2020年中考数学试题分类汇编之十四 最值类题

2020年中考数学试题分类汇编之十四最值类题一、选择题10．（2020成都）（3分）关于二次函数228y x x =+-，下列说法正确的是( )A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为(0,8)C ．图象与x 轴的交点坐标为(2,0)-和(4,0)D ．y 的最小值为9- 【解答】解：二次函数2228(1)9(4)(2)y x x x x x =+-=+-=+-，∴该函数的对称轴是直线1x =-，在y 轴的左侧，故选项A 错误；当0x =时，8y =-，即该函数与y 轴交于点(0,8)-，故选项B 错误；当0y =时，2x =或4x =-，即图象与x 轴的交点坐标为(2,0)和(4,0)-，故选项C 错误； 当1x =-时，该函数取得最小值9y =-，故选项D 正确；故选：D ．9.（2020贵阳）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A. 无法确定B. 12C. 1D. 2【答案】C【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB 时，GP 的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB 是⊥ABC 的角平分线，⊥⊥C=90°，⊥当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．12．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x 轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2√5B．2√10C．6√2D．3√5解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=√m2+22+√(m+2)2+42，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=√m2+22+√(m+2)2+42），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10，∴AC+BD的最小值为2√10．故选：B．12．（2020山东泰安）（4分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．二、填空题25．（2020成都）（4分）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，E，F分别为AB，CD 边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH PQ⊥于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为线段DH长度的最小值为．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON CD⊥于N．四边形ABCD是矩形，DF CF=，AE EB=，∴四边形ADFE是矩形，3EF AD∴==，//FQ PE，MFQ MEP∴∆∆∽，∴MF FQ ME PE=，2PE FQ=，2EM MF∴=，2EM∴=，1FM=，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM==，MQ，PQ ∴=////MF ON BC ，MO OB =，1FN CN ∴==，3DN DF FN =+=，1()22ON FM BC =+=，OD ∴==BH PQ ⊥，90BHM ∴∠=︒，OM OB =，1122OH BM ∴== DH OD OH -， 132DH ∴-DH ∴故答案为-15（2020河南）.如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交狐BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】.3π 【解析】【分析】如图，先作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，再分别求解,AD CD 的长即可得到答案．【详解】解：C 阴影＝,CE DE CD ++∴ C 阴影最短，则CE DE +最短，如图，作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，则,CE AE =,CE DE AE DE AD ∴+=+=此时E 点满足CE DE +最短，60,COB AOB OD ∠=∠=︒平分,CB30,90,DOB DOA ∴∠=︒∠=︒2,OB OA OD === 222222,AD ∴=+=而CD 的长为：302,1803ππ⨯= ∴ C 阴影最短为22.3π+故答案为：22.3π+17.（2020四川绵阳）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为 。

答案：23 【解析】解：∵四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4， ∴∠DAC=∠ABC=60° ∠DAC=∠CAB=30°，∴∠ACB=90°。

当M 在AC 上时，M 到AC 的距离最小。

如图：AC=228443-=,在RT △AMD 中，AM=AD cos30︒=4×3=23. ∴CM=AC -AM=43-23=23.故填：23。

