与中点有关的引辅助线方法

与中点有关的辅助线作法

一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形. 例1•已

知：如图，AD为ABC中线，求证：AB AC 2AD.

C 类题1.已知：如图，AD为ABC的中线，AE=EF.求证：BF=AC.

二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形

或平行四边形

例2 .已知：如图，在ABC中，C 90 , M为AB中点，P、Q分别在AC

BC上，且PM QM于

M.求证: PQ2 AP2 BQ2.

类题2 .已知： ABC 的边BC 的中点为N,过A 的任一直线 AD BD 于D, CE AD 于E.求证：NE=ND.

三、有中点时，可连结中位线.

例3 .如图， ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连 MN 交AB 、 AC 于 P 、Q ,求证：AP=AQ .

类题3.已知：如图，E 、F 分别为四边形 ABCD 的对角线中点，AB>CD 求证：EF - AB CD

2

A

E

D P

M

Q

N

B

C

A

C

类题4.如图， ABC 中，AD 是高，CE 为中线，DG CE , G 为垂足，DC=BE 求证：（1） G 是CE 的中 点；（2） B 2 BCE .

四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题

例4.已知：如图，在 Rt ABC 中， BAC 90，AB=AC D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，PF 于 F , PE AC 于 E.求证：DF=DE.

类题5 .已知：如图，矩形 ABCD E 为CB 延长线上一点，且 AC=CE F 为AE 中点，求证：BF FD

AB

六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法

例5•已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD// BC AB BC , M为CD的中点.求证：AM=MB.

A D

类题6 .已知：梯形ABCD中, AB// CD, E 为BC中点,EF AD于F.求证：S梯形ABCD EF AD .

【作业】

1、已知△ ABC 和厶DBE为等腰直角三角形，/ ABC =Z DBE=90 , A、B、D在同一直线上，M、N、P 分别是

AD、AC、DE边上的中点，试说明MP与MN的关系并证明。

A、B、D不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结论。

3、平行四边形

求证：PE=EF

ABCD，对角线相交于点O, P、E、F分别是AD、OB、OC的中点, AC=2AB。

2、如果上题中

4、等腰梯形ABCD 中，DC // AB，/ AOB=60

求证：△ EFM是等边三角形。

,E、F、M分别是0D、OA、BC的中点。

5、如图，在四边形ABCD中，AB=CD , M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN与

PQ互相垂直平分。

6、如图，在△ ABC中，E是AB的中点，CD平分/ ACB AD丄CD，垂足为点D，求证: 2DE=BC-AC 系。

BC、AC的关

M

Q

P

C

与

AB、

7、

BD、

8、A ABC 中，AB=AC ，/ BAC= ，在 AB 、AC 上截取 AD 、AE ，且 AD=AE ，连结 DE 。如图 1 所示, 则易证BD=CE ，如图2所示，将△ ADE 逆时针针旋转到如图所示位置，连结 BD 、CE 。 (1)判断BD 与CE 的数量关系及BD 、CE 延长线所夹锐角的度数。

A (2)点G 、F 分别是等腰△

B

ABC 、等腰△ ADE 底边的中点,

E

/ BAC= / DAE= ，点P 是线段CD 的中点,

试探索/ GPF 与 的关系，并加以证明。 1.

B G

附加题：

(1) 若将上题中BD 改为/ ABC 的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。 (2) 若BD 、CE 分别为/ ABC 和/ACB 的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立?

(画图、证明

)