第二十六课协方差分析
协方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
方差分析及协方差分析
方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称"变异数分析〞或"F检验〞，是R.A.Fisher创造的，用于两个及两个以上样本均数差异的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。
方差分析的作用一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。
方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最正确水平等。
方差分析是在可比拟的数组中，把数据间的总的"变差〞按各指定的变差来源进展分解的一种技术。
对变差的度量，采用离差平方和。
方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的局部离差平方和，这是一个很重要的思想。
经过方差分析假设拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。
假设要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的根底上进展多个样本均数的两两比拟。
方差分析的分类及举例一、单因素方差分析〔一〕单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。
这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。
这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。
单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。
方差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。
据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两局部，用数学形式表述为：SST=SS A+SSE。
协方差分析——精选推荐
(3-1ห้องสมุดไป่ตู้)
39
式中， 异；
为两个处理校正平均数间的差
为两个处理校正平均数差数标准误； 为误差离回归均方； n为各处理的重复数； 为处理i的x变量的平均数； 为处理j的x变量的平均数； SSe(x)为x变量的误差平方和 例如，检验食欲添加剂配方1与对照校正50日 龄平均重间的差异显著性：
40
=10.3514-12.0758=-1.7244 =37.59/43=0.8742 =1.52,
18
表3-2 不同食欲增进剂仔猪生长情况表
（单位：kg）
19
此例，
=18.25+15.40+15.65+13.85=63.15
=141.80+130.10+144.80+133.80 =550.50 k=4，n=12，kn=4×12=48
20
协方差分析的计算步骤如下： (一)求x变量的各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度
(二)求y变量各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度
23
2、处理间平方和与自由度
3、处理内平方和与自由度
(三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度
24
=kn-1=4×12-1=47 2、处理间乘积和与自由度
=1.64
25
=k-1=4-1=3 3、处理内乘积和与自由度
29
回归分析的步骤如下： (1) 计算误差项回归系数，回归平方和， 离回归平方和与相应的自由度 从误差项的平方和与乘积和求误差项回归 系数： (3-10) 误差项回归平方和与自由度 (3-11)
dfR(e)=1
30
误差项离回归平方和与自由度
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
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FEyy(ad)jS1 k1 S1 N2k
Eyy(ad)jEyybw2Exx
k
S1 Eyy
b E 2 wi xxi
i1
k
[(Eyybw2Exx)(Eyy bwi2Exxi )]/(k1)
对于芬兰白酒专卖的问题，交通事故显然不是仅仅与销售方式有关，而把其 他变量都归为随机误差又太过粗糙．这样。我们就想到了引入其他变量．在
协方差分析的模型中，我们称之为协变量．
下面我们再看协方差分析数据结构：
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
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Analysis of Convariance (2020年1月13日)
从离差分解的角度我们来解释协方差分析
对于方差分析:
总离差=分组变量离差+随机误差(组内离差)
对于协方差分析:
总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差
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在方差分析中，协变量离差包含在了随机误差中. 在协方差分析中，单独将其分离出来.