18.（2020无锡）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ∆面积最大值为__________．解：如图1，作DG⊥AC ，交BE 于点G ，⊥,BDG BAE ODG OCE △∽△△∽△，2,3DG BD AE AB ==∴ ⊥13CE AE = , ⊥221DG CE == ⊥ODG OCE △∽△ ⊥=2DG OD CE OC = ⊥23OD CD = ⊥AB=4， ⊥23ABO ABC S S =△△ ⊥若ABO 面积最大，则ABC 面积最大，如图2，当点⊥ABC 为等腰直角三角形时，ABC 面积最大，为142=42⨯⨯， ⊥ ABO 面积最大值为284=33⨯+故答案为：8 315．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为6．【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD 的最小值为6．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC 于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=√3，AA'＝2√3，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE=12CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=√32×2√3=3，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．18．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将ABD∆沿射线BD平移，得到EGF∆，连接EC、GC．求EC GC+的最小值为【解答】解：如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．四边形ABCD是正方形，4AB BC AD∴====，90ABC∠=︒，45ABD∠=︒，//AE BD，45EAD ABD∴∠=∠=︒，D，T关于AE对称，4AD AT∴==，45TAE EAD∠=∠=︒，90TAD∴∠=︒，90BAD∠=︒，B∴，A，T共线，CT∴=EG CD=，//EG CD，∴四边形EGCD是平行四边形，CG EC∴=，EC CG EC ED EC TE∴+=+=+，TE EC TC+，45EC CG∴+，EC CG∴+的最小值为16．（2020江苏连云港）（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的O与x轴的正半轴交于点A，点B是O上一动点，点C为弦AB的中点，直线334y x=-与x轴、y轴分别交于点D、E，则CDE∆面积的最小值为2．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN DE⊥于N．AC CB=，AM OM=，112MC OB∴==，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的M，设M交MN于C'．直线334y x=-与x轴、y轴分别交于点D、E，(4,0)D∴，(0,3)E-，4OD∴=，3OE=，5DE∴==，MDN ODE∠=∠，MND DOE∠=∠，DNM DOE∴∆∆∽，∴MN DMOE DE=，∴335MN=，95MN∴=，当点C与C'重合时，△C DE'的面积最小，最小值195(1)2 25=⨯⨯-=，故答案为2．18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为9√2+9．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，∴OA=√OM2+AM2=3√2，∴CM＝OC+OM＝3√2+3，∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（3√2+3）＝9√2+9．故答案为：9√2+9．三、解答题22．（2020安徽）（12分）在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A ，(2,3)B ，(2,1)C ，直线y x m =+经过点A ，抛物线21y ax bx =++恰好经过A ，B ，C 三点中的两点． （1）判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由； （2）求a ，b 的值；（3）平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【解答】解：（1）点B 是在直线y x m =+上，理由如下： 直线y x m =+经过点(1,2)A ， 21m ∴=+，解得1m =，∴直线为1y x =+，把2x =代入1y x =+得3y =，∴点(2,3)B 在直线y x m =+上；（2）直线1y x =+与抛物线21y ax bx =++都经过点(0,1)，且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把(1,2)A ，(2,1)C 代入21y ax bx =++得124211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得1a =-，2b =；（3）由（2）知，抛物线为221y x x =-++，设平移后的抛物线为2y x px q =-++，其顶点坐标为(2p，2)4p q +，顶点仍在直线1y x =+上，∴2142p pq +=+， 2142p pq ∴=-++，抛物线2y x px q =-++与y 轴的交点的纵坐标为q ，22151(1)4244p p q p ∴=-++=--+，∴当1p =时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54． 28．（2020成都）（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记BDE ∆的面积为1S ，ABE ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∆∆∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-． 将(0,2)C -代入得：42a =，解得12a =， ∴抛物线的解析式为1(1)(4)2y x x =+-，即213222y x x =--． （2）过点D 作DG x ⊥轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK x ⊥轴交BC 的延长线于点K ，//AK DG ∴，AKE DFE ∴∆∆∽，∴DF DEAK AE =， ∴12BDE ABE S S DE DF S S AE AK∆∆===， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∴402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-， (1,0)A -， 15222y ∴=--=-，52AK ∴=， 设213(,2)22D m m m --，则1(,2)2F m m -，2211312222222DF m m m m m ∴=--++=-+．