湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式
高中数学：4.3.2《空间两点间的距离公式》教案(新人教A版2)
生：猜想说出理由
（4)如果是空间中任意一点 到点 之间的距离公式会是怎样呢？
［2]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导.
得出结论:
www。
［1］
从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生:在教师的指导下作答
得出
问题
问题设计意图
师生活动
（3）如果 是定长r,那么 表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程 表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
4.3.2空间两点间的距离公式
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
4、情景设计
问题
问题设计意图
师生活动
在平面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ,B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜?
通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ胆猜测，是否正确无关紧要。
生:踊跃回答
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
高一数学人教版A版必修二课件：4.3.2 空间两点间的距离公式
第四章 § 4.3 空间直线坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点 空间两点间的距离公式思考 如图，在长方体ABCD－AB1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为1a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？题型探究 重点难点 个个击破类型一 求空间两点间的距离例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－AB1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|1＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.类型二 求空间点的坐标解 因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)，因为|PP1|＝2|PP2|，所以x＝±1，所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).跟踪训练2 已知点P，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分1别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标.解 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，所以x＝－3，同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，类型三 空间两点间距离公式的应用例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小.跟踪训练3 (1)已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC的形状是( )A A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形∵|BC|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形，|BC|2＋|AC|2≠|AB|2，∴△ABC不是直角三角形，故选A.(2)在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离.达标检测 45123AD A.－3或4 B.6或2C.3或－4D.6或－2解得x＝6或x＝－2.B4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________.5.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3).在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.规律与方法1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.。
【参考教案】《两点间的距离》(数学人教A版高中必修)
《3.3.2两点间的距离公式》教学设计【教学目标】1.知识与技能：（1）通过推导，了解两点间的距离的求法；（2）理解两点间距离的几何意义；（3）利用两点间的距离公式解决实际问题.法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点：通过逐步诱导推导出两点间距离公式2.教学难点：灵活应用距离公式解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：引入如何判定两条直线平行？垂直？1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？结合问题情境展开思考利用问题引入，激发学生学习兴趣环节二：思考1 在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？学生思考作答通过思考引出本节所学新知。
新课讲解|P 1P 2|=|x 1－x 2|思考2 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？ |P 1P 2|=|y 1－y 2| 思考3 已知x 轴上一点P 1(x 0，0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？221200||PP x y =+思考4 在平面直角坐标系中，已知点P 1(2，－1)和P 2(－3，2)，如何计算点P 1和P 2的距离？22221212||5334PP PM P M =+=+=思考 5 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，利用上述方法求点P 1和P 2的距离可得什么结论？22122121||()()PP x x y y =-+-思考6 当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7 特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？ 22||OP x y =+知识探究（二）：距离公式的变式探究思考1 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则y 2－y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？21221||||1PP x x k=-⋅+思考 2 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2－x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？122121||||1PP y y k =-⋅+21221212||||11||1PP x x ky y k =-⋅+=-⋅+思考3 上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？ 思考4 若已知12x x + 和12x x ⋅，如何求21||x x -？2211212||()4x x x x x x -=+-例1 已知点(1,2)A - 和(2,7)B ， 在x 轴上求一点P ，使|P A |=|PB |，并求|P A |的值.例2 已知△ABC 的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，C(1/2，3/2)，试判断三角学生思考作答。
高中数学教案新人教A版必修2.3.3.2两点间距离教案 新人教A版必修2
课题:2.3.3.2两点间距离课 型：新授课教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题教学重点：两点间距离公式的推导教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。