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协方差分析
Analysis of Covariance
ALBERT R.WLDT OLLI AHT
报告人:白寅
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我们先来看一个问题：
芬兰由几十个小的自治区组成。在芬兰，白酒的批发和零售是国家垄 断的。几个世纪以来，法律规定白酒只能在城市自治区中销售。
k
n
协方差分析课件
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 ,2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
协方差分析讲课课件
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
总离差平方和修正值的定义和计算式如下：
kn
Tyy(adj)
(Yij(adj) Y )2
• 协方差分析可以解决这类问题。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
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协方差分析是如何解决这个问题的呢? 首先,我们看看方差分析数据结构：
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
实验前后，同一地区的交通事故量应该有某种联系！－－回归关系 销售白酒后交通事故多的地区有可能是因为其原来交通事故就比其他地区多！
直接收集统计资料的有两种方式：实验式和非实验式。
如果条件可以完全控制的话（只一个因素变化，其他因素统一）实验式收集数 据进行方差分析理论上是可以保证精度的。
但是实验条件不能完全控制的时候就要采取统计控制，即用统计的方法排除数 据中的干扰因素从而提高精度。——我们知道，就算12个地区白酒的销售方式 是随机指定的，由于每组仅仅有四个地区，很难保证三组地区的交通事故只与 白酒的销售有关而其他因素统一水平。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
总思路
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在观测值中去除协变量的影响之后，应用方差分析
于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素
Y i(ja)d Y jij(X ij X ) u ti e ij
协变量修正后的 观测值
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协方差分析
Analysis of Covariance
协方差分析
n j1
xi• x••
2 a xHale Waihona Puke 2• i1 nx•2• an
( 4 3 )
(4 4) (45)
(46) (47)
a n
TXY
xi• x••
i1 j1
yi• y••
a
xi•
yi•
i1
n
x•• y•• an
(4 8)
a n
EYY
yij yi• 2 SYY TYY
的均方做F 检验, FMeG S1 16.6443.08 MeG S2 5.403
F6,6,0.05＝4.82,F＜F0.05,可以认为各组方差具备齐 性,
⑷ 检验回归线是否平行 i＝ ：在⑵中已经计算
出 组 内 剩 余 平 方 和 SSeG 和 用 公 共 回 归 系 数 b* 计 算得到的误差平方和SSe,SSeG完全是由随机因素 造成的：三条回归线用同一b*计算出的误差平 方和SSe,包括由于随机误差及回归系数两种变差 所产生的平方和,因而回归系数平方和,
SSe＝EYY－E2XY／EXX a n－1 －1 SS’e＝SYY－S2XY／SXX an－2
MSe＝SSe／ a n －1 －1
SS’e －SSe
a－1
SS’e －SSe ／ a －1
在协方差分析表中,除列入检验假设所需要 的处理效应平方和之外,还列入了全部平方和及 交叉乘积和,协方差分析的结果,不论零假设是否
a
SXX
i1
n j1
xij x••
2
a
i1
n j1
xi2j
x•2• an
a n
SXY
xij x••
i1 j1
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
协方差分析及协变量
协方差分析及协变量协方差分析的核心是协方差。
协方差是一种衡量两个变量共同变化程度的统计量。
如果两个变量的协方差为正值，表示它们呈正相关关系，即当一个变量增加时，另一个变量也会增加；如果协方差为负值，则表示它们呈负相关关系，即一个变量增加时，另一个变量会减少。
而协方差为零，则表示它们之间没有线性关系。
协方差分析中的协变量是指将不感兴趣的变量作为控制变量，以消除其对自变量和因变量之间关系的混杂影响。
协变量可以是连续变量或分类变量。
在协方差分析中，协变量被视为对因变量的贡献可以被解释的部分，而与自变量之间的关系无关。
使用协方差分析时，我们可以得到一些重要的统计结果。
首先，通过协方差矩阵或相关系数矩阵，我们可以了解不同自变量之间的关系，从而判断它们是否存在多重共线性问题。
如果存在多重共线性，我们需要进行进一步的处理，例如剔除高度相关的变量。
其次，协方差分析还可以告诉我们自变量是否对因变量产生显著影响，即是否存在显著差异。
