刚体变轴转动中的角动量守恒
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刚体角动量守恒定律
转动动能定理、角动量守恒原理一，转动动能定理：1， 力矩的功设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为：ϕθϕθMd Frd ds F ds F dA o ==-⋅=⋅=sin )90cos(所以力矩的功为：⎰⎰==21ϕϕϕMd dA A2， 转动动能定理设M 为作用刚体上的合外力矩。
将转动定律应用于功的定义中：222121)(0ωωωωϕωϕβϕωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====⎰⎰⎰⎰ 所以转动动能定理为：222121ωωϕJ J Md -=⎰ 说明，（1）⎰ϕMd 为合外力矩的功，是过程量221ωJ E K =为刚体在t 时刻的转动动能。
是时刻量。
（2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。
【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。
解：取细棒为研究对象，视之为刚体。
细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。
由功的定义：2cos 2)90sin(2900l mg d l mg d lmg Md o o ===-=⎰⎰⎰θθθθθ由转动动能定理：lgml J l mg 331210212222=∴⎪⎭⎫⎝⎛=-=ωωω二，角动量守恒定律设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：dtdLdt J d dt d J J M ====)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为00L L dL Mdt LL tt -==⎰⎰特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。
即刚体定轴转动角动量守恒定律为：常矢==L M 0说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。
（2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。
（3）⎩⎨⎧==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
P
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
角动量守恒原理：角动量在不受外力的情况下保持不变的原理
角动量守恒原理：角动量在不受外力的情况下保持不变的原理第一章：引言角动量是物体旋转运动的重要物理量，它描述了物体旋转时的动量。
在自然界中，角动量在不受外力作用的情况下保持不变，这一原理被称为角动量守恒原理。
本文将介绍角动量的概念、计算方法以及角动量守恒原理的基本内容。
第二章：角动量的概念角动量是描述物体绕某一轴旋转运动时的动量，它与物体的质量、转动轴和角速度有关。
角动量的计算公式为L = Iω，其中L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示角速度。
物体的转动惯量描述了物体绕着某一轴旋转时对于改变自身状态的抵抗能力，它与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。
第三章：角动量的计算方法要计算物体的角动量，需要知道物体的质量、转动轴和角速度。
对于简单的系统，可以使用简化的计算方法。
例如，对于刚体绕固定轴旋转的情况，可以使用角动量公式L = Iω进行计算。
而对于复杂的系统，可以通过积分的方法来计算物体的转动惯量。
第四章：角动量守恒原理的基本内容角动量守恒原理是指在没有外力作用的情况下，系统的总角动量保持不变。
这意味着系统内部发生的旋转运动不会改变系统的总角动量。
例如，当一个刚体在没有外力作用下绕固定轴旋转时，刚体的角动量保持不变。
这是因为刚体内部各部分的角动量相互抵消，总角动量保持不变。
第五章：角动量守恒原理的应用角动量守恒原理在物理学的研究中有着广泛的应用。
在天体力学中，角动量守恒原理被用来解释行星绕太阳旋转的原因。
由于太阳系是一个封闭系统，在没有外力作用的情况下，行星绕太阳的角动量保持不变。
在量子力学中，角动量守恒原理被用来解释原子和分子的旋转行为。
在工程领域中，角动量守恒原理被用来分析和设计旋转机械设备，例如风力发电机和涡轮机。
第六章：角动量守恒原理的实验验证角动量守恒原理已经通过大量的实验进行了验证。
其中一个经典的实验是陀螺实验。
陀螺是一个具有自由旋转的物体，当陀螺开始旋转时，由于角动量守恒原理，陀螺的轴会保持固定方向。
力学中的角动量守恒知识点总结
力学中的角动量守恒知识点总结在力学中，角动量守恒是一个重要的概念。
角动量守恒指的是，在没有外力矩作用的情况下，系统的角动量保持不变。
本文将对力学中的角动量守恒进行详细的知识点总结。
一、角动量的定义在力学中，角动量（Angular momentum）是描述物体转动状态的重要物理量。
它与旋转质量、角速度以及物体与旋转轴之间的距离有关。
角动量的定义为：L = Iω其中，L是角动量，I是物体对于旋转轴的转动惯量，ω是角速度。
二、角动量守恒的基本原理角动量守恒的基本原理可以通过力矩的定义来解释。
根据力矩的定义，我们知道系统的总力矩等于物体对旋转轴的角动量的时间变化率。
