根系关系,二次函数

一元二次方程根与系数的关系在二次函数综合题中的运用

1已知抛物线y 1=2

(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。 （1）使用a 、c 表示b ;

（2）判断点B 所在象限，并说明理由；

（3）若直线y 2=2x+m 经过点B ，且于该抛物线交于另一点C (,8c

b a

+),求当x ≥1时y 1的取值范围。

2如图，抛物线y=ax 2

+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．

（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究：

①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k 取何值，

的值都等于同一个常数．

3已知关于x 的二次函数y=x 2﹣2mx+m 2

+m 的图象与关于x 的函数y=kx+1的图象交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）；（x 1＜x 2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB 的长；

（2）当k=1，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k 为何值时，猜想△AOB 的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式）．

4如图所示，已知直线y kx m =+与x 轴、y 轴分别交于A 、

C 两点，抛物线2

y x bx c =-++经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当12x =-

时，y 取最大值254

. （1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P 是直线AC 上一点，且S ABP ：S BPC 1:3=，求点P 的坐标； （3）若直线1

2

y x a =

+与（1）中所求的抛物线交于M 、N 两点，问: ①是否存在a 的值，使得090MON ∠=？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；

②猜想当090MON ∠>时，a 的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，则M ，N 两点

1解析：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），

把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；

（2）B在第四象限．

理由如下：∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），

∴，

所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，

所以a＞0，且顶点在第四象限；

（3）∵，且在抛物线上，

∴b+8=0，∴b=﹣8，∵a+c=﹣b，∴a+c=8，

把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，

即解得：，

如图所示，C在A的右侧，

∴当x≥1时，．

2解析：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），

∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），

则AO==m2+1，

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，

∴AO=AM；

（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；

②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），

则+=+==，

联立，

消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，

所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，

x12•x22=16，

∴+===1，

∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．

得

AB=|x

；

AB=

，得

AB=|x

，得

AB=|x

，得

•

4解析：（1）由题意得2

12(1)24(1)25

4(1)4b c b ⎧-=⎪⎪⨯-⎨⨯--⎪=

⨯-⎪⎩

解得{

16b c =-=

∴抛物线的解析式为2

6y x x =--+ ∴(3,0)A -，(2,0)B ∴直线AC 的解析式为26y x =+ ································· （2分） （2）分两种情况：

①点P 在线段AC 上时，过P 作PH x ⊥轴，垂足为H ∵

13

ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴

1

4AP AC = ∵PH ∥CO ∴14

PH AH AP CO AO AC === ∴32PH =，34AH = ∴9

4HO =

∴93(,)42

P -

②点P 在线段CA 的延长线上时，过P 作PG x ⊥轴，垂足为G

∵

13

ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴

1

2AP AC = ∵PG ∥CO ∴

12PG AG AP CO AO AC === ∴3PG =，32AG = ∴9

2

GO =

∴9

(,3)2

P --