中级微观经济学课件 成本最小化

2013-7-8
中级微观经济学
pa 1a b pb y( ) ( ) w1 w2
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b 1a b
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本章研究目的
本章（第20章）先研究既定产量下的成本 最小化问题，目的是推导成本函数。
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成本最小化（Cost Minimization）
如果厂商谋求以最小成本生产一个给定的 产量水平y 0，则它是一个成本最小化的 厂商。 c(y) 代表厂商生产y单位产品的最小可能总 成本。 c(y) 是厂商的总成本函数。
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成本最小化问题
相切条件的推导方法（教材295页）： 1、直接代入法 2、拉格朗日法
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min w1 x1 w2 x2 x1 , x2 s.t. f ( x1 , x2 ) y 建立拉格朗日函数: L w1 x1 w2 x2 ( f ( x1 , x2 ) y ) 对x1 , x2 , 求导, 得到一阶条件: w1 w2 f ( x1 , x2 ) 0 x1 f ( x1 , x2 ) 0 x2
* 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 w2 2/ 3
2w 1 w2
2/ 3
x* . 1
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成本最小化：C-D技术的例子
w 1 x* * 1/ 3 * 2/ 3 2 . (a) y ( x1 ) ( x 2 ) (b) w 2 2x* 1 2w 1 * * x1 . 代入(a)得： 由(b)可得, x 2 w2
2w 1 * 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 x* . 1 w2 w2 2/ 3 * w2 所以 x1 y 是厂商对于投入要素1的 2w 1
2/ 3
2/ 3
条件需求函数。
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成本最小化问题
对于给定的w1, w2 和 y, 厂商的成本最小化问 题就是求解
x1 ,x 2 0
min w 1x1 w 2x 2
s.t. f ( x1 , x 2 ) y.
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成本最小化问题
成本最小的最优解组合是：x1*(w1,w2,y) 和 x1*(w1,w2,y) ，是厂商在既定价格条件下，生 产给定产量产品的要素投入。也叫做这个企 业对投入品1和2的有条件的要素需求函数 （conditional demands for inputs 1 and 2）。 厂商生产y的最小可能成本（成本函数）为：
（第5章）
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等成本线（Iso-cost Lines）
等成本线是所有耗费相同成本的投入要素 组合点的集合。 例如：给定 w1 和 w2, 数量为$100 的等成 本线方程为
w1x1 w 2x 2 100.
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等成本线
一般而言，在给定w1 和 w2 的条件下，耗费 成本$c的等成本线表示为
w1x1 w 2x 2 c
w1 c x1 . 重新排列得到 x 2 w2 w2
等成本线的斜率为- w1/w2,,纵截距为c/w2.
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等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
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等成本线
x2 斜率 = -w1/w2.
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
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等产量线
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’
x1
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成本最小化问题
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对于C-D函数
f ( x1 , x2 ) x x
a b 1 2
a b 1 2
利润最大化问题是：
max x1 , x2
一阶条件是：
px x w1 x1 w2 x2
a 1 b 1 2
pax x w1 0 pbx x
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a b 1 1 2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
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成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f ( x* , x* ) y 且 1 2 (b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
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20 成本最小化
Cost Minimization
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本章要点
成本最小化 规模报酬和成本函数 长期成本和短期成本
关键词：成本函数
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研究思路
我们的目标是研究利润最大化的厂商的行为。在 上一章（第19章），我们从直接分析利润最大化 问题开始，着手分析了竞争环境下利润最大化的 厂商的行为。 可以换一种间接的思考方法，把利润最大化问题 分割为两部分：首先，考虑既定产量下的成本最 小化问题（第20、21章）；然后，再研究最有利 可图的产量水平（第22章）。
w2 0
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中级微观经济学
一阶条件是：
pax x w1 0
pbx x w2 0
a 1 b 1 2 a b 1 1 2
将第一个方程两边乘以 1 , 第二个方程两边乘以 2 , x x
b 并代入y x1a x2 , 上式可以写作:
pay w1 x1 pay w2 x2
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成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
所以问题—— “在投入要素价格为 w1 、 w2时， 生产既定产量y的成本最小的要素组合是什么?” ——的答案为：

