一次绝对值求和函数的最值的化归解法
绝对值最值问题的方法
绝对值最值问题的方法
解绝对值最值问题的一种方法是通过例举法和数学推理。
首先，我们可以列举出给定函数或方程式的所有可能情况，找出绝对值最大或最小值所对应的取值。
例如，对于一个函数f(x) = |x - a| + b，我们可以尝试不同的取值并计算函数值来确定绝对值最值所对应的取值。
另一种方法是利用数学推理来求解绝对值最值问题。
对于绝对值函数，当内部表达式为正时，绝对值等于此表达式本身；当内部表达式为负时，绝对值等于此表达式的相反数。
因此，我们可以通过对内部表达式的符号进行分析，找出使得绝对值最大或最小的取值情况。
例如，对于绝对值函数f(x) = |3x - 7|，我们可以将内部表达式3x - 7分为两种情况，即3x - 7 > 0和3x - 7 < 0。
当3x - 7 > 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7本身；当3x - 7 < 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7的相反数。
通过对这两种情况进行进一步分析，我们可以确定绝对值最值所对应的取值。
绝对值最值问题方法的选择取决于具体情况和方程式的复杂性。
有时通过列举法和尝试不同的取值可以直接得出答案；有时需要通过数学推理和符号分析来确定取值。
对于更复杂的问题，可能需要借助计算机和数值方法来求解。
绝对值的化简方法口诀什么是绝对值
绝对值的化简方法口诀什么是绝对值绝对值化简口诀：绝对值化简口诀是同号得正，异号得负。
绝对值化简步骤：根据数轴从左到右数不断增大的原则，比较绝对值里面字母的大小关系。
根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负。
任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。
绝对值的化简方法口诀绝对值化简口诀：绝对值化简口诀是同号得正，异号得负。
1、绝对值化简步骤：根据数轴从左到右数不断增大的原则，比较绝对值里面字母的大小关系。
根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负。
2、根据一个正数的绝对值等于它本身，把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来，根据一个负数的绝对值等于它的相反数，把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来。
3、绝对值符号全都去掉后，再进行加减运算，得到最简结果。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
4、任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。
当a≥0时，│a│＝a；当a<0时，│a│＝-a；存在│a-b│＝│b-a│。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
一对相反数的绝对值相等。
什么是绝对值在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。
非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a|”表示．读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数，即|a|≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3。
绝对值的最值问题2页
绝对值的最值问题2页绝对值函数是一种常见的数学函数，它表示一个数与0的距离。
绝对值函数是一个有趣的函数，它在数学和物理中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将讨论绝对值函数的最值问题，并给出一些解决这类问题的方法。
首先，让我们来回顾一下绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数表示为| x |，它的值等于x的绝对值，即当x大于等于0时，| x | = x，当x小于0时，| x | = -x。
绝对值函数的最值问题可以分为两种情况：一种是求绝对值函数的最大值，另一种是求绝对值函数的最小值。
我们将分别讨论这两种情况。
首先，我们来考虑求绝对值函数的最大值。
为了求绝对值函数的最大值，我们需要找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
由于绝对值函数的图像是一个抛物线，开口向上，所以我们可以通过求解二次方程来找到最大值。
假设绝对值函数的表达式为| x | = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。
我们可以将绝对值函数的表达式分为两个部分来分别讨论x大于等于0和x小于0的情况。
当x大于等于0时，| x | = x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为x = ax^2 + bx + c。
通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x1和x2是方程的两个解，那么在x1和x2之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
当x小于0时，| x | = -x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为-x = ax^2 + bx + c。
同样地，通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x3和x4是方程的两个解，那么在x3和x4之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
综上所述，绝对值函数的最大值可以通过求解二次方程来找到。