最后，协方差分析还可以通过调整协变量来考察自变量和因变量之间的关系是否保持不变，从而验证是否存在因果关系。
在实际应用中，协方差分析经常用于比较两个或多个群体在一些因变量上的差异。
例如，研究人员可能想要知道不同年龄组的人在一些健康指标上的差异是否显著。
他们可以使用协方差分析来控制其他一些可能影响健康指标的因素，例如性别、体重等。
通过这种方法，研究人员可以更加准确地评估年龄对健康指标的影响。
除了比较群体差异外，协方差分析还可以用于分析自变量对因变量的影响大小。
例如，研究人员可能想要知道学习时间对考试成绩的影响。
他们可以使用协方差分析来控制其他一些可能影响考试成绩的变量，例如天赋、学习方法等。
通过这种方法，研究人员可以得到学习时间对考试成绩的独立影响程度，从而准确评估学习时间对学生成绩的重要性。
在进行协方差分析时，有一些注意事项需要考虑。
首先，我们需要确保变量之间满足线性关系。
如果存在非线性关系，我们可能需要进行变量转换或选择其他适用的统计方法。
R语言学习系列28-协方差分析
23. 协方差分析一、基本原理1. 基本思想在实际问题中,有些随机因素是很难人为控制的,但它们又会对结果产生显著影响.如果忽略这些因素的影响,则有可能得到不正确的结论.这种影响的变量称为协变量〔一般是连续变量〕.例如,研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏.检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的,而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响,在考察的时候必须排除这种影响.协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量,在分析中将其排除,然后再分析控制变量对于观察变量的影响,从而实现对控制变量效果的准确评价.协方差分析要求协变量应是连续数值型,多个协变量间互相独立,且与控制变量之间没有交互影响.前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量,而协方差分析中既包含了定性变量〔控制变量〕,又包含了定量变量〔协变量〕.协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析,是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法,其中的协变量一般是连续性变量,并假设协变量与因变量间存在线性关系,且这种线性关系在各组一致,即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行.当有一个协变量时,称为一元协方差分析,当有两个或两个以上的协变量时,称为多元协方差分析.2. 协方差分析需要满足的条件〔1〕自变量是分类变量,协变量是定距变量,因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；〔2〕协变量与因变量之间的关系是线性关系,可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数〔即各回归线的斜率〕是相同的,且不等于0,即各组的回归线是非水平的平行线.否则,就有可能犯第一类错误,即错误地接受虚无假设；〔3〕自变量与协变量相互独立,若协方差受自变量的影响,那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的,自变量对因变量的间接效应就会被排除；〔4〕各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体,即要求各组方差齐性.二、协方差理论1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即()ij i ij ij y u t x x βε=++-+〔1〕其中,X 为所有协变量的平均值.注：在方差分析中,协变量影响是包含在随机误差中的,在协方差分析中需要分离出来.用协变量进行修正,得到修正后的y ij <adj>为就可以对y ij <adj>做方差分析了.关键问题是求出回归系数β.2. 总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差,〔1〕计算总离差平方和时,记 总离差平方和：211()k nyy ij i j T y y ===-∑∑最终要检验分组自变量对因变量有无显著作用.原假设H 0：无显著作用.假设检验是在H 0为真条件下进行,可认为t i =0,则按最小二乘法原理线性回归可得到β的估计值记修正的总离差平方和〔残差平方和〕为T yy<adj>,则22(adj)ˆT xy yy yy xx yy xx T T T T T T β=-=-,自由度为n -2注：2ˆT xx T β为回归平方和,若ˆ0Tβ=〔回归线为水平线〕,表示协变量x 对y 无作用,用方差分析就可以解决了.〔2〕计算组内离差平方和时,记 组内总离差平方和：211()k nyy ij i i j E y y ===-∑∑根据协方差分析的基本假设：各组内回归系数相等〔做协方差分析时需要检验这一点〕,得到组内回归系数βw 的估计值记修正的组内总离差平方和〔组内残差平方和〕为E yy<adj>, 则22(adj)ˆxy yy yy w xx yy xx E E E E E E β=-=-,自由度为n -k -1其中,2ˆw xx E β为组内回归平方和,当1ˆˆw wkββ==时,组内总离差平方和认为完全是由随机因素引起的,E yy<adj>就是随机为误差.