教学过程：一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点间距离公式：()()22122221PP x x y y =-+-。
分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，， 直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有 2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式 ()()22122221PP x x y y =-+-在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二、例题分析例1．以知点A （-1，2），B （2，7 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =，并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有 ()()()()2222102207x x ++-=-+-由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1。
所以，所求点P （1，0）且 ()()22110222PA =++-= 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
设问：本题能否有其它解法同步练习：书本106页第1，2 题例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
高中数学人教A版必修二教案：4.3.2空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计来完成（3）如果|OP | 是定长r 那么x 2 + y 2 + z 2 = r 2表示什表示图形，让学生有种回归感。
先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式重视学生思路的引导。
巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；（2）A(6，0，1)，B(3，5，7)例1 已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||AB =，则点A 的坐标为.【解析】由题意设A (0，y ，0)=解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.【解析】由题意设P (0，y ，z )，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩解得：11y z =⎧⎨=⎩故点P 的坐标为(0，1，1)例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =⎧⎨=⎩所以==即4607310y z y z --=⎧⎨+-=⎩，所以12y z =⎧⎨=-⎩，所以P 的坐标是(0，1，–2).。
高中数学人教A版必修2《4.3.2空间两点间的距离公式》教学案2
活动一：创设情景、引入课题 (5分钟)问题1：回忆，如何定义空间直角坐标系？问题2：空间直角坐标系中，点的坐标如何表示？对比平面直角坐标系中点的坐标表示？？ 问题3：回忆在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|A B |=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？这就是我们这节课所要学习的内容.点题：今天我们将学习空间两点间的距离公式 活动二：师生交流、进入新知，(20分钟)问题4：空间中任间一点P (x ，y ，z )到原点O 之间的距离公式会是怎样呢？1、空间中任间一点P (x ， y ，z )到原点O 之间的距离公式|OP | =222x y z ++.思考：如果|OP | 是定长r ，那么x 2 + y 2 + z 2 = r 2表示什么图形？类比在平面直角坐标系中，方程222r y x =+表示原点或圆来回答？问题5：如果是空间中任间一点P 1 (x 1，y 1，z 1)到点P 2 (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢？|P 1P 2| =222121212()()()x x y y z z -+-+-例1 : (1)已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||5AB =，则点A 的坐标为 . 【解析】由题意设A (0，y ，0)，则2(1)45y -+=，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)(2) 坐标平面yOz 上一点P 满足：(1)横、纵、竖坐标之和为2；(2)到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P (0，y ，z )，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩解得：11y z =⎧⎨=⎩ 故点P 的坐标为(0，1，1)练习(书本P 138页练习1、2)活动三：合作学习、探究新知(18分钟)例2．在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.。
(完整版)高中数学：3.3.2《两点间的距离》教学案(新人教版A版必修2)
§ 3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.4.3.2 空间两点间的距离公式（2）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 课 型： 新授课教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用． 教学重点：空间两点的距离公式的应用． 教学难点：空间两点的距离公式的应用． 教学过程：一．复习提问：1．两点间的距离公式． 二．例题讲解：1．例题1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离．解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0，0，0)，A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，0，a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．PA=PB=PC ，∴H 为∆ABC 的外心，又∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心．由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-．∴点P 到平面ABC 的距离为a 33． 2．例题2．在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离．解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x ， y ， z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x=y ．要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离．xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中，BDBH D D PH =1，所以a x a a z -=，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z ， a-z ， z)∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21a z z ==时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22． ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22． 3．例题3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？分析：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线． 解：设点P 的坐标为(x ， y ， z)． 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1，2，0)．点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3．∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0．小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决． 三：巩固练习：1．课本139P 习题4.3 B 组 第2题2．点P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1，3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程．答案：点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16，y=0． 四．小结１．空间两点的距离公式的应用． 五．作业１．课本139P 习题4.3 Ｂ组 第3题课后记:。