∴222121214142(2)555552m m S m m m S -+==-+=--+．∴当2m =时，12S S 有最大值，最大值是45． （3）符合条件的点P 的坐标为6834(,)99或． //l BC ，∴直线l 的解析式为12y x =， 设(,)2aP a ，①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，(1,0)A -，(0,2)C -，(4,0)B ，AC ∴5AB =，BC =222AC BC AB +=， 90ACB ∴∠=︒，PQB CAB ∆∆∽，∴12PQ AC PB BC ==， 90QMP BNP ∠=∠=︒，90MQP MPQ ∴∠+∠=︒，90MPQ PBN ∠+∠=︒， MQP PBN ∴∠=∠， QPM PBN ∴∆∆∽，∴12QM PM PQ PN BN PB ===， 4a QM ∴=，11(4)222PM a a =-=-， 2MN a ∴=-，34444a BN QM a a -=--=-， 3(4Q a ∴，2)a -，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得21333()222424a a a ⨯-⨯-=-，解得0a =（舍去）或689a =． 6834(,)99P ∴． ②当点P 在直线BQ 左侧时，由①的方法同理可得点Q 的坐标为5(4a ，2)．此时点P 的坐标为63(55+． 25.（2020福建）已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B 两点，交x 轴于另一点C ，4BC =，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有12y y >．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2m =-时，21//l l ；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求ABE ∆与CEF ∆面积之和的最小值．【答案】（1）221210y x x =-+；（2）详见解析；（3）∆∆+ABE FCE S S 的最小值为40．【解析】 【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A ，B 两点的坐标，再根据BC=4，得出点C 的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； （2）利用反证法证明即可；（3）先求出q 的值，利用//CF AB ，得出∽∆∆FCE ABE ，设()04=<<BE t t ，然后用含t 的式子表示出∆∆+ABE FCE S S 的面积，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）对于1:210=-+l y x ， 当0x =时，10y =，所以()0,10A ；当0y =时，2100x -+=，5x =，所以()5,0B ， 又因为4BC =，所以()9,0C 或()1,0C ，若抛物线过()9,0C ，则当57x <<时，y 随x 的增大而减少，不符合题意，舍去． 若抛物线过()1,0C ，则当3x >时，必有y 随x 的增大而增大，符合题意． 故可设二次函数的表达式为210=++y ax bx ， 依题意，二次函数的图象过()5,0B ，()1,0C 两点，所以255100100a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得212a b =⎧⎨=-⎩ 所求二次函数的表达式为221210y x x =-+．（2）当2m =-时，直线2:2(10)=-+≠l y x n n 与直线1:210=-+l y x 不重合， 假设1l 和2l 不平行，则1l 和2l 必相交，设交点为()00,P x y ，由00002102y x y x n =-+⎧⎨=-+⎩得002102-+=-+x x n ，解得10n =，与已知10n ≠矛盾，所以1l 与2l 不相交， 所以21//l l ． （3）如图，因为直线3:2=-+l y x q 过()1,0C ，所以2q，又因为直线1:210=-+l y x ，所以31//l l ，即//CF AB ， 所以∠=∠FCE ABE ，∠=∠CFE BAE ，所以∽∆∆FCE ABE ，所以2∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭FCE ABE S CE S BE ，设()04=<<BE t t ，则4CE t =-，1110522∆=⋅=⨯⨯=ABE S BE OA t t ， 所以2222(4)5(4)5∆∆--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭FCEABE CE t t S S t BE t t ， 所以25(4)5∆∆-+=+ABE FCEt S S t t801040=+-t t21040=+所以当t =∆∆+ABE FCE S S 的最小值为40．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．25．(2020天津)已知点()1,0A 是抛物线2y ax bx m =++（a ，b ，m 为常数，0a ≠，0m <）与x 轴的一个交点．（I ）当1a =，3m =-时，求该抛物线的顶点坐标；（II ）若抛物线与x 轴的另一个交点为(),0M m ，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =⊥当点E 落在抛物线上（不与点C 重合），且AE EF =时，求点F 的坐标；⊥取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是2？ 解：（1）当1a =，3m =-时，抛物线的解析式为23y x bx =+-． 抛物线经过点()1,0A ，013b ∴=+-．解得2b =．∴抛物线的解析式为223y x x =+-． 2223(1)4y x x x =+-=+-，∴抛物线的顶点坐标为()1,4--．（II ）⊥抛物线2y ax bx m =++经过点()1,0A 和(),0M m ，0m <，0a b m ∴=++， 1a ∴=，1b m =--．