这里的ˆwβ是1ˆˆ,,w wkββ的加权平均值. 〔3〕计算分组变量离差平方和B yy<adj>,它反映的是各个水平之间的差异.即,分组变量离差=总离差-协变量离差-随机误差.于是,就可以进行组间无差异检验了：3. 因此,在做协方差分析前,需要依次做两个假设检验：〔1〕协变量对因变量的影响对与各组来说都是相同的,即各组回归系数相等：1ˆˆˆ:w wk wβββ===; 步骤： ①先按回归系数相等和不相等分别表示模型并计算出误差平方和其中,1i kyy yy i E E ==∑. ②计算F 值若F 值小于临界值F α,则说明各组回归系数无显著差异〔相等〕.〔2〕这些相等的回归系数ˆ0wβ≠. 即采用一元线性回归的显著性检验,4. 协方差分析的步骤〔1〕检验数据是否满足假设条件：正态分布性、方差齐性、各分组通过协变量预测因变量的回归斜率相同；〔2〕检验效应因子的显著性；〔3〕估计校正的组均值；〔4〕检验校正的组均值之间的差异.三、R 语言实现协方差分析要求数据满足：正态性、方差齐性、各分组通过协变量预测因变量的回归斜率相同.R语言用aov<>函数进行协方差分析,基本格式为：aov<formula, data, ...>其中,data为数据框；formula为协方差公式形式,形如y~x+A, x为连续型协变量,A为组别因子.例1研究分别接受了3种不同的教学方法的3组学生,在数学成绩上是否有显著差异,数据文件"ex28_cov.Rdata".先不考虑数学入学成绩,只以"教学方法"为分组变量,"后测成绩"为因变量进行单因素方差分析：setwd<"E:/办公资料/R语言/R语言学习系列/codes">load<"ex28_cov.Rdata">head<scores>before after teach1 39 68 12 38 63 13 51 65 14 56 68 15 74 74 16 40 60 1attach<scores>table<teach>#各组的样本数teach1 2 330 32 33aggregate<after, by=list<teach>, mean>#各组均值Group.1 x1 1 62.883332 2 72.671883 3 65.06061shapiro.test<after>#正态性检验Shapiro-Wilk normality testdata: afterW = 0.99105, p-value = 0.7772bartlett.test<after~teach,data=scores>#方差齐性检验Bartlett test of homogeneity of variancesdata: after by teachBartlett's K-squared = 0.69854, df = 2, p-value = 0.7052fit.aov<-aov<after~teach,data=scores>summary<fit.aov>Df Sum Sq Mean Sq F value Pr<>F>teach 2 1662 830.8 10.44 8.23e-05 ***Residuals 92 7325 79.6---Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1说明：单因素方差分析的p值=8.23e-05, 远小于0.05, 表明,两种教学方法有非常显著的差异.但是,后测成绩肯定会受到前测成绩〔连续型〕的影响,假定前测成绩与教学方法〔即组别,是控制变量〕不存在交互影响.因此,将后测成绩作为因变量；教学方法作为控制变量；前测成绩作为协变量进行协方差分析.回归斜率相同检验,即前测成绩与后测成绩的回归线是否平行：scores1<-subset<scores,teach==1>scores2<-subset<scores,teach==2>scores3<-subset<scores,teach==3>par<mfrow=c<1,3>>plot<scores1$before,scores1$after,xlab="before",ylab= "after",main="teach=1">abline<lm<after~before,data=scores1>>plot<scores2$before,scores2$after,xlab="before",ylab= "after",main="teach=2">abline<lm<after~before,data=scores2>>plot<scores3$before,scores3$after,xlab="before",ylab=" after",main="teach=3">abline<lm<after~before,data=scores3>>可见两组的直线趋势的斜率比较接近〔平行〕,基本符合协方差假定. 除了图形判断外,还可以通过交互作用是否显著,来判断斜率是否相同.