x* ( w 1 , w 2 , y ), x* ( w 1 , w 2 , y ) 1 2

w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w2
c(w 1,w 2 ,y) = w x (w 1,w 2 ,y) + w 2x (w 1,w 2 ,y).
* 1 1
* 2
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成本最小化问题
给定w1, w2 和 y, 如何确定最小成本的投入 组合1、2的位置？ 厂商的总成本函数如何计量?
比较消费者理论中的消费者最优选择问题！
2w 1 * * x1 . 由(b)可得, x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
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成本最小化：C-D技术的例子
w 1 x* * 1/ 3 * 2/ 3 2 . (a) y ( x1 ) ( x 2 ) (b) w 2 2x* 1 2w 1 * * x1 . 代入(a)得： 由(b)可得, x 2 w2
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成本最小化问题 （The Cost-Minimization Problem）
考虑用两种要素生产一种产品的厂商。 厂商的生产函数为 y = f(x1,x2). 其中 y 0是给定的。 假定投入品价格 w1 、 w2 是给定的。则投 入组合的成本为w1x1 + w2x2.
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f(x1,x2) y’
x1
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成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
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成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f ( x* , x* ) y 1 2
f ( x1 , x2 ) y 0 整理, 并用第一个方程除以第 二个方程, 就可以得到: w1 f ( x1 , x2 ) / x1 w2 f ( x1 , x2 ) / x2
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成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
一个具有 Cobb-Douglas 生产技术厂商的生 产函数为 y f ( x1 , x 2 ) x1/ 3x 2/ 3 . 1 2 厂商面临给定的要素价格 w1 、 w2。 厂商的有条件的要素需求函数是什么?
求解，得到要素需求函数：
apy x w1 bpy x2 w2
1
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中级微观经济学
将求解得到要素需求函数代入生产函数：
yx x bpy x2 w2 apy x1 w1
a b 1 2
a
pay a pby b y( ) ( ) w1 w2
可以得到柯布-道格拉斯厂商的供给函数为：
成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
2w 1 * * x1 由于 x 2 w2 2/ 3 且 * w2 x1 y 2w 1
则
2w 1 w 2 * x2 w 2 2w 1
2/ 3
2w 1 y w2
1/ 3
y
是厂商对于投入要素2的条件需求函数。
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’
x1
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成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’
x1
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成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
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成本最小化：C-D技术的例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
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成本最小化：C-D技术的例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
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研究思路
第19章的思路（直接分析利润最大化）
利润最大化 生产函数 要素需求函数 供给函数
第20-22章的思路（间接的思考方法， 先研究既定产量下的成本最小化问
题（第20、21章）；然后，再研究最有利可图的产量水平（第22章） ） 成本最小化 生产函数 有条件的 要素需求函数 成本函数 （成本曲线） 供给函数 （供给曲线）
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成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
生产给定产量成本最小化的投入要素组合 (x1*,x2*) 满足 (a) y ( x* )1/ 3 ( x* ) 2/ 3 1 2
w1 y / x1 (b) w2 y / x2
* 2 / 3 * 2 / 3 (1 / 3)( x1 ) (x2 ) * 1/ 3 * 1/ 3 ( 2 / 3)( x1 ) ( x 2 ) x* 2 . 2x* 1
第20章
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第21章
第22章
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回顾
利润（长期）最大化问题就是：
max pf ( x1 , x2 ) w1 x1 w2 x2 .
x1 , x2
一阶条件是：
f ( x1*, x2 *) p w1 0. x1 f ( x1*, x2 *) p w2 0. x2
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成本最小化（Cost Minimization）
当厂商面对给定的要素价格 w = (w1,w2,…,wn) 总成本函数为： c(w1,…,wn,y).
成本函数度量的是当要素价格为 (w1,w2,…,wn) ， 生产y单位产量时的最小成本!
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中级微观经济学
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成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f ( x* , x* ) y 且 1 2 (b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率 即 w1 MP1 * *
在 ( x1 , x2 )，
w2
TRS
MP2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1