当系统的总力矩为零时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。
三、角动量守恒的条件角动量守恒的条件有两个：1. 系统中没有外力矩作用：只有在没有外力矩作用的情况下，系统的角动量才能保持不变。
外力矩的作用会改变物体的角动量。
2. 系统中没有剩余内部力矩：剩余内部力矩是指系统内部各个物体间相互作用产生的力矩。
若系统中存在剩余内部力矩，则系统的角动量将发生变化。
四、角动量守恒的应用角动量守恒在力学中有着广泛的应用，下面列举一些常见的应用：1. 刚体转动：在刚体转动过程中，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变。
这可以用来解释陀螺仪的原理和行星绕太阳运动的规律。
2. 行星运动：根据角动量守恒定律，行星绕太阳的运动过程中，行星的角动量保持不变。
这解释了行星在椭圆轨道上运动的原理。
3. 自行车滑行：当骑自行车的人抬起双脚滑行时，由于没有外力矩作用，人和自行车的角动量保持不变。
这解释了为什么人和自行车能够保持平衡。
4. 飞盘的旋转：当人抛出飞盘时，飞盘的角动量保持不变。
这也是为什么飞盘能够在空中旋转的原因。
五、小结角动量守恒是力学中的一个重要概念，它描述了系统在没有外力矩作用的情况下，角动量保持不变的规律。
角动量守恒在刚体转动、行星运动、自行车滑行等许多方面都有着广泛的应用。
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
第四章 刚体的定轴转动
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
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8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
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物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
定轴转动刚体的角动量守恒定律
§3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 一、 刚体对转轴的角动量 质点作圆周运动时，角动量的方向均不变， 质点作圆周运动时，角动量的方向均不变， 大小为
L = mvR
刚体对轴的角动量就是刚体上各质元对各自转动 中心的角动量的和
L = ∑ ∆mi vi ri = ∑ ∆mi ri ω
2 i i
= Jω
M =0
不变， 不变； 2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， ω ω 也变， 但 3）在冲击等问题中 冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 >>外力矩
太原理工大学物理系
4）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
太原理工大学物理系
二、刚体定轴转动的角动量定理 对质点系而言
dL =M dt
Mdt = t1
Mdt = ∫ dL = L末 − L初 = Jω − Jω 0
t1
t2
太原理工大学物理系
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 等于零 如合外力矩等于零 合外力矩等于
L = J ω = co n st.
∑
i
J iωi = ∑ J i 0ωi 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。 固定轴而言的。
r2
ω
r1
太原理工大学物理系
长为l 的均匀细棒， 例1 一根质量为 M ，长为 的均匀细棒，可绕通 平面内转动。 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 r 静止， 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v 0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的， 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与帮碰 r 撞后粘在一起， 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度 ω
L = mvR
刚体对轴的角动量就是刚体上各质元对各自转动 中心的角动量的和
L = ∑ ∆mi vi ri = ∑ ∆mi ri ω
2 i i
= Jω
M =0
不变， 不变； 2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， ω ω 也变， 但 3）在冲击等问题中 冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 >>外力矩
太原理工大学物理系
4）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
太原理工大学物理系
二、刚体定轴转动的角动量定理 对质点系而言
dL =M dt
Mdt = t1
Mdt = ∫ dL = L末 − L初 = Jω − Jω 0
t1
t2
太原理工大学物理系
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 等于零 如合外力矩等于零 合外力矩等于
L = J ω = co n st.