因为若前验成绩与教学方法的交互作用显著,则说明前验成绩与后验成绩的关系,依赖于教学方法.library<multcomp>fit2<-aov<after~before*teach,data=scores>summary<fit2>Df Sum Sq Mean Sq F value Pr<>F>before 1 2432 2432.0 35.391 5.22e-08 ***teach 2 362 180.9 2.633 0.0775 .before:teach 2 76 38.2 0.556 0.5752Residuals 89 6116 68.7---Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1说明：交互项的p值=0.5752>0.05, 故不显著,支持了斜率相同的假设.fit<-aov<after~before+teach,data=scores>#协方差分析summary<fit>Df Sum Sq Mean Sq F value Pr<>F>before 1 2432 2432.0 35.739 4.35e-08 ***teach 2 362 180.9 2.659 0.0755 .Residuals 91 6192 68.0---Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1说明：协方差分析的结果表明：前测成绩的p值=4.35e-08远小于0.05, 说明"前测成绩"对"后测成绩产生了非常显著的影响；"教学方法"的p 值=0.0755>0.05, 说明"教学方法"对"后测成绩"的影响不显著.由于受到协变量的影响,我们希望获取调整后的各组均值——即去除协变量效应后的各组均值.可使用effects包中的effects<>函数来计算调整的均值：library<effects>effect<"teach", fit>teach effectteach1 2 365.05722 70.04958 65.62718与方差分析时一样,要想得到教学方法两两之间有无差异,可以均值的成对比较〔略〕.下面讲一下自定义比较〔使用multcomp包可以实现〕,例如,分组变量有4个水平ABCD,要比较A与D时,比较矩阵=[1 0 0 -1]T, 有[A B C D]×[1 0 0 -1]T=0 等价于A=D要想将A与D合并再与B比较有无差异,则可以指定L矩阵=[1 -2 01]T, 则[A B C D]×[1 -2 0 1]T =0 等价于<A+D>/2 = B注意：是从<A+D>/2 = B倒推比较矩阵,该式即A-2B+0C+D=0.根据调整后的各组均值,教学方法1和3基本相同,虽然总体上3种差异不显著,教学方法2与1、3是否有显著差异呢？那么就需要自定义比较.library<multcomp>contrast<-rbind<"2 vs. 13"=c<-1,2,-1>>res.vs<-glht<fit,linfct=mcp<teach=contrast>>summary<res.vs>Simultaneous Tests for General Linear HypothesesMultiple Comparisons of Means: User-defined ContrastsFit: aov<formula = after ~ before + teach, data = scores>Linear Hypotheses:Estimate Std. Error t value Pr<>|t|>2 vs. 13 == 0 9.415 4.083 2.306 0.0234 *---Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 <Adjusted p values reported -- single-step method>说明：自定义比较：教学方法2与教学方法1,3是否有差异,设置比较矩阵为[-1,2,-1], 结果p值=0.0234<0.05, 拒绝原假设,即有显著差异.另外,HH包中的ancova<>函数,也是用来做协方差分析的,还能将结果可视化.基本格式为：ancova<formula, data=, x, groups, ...>其中,若formula不包括,x和groups为作图时需指明协变量和因子.library<HH>ancova<after~before+teach, data=scores>Analysis of Variance TableResponse: afterDf Sum Sq Mean Sq F value Pr<>F>before 1 2432.0 2431.96 35.7392 4.354e-08 ***teach 2 361.9 180.93 2.6589 0.07546 .Residuals 91 6192.3 68.05---Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1从图中可以看出,用前验成绩来预测后验成绩的回归线相互平行,只是截距项不同.教学方法13基本相同,教学方法2明显好于13.上述代码会让直线保持平行,若用ancova<after~before*teach, data=scores>则生成的图形将允许斜率和截距项依据组别而发生变化,这对可视化那些违背回归斜率同质性的实例非常有用.。
方差分析与协方差分析(共52张PPT)
方差分析概念
• 第一类因素：可以控制的控制因素 • 第二类因素：不能控制的随机因素
• 受前两类因素影响的事物为观察变量
• 方差分析目的：分析控制变量的不同水平是否对观察变量产生 了显著影响，检验各个水平下观察变量的均值是否相等
方差分析分类之一
般并不要求检验总体的正态性。
(2)变异可加性。各因素对离差平方和的影响可以分割成几个可 以加在一起的部分。（多因素） (3)独立性。观察对象是来自所研究因素的各个水平之下的独立随 机抽样
(4)方差齐性(homogeneity of variance)，也称变异的同质性，各
个水平下的总体具有相同的方差。这是方差分析一个很重要的前 提，因此在进行方差分析之前，应当进行方差齐性检验。
配伍设计(Randomized block design) 随机区组或双因素无重复试验设计.