新人教A版必修2高中数学学案教案： §3.3.2 两点间的距离
§3.3.2 两点间的距离一、教材分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.二、教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
三、教学重点与难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B -x A |,|CD|=|y C -y D |. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!（三）应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x =-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.（四）知能训练课本本节练习.（五）拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.（七）作业课本习题3.3 A 组6、7、8；B 组6.。
人教A版高中数学必修2教案§3.3.2 两点间的距离
3..3..。
2直线与直线之间的位置关系-两点间距离三维目标知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点()(2122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式12PP =在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有=由P A P B=得2225411x x x x++=-+解得x=1。
所以，所求点P（1，0）且PA==通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
解法二：由已知得，线段AB的中点为12⎛⎝⎭Ｍ，直线AB的斜率为12⎛⎫⎪⎝⎭ｘ－ＰＡ＝＝２２３线段AB的垂直平分线的方程是y-12⎛⎫⎪⎝⎭３ｘ－２在上述式子中，令y=0，解得x=1。
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(1)教案 新人教A版必修2
课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课 型： 新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2． 讨论：如果OP 是定长r ，那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1， 0， -1)与P 2(4， 3， -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2，5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0，2，0)或B(0，8，0)．4．思考：1.在z轴上求与两点A(-4， 1， 7)和B(3， 5， -2)等距离的点．2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1，-1，5)、B(3，4，4)和C(4，6，1)各点的距离相等．三．巩固练习：P练习 1、31．1382．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业P练习第2，4题1．课本138P习题4.3 A组第3题Ｂ组第１题2．课本138课后记:。
2021年高中数学《4.3.空间两点间的距离公式》教案新人教版必修
1．Байду номын сангаас学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．情景设计
问题
问题设计意图
师生活动
在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]
从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答
得出
问题
问题设计意图
[2]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
师生活动
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？
人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式
人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式一、教学目标：1. 理解空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 掌握空间两点间的距离公式的应用。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学重点：1. 空间两点间的距离公式的推导。
2. 空间两点间的距离公式的应用。
三、教学难点：1. 空间两点间的距离公式的理解。
2. 空间两点间的距离公式的灵活运用。
四、教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示空间两点间的距离公式及相关例题。
2. 学生准备笔记本，记录教学内容和解题步骤。
五、教学过程：1. 引入新课：通过简单的实例，引导学生思考空间两点间的距离如何计算。
2. 推导公式：引导学生通过几何图形的分析，推导出空间两点间的距离公式。
3. 讲解公式：解释空间两点间的距离公式的含义，解释各个变量的意义。
4. 例题讲解：通过具体的例题，讲解如何应用空间两点间的距离公式进行计算。
5. 练习巩固：让学生独立完成一些练习题，巩固对空间两点间的距离公式的理解和应用。
6. 总结归纳：对本次课程的内容进行总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置一些相关的作业题，让学生进一步巩固所学内容。
六、教学拓展：1. 通过多媒体展示空间几何体的图像，帮助学生更好地理解空间两点间的距离公式。
2. 引导学生思考空间两点间的距离公式在实际问题中的应用，如测量、建筑设计等。
七、课堂互动：1. 教师提出问题，引导学生思考并回答空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 学生分组讨论，分享彼此对空间两点间的距离公式的理解和应用方法。
3. 教师选取学生的回答进行点评和指导，帮助学生巩固知识点。
八、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对空间两点间的距离公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：评价学生对空间两点间的距离公式的应用能力。
3. 作业：评价学生对空间两点间的距离公式的巩固和运用情况。
九、课后作业：1. 复习空间两点间的距离公式，巩固知识点。
2. 完成一些相关的习题，提高对空间两点间的距离公式的应用能力。
【优质文档】人教A版数学必修二教案：§4.3.2空间两点间的距离公式
|AB|,|BC|,|CA| 的长 ,利用勾股定理的逆定理来判定 . 解 :因为三个顶点坐标为 A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5), 所以
|AB|= (1 1) 2 ( 2 1) 2 ( 3 1)2 =3,
|BC|= (0 1) 2 (0 1) 2 ( 5 1) 2 3 2 ,
根据两点间距离公式 ,得
d(A,B)= (1 3)2 (0 3)2 (5 1) 2 29 ,
所以 AB 的长度为 29 .
(2)因为点 P(x,y,z) 到 A,B 的距离相等 , 所以有下面等式：
( x 3) 2 ( y 3) 2 ( z 1) 2 (x 1)2 ( y 0) 2 ( z 5) 2 .
推导一般情况下 的空间两点间的 距离公式
3．情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程
三、教学重点与难点
教学重点： 空间两点间的距离公式 .
教学难点： 一般情况下 ,空间两点间的距离公式的推导 .