∑
i
J iωi = ∑ J i 0ωi 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。 固定轴而言的。
r2
ω
r1
太原理工大学物理系
长为l 的均匀细棒， 例1 一根质量为 M ，长为 的均匀细棒，可绕通 平面内转动。 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 r 静止， 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v 0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的， 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与帮碰 r 撞后粘在一起， 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度 ω
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
大学物理角动量守恒与刚体的定轴转动
62钟摆绕o轴转动惯量jo等于杆绕o的转动惯量加上盘绕o的转动惯量63圆环转轴通过中心与盘面垂直常见刚体转动惯量64薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直12mlmr细棒转轴通过中心与棒垂直12细棒转轴通过端点与棒垂直672r球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径68质点系的角动量定理
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4）以上结果都不对。
小议分析
质点系 若 T1 T2
系统的末 态角动量 忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱，两人等速上升。
得
若 同高从静态开始 往上爬
系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
某过程角动量守恒要求整个过程的每个瞬间的系统角动量 保持不变。 角动量守恒条件是合外力矩始终为零，而非冲量矩为零
（只要初末状态角动量相等）
O
m
t2
b
O
t1
M dt L2 L1
以O’为参考点，球运动一周，始末状态角动量 相等，但是这个过程角动量不守恒。
L mvb
π （b与v夹角为 ） 2
( e)
( e)
外力矩：系统所受外力对质点i 的
力矩
量定理
对其中的一个质点i而言：
Li ri Fi ri (Fi (i ) Fi (e) ) Mi (i ) Mi (e)
对整个质点系而言：
(i ) (e) dLi dL (i ) (e) ri ( Fi Fi ) M i M i dt dt i i i i
质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量. 这是质点角动量定理的积分形式
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4）以上结果都不对。
小议分析
质点系 若 T1 T2
系统的末 态角动量 忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱，两人等速上升。
得
若 同高从静态开始 往上爬
系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
某过程角动量守恒要求整个过程的每个瞬间的系统角动量 保持不变。 角动量守恒条件是合外力矩始终为零，而非冲量矩为零
（只要初末状态角动量相等）
O
m
t2
b
O
t1
M dt L2 L1
以O’为参考点，球运动一周，始末状态角动量 相等，但是这个过程角动量不守恒。
L mvb
π （b与v夹角为 ） 2
( e)
( e)
外力矩：系统所受外力对质点i 的
力矩
量定理
对其中的一个质点i而言：
Li ri Fi ri (Fi (i ) Fi (e) ) Mi (i ) Mi (e)
对整个质点系而言：
(i ) (e) dLi dL (i ) (e) ri ( Fi Fi ) M i M i dt dt i i i i
质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量. 这是质点角动量定理的积分形式
刚体定轴转动角动量守恒定律解析
MR2
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
刚体的转动 角动量守恒定律
L
r
mv
二.力矩
M
r
F
大小：M
方向： r
rF F
sin
单位： N m 量纲： ML2T 2
三.角动量定理
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时
间的变化率
M
dL
dt
2.8 角动量 角动量守恒定律
一L.角动r量 mv二.力M矩 r三.角F动量定理
M
dL
dt
四.角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质 点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定
x dx
IB
1 3
m L2
1 mL2 12
m
L 2
2
B A h O质
IC
1 XmL2 12
IA
1 12
m L2
m h2
IB
1 mL2 12
m
L
2
2
平行轴定理：绕任意轴的转 动惯量等于绕过质心的平行 的转动惯量加上质量与两轴 间距的平方
I IC md2
d
A
C
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与 环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
质心运动定理反映了物体的平动规律。
2.刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆 周运动，称为刚体作定轴转动。
3.刚体的一般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示 为一个随质心的平动加上绕质心的转动。
三. 刚体定轴转动的特点
每一质点都作圆心在轴上，圆平面垂直轴，
且角位置.角速度.角加速度都相同的圆周运动
复习
冲量：
dI Fdt
I
动量定理：
刚体的角动量
对上式积分得到角动量定理旳积分形式
t2 t1
M z dt
J2
J1
该式表达：动量旳增量等于力矩对定轴转动刚体
旳时间累积效应
10
三、刚体对转轴旳角动量守恒定律
M zdt dLz dJ
假如 Mz = 0, 则 dLz d( J ) 0 Lz J 恒量
刚体对转轴旳角动量守恒定律 当定轴转动旳 刚体所受外力对转轴旳合力矩为零时,刚体对同一 转轴旳角动量不随时间变化。
满足百分比关系旳最大应力，σE
称百分比极限（ P）。点E 旳应力E是发生弹性形变旳
σP
最大应力，称弹性极限。当
B
EC P
应力 >E时，发生塑性形变。
点C 相应旳应力为 C，若
把外力撤除，固体旳应力与
o o′
ε
应变旳关系沿O C变化，留下一定旳剩余形变OO。
当应力到达点 B 相应旳应力 B时，固体就断裂， B称强度极限。
(1 2
m1R2
m2R2 )1
1 2
m1 R 22
2
1 2
m1R2 m2
1 2
m1R
2
R2
1
1 2
m1 1 2
m2 m1
1
2.31rad
s 1
19
质点直线运动或刚体平动 位移 速度 加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
刚体旳定轴转动 角位移 角速度 角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
20
dt
d dt
(J)
试验表白, 此式更具普遍性。
由上式得到
Mz
d dt
( J)
dLz dt
刚体对转轴旳角动量定理 作定轴转动旳刚体
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-5 刚体的角动量定理和
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
刚体的角动量守恒刚体的角动量定理若刚体的合外力矩等于零
刚体是一种特殊的质点组。任意质点间相对位置不变
刚体
4/13/2021 4:00 PM
无穷质点组合 （质点组）
刚体运动
质点组的 运动
2
2.