交双叉因设 素计（：无安交进排互两作行种用评或）两试价种验以的。上方协处差理分变因析素表量，一定要是连续数值型。
与LSD方法基本相同。
析因设计• ：安非排两定种量或两方种以差上分处理析因素：，因变量为定序变量
协方差分析的假设
• 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
FB
MSB MSE
F ( a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
协方差分析A
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 然后加以比较进行统
2、反映随机因素所引起的波动。
5.1
3.9 2.9 3.1 2.9 3.5 4.9 2.5 4.8 4.6 5.6 3.9 3.0
28
不平衡二因素方差分析SAS程序的输入：
29
不平衡二因素方差分析SAS程序输出结果：
结论： GLM按两 种方法输 出 1、按有交 互作用输 出 2、按主效 应输出。
30
2、交互模型 MODEL y=a b c a*b a*c b*c a*b*c;
3、嵌套效应 MODEL y=a b c(a b);
4、混合效应模型号 MODEL y=a b(a) c(a) b*c(a);
10
例：1、单因素方差分析
某劳动卫生组织研究棉布、府绸、的确凉、尼龙四种衣料内棉花吸附十 硼氢量。每种衣料做五次测量，所得数据如下。试检验各种衣料见棉花吸 附十硼氢量有没有显著差别？
1 27332 6
6084 18
4214217 .3 5332
计算出F值：
QA
4217.3
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
5
列表：
方差来源 显因著素性A 分试显验著误）差 总误差
离差平方和 4217.3 1114.7 5332
12
单因素方差分析SAS程序输出结果：
SAS讲义 第二十六课协方差分析
第二十六课 协方差分析当定量的影响因素对观察结果有难以控制的影响，甚至还有交互作用时，采用协方差分析，这些影响变量称为协变量，扣除（或消除）协变量的影响，可以得到修正后的均值估计。
一、 协方差分析概述1. 协方差分析概念协方差分析（analysis of covariance ）又称带有协变量的方差分析（analysis of variance with covariates ），是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种分析方法。
在各种试验设计中，对主要变量y 研究时，常常希望其他可能影响和干扰y 的变量保持一致以到达均衡或可比，使试验误差的估计降到最低限度，从而可以准确地获得处理因素的试验效应。
但是有时，这些变量难以控制，或者根本不能控制。
为此需要在试验中同时记录这些变量的值，把这些变量看作自变量，或称协变量（covariate ），建立因变量y 随协变量变化的回归方程，这样就可以利用回归分析把因变量y 中受协变量影响的因素扣除掉，从而，能够较合理地比较定性的影响因素处在不同水平下，经过回归分析手段修正以后的因变量的总体均值之间是否有显著性的差别。
简单地说，协方差分析是扣除协变量的影响，或者将这些协变量处理成相等，再对修正的y 的均值作方差分析。
2. 协方差分析的假定协方差分析需要满足的假定为：①各样本来自具有相同方差2σ的正态分布总体，即要求各组方差齐性。
②协变量与主要变量y 间的总体回归系数不等于0。
③各组的回归线平等，即回归系数 ==21ββ。
如果上述的假定满足，就作协方差分析。
前述的各种试验设计，如完全随机化设计、随机区组设计、析因设计、拉丁方设计等，都可以带一个或多个协变量，按设计方案扣除协变量的影响后，对主要变量y 的修正均值作比较，得出统计结论。
3. 协方差分析的模型最简单的单因素一元协方差分析的模型，是由单因素效应模型ij i ij a y εμ++=加上协变量的影响因素)(x x ij -β而得出：ij ij i ij x x a y εβμ+-++=)((26.1)其中x 为协变量，ij x 为协变量在分类水平i 和j 上的记录值，x 为所有协变量的平均值，β为相关的回归系数。
协方差分析
比较：调整前：Y2=98>Y3=96.875>Y1=81.75 调整后：Y2=99.5>Y1=94.95>Y3=82.175 结论是：第二种饲料最好，第一种次之，第三种最差。
第四步：回归显著性检验的方程分析表： 变异来 源 回归 平方和 DF 均方 F
剩余
总变异
SSR=E2XY / EXX 1 =420.8752/175.25 =1010.76 SSe=EYY-SSR 20 =1238.375-1010.76 =227.615 EYY=1238.375 21
1010.76 88.81**
SY3Y3=∑Y32-(∑Y3)2/N =945-(55)2/8=566.875 SX3X3=∑X32-(∑X3)2/N =347-(43)2/8=115.875 SX3Y3=∑X3Y3-∑X3∑Y3/N =541-43×55/8=245.375 b3=SX3Y3/SX3X3 =245.375/115.875=2.118 a3=y3-bx3 =96.875-2.118×25.375 =43.141 Y3=43.141+2.118X3 SSe3=SY3Y3-bSx3y3 =566.875-2.118×245.375 =47.171 d f = n3-2=6 MSe3=SSe3/(n3-2) =47.171/6=7.862
