分析力学综合习题08讲

分析力学习题

例1 半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为r 的

固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对

滑动，试写出圆环系统的哈密顿正则方程和运动微分方

程，并求微幅摆动的周期。

解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取θ为广义

坐标，圆环的动能为

其中O O r R v θ&)(-=，瞬心为A ，则

于是 22222222)()(21)(21θθθ&&&r R m R

r R mR r R m T -=-+-= 主动力有势，系统的势能为

V =－mg (R －r ) cos θ θθ

θθθθθsin )(0)(2d d )(222r R mg V T r R m T t r R m T -=∂∂=∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂&&&&

&

代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程：

即

0sin )(2=+-θθg r R && 考虑到微幅，有

周期为 g

r R )2(π2-=τ 由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数：

同样可以得到系统的动力学方程。

2. 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；写出系统的哈密顿正则方程，求此摆的运动微分方程。

解 这是单自由度保守系统，选θ为广义坐标，选θ = 0为系统的零势能位置，则

将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程

或将拉格朗日函数L = T - V 代入如下形式的拉格朗日

方程

皆可得运动微分方程

例3 三角楔块A 可沿水平光滑面作直线运动，楔

块A 的质量为m 1，其上受有简谐力F ＝

H sin ωt 的作用（H 和ω均为常量）。楔块斜

边BD 上有一质量为m 2、半径为r 的圆柱体，沿BD 滚动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为k 1和k 2。试建立系统的运动微分方程。

解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移x 和圆柱体相对于楔块的位移ξ为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。

楔块A 作平动，x v A &=，圆柱体作平面运动，质心速度v C 为

角速度ω为

系统的动能T 为

系统的势能V 为

在平衡位置有关系式

于是势能V 为

非有势力F 相应的广义力分别为

又，

代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程：

例4 图示系统中，半径为r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为m ，槽的半径为R 。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。

解：

若选择θ 为广义坐标，则系统微幅

振动时的能量为 222

])[(21ϕθ&&A I r R m T 1+-= (a) 其中，ϕ&为圆盘的角速度，I A = mr 2/2是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不

滑动的滚动时，存在有

)(r R r -=θϕ&& (b)

由此，得到

θϕ&&r

r R -= (c) 将式(c)代入式(a)，得到

22

243θ&⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

r r R mr T (d) 而系统的位能

2)(2

1)cos 1)((θθr R mg r R mg -≈--=∏ (e) 将T 与∏代入变分式

中，得到

d δ)(d δ)23-

δ)(23d δ)(δ23d )(2143δ2

12121212122222222=----=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰

t r R mg t r m(R r R m t r R mg r r R mr t r R mg r r R mr t t t t t t t t t t θθθθθθθθθθθθ&&&&&

(f)

由于，21t t t ==时，哈密顿原理要求δθ = 0，所以，式(f)满足时，必有 0)()(232=-+-θθr R mg r R m && (g)

式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。

例 1 设均质圆环A 的质量为m A ，半径为R ，置于光滑的水平面上。一均质圆盘B ，质量为m B ，半径为r ，试用拉格朗日方程的初积分求其沿圆环内壁由静止开始自ο30=α位置纯滚动至最低位置时的角速度。设R =3r ，m A =m B 。

解:此系统为三自由度。设Oxy 为固定坐标系，y x A ''为平动坐标系，B Ay 轴固结于圆环A 。以A 点的水平方向坐标x ，B Ay 轴于y A '轴的夹角θ,及直线AB 与x A '轴的夹角ϕ为三个广义坐标(见图a)。

不难看出（见图b ），圆环角速度θω&=A ，其中心A 的速度x v A &=。圆盘

角速度B ω及其中心B 的速度B v 必须利用运动学关系确定。将直线AB 看作

刚杆，取A 为基点，有

BA A B v v v += （1）

因为ϕϕ&&r r R v BA 2)(=-=，故根据余弦定理导出

圆盘沿圆环内壁作纯滚动，圆盘上的C 点和圆环上的C 点具有相同的速度。以圆盘为对象，取C 为基点，有

BC B v v v +=C （2）

以圆环为对象，取A 为基点，有

CA A C v v v += （3）

将式（1）、（3）代入（2），导出

上式中三个矢量的方向始终相同。由θ&R v CA =、B BC r v ω=可得

θϕθϕω&&&&322-=-=r

R r B （4） 可写出系统的动能为

以过A 点的水平面为零势能面，系统的势能为

系统的拉格朗日函数V T L -=中不显含x 和θ，存在两个循环积分：

1)sin (2C r x m x L =-=∂∂ϕϕ&&& （5）

2223227C mr mz L =-=∂∂ϕθ

θ&&& （6） 又L 中不显含时间t ，且2T T =，存在能量积分 3C V T =+ （7）

系统初始状态为ο30=ϕ，0===ϕθ&&&x

，代入以上三式，得021==C C ，mgr C -=3。将题目要求讨论的ο90=ϕ位置代入式（5）、（6），得到

29θϕ

&&=，9θϕ&&&r r x == 代入式（7），解得

将ϕ&和θ&代入式（4），求出

例2 半径为R 的均质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水平轴Oz 作定轴转动，绕Oz 的转

动惯量为J O 。半径为r 、质量为m 的

均质圆球O '沿其内壁作纯滚动。试写

出系统的运动微分方程。