我们可以找到x的取值范围，并检查在这个范围内的值，然后找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
接下来，我们来考虑求绝对值函数的最小值。
为了求绝对值函数的最小值，我们需要找到使得绝对值函数取得最小值的实数。
一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法
一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法作者：王联宪来源：《中学教学参考·理科版》2010年第09期近年来,高考和竞赛常出现多个绝对值求和型函数的最值问题,该类型问题常常采用分类分段讨论去绝对值符号的办法来解决,但往往因分段区间太多而难以有效解决.若利用以下命题,则可以化繁为易,迅速解题.命题:设y=︱x-︱+︱x-︱+︱x-︱+…+︱x-︱,求y达到最小值的条件:(1)当n=2k时,x∈值达到最小;(2)当n=2k-1时时,y值达到最小.证明:利用绝对值的几何意义,可以方便的证明.(1)当n=2k时,若︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当x∈-时等号成立,…︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立.因为是以上各区间的公共的子区间,所以当且仅当x∈时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.若时,当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.(2)当n=2k-1时,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,…︱x--︱+︱x-︱--当且仅当x∈-时等号成立;︱x-︱≥0,当且仅当时等号成立.因为是以上各区间唯一公共的元素,所以当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.【例1】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-19︱,求y的最小值.解析:该式共19项,中项为10,由以上定理知,当且仅当x=10时,y值达到最小.即当x=10时【例2】 (第19届“希望杯”高二年级2试)如果对于任意实数x,都有y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-2008︱≥m成立,那么m的最大值是().A.1003×1004B.10042C.1003×1005D.1004×1005解析:m的最大值,即是y的最小值.绝对值和式共2008项,中间两项分别是1004和1005,当且仅当x∈[1004,1005]时,y值能达到最小,取x=1004或x=1005代入2,故选B.【例3】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱︱x-4︱求x的解集.解析:该式共4项,中间两项分别是2和3,当且仅当x∈[2,3]时所以原不等式的解集是{x︱x3｝.【例4】 (2009,上海)某地街道呈现东西和南北方向的网格状,相邻街距都是1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除报刊零售点外)为发行点,使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短,求该发行点的坐标.解析:设格点为(x,y),则该格点到各零售点的距离之和为:︱x+2︱+︱x+2︱+︱x-3︱+︱x-3︱+︱x-4︱+︱x-6︱+︱y-1︱+︱y-2︱+︱y-3︱+︱y-4︱+︱y-5︱+︱y-6︱.x系列共6项,中间两项都为3,当且仅当x=3时,这一部分和值达到最小;y系列共6项,中间两项为3和4,当且仅当y∈[3,4]时,这一部分和值达到最小.所以(x,y)可取点(3,3)或(3,4),由题意舍去(3,4),所以只能选(3,3).【例5】求y=︱-1︱+︱-2︱+︱-3︱+︱-4︱+︱-5︱的最小值.解析:令则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱+︱t-4︱+︱t-5︱,共5项,中间项为3,当t=3即时【例6】求y=︱︱+︱-1︱︱-2︱︱-4︱+︱-6︱的最小值.解析:令则y=︱t+1︱+︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-4︱+︱t-6︱,共5项,中项为2,当且仅当t=2即x=4时【例7】求y=︱x2+2x-1︱+︱x2+2x-2︱+︱x2+2x-3︱的最小值.解析:令t=x2+2x,则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱,共3项,中项为2,当且仅当t=2即x2+2x=2时,y有最小值,对x2+2x=2求解,得x=-1±3,此时练习:(1)求y=︱x+1︱+︱2x-6︱+︱3x-6︱的最小值.(2)求y=︱x-6︱+︱12x-6︱的最小值.分析:(1)y=︱x+1︱+︱x-2︱+︱x-2︱︱x-2︱︱x-3︱+︱x-3︱,共6项,中间两项都为2,代入x=2即可.(2)y=12(︱x-6︱+︱x-6︱+︱x-12︱),中间项为6,代入x=6即可.(责任编辑金铃)。
绝对值大全零点分段法化简最值