X3Y3 -2 4 0 15 50 84 150 240 541
25 49 225 112 80 -4 36 0 523
SY1Y1=∑Y12-(∑Y1)2/N =1032-(-66)2/8=487.5 SX1X1=∑X12-(∑X1)2/N =344-(-50)2/8=31.5 SX1Y1=∑X1Y1-∑X1∑Y1/N =523-(-50)(-66)/8=1105 b1=SX1Y1/SX1X1 =110.5/31.5=3.508 a1=y1-bx1 =81.75-3.508×13.75 =33.516 Y1=33.516+3.508X1 SSe1=SY1Y1-bSx1y1 =487.5-3.508×110.5 =99.866 d f = n1-2=6 MSe1=SSe1/(n1-2) =99.866/6=16.644
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Corrected Total 19
Std Error of Estimate 1.02786287
组最后体重均值的区别也统计显著 （B 0.0122<0.05） ， 其中分组变量 trt 的平方和为 198.40700000。 TRT 1 -0.244459378 -0.42 0.6780 0.57658196 而在协方差分析中，分组变量 trt 的类型 1 的平方和等于方差分析中的平方和 198.40700000， 2 -0.280271345 B -0.57 0.5786 0.49290825 分组变量 trt 的类型 3 的平方和为 12.08935928 ，大大小于类型 1 的平方和，是因为类型 3 1.654757698 B 3.85 0.0018 0.42943036 3 的 平方和反映了经过共同的协变量 x 调整后的平方和，减去了协变量的影响，所以平方和大幅 4 1.107113519 B 2.35 0.0342 0.47175112 减小。类型 1 是一种未经过调整的平方和，因为它的优先级高于协变量的调整。更进一步分 5 0.000000000 B . . . 析，我们注意到方差分析中均方误差为 10.68416667 ，而协方差分析中却缩小到 0.30159452， X 1.083179819 22.75 0.0001 0.04762051 相应地分组变量 trt 的 F 统计量从 4.64 10.02and ，说明包含了协变量后分组的区别更加显 NOTE: The X'X matrix has been found to增加到 be singular a generalized inverse was used to solve 著，原因是简单方差分析中，大多数的误差是由于初始体重 x 的变异造成的。 the normal equations. Estimates followed by the letter 'B' are biased, and are not unique 表中的最后一部分是选择项 estimators of the parameters. solution 的输出结果，对模型中的截距、各分组变量和协变 量的回归系数进行估计和检验， 在这个单因素 trt 的情况下， 估计是以最后一个水平 trt5 （trt=5） 为对照组，并且设置它的系数为 0，因此截距 intercept 的估计值是分组 trt5 的估计值。其他四 个分组 trt 的系数估计是每一个与 trt5 进行比较而得到的。注意，出口处的 trt3 和 trt4 分组是 不同与 trt5 分组。协变量 x 的系数是合并各组内 y 和 x 所得到的回归系数，即是由 5 个独立
4 y 31.0 30.4 30.2 30.5 21.8
end; end; cards; 27.2 32.6 32.0 36.6 28.6 33.8 26.8 31.7 28.6 35.2 22.4 29.1 29.3 35.0 21.8 27.0 20.4 24.6 19.6 23.4 ; proc anova data=growth; class trt; model y=trt; proc glm data=growth; class trt; model y=trt x /solution; means trt; lsmeans trt /stderr tdiff; contrast 'trt12 vs trt34' trt -1 -1 1 1 0; estimate 'trt1 adj mean' intercept 1 trt 1 0 0 0 0 x 25.76; estimate 'trt2 adj mean' intercept 1 trt 0 1 0 0 0 x 25.76; estimate 'adj trt diff' trt 1 -1 0 0 0; estimate 'trt1 unadj mean' intercept 1 trt 1 0 0 0 0 x 29.75; estimate 'trt2 unadj mean' intercept 1 trt 0 1 0 0 0 x 27.175; estimate 'unadj trt diff' trt 1 -1 0 0 0 x 2.575; run; 33.0 37.7 26.5 30.7 23.2 28.9 30.3 36.4 25.1 30.3 26.8 31.0 26.8 30.4 24.4 30.2 24.3 30.5 18.1 21.8
