湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式

§４．３．２ 空间两点间的距离公式

一、教材分析

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.

二、教学目标

１．知识与技能

使学生掌握空间两点间的距离公式

２．过程与方法

３．情态与价值观

通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程

三、教学重点与难点

教学重点：空间两点间的距离公式.

教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.

四、课时安排

１课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式

五、教学设计

（一）导入新课

思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容.

思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

１平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.

４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？

⑥试根据２３推导两点之间的距离公式.

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.

讨论结果：１平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图１

２如图１,设A （x,y,z ）是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO ２=BD ２+OD ２,AO ２=AB ２+BO ２=AB ２+BD ２+OD ２=z ２+x ２+y ２,因此A 到原点的距离是d=2

22z y x ++.

３利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.

４由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.

５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.

图２

⑥如图２,设P １（x １,y １,z １）,P ２（x ２,y ２,z ２）是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P １P ２作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M （x １,y １,0）,N （x ２,y ２,0）,于是可以求出|MN|=2

12212)()(y y x x -+-.

再过点P １作P １H⊥P ２N,垂足为H,则|MP １|=|z １|,|NP ２|=|z ２|,所以|HP ２|=|z ２—z １|.

在Rt△P １HP ２中,|P １H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P １P ２|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P １（x １,y １,z １）,P ２（x

２,y ２,z ２）之间的距离为|P １P ２|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.

于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.

（三）应用示例

例１ 已知A （３,３,１）,B （１,0,５）,求：

（１）线段AB 的中点坐标和长度；

（２）到A,B 两点的距离相等的点P （x,y,z ）的坐标满足的条件.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.

解:（１）设M （x,y,z ）是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=２,y=203+=23,z=2

15+=３．所以AB 的中点坐标为（２,23,３）. 根据两点间距离公式,得

d （A,B ）=29)15()30()31(222=-+-+-,

所以AB 的长度为29.

（２）因为点P （x,y,z ）到A,B 的距离相等,

所以有下面等式：

222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .

化简得４x+6y —8z+7=0,