微观经济学期末考试复习二

微观经济学期终复习 2008-09学年第二学期三、计算题(复习参考)1．某人对x 商品和y商品的效用函数为(,)ln u x y y =，x 商品的价格为p 1，y 商品的价格为p 2。

试求：（1）当某人收入为100元时，他的消费者均衡点在哪里？ （2）某人关于x 商品的价格提供线是什么？ （3）某人关于x 商品的需求曲线是什么？答：（1）构造拉格朗日函数如下：12(,,)ln (100)L x y y p x p y λλ=-+- 极值的一阶条件为：()()()1212010210003L p x L p y y Lp x p y λλλ∂==∂∂=-=∂∂=+-=∂1解此方程组可得：()()2245x y =⎢⎥⎢⎥⎣⎦=（2）由（1）、（2）式可知：112p p p =⇒=将这一结果代入（4）式，即可得x 商品的价格提供线：240x =。

（3）把（4）式中的p 1作为自变量，则（4）式就是x 商品的需求曲线。

2．给定生产函数1/21/21212(,)f X X X X =，已知P 、w 1、w 2。

（1）当X 2=16时，求使利润最大化的X 1。

（2）当X 1和X 2都可变时，求使利润最大化的X 1和X 2。

答：（1） 当X 2固定不变时，1/211()4f X X =，问题转化为11122max().Pf X w X w X --由一阶条件得知：P ×MP 1＝w 1，和1/21111()2f X MP X X -∂==∂。

从而在利润最大化时有：*2112()P X w =。

（2） 当X 1和X 2都可变时，由一阶条件得到：1/22111/21221()21()2X P w X X P w X ==从而有：*21*12X wX w =，最大化的利润为：*****1/21/21212112211212,,)(,)(/)2()P w w Pf X X w X w X X w w P w w π⎡⎤=--=-⎣⎦（。

因为，1212(,)(,)f tX tX tf X X =，该生产函数是规模报酬不变的。

因此其最大化利润为0。

当P ＝2(w 1w 2)1/2时，π(P, w 1, w 2) = 0, 且**2121w X X w =。

3．考察一个处于完全竞争行业中的厂商，其短期成本函数由下式决定：STC ＝2Q 3－40Q 2＋300Q ＋200。

试求：（1）当产品价格为P ＝1100时，厂商的短期均衡产量和利润是多少。

（2）该厂商停止生产点时的价格是多少？ （3）求出该厂商的短期供给函数。

答：（1） 依题意，有：2680300TCMC Q Q Q∂==-+∂。

根据完全竞争市场短期均衡的条件，有P ＝MC ，即：26803001100(20)(640)0Q Q MC P Q Q -+===⇒-+=解之，得Q ＝20。

此时的利润为：π=PQ-TC=1100*20-(2*203-40*202+300*20+200)=15800. （2） 可变成本VC ＝STC －FC ＝2Q 3－40Q 2＋300Q ， 则平均可变成本AVC ＝VC/Q ＝2Q 2－40Q ＋300。

当P ＝AVC 时，完全竞争厂商达到停止营业点。

将Q ＝20代入2Q 2－40Q ＋300＝P ，所以此时价格为P ＝300。

（3） 由于完全竞争厂商的短期供给函数是在停止营业点以上的边际成本曲线，所以该厂商的短期供给曲线为MC ＝6Q 2－80Q ＋300＝P 。

解之，得：Q 。

所以，当P ≥300时，406Q +＝；当P<300时，Q ＝0。

4. 设两个寡头厂商生产某相同产品，市场反需求函数为P=100–0.5(q 1+q 2)，成本函数分别为C 1=5q 1，C 2=0.5q 2²。

求解：a) 古诺均衡解的反应函数、市场价格、产量和利润； b) 如果两厂商串谋，此时的市场价格、产量和利润。

c) 市场完全竞争情况下，市场均衡价格、产量和利润答：（ａ）古诺均衡的情况：联立两寡头厂商的反应函数，并求解。

Max π1=(100-0.5q 1-0.5q 2)q 1-5q 1 ⇒ q 1=95-0.5q 2（厂商1的反应函数）Max π2=(100-0.5q 1-0.5q 2)q 2-5q 22 ⇒ q 2=50-0.25q 1 (厂商2的反应函数) 所以，q 1=80, q 2=30. 市场产量：q* = 110 市场价格：p* =100-0.5(110) = 45 厂商1利润：π1 = p*q 1-5q 1 = q 1(40)=3200厂商2利润：π2 = p*q 2-0.5q 2² = q 2(30)=900(b) 串谋情况：为使利润最大化，使行业（两寡头厂商加总）的边际成本等于行业的边际收益，并且各厂商根据各自的边际成本等于行业边际成本和边际收益的原则分配产量。

由题知，Max π=(100-0.5q)q-C 1-C 2q=q 1+q 2最优条件：MR=MC 1=MC 2=MC 。

MR=100-q, MC 1=5, MC 2=q2, 则q 2=5, q=95, q 1=90.所以，市场产量：q* = 95市场价格：p* = 52.5厂商1利润：π1 = p*q1-5q1= q1(47.5)=4275厂商2利润：π2 = p*q2-0.5q2² = q2(50)=250(c) 完全竞争情况：q=q1+q2最优条件：MR=p=MC1=MC2.则：p = 100–0.5(q1+q2) = 100-0.5qMC1=5, MC2=q2,所以，市场产量：q* = 190, q2 = 5, q1= 185.市场价格：P* = 5.厂商1利润：π1 = p*q1-5q1= q1(0)=0厂商2利润：π2 = p*q2-0.5q2² = q2(2.5)=12.55、假定X和Y两种商品有线性无差异曲线，其斜率处处是1/2，即MRSxy=1/2。

