i) && s
n
n
(1 + i) − 1 = d
8
期末付年金终值
s n = a n (1 + i )
1 −ν n = (1 + i ) i
n
n
(1 + i ) − 1 = i
n
9
根据
1−V an = i
n
移项整理易得：
1 = i ⋅ an + V
偿债基金
偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期 偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一 次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供 款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等 于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金 累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。
32
等额偿债基金
等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金 额相等，设为D ，如果该偿债基金每期的利率恒为j， n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期 支付总金额为：
nR − Ra｜ ni
— Rvn … Rvn-k+1 … Rv
Ra｜ = B0 ni
Ra｜ ni Ran−｜ 1i
… Ran−｜ ki … 0
28
变额分期偿还
变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。 原始贷款金额为B0 ，第k 期偿还的金额为Rk （k=1，2， ⋯ ⋯,n）
29
例 2.26
假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j =i ，则借款 人每期支付总金额为，
33
变额偿债基金
设原始贷款本金为B0 ，贷款利率为i ，偿债基金利 率为j ，借款人在第k 期末支付的总金额为Rk （k=1， ⋯ 2，⋯，n），则，第k 期末向偿债基金的储蓄额为 (Rk − iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始 贷款本金B0 ，即，
4.王强从银行贷款100000元，计划从第七个月开始每月末等额 还款，若银行规定在借款后三年内还清本息，设年实际利率为 16％，求每月需还款额。 5.假设10000元半年后成为12000元，求 (1)i（2）； (2)d（3）； (3)i。 6.某年金第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增 加到一次收付1000元时不再增加，并一直保持每年1000元的水 平连续收付。假定年利率12％，求这一年金的现值。
年金
年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固 定数额的收付款方式。
期首付年金
期末付年金
5
期首付年金现值
&& an = 1 + ν + ν + ν + L + ν
2 3 n −1
1 −ν n = 1 −ν
1 −ν = d
n
6
期末付年金现值
an = ν + ν + ν L + ν
2 3 n
ν (1 − ν ) = 1 −ν
30
未偿还贷款 余额 nR (n-1)R … (n-k)R … 0
商业银行基准利率： 商业银行基准利率：6.4%，8.5折以后利率为 ， 折以后利率为 5.44%。贷款总额：25W 原网页 。贷款总额：
等额本息还款法： 等额本息还款法： 还款总额：410701.8（元），支出利 息总额：160701.8（元），月供：1711.26（元） 等额本金还款法： 等额本金还款法： 还款总额：386566.7（元），支出利 息总额：136566.7（元）， 第1月:2175.00（元）；(本金:1041.67，利息:1133.33） 第2月:2170.28（元）；(本金:1041.67，利息:1128.61） 第3月:2165.56（元）；(本金:1041.67，利息:1123.89） ... 第238月:1055.83（元）；(本金:1041.67，利息:14.17） 第239月:1051.11（元）；(本金:1041.67，利息:9.44） 240月:1046.39（元）；(本金:1041.67，利息:4.72） 31
第二章 利息理论——年金
1
国际精算符号说明
国际精算师协会(International Association of Actuaries, IAA)在1954年颁布了一套被广泛认可的精 算学符号，即国际精算符号(International Actuarial Notation)，这套规范的符号有以下特点： ●左下角符号一般表示相关的时间 ●右下角符号表示年龄(age)和事件顺序 ●右上角符号表示事件的周期 ●左上角一般空缺 ●字母加括号如（x），现为“一个x岁的人” ●字母或数字加上右折角，即 n ，表示确定时期长度
一笔金额为nR 元的贷款，年利率为i ，期限为n 年，每年 偿还R 元本金，其分期偿还表如下：