四、课时安排
1 课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路 1.距离是几何中的基本度量 ,几何问题和一些实际问题经常涉及距离 ,如飞机和轮船的航线的设计 ,
化简得 4x+6y-8z+7=0, 因此 ,到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件是 4x+6y-8z+7=0. 点评 :通过本题我们可以得出以下两点： ①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公 式的推广 ,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的 特例 . ②到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z) 构成的集合就是线段 AB 的中垂面 . 变式训练 在 z 轴上求一点 M, 使点 M 到点 A(1,0,2),B(1,-3,1) 的距离相等 . 解 :设 M(0,0,z), 由题意得 |MA|=|MB|,
人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式
人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式一、教学目标1. 理解空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 掌握空间两点间的距离公式的应用。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学重点1. 空间两点间的距离公式的推导。
2. 空间两点间的距离公式的应用。
三、教学难点1. 空间两点间的距离公式的理解与记忆。
2. 在实际问题中灵活运用空间两点间的距离公式。
四、教学准备1. 教师准备PPT，包括空间两点间的距离公式及相关例题。
2. 学生准备笔记本，用于记录公式和解答过程。
五、教学过程1. 引入新课通过提问方式引导学生回顾平面两点间的距离公式，激发学生对空间两点间距离公式的兴趣。
2. 推导公式教师引导学生思考空间两点间的距离应该如何表示，通过画图和几何分析，引导学生推导出空间两点间的距离公式。
3. 讲解公式教师详细讲解空间两点间的距离公式的含义，强调公式中各符号的意义和公式的适用范围。
4. 例题讲解教师选取典型例题，讲解如何运用空间两点间的距离公式进行计算，引导学生跟着解答过程，加深对公式的理解。
5. 练习巩固学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
6. 总结与拓展教师总结本节课的主要内容，提醒学生注意空间两点间距离公式的应用。
给出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
7. 布置作业教师布置作业，要求学生熟记空间两点间的距离公式，并运用公式解决实际问题。
8. 教学反思教师在课后反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
9. 学生反馈学生通过课后反馈，向教师反映对本节课教学内容的掌握情况，以及在学习过程中遇到的问题。
10. 家校沟通教师与家长保持沟通，了解学生在家庭环境下的学习状况，鼓励家长关注学生的数学学习。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对空间两点间的距离公式的理解和掌2. 关注学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其空间想象能力和解决问题的能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，全面评价学生的学习效果。
湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 点到直线的距离§ 两条平行直线间的距离
§３．３．３点到直线的距离§３．３．４两条平行直线间的距离一、教材分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具.点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.二、教学目标１．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.２．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.３．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.四、课时安排１课时 五．教学设计 （一）导入新课思路１．点P （0,５）到直线y=２x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为（x 0,y 0）,直线l 的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题.思路２．我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图１,已知点P （x 0,y 0）和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离（为使结论具有一般性，我们假设A 、B≠0）.图１（二）推进新课、新知探究、提出问题１已知点P （x 0,y 0）和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？２前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？ ３回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？（如何求两条平行线间的距离） 活动：１请学生观察上面三种特殊情形中的结论: （ⅰ）x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +；（ⅱ）x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；（ⅲ）x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P （x 0,y 0），d=？ 学生应能得到猜想：d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？（引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理）证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l １的方程为Ax+By+C １=0，令y=0，得P′（AC 1-,0）. ∴P′N=221221|||)(|BA C CB AC A C A +-=++-•. （*） ∵P 在直线l １:Ax+By+C １=0上, ∴Ax 0+By 0+C １=0．∴C １=—Ax 0—By 0. 代入（*）得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.２可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.３引导学生得到两条平行线l １:Ax+By+C １=0与l ２:Ax+By+C ２=0的距离d=2221||BA C C +-.证明：设P 0（x 0,y 0）是直线Ax+By+C ２=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C １=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C ２=0,即Ax 0+By 0=—C ２，∴d=2221||BA C C +-.讨论结果：１已知点P （x 0,y 0）和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离公式为d=2200||BA C By Ax +++.２当A=0或B=0时，上述公式也成立.３两条平行线Ax+By+C １=0与Ax+By+C ２=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.（三）应用示例思路１例１ 求点P 0（—１，２）到下列直线的距离：（１）２x+y —１0=0;（２）３x=２． 解:（１）根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.（２）因为直线３x=２平行于y 轴，所以d=|32—（—１）|=35. 点评：例１（１）直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；（２）体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A （a ，6）到直线３x —４y=２的距离等于４，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a =４⇒|３a —6|=２0⇒a=２0或a=346.例２ 已知点A （１，３），B （３，１），C （—１，0），求△ABC 的面积.解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y —４=0． 点C 到x+y —４=0的距离为h=2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC =21×2522⨯=５． 