刚体的受力模型
第 i 个质点受力 Fi FiE
f ij
ji
整个质点组（刚体）受力
=0
F Fi FiE
fij 内力演示
i
i
i ji
FiE
i
y
刚体受到的力矩 相对O点的力矩
9
2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴 的转动惯量 等于 刚体过质心且平行 这一转动轴的转动 惯量 再加上刚体
I Ic md2
I
Ic
I
dm ( x2 y2 )
o
x
d
oc dm y
dm [(xc x)2 ( yc y)2 ]
质量乘上两平行轴
之间的距离的平方。
dm [(xc2 Ic md2
F
mi ai mac
i
刚体的平动
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等
于刚体质量的质点的运动。
运动特征：
miai
miai
ac
i
m
i
mi
对应质点位置矢量：
i mi ri
rc
i
m
更一般表述：
rc
rdm
rdV
4/13/2021 4:00 PM
dm dV
刚体的 质心
5
2 刚体绕某点（如质心）
20
例3.10 陀螺仪与进动 END 4/13/2021 4:00 PM
Mgl
L
Mgl L d L
相关主题
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性）： ，轴为刚体的固定 转轴， 角速度为 。， 方 向沿 ：轴 正 向． 为 Ｂ
整个刚体相对 Ａ轴的角动量为
图 一 定 ， ３ ： 上 固 点 勿面 任
位矢为 ｒ． Ｂ作一平行于： Ｂ过 轴的平行线， Ｂ 称为
轴． 相对 Ｂ轴 ， 刚体的角动量计算如下．
Ｌ｛ 二，。Ｘ Ｘｄ 二：｛一）（ ・ ｄ （ 。） ｍ
速度。 转动， 角动量为Ｌ ＝了 则它相对于任一 ｃ 加．
与Ｃ 轴平行的固定轴Ａ的角动量均为了。 吞．
证 明： 图 １ 所示， 如 将坐标系的原点 口选在 质心 Ｃ上 （ 这不失一般
【 】 木棒绕Ａ 例２ 开始时 点以角速度。 转动， 现
突然使其绕质心 Ｃ 转动， 求其转动角速度 以． 直观上， 这似乎是一可逆的问题， 其实却有很
度系数的基本思路．
解： 由胡克定律ｆ二ｋ ； ｌ 及ｆ二ｋ Ｚ ｘ Ｚ， ｘ 可知
ｋ ｋ 二ｘ／ Ｚ Ｚ ｌ ｌｘ ／
的重力是多少？
题型发散
某弹簧发生弹性形变， 当作用在弹簧上的拉力 增加 乙 Ｆ时， 弹簧的总长度增加 山 ， 问弹簧的劲度 系数ｋ 是多少？ 下 分析： 在如图 ／ １ 盯土 １ 所示的弹力 Ｆ和 ／ １ １ 其长度二 的关系图 １ 尔 冲 象中， Ｆ 山 也等 乙 ／ 于图线的斜率．
迁移发散
中学物理应注重发散思维的教学和辅导， 这是 时代的要求， 也是适应未来“ 智力社会” 的需要． 发 散思维具有多端性、 变通性、 独特性的特点 ， 即思考
ｋ ＝ 乙厂／ 比 乙
问题时注重多途径（ 不同的物理规律）多方案（ 、 不 同的实验原理）解决问题时注重举一反三， ， 触类旁
