根系关系,二次函数

一元二次方程根与系数的关系在二次函数综合题中的运用
1已知抛物线y 1=2
(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。

（1）使用a 、c 表示b ;
（2）判断点B 所在象限，并说明理由；
（3）若直线y 2=2x+m 经过点B ，且于该抛物线交于另一点C (,8c
b a
+),求当x ≥1时y 1的取值范围。

2如图，抛物线y=ax 2
+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．
（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究：
①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k 取何值，
的值都等于同一个常数．
3已知关于x 的二次函数y=x 2﹣2mx+m 2
+m 的图象与关于x 的函数y=kx+1的图象交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）；（x 1＜x 2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB 的长；
（2）当k=1，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k 为何值时，猜想△AOB 的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式）．
4如图所示，已知直线y kx m =+与x 轴、y 轴分别交于A 、
C 两点，抛物线2
y x bx c =-++经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当12x =-
时，y 取最大值254
. （1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P 是直线AC 上一点，且S ABP ：S BPC 1:3=，求点P 的坐标； （3）若直线1
2
y x a =
+与（1）中所求的抛物线交于M 、N 两点，问: ①是否存在a 的值，使得090MON ∠=？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当090MON ∠>时，a 的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，则M ，N 两点
1解析：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），
把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；
（2）B在第四象限．
理由如下：∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），
∴，
所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，
所以a＞0，且顶点在第四象限；
（3）∵，且在抛物线上，
∴b+8=0，∴b=﹣8，∵a+c=﹣b，∴a+c=8，
把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，
即解得：，
如图所示，C在A的右侧，
∴当x≥1时，．
2解析：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），
则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，
∴AO=AM；
（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，
消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，
x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
得
AB=|x
；
AB=
，得
AB=|x
，得
AB=|x
，得
•
4解析：（1）由题意得2
12(1)24(1)25
4(1)4b c b ⎧-=⎪⎪⨯-⎨⨯--⎪=
⨯-⎪⎩
解得{
16b c =-=
∴抛物线的解析式为2
6y x x =--+ ∴(3,0)A -，(2,0)B ∴直线AC 的解析式为26y x =+ ································· （2分） （2）分两种情况：
①点P 在线段AC 上时，过P 作PH x ⊥轴，垂足为H ∵
13
ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴
1
4AP AC = ∵PH ∥CO ∴14
PH AH AP CO AO AC === ∴32PH =，34AH = ∴9
4HO =
∴93(,)42
P -
②点P 在线段CA 的延长线上时，过P 作PG x ⊥轴，垂足为G
∵
13
ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴
1
2AP AC = ∵PG ∥CO ∴
12PG AG AP CO AO AC === ∴3PG =，32AG = ∴9
2
GO =
∴9
(,3)2
P --
综上所述，1
93(,)42P -或29
(,3)2
P -- ·
··························· （4分） （3）①方法1：假设存在a 的值，使直线1
2
y x a =+与（1）中所
求的抛物线2
6y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点（M 在
N 的左侧），使得090MON ∠=
由2
126
y x a y x x ⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩ 得2232120x x a ++-= ∴123
2x x +=-，126x x a ⋅=-
又1112y x a =+，221
2
y x a =+
∴121211
()()22y y x a x a ⋅=++
2121211
()42
x x x x a a =⋅+++
263
44
a a a -=
-+ ∵0
90MON ∠= ∴222OM ON MN += ∴
22222
11222121()(x y x y x x y +++=-+
∴12120x x y y ⋅+⋅=
∴263
6044
a a a a --+
-+= 即22150a a +-= ∴3a =-或5
2
a =
∴存在3a =-或5
2
a =使得090MON ∠= ······················ （3分）
方法2：假设存在a 的值，使直线1
2
y x a =+与（1）中所求的抛物
线2
6y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点（M 在x 轴上侧），使得090MON ∠=，如图，过M 作MP x ⊥于P ，过N 作
NQ x ⊥于Q
可证明 MPO △∽OQN △
∴
MP PO
OQ QN
=
即1122y x x y -= ∴1212x x y y -= 即12120x x y y ⋅+⋅= 以下过程同上 ②当5
32
a -<<时，090MON ∠> ······························ （1分）。