线性系统理论习题答案ans1to6

其行列式因子为 D1 ( s ) = 1 ， D2 ( s ) = ( s + 1) ( s - 1)( s +
2
1 ) 2
则其不变因子为 d1 ( s ) = 1 ， d 2 ( s ) =
D2 ( s ) 1 = ( s + 1) 2 ( s - 1)( s + ) D1 ( s ) 2
其 Smith 标准型为 S ( s ) = ê
i
T
又有 A 存在特征值 l1 = l2 = 1, l3 = 0 ，当 l1 = l2 = 1 时，基础解系为 [0 1 1] 只有一个，
és - 1 - 1 0 ù ê 可以用求逆矩阵法， ( sI - A) = 0 s -1 ú ê ú， ê 0 s - 1ú ë 0 û
1 é 1 ê s - 1 s(s - 1) 1 ù ê 1 ê s -1 ú ú=ê 0 s s(s - 1)ú û ê 0 ê 0 ë 1 ù s(s - 1)2 ú ú 1 ú s(s - 1) ú 1 ú ú s -1 û
证毕。 证 2：取 x = e x = T (t ) x
At
\ x = e - At x
- At
& = - Ae 两边求导得 x
& = e - At Bx x + e - At x
其状态转移矩阵为 F (t , t0 ) = e
-1 ( A + B )( t - t 0 )
& = ( A + B) x 即x
而Q AB = BA \ e
A+ B
\ F (t , t0 ) = e B (t - t 0 )
= e A × eB = eB × e A
e - At e( A + B )(t - t 0 )e At 0 = e - At e A( t - t 0 ) e B ( t - t 0 ) e At 0 = e - At e At e - At 0 e B (t -t 0 )e At 0 = e - At 0 e B ( t - t 0 ) e At 0 = e - At 0 e At 0 e B (t - t 0 ) = e B ( t - t 0 ) = F (t , t0 )
《线性系统理论》作业参考答案
1-1 证明：由矩阵
é 0 ê 0 ê A=ê 0 ê ê M ê ë- an
则 A 的特征多项式为
1 0 0 1 0 0 M M - an -1 - an - 2
0 0 0
L 0 ù L 0 ú ú L 0 ú ú O M ú L - a1 ú û
l 0 lI - A = 0 M an
-1 2
ù - e - (t -t ) + 2e - 2( t -t ) - e - 3(t -t ) ú ú e - 2( t -t ) û
é( s + 1) 2 (2s + 1)( s + 1)ù 1-10 解：最小公分母为 g ( s ) = s ( s + 1) ， N ( s ) = G ( s ) g ( s ) = ê ú 2s + 1 û ë s ( s + 1)
-1 ( s + 1)( s + 3) 1 s +1 0
s ù ( s + 1)( s + 2)( s + 3) ú ú 1 ú ( s + 1)( s + 2) ú ú 1 ú s+2 û
é s 2 + 4s + 2 ê G ( s ) = C ( sI - A) -1 B = ê ( s + 1)( s + 2)( s + 3) 1 ê ê s+2 ë
根据相似矩阵性质得 F (t , t0 ) = T (t ) F (t , t0 )T (t0 ) = e 1-9 解：由题可得 A，B，C 的值，则
- At ( A + B )( t - t 0 ) At 0
e
e
é 1 ês + 3 ê -1 ( sI - A) = ê 0 ê ê ê 0 ë
传递函数阵为
¥ ¥ 1 k k ¥ 1 1 1 A t = å BAk t k = å Ak Bt k = (å Ak t k ) B = e At B k = 0 k! k = 0 k! k = 0 k! k = 0 k!
¥
& = e - At Be At x = e - At e At Bx = Bx \x
f ( A) = p ( A) = Pdiag ( p ( J1 ),L p ( J s )) P -1 ，
因为 p (l ) = f (l ) ，所以 p ( J i ) = f ( J i ), i = 1,2,L, s 。 其中
1 1 é ù ( n i -1) (li )ú ê p (li ) 1! p¢(li ) L (n - 1)! p i ê ú p ( l ) O M i ú p( J i ) = ê 1 ê ú O p¢(li ) ê ú 1! ê ú p (li ) ë û ni ´ n i 1 1 é ù ( ni -1) (li )ú ê f (li ) 1! f ¢(li ) L (n - 1)! f i ê ú f ( l ) O M i ê ú f ( Ji ) = 1 ê ú O f ¢(li ) ê ú 1! ê ú f (li ) ë û n i ´ ni
若 li 是 A 的特征值，则
é li ê0 ê (li I - A)ui = ê 0 ê êM ê ëan
这表明 1 li
0 -1 li -1 0 li M M an -1 an - 2
L L L O L li
0 ùé 1 ù é 0 ù ú ê ú ê ú 0 ú ê li ú ê 0 ú ú=0 0 ú ê li2 ú = ê 0 ú ú ê úê M úê M ú ê M ú n -1 ú n n -1 ê ê ú + a1 û ëli û ëli + a1li + L + an ú û
2 2 4
最小多项式为 Y1 (l ) = (l - l1 ) 2 。
é1 1 0ù é1 1 1ù é1 1 i - 1ù ê ú ê ú ê 2 i 1-4 解： 由矩阵 A = 0 0 1 , A = 0 0 1 ， 设A = 0 0 1 ú ê ú ê ú 根据数学归纳法， ê ú， ê ê ê ë0 0 1 ú û ë0 0 1ú û ë0 0 1 ú û