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A （—１,２）,且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y —１=0或7x ＋y ＋５=0．例３ 求平行线２x —7y+8=0和２x —7y —6=0的距离.解:在直线２x —7y —6=0上任取一点,例如取P （３,0）,则点P （３,0）到直线２x —7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练求两平行线l １:２x+３y —8=0,l ２:２x+３y —１0=0的距离.答案：1332.（四）知能训练课本本节练习.（五）拓展提升问题：已知直线l:２x —y+１=0和点O （0，0）、M （0，３），试在l 上找一点P ，使得||PO|—|PM||的值最大，并求出这个最大值.解:点O （0，0）关于直线l:２x —y+１=0的对称点为O′ （—54,52）， 则直线MO′的方程为y —３=413x. 直线MO′与直线l:２x —y+１=0的交点P （511,158--）即为所求， 相应的||PO|—|PM||的最大值为|MO′|=5185.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：１．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.２．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.３．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.（七）作业课本习题３．３ A 组9、１0；B 组２、４．。
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§４．３．２ 空间两点间的距离公式一、教材分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.二、教学目标１．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式２．过程与方法３．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程三、教学重点与难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.四、课时安排１课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式五、教学设计（一）导入新课思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容.思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题１平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？⑥试根据２３推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：１平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图１２如图１,设A （x,y,z ）是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO ２=BD ２+OD ２,AO ２=AB ２+BO ２=AB ２+BD ２+OD ２=z ２+x ２+y ２,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.３利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.４由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图２⑥如图２,设P １（x １,y １,z １）,P ２（x ２,y ２,z ２）是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P １P ２作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M （x １,y １,0）,N （x ２,y ２,0）,于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P １作P １H⊥P ２N,垂足为H,则|MP １|=|z １|,|NP ２|=|z ２|,所以|HP ２|=|z ２—z １|.在Rt△P １HP ２中,|P １H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P １P ２|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P １（x １,y １,z １）,P ２（x２,y ２,z ２）之间的距离为|P １P ２|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.（三）应用示例例１ 已知A （３,３,１）,B （１,0,５）,求：（１）线段AB 的中点坐标和长度；（２）到A,B 两点的距离相等的点P （x,y,z ）的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:（１）设M （x,y,z ）是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=２,y=203+=23,z=215+=３．所以AB 的中点坐标为（２,23,３）. 根据两点间距离公式,得d （A,B ）=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.（２）因为点P （x,y,z ）到A,B 的距离相等,所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得４x+6y —8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P （x,y,z ）的坐标满足的条件是４x+6y —8z+7=0．点评:通过本题我们可以得出以下两点：１空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.２到A,B 两点的距离相等的点P （x,y,z ）构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A （１,0,２）,B （１,—３,１）的距离相等.解:设M （0,0,z ）,由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=—３,所以M （0,0,—３）.例２ 证明以A （４,３,１）,B （7,１,２）,C （５,２,３）为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-. 由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A （１,—２,—３）,B （—１,—１,—１）,C （0,0,—５）,试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A （１,—２,—３）,B （—１,—１,—１）,C （0,0,—５）,所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=３, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=３．又因为|AB|２+|CA|２=|BC|２,所以△ABC 是直角三角形.例３ 已知A （x,５—x,２x —１）,B （１,x+２,２—x ）,则|AB|的最小值为（ ）Ａ．0 Ｂ．735 Ｃ．75 Ｄ．78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为Ｂ．答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法.（四）知能训练课本本节练习１、２、３、４．（五）拓展提升已知三棱锥P —ABC （如图４）,PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B （３m,m,0）,C （0,２m,0）,P （0,0,２n ）,画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图３解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图３：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE⊥Ox,垂足为E,∵B（3m,m,0）,∴E（3m,0,0）.在Rt△AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m, ∴tan∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=３0°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为３0°.（六）课堂小结１．空间两点间的距离公式的推导与理解.２．空间两点间的距离公式的应用.３．建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.（七）作业习题４．３A组３,B组１、２、３．。