（1）当Px =1，Py=1，且M=1000时，消费者均衡是什么？（2）当Px =1，Py=2，消费者均衡是什么？解：（1）MRSxy =1/2，Px/Py=1，所以MRSxy<Px/Py消费者均衡时最优商品组合为X＝0，Y=M/ Py=1000（2）MRSxy =1/2，Px/Py=1/2，MRSxy＝Px/Py所以预算线上各点都是均衡点。

6、已知某消费者的偏好可以由效用函数描述为：U=lnX1+3lnX2，商品1和商品2的价格为P1和P2，消费者的货币收入为M，其中P1、P2、M>0。

求解：（1）需求函数X1（P1、P2、M ）和X2（P1、P2、M ）以及收入的边际效应。

（2）计算并判断商品1和商品2是正常品还是低档品，是普通品还是吉芬商品？解：（1）MU1＝1/X1, MU2=3/X2MU1/MU2＝P1/P2, X2/3X1= P1/P2,预算方程P1X1+P2X2=M两式联立得需求函数 X1=M/4P1, X2=3M/4P2收入的边际效应（2）商品是正常品还是低档品主要通过收入弹性判断通过将需求函数带入分析，得知商品1和商品2都是正常品。

商品是普通品还是吉芬商品的判断通过需求曲线的形状分析，若需求曲线向右下方倾斜，则是普通商品，若需求曲线向右上方倾斜，则是吉芬商品。

由商品的需求函数可以推断两商品的价格和需求量成反比关系，所以均为普通商品。

7．某种商品的需求曲线为Qd =260-60P，供给曲线为Qs=100+40P。

其中，Qd与Qs分别表示需求量和供给量(万斤)，P表示价格(元/斤)。

假定政府对于每单位（斤）产品征收0.5元税收。

求：（1）税收后的均衡产量Q与消费者支付的价格Pd以及生产者实际获得的价格Ps。

（2）计算政府的税收收入、生产者和消费者各自的税负，及社会的福利净损失。

解：（1）通过税前供求曲线解得初始均衡价格为1.6元/斤，均衡数量为164万斤。

对每单位产品征收0.5元税收后的供给曲线为：QS=100+40（P-0.5），结合需求曲线Qd=260-60P，解得：税收后的均衡产量为152（万斤），均衡价格Pd 为1.8（元/斤），即为消费者支付的价格，此时生产者实际获得的价格Ps为1.8-0.5=1.3(元/斤)。

（2）政府的税收收入为：0.5元/斤x152万斤=76万元。

其中消费者税负为：（1.8元/斤-1.6元/斤）x152万斤=30.4万元；生产者税负为：（1.6元/斤-1.3元/斤）x152万斤=45.6万元。

社会福利净损失（消费者剩余和生产者剩余的净损失）为（1/2）x0.5元/斤x（164万斤-152万斤）=3万元。

8．假设某完全竞争企业的短期边际成本函数为SMC = 3Q2-8Q+60，当生产3单位产品时，总成本为200。

试求该企业的短期供给曲线。

解：由于SMC=dTC/dQ，所以TC=∫SMCdQ=Q3-4Q2+60Q+A，其中，A为任意一常数。

又，当Q=3时，TC=200，所以33-4x32+60x3+A=200，A=29总成本函数为TC= Q3-4Q2+60Q+29根据总成本函数可得，可变成本函数为：VC= Q3-4Q2+60Q平均可变成本函数为：AVC=TC/Q= Q2-4Q+60 当平均可变成本为最小值时，dAVC/dQ=0，即Q=2。

由于完全竞争厂商的短期供给曲线是其边际成本在AVC最低点及其以上的部分，所以，该供给曲线为：P=（MR=MC=）3Q2-8Q+60，（其中Q≥2）。

9．某垄断生产者在分割的市场上销售其产品，产品的成本函数和两市场的需求函数分别为：TC=50+20Q; Q1=16–0.2P1; Q2=9–0.05P2，如果该垄断者在市场上，（1）实行歧视定价，求利润最大时两个市场的售价、销量和厂商利润；（2）实行统一定价，产品的市场定价、销量和利润。

解：（1）实行歧视定价，求利润最大时两个市场的售价、销量和厂商利润；根据歧视定价利润最大化的条件MC=MR1=MR2，得[50+20（Q1+Q2）]’=（P1Q1）’=（P2Q2）’，[50+20（25–0.2P1–0.05P2）]’ =（16P1–0.2P1²）’=（9P2–0.05P2²）’，（550–4P1–P2）’=（16P1–0.2P1²）’=（9P2–0.05P2²）’分别就P1、P2求导得，–4=16–0.4P1和–1=9–0.1P2，解得P1=50，Q1=6；P2=100，Q2=4；代入有关方程解得利润π=450。

（2）实行统一定价，产品的市场定价、销量和利润。

如果实行统一定价，则Q=Q1+Q2=25–0.25P ，即4Q=100–P ，P=100–4Q ，MR=（PQ ）’=100–8Q ，而MC=20，根据MR=MC ，得Q=10，P=60，代入有关方程解得利润π=350。