és(s - 1) s - 1 adj(sI - A) 1 ê 0 (sI - A) = = (s - 1)2 2 ê det(sI - A) s(s - 1) ê 0 ë 0
-1
ée t ê 所以 e At = L-1[( sI - A) -1 ] = ê 0 ê0 ë
et - 1 1 - et + tet ù ú 1 et - 1 ú 。 ú 0 et û
f ( A) = p ( A) = Pdiag ( f ( J1 ),L f ( J s )) P -1 。
可以看出， f (li ) 是 f ( A) 的一个特征值。
Leabharlann Baidu
1-3 解：(1) 特征多项式为 D1 (l ) = (l - l1 ) 4 ，最小多项式为 Y1 (l ) = (l - l1 ) 4 ； (2) 特征多项式为 D1 (l ) = (l - l1 ) 2 (l - l1 )(l - l1 ) = (l - l1 ) 4 ， 最小多项式为 Y1 (l ) = (l - l1 ) 2 ； (3) 特征多项式为 D1 (l ) = (l - l1 ) (l - l1 ) = (l - l1 ) ，
é1 - e -t + e -t 0 ù é1 - e - t + e - t 0 ù -1 \ Y (t ) = x = ê ， F ( t , t ) = Y ( t ) Y ( t ) = ú ê ú 0 0 1 1 ë0 û ë0 û
1-8 证 1：Q AB = BA
\ Be At = B å
则A
i +1
é1 1 i - 1ù é1 1 0ù é1 1 i ù é1 1 100ù ê ú ê ú ê ú ú 101 = A A = ê0 0 1 ú ê0 0 1ú = ê0 0 1ú 也成立，所以 A = ê ê0 0 1 ú ； ê ê ë0 0 1 ú ûê ë0 0 1 ú û ê ë0 0 1ú û ë0 0 1 ú û
[
-1 li2 L ln 是 li 所对应的特征向量。 i T
]
1-2 根据矩阵函数的不同定义有如下两种证法： 证法 1：一元函数 f (li ) 展开成幂级数： f (li ) =
åc l
k =0 k ¥ k
¥
k
i
矩阵函数 f ( A) 幂级数表示为： f ( A) =
k
åc A
k =0
k
k 由于 li 为 A 的特征值，所以 li 为 A 的特征值， k = 1,2,L
-1 l 0 M
0 -1 l M
an -1 an - 2 -1 l l 0 0 M M
= l2 0
L L L O L 0 -1 l M
an - 2 an - 3 an - 4 = l + a1ln -1 + L + an
n
l -1 0 L 0 l -1 L 0 0 =l 0 l L 0 0 + (-1) n +1 an (-1) n -1 M M M M O M l + a1 an -1 an - 2 an - 3 L l + a1 L 0 0 L 0 + l (-1) n an -1 (-1) n - 2 + an = L L O M L l + a1
ù -2 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) ú ú 1 ú ú s+2 û
脉冲响应阵为
1 é 1 - ( t -t ) - e + 2e - 2 (t -t ) - e - 3( t -t ) ê G (t - t ) = L [G ( s )] = 2 2 ê e - 2( t -t ) ë
则传递函数阵地零点为 z1 = 1 ，z 2 = -
1 ，极点为 p1 = p2 = 0，p3 = p4 = -1 。 2
0 é1 ù ú， 2 ë0 ( s + 1) ( s - 1)( s + 1 / 2)û
ù ú ú ( s - 1)( s + 1 / 2) ú ú s û 0
é 1 S ( s ) ê s ( s + 1) 2 所以 McMillan 标准型为 GM ( s ) = =ê g ( s) ê 0 ê ë
解得
ìx &12 = e - t x22 , x12 (t0 ) = 0 í &22 = 0, x22 (t0 ) = 1 îx é1 - e - t + e - t 0 ù 即x = ê ú 1 ë0 û
ì x11 = 1 ì x12 = -e - t + e -t 0 ，í í î x21 = 0 î x21 = 1
1-6 证明：由 A Î R p ´ q , B Î R q ´ p 得 令C = ê
éA ëIq
Ipù éB ,D = ê ú 0û ëI p
Iq ù é I p + AB 0 ù é BA + I q ，则 CD = ê , DC = ê ú ú - Aû Iq û ë B ë 0
Bù ， Ipú û
1-5 证明：因为 D -1 存在，所以由 D Î R p ´ p
éI éA Bù det ê = det ê A ú ëC D û ë0
- BD -1 ù é A B ù é A - BD -1C = det ú ê ú ID û ê C ëC D û ë
0ù -1 ú = det D det( A - BD C ) Dû
所以 det CD = det DC ，即 det( I p + AB ) = det( I q + BA) 。
&=ê 1-7 (3) 解：由 x
é0 e - t ù ú x ，取 x(t0 ) = I ，则 ë0 0 û
ìx &11 = e -t x21 , x11 (t0 ) = 1 ， í &21 = 0, x21 (t0 ) = 0 îx
设 li 对应的特征向量为 g i ，则
f ( A)g i = å ck Ak g i = å ck lik g i = (å ck lik )g i = f (li )g i
k =0 k =0 k =0
¥
¥
¥
所以 f (li ) 是 f ( A) 的一个特征值。 证法 2：根据矩阵函数定义，设 p (l ) 是函数 f ( z ) 在 l ( A) 上的 Hermite 插值多项式，则