∴抛物线的解析式为2(1)y x m x m =-++．根据题意，得点()0,C m ，点()1,E m m +． 过点A 作AH l ⊥于点H 由点()1,0A ，得点()1,H m ．在Rt EAH ∆中，1(1)EH m m =-+=-，0HA m m =-=-，AE ∴==．AE EF ===．解得2m =-．此时，点()1,2E --，点()0,2C -，有1EC =． 点F 在y 轴上，∴在Rt EFC ∆中，CF =∴点F 的坐标为(0,2--或(0,2-．⊥由N 是EF 的中点，得12CN EF ==根据题意，点N 在以点C 为半径的圆上． 由点(),0M m ，点()0,C m ，得MO m =-，CO m =-∴在Rt MCO ∆中，MC ==．当MC ≥，即1m ≤-时，满足条件的点N 落在线段MC 上，MN 的最小值为2MC NC -==， 解得32m =-；当MC <，即10m -<<时，满足条件的点N 落在线段CM 的延长线上，MN 的最小值为()2NC MC -==，解得12m =-∴当m 的值为32-或12-时，MN26.（2020乐山）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(50)B ，两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且4tan 3CBD ∠=，如图所示． （1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．⊥过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF PE ⊥交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求BCF ∆的面积的最大值；⊥连结PB ，求35PC PB +的最小值．【答案】（1）241620999y x x =-++；（2）⊥32；⊥245． 【分析】（1）先利用函数图象与x 轴交点求出D 点坐标，再由4tan 3CBD ∠=求出C 点坐标，用待定系数法设交点式，将C 点坐标代入即可求解；（2）⊥先求出BC 的解析式42033=-+y x ，设E 坐标为420,33t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则F 点坐标为241620999,t t t ⎛⎫⎪⎝-+⎭+，进而用t 表示出BCF ∆的面积，由二次函数性质即可求出最大值； ⊥过点P 作PG AC ⊥于G ，由3sin 5PG PC ACD PC =⋅∠=可得35PC PB PG PB +=+，由此可知当BPH 三点共线时35PC PB +的值最小，即过点B 作BH AC ⊥于点H ， 线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，根据面积法求高即可． 【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：(1)(5)y a x x =+-， ⊥CD 是抛物线的对称轴， ⊥(20)D ，， 又⊥4tan 3CBD ∠=， ⊥tan 4CD BD CBD =⋅∠=， 即(24)C ，，代入抛物线的解析式，得4(21)(25)a =+-，解得 49a =-，⊥二次函数的解析式为 4(1)(5)9y x x =-+-或241620999y x x =-++； （2）⊥设直线BC 的解析式为 y kx b =+，⊥0542.k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得 4320.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线BC 的解析式为 42033=-+y x ， 设E 坐标为420,33t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则F 点坐标为241620999,t t t ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭+， ⊥22420341620428409999993EF t t t t t =-++-=-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭， ⊥BCF ∆的面积21142840322999S EF BD t t ⎛⎫=⨯⨯=-+- ⎪⎝⎭⊥2273()322S t =--+， ⊥当72t =时，BCF ∆的面积最大，且最大值为32； ⊥如图，连接AC ，根据图形的对称性可知 ACD BCD ∠=∠，5AC BC ==，⊥3sin 5AD ACD AC ∠==， 过点P 作PG AC ⊥于G ，则在Rt PCG ∆中，3sin 5PG PC ACD PC =⋅∠=，⊥35PC PB PG PB +=+， 再过点B 作BH AC ⊥于点H ，则PG PH BH +≥， ⊥线段BH 的长就是35PC PB +的最小值， ⊥11641222ABC S AB CD ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 又⊥1522ABC S AC BH BH ∆=⨯⨯=， ⊥5122BH =，即245BH =， ⊥35PC PB +的最小值为245．25.（2020重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为278；（3）存在，1234(12)(34(34(13)E E E E ---+----，，，，，，解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y ∴1AB y x =-过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -由铅垂定理可得1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅- ()231412a a a =---+ ()2332a a =-- 23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴PAB △面积最大值为278（3）（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝（x ＋2）2−5， 则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5， 联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩＝＝，故点C （−1，−4）；设点D （−2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋（t ＋1）2＝12＋32③， 当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋（m ＋1）2＝12＋32④， 联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4（舍去−4），故点E （−1，2）；联立②④并解得：s ＝-3，t ＝-，故点E （-3，-4）或（-3，-）； ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤，此时，BD ＝BE ，即22＋（m ＋1）2＝s 2＋（t ＋1）2⑥， 联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3， 故点E （1，−3），综上，点E 的坐标为：（−1，2）或(34--，，或(34--，或（1，−3）．∴存在，1234(12)(34(34(13)E E E E ---+----，，，，，，26.（2020重庆A 卷）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF AD =； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BC =；（3）CE =解：（1）证明如下：∵90BAC DAE ∠=∠=︒， ∴BAD CAE ∠=∠， ∵AB AC =，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAEAB AC AD AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE ∆≅∆， ∴45ABD ACE ∠=∠=︒， ∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=，在Rt ADE 中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ∠=∠=︒， ∴AF DE ⊥，即Rt ADF 为等腰直角三角形，∴2AF DF AD ==， ∵CF DF =，∴CF AD =； （2）由（1）得ABD ACE ∆≅∆，CE BD =，45ACE ABD ︒∠=∠=， ∴454590DCB BCA ACE ︒︒︒∠=∠+∠=+=，在Rt DCB △中，DE ==， ∵F 为DE 中点，∴12DE EF DE ===， 在四边形ADCE 中，有90CAG DCE ︒∠=∠=，180CZG DCE ︒∠+∠=， ∴点A ，D ，C ，E 四点共圆， ∵F 为DE 中点，∴F 为圆心，则CF AF =， 在Rt AGC 中， ∵CF AF =，∴F 为CG中点，即CG 2CF =，∴AG =，即BC =；（3）设点P 存在，由费马定理可得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，∴60BPD ∠=︒， 设PD a ，∴BD =，又AD BD =，∴a m +，1)m a =a =又BD CE =∴CE ．25. （2020重庆B 卷）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax 2+bx+2(a ≠0)与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，且A 点坐标为(−√2,0)，直线BC 的解析式为y =−√23x +2（1）求抛物线的解析式； （2）过点A 作AD//BC ，交抛物线于点D ，点E 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接CE ，EB ，BD ，DC .求四边形BECD 面积的最大值及相应点E 的坐标；（3）将抛物线y=ax 2+bx+2(a ≠0)向左平移√2个单位，已知点M 为抛物线y=ax 2+bx+2(a ≠0)的对称轴上一动点，点N 为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD 的面积最大时，是否存在以A ，E ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.提示：（1）易得B(3√2,0)，C(0,2)，又A(−√2,0)， 所以易求抛物线的解析式为y =−13x 2+2√23x +2；（2）易求AD 的解析式为y =−√23x −23，进而D(4√2,−103).CD 的解析式为：y =−2√23x +2.则CD 与x 轴的交点F 为(3√22,0).所以易求△BCD 的面积为4√2，设E(x, −13x 2+2√23x +2)，则S BECD 的面积=12×3√2×[(−13x 2+2√23x +2)−(−√23x +2)]+4√2=−√22x 2+3x +4√2，当x=3√22时，四边形BECD 面积最大，其最大值为25√24，此时E(3√22,52).（3）存在.N 的坐标为(−3√22，76)，或(−√22，52)，或(7√22，−112). 注：抛物线y =−13x 2+2√23x +2的顶点是(√2，0)，设M(√2，m)，N(x n ，y n )，又A(−√2,0)，E(3√22,52)，易求平移后抛物线解析式为y =−13x 2+83.根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类：①当AM 为对角线时，则x n +3√22=√2+(−√2)，解得x n =−3√22，代入解析式得y n =76. 所以N(−3√22，76)，如图 对角线交点坐标为(0,116)，M 坐标为(√2,113)②当AE 为对角线时，则x n +√2=3√22+(−√2)，解得x n =−√22，代入解析式得y n =52. 所以N(−√22，52)，如图 对角线交点坐标为(√24,54)，M 坐标为(√2,0)③当AN 为对角线时，则x n +(−√2)=√2+3√22，C B A 备用图图1N GF ED CB A NMFE D C B A 图2H GABCD E FMN 图2P NF EDCBAQO P N FE D CB A解得x n =7√22，代入解析式得y n =−112. 