绝对值大全零点分段法、化简、最值一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号;使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式;而后;其解法与一般不等式的解法相同..因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键.. 1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义;即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩;有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c c >0来解;如|ax b +|>c c >0可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ;再由此求出原不等式的解集..对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解;也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解;这是种典型的转化与化归的数学思想方法..3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式;利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解;这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷;解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围;如果没有明确不等式两边均为非负数;需要进行分类讨论;只有不等式两边均为非负数式时;才可以直接用两边平方去掉绝对值;尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点.. 4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法;是指：若数1x ;2x ;……;n x 分别使含有|x －1x |;|x －2x |;……;|x －n x |的代数式中相应绝对值为零;称1x ;2x ;……;n x 为相应绝对值的零点;零点1x ;2x ;……;n x 将数轴分为m +1段;利用绝对值的意义化去绝对值符号;得到代数式在各段上的简化式;从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解;即令每项等于零;得到的值作为讨论的分区点;然后再分区间讨论绝对值不等式;最后应求出解集的并集..零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法;这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法;它可以把求解条理化、思路直观化.. 5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合;利用绝对值的几何意义画出数轴;将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解..数形结合法较为形象、直观;可以使复杂问题简单化;此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<m 为正常数类型不等式..对||||ax b cx d m +++>或<m ;当|a |≠|c |时一般不用.. 二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容;在中考和各类竞赛中经常出现;含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一;解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义;将绝对值符号化去;将问题转化为不含绝对值符号的问题;确定绝对值符号内部分的正负;借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型..一、根据题设条件例1：设化简的结果是 ..A B C D思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号;第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选B．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零;就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号;这是解答这类问题的常规思路．二、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示;则代数式的值等于．A B C D思路分析由数轴上容易看出;这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选C．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上;借助数轴提供的信息让人去观察;一定弄清：1．零点的左边都是负数;右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大;牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．三、采用零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制;又没有数轴信息;要对各种情况分类讨论;可采用零点分段讨论法;本例的难点在于的正负不能确定;由于x是不断变化的;所以它们为正、为负、为零都有可能;应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：;把数轴上的数分为三个部分如图①当时;∴原式②当时;;∴原式③当时;;∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定;但在某个具体的区段内都是确定的;这正是零点分段讨论法的优点;采用此法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零;求出零点不一定是两个．2．分段：根据第一步求出的零点;将数轴上的点划分为若干个区段;使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来;得到问题的答案．