上式右边第一项即为刚体绕Ａ 轴的角动量几 ， ．第
入 刃
一 ７ 一
２ １ ） Ｘ （ 年第 １ 期
物 理 通报
物理教学讨论
浅议学生发散思维能力的培养
唐俊丽
（ 宝安中 学 广东深刀 ５ １ ） １ １０ １ ５１
解： 由胡克定律知弹簧的劲度系数 ｋ 为 启示： 公 上解中 Ｆ二无劣 必 实为胡克定律的增量 式（ 或叫变通公式）
３０ ３ ２３１ ）
【 １ 一长为 １质量 例］ ，
为 ｎ的均匀细棒 ， ｚ 在光滑的 平面上绕质心 Ｃ做无滑动
定理及质心运动定理解答川， 但用角动量守恒定理
解答更为简明． 因为在变轴过程中， 如果冲力作用 在新的转轴上， 则相对于新的转轴来说， 冲力矩为 零． 因此， 相对于新的转轴， 变轴前后系统的角动量 守恒． 问题是： 变轴前系统实际上绕原固定轴转动， 那么它相对于新固定转轴的角动量怎样计算呢？ 这 要用到下面的一个命题．
人 。＝ 了 了 网
二项中介和０是常数， ， 所以
丁ｘ Ｘｄ二 Ｘｏ， 。 （ ・ 。丁 Ｘｄ 。） ｍ （ ） ， ｍ 、 ｘ（ ｘ ，） ， ｏ 丁 ｄ ｍ
叮 召 。ｘｒ） 『 ｘ（ ｃ
和 Ｌ＝几 ｒ枷 二 甲一ｍ 介
因 此
Ｌ二Ｊ 一 ｘ ｏｘ ） ， Ｂ ｏ ｒ ’ ｍ （ ｒ ， ｃ
１． ３ 印 ９ １
一平行于： 轴的平行线 称为 Ａ轴． 相对 Ａ轴 ， 刚体 的角动量计算如下． 在刚体上取一微元 ｄ 速度为 。 ｘｒ相对 Ａ ｍ， ， 轴的角动量为
ｄ 二（ 一‘） 。减ｒ ｍ Ｌ ｒ ｘ（ ） ｄ
证 明： 图 ３所 如 示， 将坐标系的原点 ０
选在Ａ 这不失一般 上（
进行多思、 多解、 多变的解题能力培养． ［ １一个轻弹簧下端挂１ Ｎ 例］ ０ 的重物， 弹簧伸
长 ２ ｍ 现挂一重物后 ， 。． 弹簧伸长 ３ ｍ 问所挂重物 ｃ．
分析： Ｌ 的弹簧匝数为 Ｎ， 若原长 ｌ ｌ 截短为 肠 的弹簧匝数为从， 在相同拉力作用下弹簧 Ｌ 的伸 ， 长量为ｘ， ｌ 弹簧场的伸长量为ｘ， Ｚ 它们的 关系应为 Ｌ： ｌ 场＝Ｎ ： 二：：Ｚ Ｉ 从 ， ｘ， 这是计算截短后弹簧劲
｛・ Ｘｄ＝ Ｘｏ・ 。（ ， 。 丁 Ｘｄ 。） ｍ （ ） ， ｍ 。（ 丁 ） ｘ Ｘｄ 。・ ｍ
挤通 ｏｘｒ）＝０ 少 ｘ（ ， ｃ
因此
Ｌ ＝
整个刚体相对 Ｂ轴的角动量为
Ｌ 丁 丁 ，（ 尸 ＝一。ｘ ｘ‘ ＝Ｌ （ ｄ ‘， Ｚ ｎ
＝ 、 Ｘｄ ｛・ 二‘ ！（ ・ 一 ‘ ， ，。 ） 。 。 ｍ ｍ
＝Ｘ Ｘｄ 。 。 ， 丁 ‘ ・ 丁（ ・ 一 Ｘ Ｘｄ ；。 ） ｍ 邢
上式右边第一项即为刚体绕 Ｃ轴的角动量了 第 夕． 二项中‘和口是常数． 所以
在刚体上取一微元 ｄ 速度为 ｏ ｘｒ相对 Ｂ ｍ， ， ，
轴的角动量为
ｄ ＝（ 一助） ｏｘｒ ）ｍ Ｌ ｒ ｘ（ ， ｄ
通． 物理教学除了让学生掌握一定的物理知识和实
验技能外， 更重要的是培养和拓展学生的发散思维
能力．
某弹簧原长５ ｍ其劲度系数无二１ ，／ ． ０ ｃ ， １ ０ Ｎｍ 汉 如果把它截短为４ ｃ ， ０ ｍ则新弹簧的劲度系数 气是
