微观经济学期末考试复习二

微观经济学期终复习 2008-09学年第二学期

三、计算题(复习参考)

1．某人对x 商品和y

商品的效用函数为(,)ln u x y y =，x 商品的价格为p 1，y 商品的价格为p 2。试求：

（1）当某人收入为100元时，他的消费者均衡点在哪里？ （2）某人关于x 商品的价格提供线是什么？ （3）某人关于x 商品的需求曲线是什么？

答：（1）构造拉格朗日函数如下：

12(,,)ln (100)L x y y p x p y λλ=-+- 极值的一阶条件为：

()()()

121201

0210003L p x L p y y L

p x p y λλλ

∂==∂∂=-=∂∂=+-=∂1

解此方程组可得：

(

)

()

2

245x y =⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=

（2）由（1）、（2）式可知：

112p p p =⇒=将这一结果代入（4）式，即可得x 商品的价格提供线：

240x =。 （3）把（4）式中的p 1作为自变量，则（4）式就是x 商品的需求曲线。

2．给定生产函数1/21/2

1212(,)f X X X X =，已知P 、w 1、w 2。

（1）当X 2=16时，求使利润最大化的X 1。

（2）当X 1和X 2都可变时，求使利润最大化的X 1和X 2。 答：

（1） 当X 2固定不变时，1/2

11()4f X X =，问题转化为

11122max

().Pf X w X w X --

由一阶条件得知：P ×MP 1＝w 1，和1/21111

()

2f X MP X X -∂=

=∂。从而在利润最大化时有：*2

11

2(

)P X w =。 （2） 当X 1和X 2都可变时，由一阶条件得到：

1/2

211

1/2

122

1()21()2X P w X X P w X ==

从而有：*21*12

X w

X w =，最大化的利润为：

*****1/21/2

1212112211212,,)(,)(/)2()P w w Pf X X w X w X X w w P w w π⎡⎤=--=-⎣⎦（。

因为，1212(,)(,)f tX tX tf X X =，该生产函数是规模报酬不变的。因此其最大化利润为0。

当P ＝2(w 1w 2)1/2时，π(P, w 1, w 2) = 0, 且**

2121

w X X w =

。 3．考察一个处于完全竞争行业中的厂商，其短期成本函数由下式决定：STC ＝2Q 3－40Q 2＋300Q ＋200。试求：

（1）当产品价格为P ＝1100时，厂商的短期均衡产量和利润是多少。 （2）该厂商停止生产点时的价格是多少？ （3）求出该厂商的短期供给函数。 答：

（1） 依题意，有：2680300TC

MC Q Q Q

∂=

=-+∂。根据完全竞争市场短期均衡的条件，有P ＝MC ，即：

26803001100(20)(640)0Q Q MC P Q Q -+===⇒-+=

解之，得Q ＝20。此时的利润为：

π=PQ-TC=1100*20-(2*203-40*202+300*20+200)=15800. （2） 可变成本VC ＝STC －FC ＝2Q 3－40Q 2＋300Q ， 则平均可变成本AVC ＝VC/Q ＝2Q 2－40Q ＋300。 当P ＝AVC 时，完全竞争厂商达到停止营业点。将Q ＝20代入2Q 2－40Q ＋300＝P ，所以此时价格为P ＝300。

（3） 由于完全竞争厂商的短期供给函数是在停止营业点以上的边际成本曲线，所以该厂商的短期供给曲线为MC ＝6Q 2－80Q ＋300＝P 。解之，得：

Q 。

所以，当P ≥300时，406

Q +＝

；当P<300时，Q ＝0。

4. 设两个寡头厂商生产某相同产品，市场反需求函数为P=100–0.5(q 1+q 2)，成本函数分别为C 1=5q 1，C 2=0.5q 2²。求解：

a) 古诺均衡解的反应函数、市场价格、产量和利润； b) 如果两厂商串谋，此时的市场价格、产量和利润。 c) 市场完全竞争情况下，市场均衡价格、产量和利润

答：（ａ）古诺均衡的情况：联立两寡头厂商的反应函数，并求解。

Max π1=(100-0.5q 1-0.5q 2)q 1-5q 1 ⇒ q 1=95-0.5q 2

（厂商1的反应函数）

Max π2=(100-0.5q 1-0.5q 2)q 2-5q 22 ⇒ q 2=50-0.25q 1 (厂商2的反应函数) 所以，q 1=80, q 2=30. 市场产量：q* = 110 市场价格：p* =100-0.5(110) = 45 厂商1利润：π1 = p*q 1-5q 1 = q 1(40)=3200

厂商2利润：π2 = p*q 2-0.5q 2² = q 2(30)=900

(b) 串谋情况：为使利润最大化，使行业（两寡头厂商加总）的边际成本等于行业的边际收益，并且各厂商根据各自的边际成本等于行业边际成本和边际收益的原则分配产量。由题知，

Max π=(100-0.5q)q-C 1-C 2

q=q 1+q 2

最优条件：MR=MC 1=MC 2=MC 。

MR=100-q, MC 1=5, MC 2=q2, 则q 2=5, q=95, q 1=90.

所以，市场产量：q* = 95