误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件;以免得出错误的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中;如何去掉绝对值符号因为这一问题看似简单;所以往往容易被人们忽视..其实它既是初中数学教学的一个重点;也是初中数学教学的一个难点;还是学生容易搞错的问题..那么;如何去掉绝对值符号呢我认为应从以下几个方面着手：一、要理解数a的绝对值的定义..在中学数学教科书中;数a的绝对值是这样定义的;“在数轴上;表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值..”学习这个定义应让学生理解;数a的绝对值所表示的是一段距离;那么;不论数a本身是正数还是负数;它的绝对值都应该是一个非负数..二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值..从数a的绝对值的定义可知;一个正数的绝对值肯定是它的本身;一个负数的绝对值必定是它的相反数;零的绝对值就是零..在这里要让学生重点理解的是;当a是一个负数时;怎样去表示a的相反数可表示为“-a”;以及绝对值符号的双重作用一是非负的作用;二是括号的作用..三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型..1、对于形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质;判断出a的3种情况;便能快速去掉绝对值符号..当a>0时; ︱a︱= a性质1：正数的绝对值是它本身；当a=0 时; ︱a︱= 0性质 2：0的绝对值是0；当 a<0 时；︱a︱= –a 性质3：负数的绝对值是它的相反数..2、对于形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体;再判断a+b的3种情况;根据绝对值的3个性质;便能快速去掉绝对值符号进行化简..当a+b>0时;︱a+b︱= a+b =a +b性质1：正数的绝对值是它本身；当a+b=0 时;︱a+b︱= a+b =0性质 2：0的绝对值是0；当 a+b<0 时;︱a+b︱= –a+b=–a-b 性质3：负数的绝对值是它的相反数..3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样;仍然要把a-b看作一个整体;判断出a-b 的3种情况;根据绝对值的3个性质;去掉绝对值符号进行化简..但在去括号时最容易出现错误..如何快速去掉绝对值符号;条件非常简单;只要你能判断出a与b的大小即可不论正负..因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小;所以当a>b时; ︱a-b︱=a-b= a-b;︱b-a ︱=a-b= a-b ..口诀：无论是大减小;还是小减大;去掉绝对值;都是大减小..4、对于数轴型的一类问题;根据3的口诀来化简;更快捷有效..如︱a-b︱的一类问题;只要判断出a在b的右边不论正负;便可得到︱a-b︱=a-b=a-b;︱b-a︱=a-b=a-b ..5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单;去掉绝对值符号的同时;不要忘记打括号..前面是正号的无所谓;如果是负号;忘记打括号就惨了;差之毫厘失之千里也6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗;还是把绝对值号里的式子看成一个整体;把它与0比较;大于0直接去绝对值号;小于0的整体前面加负号..四、去绝对值化简专题练习1 设化简的结果是 B ..A B C D2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示;则代数式的值等于 C ..A B C D3 已知;化简的结果是 x-8 ..4 已知;化简的结果是 -x+8 ..5 已知;化简的结果是 -3x ..6 已知a、b、c、d满足且 ;那么a+b+c+d= 0 提示：可借助数轴完成7 若 ;则有A ..A B C D8 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示;则式子化简结果为C ．A B C D9 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示;那么下列四个式子;中负数的个数是B ．A0 B1 C2 D310 化简 =1-3x x<-4 2-x+8-4≤x≤2 33xx>211 设x是实数;下列四个结论中正确的是D ..A y没有最小值B有有限多个x使y取到最小值C只有一个x使y取得最小值D 有无穷多个x 使y 取得最小值 五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念;是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念;在解代数式化简求值、解方程组、解不等组、函数中距离等问题有着广泛的应用;全面理解、掌握绝对值这一概念;应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看;a 表示数a 的点到原点的距离长度;非负 ；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基本性质①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解一、绝对值的非负性问题例1若3150x y z +++++=;则x y z --= .. 总结：若干非负数之和为0; .. 二、绝对值中的整体思想例2已知4,5==b a ;且a b b a -=-;那么b a += ．变式1. 若|m －1|=m －1;则m_______1; 若|m －1|>m －1;则m_______1; 三、绝对值相关化简问题零点分段法 例3阅读下列材料并解决有关问题：我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x xx ;现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式;如化简代数式21-++x x 时;可令01=+x 和02=-x ;分别求得2,1=-=x x 称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值..