弹性体的振动

将：
按上类似的方式可得
其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边界条 件确定。 典型的边界条件有以下几种：
(1)固定端 该处纵向位移为零，即有
(2)自由端 该处轴向内力为零，即有
(3)弹性支承 设杆的右端为弹性支承(如图 (a))，则此处轴向内力等于弹性力，即
(4)惯性载荷 设杆的右端附—集中质量块(图 (b))，则此处杆的轴向内力等于质量块的惯性 力，即
张力为T的弦振动－多自由度模型
根据牛顿第二定律，列出质点横向振动的微分 方程为
假定作微小振动，因此
考虑到Dxi=xi+1－xi＝li在微振动中保持不变。 进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1 ，即弦中张 力可近似看做常量T、并且有
在弦的两端有y0＝yn+1＝0。
写成矩阵形式，有
将上式两端向除以Dxi，得
其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振动形 态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将(6.2.9)代入 方程(6.2.6)，得到
上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，所以 要使上式对任意的x、t都成立，只有两边都等于 同一常数。设这一常数为a，有
只有当a为负数时，才能从上述第一个方程中确定 振动运动。所以，取 于是，上述方程改为
振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运 动叠加而成
对特定动力分析过程，选择什么形式的解 要视实际问题的需要来定。这既取决于扰 动源的性质，又取决于所考虑物体的相对 尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。
在一般机械系统中，直接进行振动分析更 为简单可行。
下面寻求方程（6.2.6) 的振动解。
观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现同步 振动，即在运动中，弦的各点同时达到最大幅值， 又同时通过平衡位置，而整个弦的振动形态不随 时间而变化。 用数学语言来说，描述弦振动的函数y(x,t)可以 分解为空间函数和时间函数的乘积，即
方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是
其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条 件(6. 2.7)，得 于是有
而由条件(6.2.15)可得
上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系 列特征值bi
所以系统的各阶固有频率为：
与其相应的特征函数，Fra Baidu bibliotek称振型函数为 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为
弦的自由振动可以表示为各阶主振动的叠加，即 有
其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。将初始条件 (6.2.8)代入上式，有
三角函数族具有正交性，即 由此可得
由以上讨论可见，张紧弦的自由振动 除了基频(最低频率p1)振动外，还可以 包含频率为基频整数倍的振动，这种 倍频振动亦称谐波振动。
6.3 导致一维波动方程的其它振动系统
轴的扭转振动
• 长为l的等截面直 园轴。设轴单位
体积的质量为r，
圆截面对其中心 的极惯性矩为Ip， 材料剪切弹性模 量为G。
弦的振动微分方程及其自由振动 直接就连续体来推导弦横 向振动的微分方程。如图 在弦作微振动 假设下，有
考虑到微元段在 水平方向的平衡， 弦中张力可近似看成是常量T
微元段的运动微分方程为 与方程(6.2.5)完全相同
讨沦无阻尼自由振动的情形。此时 p(x，t)＝0，
于是程(6.2.5)可写成
称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播速度。 要求给出系统的边界条件和初始条件
6.1 引言
前面各章在讨论振动问题时采用的都是集 中参数模型，它只有有限多个自由度，且 运动规律由常微分方程来确定。事实上， 它只是现实问题中的一类力学模型。客观 现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续 系统或分布参数系统)，它的物理参数是分 布型的，具有无限多个自由度，且运动规 律由偏微分方程来确定
讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足 以下假设条件：
• 1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克 定律。
• 通过对一些简单形状的弹性体的振动分析， 着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多 自由度系统振动的共同点与不同点。
6.2 一维连续系统振动弦振动
从有限多自由度模型到无限多 自由度模型
－连续系统
• 由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有 共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的 一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相 应的地位和发展。
• 在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无 限多个；
• 主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些 振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加 权正交性；
方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种是波 动解，另一种是振动解。 波动解将弦的运动表示为
即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进 波的叠加。 振动解则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠 加，各点的振幅在空间按特定的模式分布
两种解从不同的角度描述了弦的运动，各 有其特点。
波动解能形象直观地描述波动过程，给出 任何时划清晰的波形，但求解比较复杂；
比较典型的有： 杆的纵向振动 轴的扭转振动
以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻 的纵向位移。在杆上取微元段dx，它 的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二 定律，它的运动方程为
将它代入式(6.3.1)并化简，得
可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波 动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变 量法
• 在线性振动问题中，叠加原理以及建立在这一 原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率 响应法等同样适用于弹性体振动分析。
• 在考察实际振动问题时，究竟该采用 那一类力学模型，得根据具体对象作 具体处理。例如。飞机蒙皮一般取为 薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。 涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。
• 当考察振动体内弹性波的传播问题时， 就得采用弹性体模型。
随着质点数n的增加。质点间的距离Dxi越来越小， 弦上各质点的位移yi(t)将趋于—连续函数y(x,t)。 同时
分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上单位长度 上的载荷
于是方程(6．2．4)演化为一阶偏微分方程
其边界条件 可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方 程(6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力 作用的响应，这种做法在实际问题中常 常用到。 若把弦作为连续系统，精确地确定系统 的响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。