圆锥曲线第二定义解析

圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹）是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能。

一、导向功能

圆锥曲线第二定义对许多问题的求解，具有明显的导向作用，优先考虑第二定义，有助于启迪思路，理顺解题线索。

例1：椭圆x225+y29=1上有一点P，如果它到左准线的距离为52，那么P到右焦点的距离是。

[分析]解题之前一定要认真审题，对有关曲线上一点到焦点、准线距离的问题，首先联想到圆锥曲线的第二定义。

[解]设P到左准线距离为PM

由椭圆第二定义PF1PM=e

∴PF1=ePM=45×52=2

又∵PF1+PF2=2a=10

∴PF2=8

例2：F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b0)的右焦点，P(x0,y0)是椭圆上任一点，则PF2的值为：

A. ex0-a

B. a-ex0

C. ex0-a

D.e-ax0

[分析]针对题中要求PF2的值，且各选项中含有e，从椭圆第二定义入手，问题不攻自破。

[解]设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a2c的距离为PN，则PN=a2c-x0 根据椭圆第二定义

PF2=ePN=e(a2c-x0)=a-ex0，故选B。

二、简化功能

巧用圆锥曲线的第二定义，可以简化复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。

例3：过抛物线y2=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，若线段的中点的横坐

标为3，则AB= 。

[分析]若按求焦点，设直线方程、联立方程组求AB过程繁琐，因此从定义出发。

[解]过A、B两点向准线引垂线AM、BN

设AB中点为C(3,y0)，过C向准线引垂线CH，

则CH是直角梯形ABNM的中位线。

∴AM+BN=2CH

抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为x=-1

所以有AB=AF+BF=AM+BN=2CH=2（3+1）=8

例4：已知椭圆方程为x2b2+y2a2=1(ab0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。

[分析]本题若通过解椭圆与双曲线联立的二元二次方程组求交点将十分麻烦。

[解]如图：设所求双曲线为x2α2-y2β2=-1，

依题意c2=a2-b2=α2+β2(c为半焦距)，两个焦点为F1、F2，

则PF1是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。

设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1)，则

PF1=e PK=e1 PK1

∴PF1=caa2c-y1=cβy1-β2c

∴a-cy1a=cy1β-β= y1=aβc

代入椭圆或双曲线方程得x1=bαc，

于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为：

S=4(abαβc2)≤2ab (α2+β2) c2=2ab

当且仅当α=β=c 2 = 2(a2-b2)2时，Smax=2ab

故所求双曲线方程为x2-y2= -（a2-b2）2

由对称性，四个顶点的坐标分别为：

( 2b2, 2a2),(- 2b2, 2a2),(- 2b2, -2a2), (2b2,- 2a2)

三、显隐转化功能

从圆锥曲线的第二定义出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。

例5：已知椭圆x24+y23=1内有一点P(1,-1)，F为右焦点，椭圆上有一点M，使MP+2MF 值最小，求点M的坐标。

[分析]按常规思路，设M(x,y)求出右焦点F(1,0)

则MP+2MF= （x-1）2+(y+1)2+ 2 (x-1)2+y2

由此表达式求最小值是比较困难的，联想椭圆方程中隐含的特征量，发现式中的2即1e，故2MF即为1eMF

[解]由椭圆第二定义MFMN= e

MN= MFe

当MN与PM共线，即过P作准线x=a2c的垂线

这条线与椭圆的交点就是所求的点M

此时M(2 63,-1)

四、联络功能

对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题，圆锥曲线的第二定义，可在其中起到桥梁作用，使解题思路连贯畅通。

例6：已知双曲线x225-y2144=1的左右焦点分别为F1和F2，能否在双曲线的左支上找到一点P，使PF1是P到左准线的距离d与PF2的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由。

[分析]这是一道存在性探索问题，解题思路一般是：先假设存在，然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。

[解]根据题意：PF12=dPF2,即PF2PF1=PF1d= e

∴PF2= ePF1

∵PF2-PF1=2a=10 c=13 e=135

∴13PF15-PF1=10 PF1=254 PF2=654 ∴PF1+PF2=452 又F1F2=26

从而PF1+PF2F1F2矛盾

∴符合条件的点P不存在。