所以N(7√22，−112).如图 对角线交点坐标为(5√24,−114)，M 坐标为(√2,-8)26. （2020重庆B 卷）△ABC 为等边三角形，AB=8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE=2√3 .以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点.（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（2）如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN .当30°<α<120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN ，在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积.提示：（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE ，CD=4，DE=2√3.答案：NG=√7.（2）∠DNM 的为定值120°.连CF ，BE ，BE 交AC 于H ，DN 交AC 于G ，如图. 易得：BE ∥DN ，MN ∥CF ，△ABE ≌△ACF.因此∠DGC=∠BHC ，∠ENM=∠ECF ，∠ABE=∠ACF 又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60° ∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF ∴∠D NC=60°+∠ECF=60°+∠ENM ∴∠D GE=180°-∠DNC=120°-∠ENM ∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.（3）△AND 的面积为7√3如图，取AC 中点P ，因为BP+PN ≥BN ，所以当B 、P 、N 在一直线上，BN 最大.易得BN=BP+PN=BP+12AE=4√3+√3=5√3设BP 与AD 交于O ，NQ ⊥AD 于Q ，如图. 易得BO=23BP=8√33，ON=7√33，BD=4，△ONQ ∽△OBD ，可求得NQ= 72.∴△AND 的面积为：12×AD ×NQ=7√3.26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，﹣4）、B （2，0），交反比例函数y =mx （x ＞0）的图象于点C （3，a ），点P 在反比例函数的图象上，横坐标为n （0＜n ＜3），PQ ∥y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△DPQ 面积的最大值．【解答】解：（1）把A （0，﹣4）、B （2，0）代入一次函数y ＝kx +b 得， {b =−42k +b =0，解得，{k =2b =−4， ∴一次函数的关系式为y ＝2x ﹣4， 当x ＝3时，y ＝2×3﹣4＝2， ∴点C （3，2），∵点C 在反比例函数的图象上， ∴k ＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y =6x ，答：一次函数的关系式为y ＝2x ﹣4，反比例函数的关系式为y =6x ；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），∴PQ=6n−（2n﹣4），∴S△PDQ=12n[6n−（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．25．（13分）（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x=12=12（2t﹣t），解得：t＝1，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y ＝﹣x 2+x +2，令x ＝0，则y ＝2，故点C （0，2），由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为：y ＝﹣x +2，设点D 的横坐标为m ，则点D （m ，﹣m 2+m +2），则点F （m ，﹣m +2），则DF ＝﹣m 2+m +2﹣（﹣m +2）＝﹣m 2+2m ，∵﹣1＜0，故DF 有最大值，此时m ＝1，点D （1，2）；（3）存在，理由：点D （m ，﹣m 2+m +2）（m ＞0），则OD ＝m ，DE ＝﹣m 2+m +2，以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OE =OB OC 或OC OB ，即DE OE =2或12，即−m 2+m+2m =2或12， 解得：m ＝1或﹣2（舍去）或1+√334或1−√334（舍去）， 故m ＝1或1+√334．24．（2020山东滨州）（13分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【解答】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果50010(5550)450=-⨯-=千克；（2）设每千克水果售价为x 元，由题意可得：8750(40)[50010(50)]x x =---，解得：165x =，275x =，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y 元，由题意可得：2(40)[50010(50)]10(70)9000y m m m =---=--+，∴当70m =时，y 有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．26．（2020山东滨州）（14分）如图，抛物线的顶点为(,1)A h -，与y 轴交于点1(0,)2B -，点(2,1)F 为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l 是过点(0,3)C -且垂直于y 轴的定直线，若抛物线上的任意一点(,)P m n 到直线l 的距离为d ，求证：PF d =；（3）已知坐标平面内的点(4,3)D ，请在抛物线上找一点Q ，使DFQ ∆的周长最小，并求此时DFQ ∆周长的最小值及点Q 的坐标．