复变函数第1章重点

第一章 复数和复平面
§1.1 复 数
1. 复数的概念
复数z a ib =+或z a bi =+,其中a 和b 为实数，i 称为虚单位，即是满足2
1i =-. a 与b 分别称为复数z 的实部和虚部，记作Re ,Im .a z b z ==
.
2. 复数的向量表示和复平面
根据复数相等的定义，任何一个复数z a ib =+，都可以由一个有序实数对(a,b )惟一确定；，有序实数对(a,b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应.
我们说点z (a,b )，与复数z a ib =+表示同一意义.
图 1.1
如果z a ib =+，则z a ib =-.
复数z a ib =+还可以用由原点引向点z 的向量Oz 来表示，这种表示方式建立了复数集
与平面向量所成的集合的一一对应（实数0与零向量对应）.向量Oz 的长度称为复数z
的模，记为 |z |或r ，因此有
22
0r a b z ==+≥ (1.1)
显然，,.Re Re Re Im Im Im z z z z z z z z ≤≤+≤≤+
考虑复平面 的不为零的点z x iy =+.如图 1.3所示，这个点有极坐标
(,):cos ,sin r x r y r θθθ==.显然,r z θ=是正实轴与从原点O 到z 的射线的夹角，称为
复数z 的幅角，记为Arg z θ=,其中满足条件：πθπ-<≤的值称为z x iy =+的主幅角，
记为rg a z θ=，显然有rg rg 2,0,1,2,3,A z a z k k π=+=±±
±
实部，虚部，模与幅角的关系：
cos ,sin x r y r θθ==tan y
x
θ=
.r z ==arctan ,0arctan ,0,0arctan ,0,0
rg ,0,02,0,02,0,0y x x y x y x y x y a z x
x y x y x y ππθπ
π
π⎧
>⎪⎪
⎪+<>⎪⎪
⎪-+<<⎪==⎨⎪=>⎪
⎪⎪=<⎪
⎪
<=⎪⎩
3. 复数的运算
设复数12,z a ib z c id =+=+，则由下式定义： 加法:12()()z z a c i b d +=+++ (1.2) 减法:12()()z z a c i b d -=-+-
乘法:2
12()()z z ac ibc iad i bd ac bd i bc ad ⋅=+++=-++. (1.4)
除法:
122222()()()()z a ib a ib c id ac bd bc ad i z c id c id c id c d c d
++-+-===+++-++ (1.5) 复数的模和共轭复数有下面的性质：
()11
1)Re (),Im ();
222)(),;0;
3);4):5).
z z z z z z i
z z
z w z w zw z w w w w
zw w z z z w w z z =+=-⎛⎫+=+==≠ ⎪⎝⎭===
4. 复数的三角表示和复数的方根 利用极坐标表示，复数z 可以表示为
三角形式：z =r (cos θ+i sin θ). 指数形式：e i z r θ
=.
1212()121212e e e .i i i z z r r r r θθθθ+==，121212rr z z z z ==，1212Arg()rg Arg .z z A z z =+
11112222
,Arg Arg Arg .z z z
z z z z z ==- 设复数e i z r θ
=从而有:
((cos sin ))(cos sin )(cos sin )e .n n n n n n in z r i r i r n i n r θθθθθθθ=+=+=+=
|z n |=|z |n ,
其中n 为正整数.当r =1时，得棣莫拂(de Moivre)公式
(cos sin ))cos sin n i n i n θθθθ+=+. (1.15)
复数的n 次方根是复数n 次乘幂的逆运算.下面我们介绍复数的n 次方根的定义和求法. 设e i z r θ
=是已知的复数，n 为正整数，则称满足方程
n z ω=
的所有的复数ω为z 的n 次方根，并且记为
ω=
02π
,k i
n
k k θω+== k =0,1,2,…,n -1 (1.16)
若记00i
n
θω=
，则k ω可表示为
2π0,k i
n
k e
ωω= k =1,2,…,n -1 (1.17)
§1.2 复平面点集
我们研究的许多对象——解析函数、保角变换等等问题，首先遇到的是定义域和值域的问题，这些都是复平面上的一种点集。