在有理数范围内;零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：1当1-<x 时;原式=()()1221+-=--+-x x x ; 2当21<≤-x 时;原式=()321=--+x x ； 3当2≥x 时;原式=1221-=-++x x x ..综上讨论;原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读;请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；2化简代数式42-++x x 变式1.化简 112-x ； 231-+-x x ；变式2.已知23++-x x 的最小值是a ;23+--x x 的最大值为b ;求b a +的值.. 四、b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．例4距离问题观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-;3与5;2-与6-;4-与3. 并回答下列各题：1你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗 答：___ . 2若数轴上的点A 表示的数为x ;点B 表示的数为―1;则A 与B 两点间的距离可以表示为 ______________.3结合数轴求得23x x -++的最小值为 ;取得最小值时x 的取值范围为 ___. 4 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . （5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数;试求x 的取值范围．五、绝对值的最值问题例51当x 取何值时;3-x 有最小值 这个最小值是多少 2当x 取何值时;25+-x 有最大值 这个最大值是多少 3求54-+-x x 的最小值..4求987-+-+-x x x 的最小值.. 例6．已知1,1≤≤y x ;设421--++++=x y y y x M ;求M 的最大值与最小值． 课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数;求321a b +-的值..2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数;则a 与b 的大小关系是 ．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥ 3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ;1;一l;那么1+a 表示 ．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和4.利用数轴分析23x x -++;可以看出;这个式子表示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和;它表示两条线段相加：⑴当x > 时;发现;这两条线段的和随x 的增大而越来越大；⑵当x < 时;发现;这两条线段的和随x 的减小而越来越大；⑶当 x ≤≤ 时;发现;无论x 在这个范围取何值;这两条线段的和是一个定值 ;且比⑴、⑵情况下的值都小..因此;总结;23x x -++有最小值 ;即等于 到 的距离 5. 利用数轴分析71x x +--;这个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当x ≤ 时;发现;无论x 取何值;这个差值是一个定值 ；⑵当x ≥ 时;发现;无论x 取何值;这个差值是一个定值 ；⑶当 x << 时;随着x 增大;这个差值渐渐由负变正;在中点处是零.. 因此;总结;式子71x x +--当x 时;有最大值 ；当x 时;有最小值 ；9．设0=++c b a ;0>abc ;则cba b a c a c b +++++的值是 ．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或1 10．若2-<x ;则=+-x 11 ；若aa -=;则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字;并且c b a ≤≤;则ac c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．4、当b 为______时;5-12-b 有最大值;最大值是_______当a 为_____时;1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时;3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时;1- | 2＋b|有最大值是_______. 2、已知b 为正整数;且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1;求a 、b 的值.. 7.化简：⑴13x x -++； ⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数;求x 的取值范围.. 7、若|5||2|7x x ++-=;求x 的取值范围..。
一次绝对值求和函数的最值的化归解法
表示为 ２ ｌ ＋ ２ ｌ ， 即ｌ ＋ ２ ｌ ＋Ｉ ＋ ２ ｌ ， 这样 即可转化
为 系数 为 １的 情 况 ， 再 运 用 结 论 １的解 法 ． 一般 的 ，
则有 ：
或 者 将 表 达 式 右 边 提 取 一 个 公 因 数 丢 ．
类 似 的我们 有结 论 ３：
时， Ｙ 有最小值 ， 且最小值等于 ．
引例 ３ （ 第 １ ９届 “ 希望杯 ” 高 二 年 级 ２试 ） 如