【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点(2,1)A -，可以假设抛物线的解析式为2(2)1y a x =--， 抛物线经过1(0,)2B -， 1412a ∴-=-， 18a ∴=， ∴抛物线的解析式为21(2)18y x =--．（2）证明：(,)P m n ，221111(2)18822n m m m ∴=--=--， 2111(,)822P m m m ∴--， 22111115(3)822822d m m m m ∴=----=-+， (2,1)F ，PF ∴， 2432117525648824d m m m m =-+-+，2432117525648824PF m m m m =-+-+， 22d PF ∴=，PF d∴=．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．DFQ∆的周长DF DQ FQ=++，DF是定值=，DQ QF∴+的值最小时，DFQ∆的周长最小，QF QH=，DQ DF DQ QH∴+=+，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ QH+的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，DQ QH∴+的最小值为6，DFQ∴∆的周长的最小值为6，此时1 (4,)2Q-．24．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y ＝x 2﹣2x ﹣3中x ＝0，此时y ＝﹣3，故C 点坐标为（0，﹣3），又∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M 的坐标为（1，﹣4）；（2）过N 点作x 轴的垂线交直线BC 于Q 点，连接BN ，CN ，如图1所示： 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得：x ＝3或x ＝﹣1，∴B （3，0），A （﹣1，0），设直线BC 的解析式为：y ＝ax +b ，代入C （0，﹣3），B （3，0）得：{−3=b 0=3a +b， 解得{a =1b =−3， ∴直线BC 的解析式为：y ＝x ﹣3，设N 点坐标为（n ，n 2﹣2n ﹣3），故Q 点坐标为（n ，n ﹣3），其中0＜n ＜3， 则S △BCN =S △NQC +S △NQB =12⋅QN ⋅(x Q −x C )+12⋅QN ⋅(x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x Q −x C +x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x B −x C )，（其中x Q ，x C ，x B 分别表示Q ，C ，B 三点的横坐标），且QN ＝（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）＝﹣n 2+3n ，x B ﹣x C ＝3，故S △BCN =12⋅(−n 2+3n)⋅3=−32n 2+92n =−32(n −32)2+278，其中0＜n ＜3， 当n =32时，S △BCN 有最大值为278， 此时点N 的坐标为（32，−154），（3）设D 点坐标为（1，t ），G 点坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），且B （3，0），C （0，﹣3）分情况讨论：①当DG 为对角线时，则另一对角线是BC ，由中点坐标公式可知：线段DG 的中点坐标为(x D +x G 2，y D +y G 2)，即(1+m 2，t+m 2−2m−32)， 线段BC 的中点坐标为(x B +x C 2，y B +y C 2)，即(3+02，0−32)， 此时DG 的中点与BC 的中点为同一个点，∴{1+m 2=32t+m 2−2m−32=−32，解得{m =2t =0， 经检验此时四边形DCGB 为平行四边形，此时G 坐标为（2，﹣3）； ②当DB 为对角线时，则另一对角线是GC ，由中点坐标公式可知： 线段DB 的中点坐标为(x D +x B 2，y D +y B 2)，即(1+32，t+02)， 线段GC 的中点坐标为(x G +x C 2，y G +y C 2)，即(m+02，m 2−2m−3−32)， 此时DB 的中点与GC 的中点为同一个点，∴{1+32=m+02t+02=m 2−2m−3−32，解得{m =4t =2， 经检验此时四边形DCBG 为平行四边形，此时G 坐标为（4，5）； ③当DC 为对角线时，则另一对角线是GB ，由中点坐标公式可知： 线段DC 的中点坐标为(x D +x C 2，y D +y C 2)，即(1+02，t−32)， 线段GB 的中点坐标为(x G +x B 2，y G +y B 2)，即(m+32，m 2−2m−3+02)， 此时DB 的中点与GC 的中点为同一个点，∴{1+02=m+32t−32=m 2−2m−3+02，解得{m =−2t =8， 经检验此时四边形DGCB 为平行四边形，此时G 坐标为（﹣2，1）； 综上所述，G 点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；（4）连接AC ，OP ，如图2所示：设MC 的解析式为：y ＝kx +m ，代入C （0，﹣3），M （1，﹣4）得{−3=m −4=k +m， 解得{k =−1m =−3∴MC 的解析式为：y ＝﹣x ﹣3，令y ＝0，则x ＝﹣3， ∴E 点坐标为（﹣3，0），∴OE ＝OB ＝3，且OC ⊥BE ，∴CE ＝CB ，∴∠B ＝∠E ，设P （x ，﹣x ﹣3），又∵P 点在线段EC 上，∴﹣3＜x ＜0，则EP =√(x +3)2+(−x −3)2=√2(x +3)，BC =√32+32=3√2， 由题意知：△PEO 相似△ABC ，分情况讨论：①△PEO ∽△CBA ，∴EO BA =EP BC ，∴34=√2(x+3)3√2， 解得x =−34，满足﹣3＜x ＜0，此时P 的坐标为(−34，−94)； ②△PEO ∽△ABC ，∴EOBC =EPBA ，∴3√2=√2(x+3)4， 解得x ＝﹣1，满足﹣3＜x ＜0，此时P 的坐标为（﹣1，﹣2）． 综上所述，P 点的坐标为(−34，−94)或（﹣1，﹣2）．。