时期 0 1 … k … n 总计 付款金额 — R (1+in) … R [1+i(n-k+1)] … R (1+i) nR +i· n(n+1)/2 支付利息 — i·nR … i(n-k+1)R … iR i· n(n+1)/2 偿还本金 — R … R … R nR
&& an = 1 + an −1 && S n = S n +1 − 1
12
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付 &&(m an ) 表示， 年金现值，以
&& a
(m) n ｜
1 1 1/ m 1 2 / m 1 ( n−1)+( m−1) / m = + ν + ν + LL + ν m m m m 1 1 −ν n = ⋅ m 1 −ν 1/ m n 1 −ν = (m) d
26
等额分期偿还
等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等 数额的还款方式。
每次偿还金额为
第k 期末的未偿还本金余额
贷款本金是B0 ，年实际利率为i
27
等额分期偿还表
时期 付款金额 支付利息 偿还本金 未偿还贷款 余额
0 1 … k … n
总计
— R … R … R nR
— R(1-vn) … R(1-vn-k+1) … R(1-v)
n
该式表明：现在投资的1元，在每年年底可获利息i，而且 在n年末还可获本金1。每年年底的利息i形成了一个期末确 定年金，根据等值方程原理，在期初投入本金应等于投入本 金所产生利息及偿还本金现值之和。
例 如果一个人现在投入1000元，年利息 率为4％，每半年结算利息一次，那么这个 人每隔六个月提取一笔多大的金额，在二 十年底正好取完投入的资金。假定每次的 提取额相等。
36
&& a｜− nν n n i
代入上式后得
( Ia ) ｜ = n
上述年金期首付时，年金现值为
&& ( Ia ) n = ｜
&& an − nν n ｜ d
22
例 现有一种永久年金，前n年内每年年 末的给付额分别为1，2，…，n。n年以 后的每年年末的给付额为n。求这种年金 的现值。
a n &&n n （Ia） +V ⋅ = n i i
= =
1 i
( m)
&& a ( m) ∞ ｜
1 d ( m)
19
变额年金
变额年金是每次收付额不等的年金
常见的有， 每次收付额等差递增或递减 每次收付额等比递增
20
变额递增年金
如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2 单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现 值以 Ia) 表示。 （
2
年金可以简单地定义为在相等时间区间上所作 的一系列给付。在经济生活中，年金是普遍存 在的。如每隔确定时间存入银行的一笔钱；分 期支付的房屋租金；货币借出或贷出后定期获 得的利息收入等。 年金并不局限于每隔一年给付一次，只要是每 隔相等的区间提供一次给付也可形成一个年金。 此外，年金每次的给付额可以是固定量或水平 量，也可以是非固定量或呈不断变化的情形。
17
永续年金
定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收 付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无 穷大时的值。
每年一元期末付永续年金现值 为，
1 a∞ = lim a n = ｜ n→∞ ｜ i
18
永续年金
其他永续年金现值为：
1 && && a∞ = lim a n = ｜ n →∞ ｜ d
13
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年 (m 金现值以 an )表示，
a
(m) n
1 1/ m 1 2 / m 1 n = ν + ν + LL + ν m m m 1 −ν n = (m) i
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源自文库
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付 期首付年 期首付 金在n 年末的终值为，
1000 = X ⋅ a40 2%
1000 1 X= = 1000( + 2%) = 36.56 （元） a40 2% S 40 2%
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等额确定年金的终值和现值
n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图
&& an ⋅ (1 + i ) = an && S n ⋅ (1 + i ) = S n
n ｜
( I a ) n = ν + 2ν ｜
2
+ 3ν
3
+ L L + nν
n
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变额递增年金
(1 + i ) ⋅ ( Ia)n = 1 + 2ν + 3ν 2 LL + nν n−1 ｜
两者相减后得
i ⋅ ( Ia) n = 1 + ν + ν 2 + LL +ν n−1 − nν n ｜ &&｜ = an − nν n
23
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的 n年定期递减的期末付年金为， n − an ｜ ( Da) n = ｜ i 上述定期递减年金在期首付时，为