多少？
发散思维能力的培养 — 借助具体实例， 采 用题型发散、 解法发散、 迁移发散、 应用发散、 向 逆 发散、 隐含条件发散、 图象发散等多种形式 ， 对学生
命题 １一刚体绕通过其质心 Ｃ的固定轴以角 ：
图２
பைடு நூலகம்
的转动， 角速度为 。 若棒 ． 突然绕某一端点 Ａ转动， 求其转动角速度 以． 解： １ 由命题 可知
了 ＝７ ， 以 ＝。 夕 油 倒 ４ ／
与文献〔 的结论一致． ］ １ 现在我们分析一下例题 １ 的反过程．
２１ ） Ｘ （ 年第 １ 期
物理通报
物理教学讨论
刚 变 转 的 动 守 体 轴 动中 角 量 恒
吴约才
（ 蚌埠坦克学院 物理教研室 角动量守恒定理通常是相对固定转轴而言， 对 户 某些变轴转动的问题（ 如下文例题）可用冲量矩 ， 安徽 蚌埠
命题 １ 得证 ．
连接， 弹簧下端与地面连接， 乙两弹簧质量不 乙 甲、 计， 其劲度系数分别为ｋ、 ． ｌＺ ｋ 起初甲 弹簧处于自由
长度， 现用手将甲弹簧的 Ａ端缓慢上提， 使乙弹簧 产生的弹力大小变为原来的 ２ ， Ａ端上移的距 ３ ／ 则
体相对 Ｂ轴的角动量为
命题 ２ 得证 ．
将此结论应用到例题 ２则有 ，
参考文献
ｃ 心 位 矢 是 变 ． 质 Ｃ好 ｒ 质 的 置 量，一 量 ｔ 刻 心 正 是 时
与Ｂ 重合， ｔ 则 时刻有介 ＝ｒ． ｃ 因此，时刻整个刚 ｔ
１周 生等 物 学 题 ．京东 大 出 社 遥 ，．理 习 解 南 ：南 学 版
图ｌ
则
翔 ｘ 二Ｌ 肠 ／ Ｚ Ｉ ／ 棍 ｋ 二Ｌ 肠 ／ ｌ Ｉ ／
ｋ ＝ｋＬ／ Ｚ ｌＩ场
碗 ＝５ ｘｌＸ 如Ｎ （ 户 ／ｍ二１２ ｘｌ ／ｍ ０ Ｘ ） ． ５ 护Ｎ
应用发散
如图２ 物块质量为 Ｍ， 所示， 与甲、 乙两弹簧相
大的不同． 为此我们讨论命题 ２ ．
命题２一刚体绕一固定轴 Ａ以角速度。转动， ：
性） 轴为刚体的固定转 ： ， 轴， 角速度为 。沿： 轴正
图１
角动量为２ ． 时刻它相对于与Ａ 刁 则ｔ 列 轴平行的固定 轴 Ｂ的角动量为了 其中，时刻质心Ｃ 倒． ｔ 与Ｂ点相
重合 ．
向． 勿 面上任一固 Ａ为ｘ 定点， 位矢为八 过Ａ ． 作
整个刚体相对 Ａ轴的角动量为
图 一 定 ， ３ ： 上 固 点 勿面 任
位矢为 ｒ． Ｂ作一平行于： Ｂ过 轴的平行线， Ｂ 称为
轴． 相对 Ｂ轴 ， 刚体的角动量计算如下．
Ｌ｛ 二，。Ｘ Ｘｄ 二：｛一）（ ・ ｄ （ 。） ｍ
速度。 转动， 角动量为Ｌ ＝了 则它相对于任一 ｃ 加．
与Ｃ 轴平行的固定轴Ａ的角动量均为了。 吞．
证 明： 图 １ 所示， 如 将坐标系的原点 口选在 质心 Ｃ上 （ 这不失一般
【 】 木棒绕Ａ 例２ 开始时 点以角速度。 转动， 现
突然使其绕质心 Ｃ 转动， 求其转动角速度 以． 直观上， 这似乎是一可逆的问题， 其实却有很
度系数的基本思路．
解： 由胡克定律ｆ二ｋ ； ｌ 及ｆ二ｋ Ｚ ｘ Ｚ， ｘ 可知