在此，我们先介绍复平面上的点集.
1. 平面点集的几个概念 (1) 邻域 集合
00(,){:}D z z z z δδ=-< (1.18)
称为z 0的δ邻域，其中0δ>,
000(,)\{}{:0}D z z z z z δδ=<-<
称为z 0的去心邻域.
(2)内点、开集 若点集E 的点z 0，有一个z 0的邻域0(,)D z E δ⊂，则称z 0为E 的一个
内点；如果点集E 中的点全为内点，则称E 为开集.
(3)边界点、边界 如果点z 0的任意邻域内，既有属于E 中的点，又有不属于E 中的点，则称z 0为E 的边界点；集合E 所有边界点称为E 的边界，记作E ∂.
(4)区域 如果集E 内的任何两点可以用包含在E 内的一条折线连接起来，则称集E 为连通集. 连通的开集称为区域.
区域D 和它的边界D ∂的并集称为闭区域，记为D . (5)有界区域 如果存在正数M ，使得对一切z E ∈，有
M z ≤,
则称E 为有界集.若区域D 有界，则称为有界区域.
(6)简单曲线、光滑曲线 设x (t )和y (t )是实变量t 的两个实函数，它们在闭区间[,]αβ上连续，则由方程组
()
()
x x t y y t =⎧⎨
=⎩ 或由复值函数
()()()z t x t iy t =+
定义的集合Γ称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线Γ的参数方程.点()A z α=和
()B z β=分别称为曲线Γ的起点和终点.如果当1212,[,],t t t t αβ∈≠时，有12()()z t z t ≠，
称曲线Γ为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. ()()z z αβ=的简单曲线称为简单闭曲线.例如圆周
cos ,sin ,[0,2π]x r t y r t t ==∈
就是简单闭曲线. 如图1.6，用复数表示为
|z |=r .
我们容易证明圆|z |=r 将平面分为两个不相交的区域，由不等式|z |<r 和|z |>r 所规定，这两个区域以圆周为边界.这个结果是以下约当定理的特例.
定理1.1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界. 这两个区域，一个是有界的，称为Γ的内部；一个是无界的，称为Γ的外部.
如果曲线Γ在[,]αβ上有()x t '和()y t '存在、连续，而且不同时为零，则称曲线Γ为光滑曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线.
(7)单连通区域 设D 为复平面上的区域，如果在D 内的任意简单曲线的内部均属于D ，则称D 为单连通区域，否则就称为多连通区域.
§1.3 扩充复平面及其球面表示
在复平面上没有一点和∞对应，但是我们可以设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为无穷远点.复平面加上∞，称为扩充复平面∞=∪{∞}.为使=+∞
∞的规定合理，我们规定扩充复平面上只有一个无穷远点.为使无穷远点的存在得到直观的解释，我们建立扩充复平面∞的球面表示法.
例题
1求复数
3
13
2
i
z
⎛⎫
--
= ⎪
⎝⎭
的实部，虚部，模与幅角；将它表示为指数形式或三角形式④解：∵
()()()()()
23
32
313133133i
1i3
8
⎡⎤
--⋅-⋅-+⋅-⋅-
⎛⎫⎢⎥
-+⎣⎦
=
⎪
⎪
⎝⎭
()
1
80i1
8
=+=∴
1i3
Re1
2
⎛⎫
-+
=
⎪
⎪
⎝⎭
,
1i3
Im0
⎛⎫
-+
=
⎪
⎪
⎝⎭
．
2.指出下式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
(1)argπ;
(2);
1
(3)1|2;
(4)Re Im;
(5)Im1 2.
z
z z
z i
z z
z z
=
=
-
<+<
>
><
且
解：
(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=
1
2
．(3)、表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）表示直线y=x的右下半平面（5）、表示圆盘内的一弓形域。

3．设z=x+iy，将123
-+-=化为关于x，y的方程，并说明它是何种曲线．
z z。