&& ( Da) n = ｜
&& n(1 + i ) − an ｜ i
变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积
24
例 现有这样的一种递减确定年金，第一年年末给付额 为100元，第二年年末给付额为99元，以后每年年末给 付额较上年给付额递减1，直至给付额为10元为止。试 写出这一年金的现值符号表达式? 解：依题意，递减年金最后一次给付额10元，对应于第九十一 年年末，而每年年末的给付额有公因数10，这些公因数作为给 付额形成一种九十一年期末付确定年金，余下的给付按形成九 十年期末递减确定年金，第一年年末给付额为90元，以后每年 年末递减1，直至第九十年年末给付额为1元为止。所以要求年 金的现值为：
10 ⋅ a 91 +（Ｄa） 9０
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等比递增年金
对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额 每年递增j比例，n年定期的年金现值为：
P V = 1 + (1 + j )ν + (1 + j ) 2 ν
2
+ L L + (1 + j ) n − 1ν
n −1
设 (1 + j )ν = ν ' ， 上 式 成 为 ： 1 − ν 'n P V = 1 + ν '+ ν '2 + L L + ν 'n −1 = d ' i' i− j 其 中 ， d ' = 1 −ν ' = ，i'= 1+ i' 1+ j
3
确定年金是年金的一种形式。确定年金与人的生死不 发生关系。确定年金的支付总期间事前确定，纯粹 以预定利息率作为累积基础。 确定年金有多种分类，通常情况下的分类有： 年金给付于每期开始时支付的期初付年金以及每期 完了时支付的期末付年金； 年金的给付在签约后即刻开始的即时年金以及经过 一段时间后才开始的延付年金； 年金的给付限于一定期间的有限期年金以及年金的 给付无限期延续的无限期年金等。 4
当i= j时，
34
习题
1.如果实际贴现率为10％，那么
&& a8 为多少？
2.一台新电视的现金价为10000元。某顾客想以月计 息一次18％的年利率分期付款购买该台电视，若她在 4年内每月月末付款250元，问现付款需要多少? 3.某二十年确定年金，每月月初支付100元，年名义 利率为12％，求如下三种情况下该年金的值。 (1)利率每月计息一次； (2)利率每季计息一次； (3)利率每年计息一次。
&& s
(m) n
1 −ν = (m) d
n
15
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付 期末付年 期末付 金在n 年末的终值为，
s
(m) n
1 −ν = (m) i
n
16
例 已知某种十二年期限的确定年金，每 隔四个月月末支付200元，月利息率为2 ％，要求这种年金在十二年年金期期初 的前三年的值。
n
1 −ν = i
n
7
期首付年金终值
&&n = an (1 + i) && s
n
n
(1 + i) − 1 = d
8
期末付年金终值
s n = a n (1 + i )
1 −ν n = (1 + i ) i
n
n
(1 + i ) − 1 = i
n
9
根据
1−V an = i
n
移项整理易得：
1 = i ⋅ an + V
偿债基金
偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期 偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一 次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供 款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等 于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金 累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。
32
等额偿债基金
等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金 额相等，设为D ，如果该偿债基金每期的利率恒为j， n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期 支付总金额为：
nR − Ra｜ ni
— Rvn … Rvn-k+1 … Rv
Ra｜ = B0 ni
Ra｜ ni Ran−｜ 1i
… Ran−｜ ki … 0
28
变额分期偿还
变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。 原始贷款金额为B0 ，第k 期偿还的金额为Rk （k=1，2， ⋯ ⋯,n）
29
例 2.26
假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j =i ，则借款 人每期支付总金额为，
33
变额偿债基金
设原始贷款本金为B0 ，贷款利率为i ，偿债基金利 率为j ，借款人在第k 期末支付的总金额为Rk （k=1， ⋯ 2，⋯，n），则，第k 期末向偿债基金的储蓄额为 (Rk − iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始 贷款本金B0 ，即，