ｋ ｋ 二ｘ／ Ｚ Ｚ ｌ ｌｘ ／
的重力是多少？
题型发散
某弹簧发生弹性形变， 当作用在弹簧上的拉力 增加 乙 Ｆ时， 弹簧的总长度增加 山 ， 问弹簧的劲度 系数ｋ 是多少？ 下 分析： 在如图 ／ １ 盯土 １ 所示的弹力 Ｆ和 ／ １ １ 其长度二 的关系图 １ 尔 冲 象中， Ｆ 山 也等 乙 ／ 于图线的斜率．
迁移发散
中学物理应注重发散思维的教学和辅导， 这是 时代的要求， 也是适应未来“ 智力社会” 的需要． 发 散思维具有多端性、 变通性、 独特性的特点 ， 即思考
ｋ ＝ 乙厂／ 比 乙
问题时注重多途径（ 不同的物理规律）多方案（ 、 不 同的实验原理）解决问题时注重举一反三， ， 触类旁
上式右边第一项即为刚体绕Ａ 轴的角动量几 ， ．第
入 刃
一 ７ 一
２ １ ） Ｘ （ 年第 １ 期
物 理 通报
物理教学讨论
浅议学生发散思维能力的培养
唐俊丽
（ 宝安中 学 广东深刀 ５ １ ） １ １０ １ ５１
解： 由胡克定律知弹簧的劲度系数 ｋ 为 启示： 公 上解中 Ｆ二无劣 必 实为胡克定律的增量 式（ 或叫变通公式）
３０ ３ ２３１ ）
【 １ 一长为 １质量 例］ ，
为 ｎ的均匀细棒 ， ｚ 在光滑的 平面上绕质心 Ｃ做无滑动
定理及质心运动定理解答川， 但用角动量守恒定理
解答更为简明． 因为在变轴过程中， 如果冲力作用 在新的转轴上， 则相对于新的转轴来说， 冲力矩为 零． 因此， 相对于新的转轴， 变轴前后系统的角动量 守恒． 问题是： 变轴前系统实际上绕原固定轴转动， 那么它相对于新固定转轴的角动量怎样计算呢？ 这 要用到下面的一个命题．
人 。＝ 了 了 网
二项中介和０是常数， ， 所以
丁ｘ Ｘｄ二 Ｘｏ， 。 （ ・ 。丁 Ｘｄ 。） ｍ （ ） ， ｍ 、 ｘ（ ｘ ，） ， ｏ 丁 ｄ ｍ
叮 召 。ｘｒ） 『 ｘ（ ｃ
和 Ｌ＝几 ｒ枷 二 甲一ｍ 介
因 此
Ｌ二Ｊ 一 ｘ ｏｘ ） ， Ｂ ｏ ｒ ’ ｍ （ ｒ ， ｃ
１． ３ 印 ９ １
一平行于： 轴的平行线 称为 Ａ轴． 相对 Ａ轴 ， 刚体 的角动量计算如下． 在刚体上取一微元 ｄ 速度为 。 ｘｒ相对 Ａ ｍ， ， 轴的角动量为
ｄ 二（ 一‘） 。减ｒ ｍ Ｌ ｒ ｘ（ ） ｄ
证 明： 图 ３所 如 示， 将坐标系的原点 ０
选在Ａ 这不失一般 上（
进行多思、 多解、 多变的解题能力培养． ［ １一个轻弹簧下端挂１ Ｎ 例］ ０ 的重物， 弹簧伸
长 ２ ｍ 现挂一重物后 ， 。． 弹簧伸长 ３ ｍ 问所挂重物 ｃ．
分析： Ｌ 的弹簧匝数为 Ｎ， 若原长 ｌ ｌ 截短为 肠 的弹簧匝数为从， 在相同拉力作用下弹簧 Ｌ 的伸 ， 长量为ｘ， ｌ 弹簧场的伸长量为ｘ， Ｚ 它们的 关系应为 Ｌ： ｌ 场＝Ｎ ： 二：：Ｚ Ｉ 从 ， ｘ， 这是计算截短后弹簧劲
｛・ Ｘｄ＝ Ｘｏ・ 。（ ， 。 丁 Ｘｄ 。） ｍ （ ） ， ｍ 。（ 丁 ） ｘ Ｘｄ 。・ ｍ
挤通 ｏｘｒ）＝０ 少 ｘ（ ， ｃ