class model class model class model A; X A; A B; X A B; A B; X A B A*B;
②随机区组设计的协方差分析模型
③两因素析因设计的协方差分析模型
二、 实例分析
1. 一元协方差分析 例 26.1 研究牡蛎在不同温度的水中不同位置上的生长情况。有人做了如下试验：分别 在通向发电站的入口处（温度较低）不同位置（底部和表层）和出口处（温度较高）不同位 置（底部和表层）及电站附近的深水处（底部和表层的中间）总共 5 个不同位置点上，随机 地各放 4 袋牡蛎（每袋中有 10 个） ，共 5×4=20 袋。在将每袋牡蛎放入位置点之前，先洗干 净称出每袋的初始体重，放在 5 个不同点一个月后再称出最后体重。试验结果数据见表 26.1 所示。
设 0i 0 ai ，上式可以化简成
上海财经大学经济信息管理系IS/SHUFE
(26.2)
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y ij 0i xij ij
(26.3)
很明显 0i 是第 i 组回归线的截距，等于回归线的平均截距 0 加上本组的效应 a i 。这个 式揭示了，观察值 y ij 的模型可以表示成一组相似的回归线，且各组具有共同的回归系数 ， 和各组自己的截距 0i 0 ai 。 用 SAS 中的 glm 过程进行协方差分析时，要注意不同试验设计时 class 语句和 model 语 句的写法。设分类变量为 A、B，协变量为 X，观察值为 Y，则有： ①单因素 k 水平设计的协方差分析模型
1 x 27.2 28.6 28.6 0 24.6 x 32.0 26.8 22.4 21.8 19.6
2 y 36.6 31.7 29.1 27.0 23.4 x 33.0 26.5 23.2 30.3 25.1
3 y 37.7 30.7 28.9 36.4 30.3 x 26.8 26.8 24.4 24.3 18.1
表 26.2（a） 单因素 trt 一元 x 的协方差分析
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表 26.2(a)中结果分析：对分组变量 trt 的方差分析表明，即使当初始体重 x 不考虑，各分
The SAS System Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: Y Source Model Error DF 4 15 R-Square 0.553175 Source TRT DF 4 Sum of Squares 198.40700000 160.26250000 358.66950000 C.V. 10.59706 Anova SS 198.40700000 Root MSE 3.26866436 Mean Square 49.60175000 4.64 F Value Y Mean 30.84500000 Pr > F 0.0122 Mean Square 49.60175000 10.68416667 F Value 4.64 Pr > F 0.0122
Corrected Total 19
General Linear Models Procedure Dependent Variable: Y Source Model Error DF 5 14 R-Square 0.988228 Source TRT X Source TRT X DF 4 1 DF 4 1 Sum of Squares 354.44717675 4.22232325 358.66950000 C.V. 1.780438 Type I SS 198.40700000 156.04017675 Type III SS 12.08935928 156.04017675 T for H0: Parameter INTERCEPT Estimate 2.494859769 B Parameter=0 2.43 0.0293 Root MSE 0.54917622 Mean Square 49.60175000 156.04017675 Mean Square 3.02233982 156.04017675 Pr > |T| 164.47 517.38 F Value 10.02 517.38 F Value Y Mean 30.84500000 Pr > F 0.0001 0.0001 Pr > F 0.0005 0.0001 Mean Square 70.88943535 0.30159452 F Value 235.05 Pr > F 0.0001
y ij ai ( xij x ) ij
(26.1)
其中 x 为协变量，x ij 为协变量在分类水平 i 和 j 上的记录值，x 为所有协变量的平均值， 为 相关的回归系数。设 0 x ，为平均截距。上式可以化简成
y ij 0 ai xij ij
表 26.1 牡蛎在不同温度和位置上的生长数据
重复数 rep（x 为初始体重，y 为最后体重） 位置 trt 1（入口底部） 2（入口顶部） 3（出口底部） 4（出口顶部） 5（附近中部） 程序如下：
data growth; do trt=1 to 5; do rep=1 to 4; input x y @@; output; 上海财经大学经济信息管理系IS/SHUFE Page 2 of 8