4.王强从银行贷款100000元，计划从第七个月开始每月末等额 还款，若银行规定在借款后三年内还清本息，设年实际利率为 16％，求每月需还款额。 5.假设10000元半年后成为12000元，求 (1)i（2）； (2)d（3）； (3)i。 6.某年金第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增 加到一次收付1000元时不再增加，并一直保持每年1000元的水 平连续收付。假定年利率12％，求这一年金的现值。
年金
年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固 定数额的收付款方式。
期首付年金
期末付年金
5
期首付年金现值
&& an = 1 + ν + ν + ν + L + ν
2 3 n −1
1 −ν n = 1 −ν
1 −ν = d
n
6
期末付年金现值
an = ν + ν + ν L + ν
2 3 n
ν (1 − ν ) = 1 −ν
30
未偿还贷款 余额 nR (n-1)R … (n-k)R … 0
商业银行基准利率： 商业银行基准利率：6.4%，8.5折以后利率为 ， 折以后利率为 5.44%。贷款总额：25W 原网页 。贷款总额：
等额本息还款法： 等额本息还款法： 还款总额：410701.8（元），支出利 息总额：160701.8（元），月供：1711.26（元） 等额本金还款法： 等额本金还款法： 还款总额：386566.7（元），支出利 息总额：136566.7（元）， 第1月:2175.00（元）；(本金:1041.67，利息:1133.33） 第2月:2170.28（元）；(本金:1041.67，利息:1128.61） 第3月:2165.56（元）；(本金:1041.67，利息:1123.89） ... 第238月:1055.83（元）；(本金:1041.67，利息:14.17） 第239月:1051.11（元）；(本金:1041.67，利息:9.44） 240月:1046.39（元）；(本金:1041.67，利息:4.72） 31
第二章 利息理论——年金
1
国际精算符号说明
国际精算师协会(International Association of Actuaries, IAA)在1954年颁布了一套被广泛认可的精 算学符号，即国际精算符号(International Actuarial Notation)，这套规范的符号有以下特点： ●左下角符号一般表示相关的时间 ●右下角符号表示年龄(age)和事件顺序 ●右上角符号表示事件的周期 ●左上角一般空缺 ●字母加括号如（x），现为“一个x岁的人” ●字母或数字加上右折角，即 n ，表示确定时期长度
一笔金额为nR 元的贷款，年利率为i ，期限为n 年，每年 偿还R 元本金，其分期偿还表如下：
时期 0 1 … k … n 总计 付款金额 — R (1+in) … R [1+i(n-k+1)] … R (1+i) nR +i· n(n+1)/2 支付利息 — i·nR … i(n-k+1)R … iR i· n(n+1)/2 偿还本金 — R … R … R nR
&& an = 1 + an −1 && S n = S n +1 − 1
12
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付 &&(m an ) 表示， 年金现值，以
&& a
(m) n ｜
1 1 1/ m 1 2 / m 1 ( n−1)+( m−1) / m = + ν + ν + LL + ν m m m m 1 1 −ν n = ⋅ m 1 −ν 1/ m n 1 −ν = (m) d
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等额分期偿还
等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等 数额的还款方式。
每次偿还金额为
第k 期末的未偿还本金余额
贷款本金是B0 ，年实际利率为i
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等额分期偿还表
时期 付款金额 支付利息 偿还本金 未偿还贷款 余额
0 1 … k … n
总计
— R … R … R nR
— R(1-vn) … R(1-vn-k+1) … R(1-v)
n
该式表明：现在投资的1元，在每年年底可获利息i，而且 在n年末还可获本金1。每年年底的利息i形成了一个期末确 定年金，根据等值方程原理，在期初投入本金应等于投入本 金所产生利息及偿还本金现值之和。
例 如果一个人现在投入1000元，年利息 率为4％，每半年结算利息一次，那么这个 人每隔六个月提取一笔多大的金额，在二 十年底正好取完投入的资金。假定每次的 提取额相等。
36
&& a｜− nν n n i
代入上式后得
( Ia ) ｜ = n
上述年金期首付时，年金现值为
&& ( Ia ) n = ｜
&& an − nν n ｜ d
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例 现有一种永久年金，前n年内每年年 末的给付额分别为1，2，…，n。n年以 后的每年年末的给付额为n。求这种年金 的现值。
a n &&n n （Ia） +V ⋅ = n i i