因此
Ｌ ＝
整个刚体相对 Ｂ轴的角动量为
Ｌ 丁 丁 ，（ 尸 ＝一。ｘ ｘ‘ ＝Ｌ （ ｄ ‘， Ｚ ｎ
＝ 、 Ｘｄ ｛・ 二‘ ！（ ・ 一 ‘ ， ，。 ） 。 。 ｍ ｍ
＝Ｘ Ｘｄ 。 。 ， 丁 ‘ ・ 丁（ ・ 一 Ｘ Ｘｄ ；。 ） ｍ 邢
上式右边第一项即为刚体绕 Ｃ轴的角动量了 第 夕． 二项中‘和口是常数． 所以
在刚体上取一微元 ｄ 速度为 ｏ ｘｒ相对 Ｂ ｍ， ， ，
轴的角动量为
ｄ ＝（ 一助） ｏｘｒ ）ｍ Ｌ ｒ ｘ（ ， ｄ
通． 物理教学除了让学生掌握一定的物理知识和实
验技能外， 更重要的是培养和拓展学生的发散思维
能力．
某弹簧原长５ ｍ其劲度系数无二１ ，／ ． ０ ｃ ， １ ０ Ｎｍ 汉 如果把它截短为４ ｃ ， ０ ｍ则新弹簧的劲度系数 气是
多少？
发散思维能力的培养 — 借助具体实例， 采 用题型发散、 解法发散、 迁移发散、 应用发散、 向 逆 发散、 隐含条件发散、 图象发散等多种形式 ， 对学生
命题 １一刚体绕通过其质心 Ｃ的固定轴以角 ：
图２
பைடு நூலகம்
的转动， 角速度为 。 若棒 ． 突然绕某一端点 Ａ转动， 求其转动角速度 以． 解： １ 由命题 可知
了 ＝７ ， 以 ＝。 夕 油 倒 ４ ／
与文献〔 的结论一致． ］ １ 现在我们分析一下例题 １ 的反过程．
２１ ） Ｘ （ 年第 １ 期
物理通报
物理教学讨论
刚 变 转 的 动 守 体 轴 动中 角 量 恒
吴约才
（ 蚌埠坦克学院 物理教研室 角动量守恒定理通常是相对固定转轴而言， 对 户 某些变轴转动的问题（ 如下文例题）可用冲量矩 ， 安徽 蚌埠
命题 １ 得证 ．
连接， 弹簧下端与地面连接， 乙两弹簧质量不 乙 甲、 计， 其劲度系数分别为ｋ、 ． ｌＺ ｋ 起初甲 弹簧处于自由
长度， 现用手将甲弹簧的 Ａ端缓慢上提， 使乙弹簧 产生的弹力大小变为原来的 ２ ， Ａ端上移的距 ３ ／ 则
体相对 Ｂ轴的角动量为
命题 ２ 得证 ．
将此结论应用到例题 ２则有 ，
参考文献
ｃ 心 位 矢 是 变 ． 质 Ｃ好 ｒ 质 的 置 量，一 量 ｔ 刻 心 正 是 时
与Ｂ 重合， ｔ 则 时刻有介 ＝ｒ． ｃ 因此，时刻整个刚 ｔ
１周 生等 物 学 题 ．京东 大 出 社 遥 ，．理 习 解 南 ：南 学 版
图ｌ
则
翔 ｘ 二Ｌ 肠 ／ Ｚ Ｉ ／ 棍 ｋ 二Ｌ 肠 ／ ｌ Ｉ ／
ｋ ＝ｋＬ／ Ｚ ｌＩ场
碗 ＝５ ｘｌＸ 如Ｎ （ 户 ／ｍ二１２ ｘｌ ／ｍ ０ Ｘ ） ． ５ 护Ｎ
应用发散
如图２ 物块质量为 Ｍ， 所示， 与甲、 乙两弹簧相
大的不同． 为此我们讨论命题 ２ ．
命题２一刚体绕一固定轴 Ａ以角速度。转动， ：
性） 轴为刚体的固定转 ： ， 轴， 角速度为 。沿： 轴正
图１
角动量为２ ． 时刻它相对于与Ａ 刁 则ｔ 列 轴平行的固定 轴 Ｂ的角动量为了 其中，时刻质心Ｃ 倒． ｔ 与Ｂ点相
重合 ．
向． 勿 面上任一固 Ａ为ｘ 定点， 位矢为八 过Ａ ． 作