对于 Ｙ＝ｌ 一 口 ｌ ｌ ＋ｌ 一 口 ２ ｆ ＋｝ 一 ０ ３ ｌ （ 口 １ ＜０ ２
＜口 ） ， 当 ＝０ 时 ， Ｙ取 最小值 ．
推广 到一 般情 况 ， 则有 ： 结论 １ ， ， 设ｎ １ ＜Ⅱ ２＜… ＜。 ， 则使 函数 Ｙ＝
果对 于任 意 实 数 ， 都 有 Ｙ＝ ｌ 一 １ ｌ ＋ｌ 一 ２ Ｉ ＋
ｌ 一 ３ Ｉ ＋… ＋｛ 一 ２ ０ ０ ８ ｌ ｍ成立 ， 那么 ｍ的最大值
Ｆ ｅ ｂ ． ， ２ ０ １ ３ Ｖｏ １ ． ２ ９ Ｎｏ ． １
一
次绝对值求和 函数 的最值 的化归解法
李 颖 宋 明 亮
２ １ ０ ０ １ ５ ； （ １ ． 南京市长平路 小学 ，江苏南京
２ ． 江苏教 育学院数 学与信 息技 术学院 ，江 苏南京 ２ １ ０ ０ １ ３ ）
结论２ 设函数， ， ＝∑ Ｉ ｋ ｉ 一 口 ｌ ， 其中ｋ 为正
整数 ． 把 ａ ｉ 按 从小 到 大排 列 为 ６ ≤６ ： … ６ ， 其 中
Ｐ ２ ｔ
论．
引例 ４ （ ２ ０ １ １年 “ 北约 ” 自主 招 生 联 考 数 学 压
轴 题 ）求 ｌ 一 １ ｌ ＋ Ｉ ２ ｘ 一１ ｌ ＋ ｌ ３ ｘ 一 １ ｌ ＋… ＋
绝对值的化解和求值
绝对值的化解和求值 The final edition was revised on December 14th, 2020.“解读绝对值”例题解析1. 绝对值的意义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
即2. 绝对值的性质一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，显然，任何数的绝对值都是非负值，即。
结论：若则3. 绝对值的化简和求值例1. 计算。
思路点拨：若先计算绝对值里的值，非常烦琐。
注意到两个绝对值里的分数，其分母分别相同，可以先去绝对值符号，然后再计算。
要脱掉绝对值符号，首先要考虑绝对值内的数的正负。
对于第一个绝对值符号内的数，由于分子相同容易得出；对于第二个绝对值符号内的数，由于。
解：原式例2. （1）已知，那么__________。
（2）已知，那么___________。
思路点拨：要求原式的值，就是要去掉分母中的绝对值符号。
条件告诉我们，并没有确定还是，因此，我们要分和两种情况考虑。
解：（1）当时，原式；当时，原式故应填1或。
（2）由（1）知的取值取决于a的符号，有两种可能：当时，，当时，；的取值也有两种可能：当时，，当时，因此的取值就有四种可能：当时，；当；当；当所以，当a、b同为正数时，原式=2；当a、b一正一负时，原式=0；当a、b同为负数时，原式。
例3. 已知，且，那么__________。
思路点拨：由条件求出a、b、c的值，注意条件的约束。
解：由，知又因为，所以，或当；当例4. 表示a、b、c的点在数轴上的位置如图所示，化简。
思路点拨：由表示字母的点在数轴上的位置，可以知道a、b、c的正负及它们之间的大小关系，利用这些关系，将绝对值符号去掉，然后化简。
解：由图可知。
例5. 已知，求代数式的值。
思路点拨：运用非负数的概念和性质，先求出a、b的值，然后再利用拆项法计算。
解：，，演练反馈：1. 计算：2. 若，则的值等于___________。
绝对值大全(零点分段法-化简-最值)
绝对值大全〔零点分段法、化简、最值〕一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的根本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法一样。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a 〞来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项〞绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，假如没有明确不等式两边均为非负数，需要进展分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：假设数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
关注通法 触类旁通——也谈一次绝对值求和型函数的最值求法
斗 一十 一— ” ＋ ”＋ ”＋ ” ＋ ”＋ ”＋ ”＋ 一 ＋ ＊ ＋ “＋ 一 ＋ 一＋ 一＋ “ ＋ 一 ＋ ＋ － ・ ＋ ・ － ＋
疑难 处 ， 或是 在学 生讨论 的关 键 点 做 出恰 如其 分 的点 拨， 或是 在学 生 遇 到 困难 时 做 出恰 到 好 处 的 鼓 励 ， 注
１ ， ２ ， …， ， ｚ ） 的最 值 ， 给 出 了 一种 “ 点 的放 大 法 ” 的探
将 函数 解 析 式 中 的绝 对 值 式 予 以 分 拆 ， 系 数 均 化 成
ｌ ， 并按 照 绝 对 值 式 零 点 由小 到 大 的 顺 序 排 列 ， 然 后 “ 等距 选项 搭配 ” ， 使 用绝 对值 不等 式 。
有无 数个 。当然 ， 瑕不掩 瑜 ， 章老 师 是一 位 爱动 脑 筋 、
善 于创 新 的 教 师 。通 过 对 教 材 的 适 度 整 合 、 巧 妙 改
编， 构建 开放 、 和谐 的课 堂氛 围 ， 使 学 生 在 数 学 知 识 层
‘ 简单’ 办法 ”时 ，尽 管学 生 们 在 笑 ， 但 教 师 并 不 是 去 奚 落这 名学 生 ， 反 而 是表 扬 这 名学 生 能够 预 习教 材 ；
平行 四边形 ”方 案 ， 对学生 提出的每一个方案 ， 教 师
本 人都 没有作 出评 价 ， 而是 让 学 生 来 评 价 ， 有 意 去激
发 学 生 的 思 维 。 当 学 生 ７说 出 “ 书 也 没 有 采 用 这 种
角形 的地 方不 止 一 个 ， 白 『 以在 以 ＡＢ为 直 径 的 圆 ，
个性 的精 彩生成 。这个“ 矿” 挖 得很 关键 。
尽管 这堂课 总体 上很 成功 ， 但 有 个 别 地 方 还 需 要 仔细 推敲 ， 如 学 生 ８说 ： “ … … 方 案 ２中 只 有 一 个 地 方 刚 刚能形 成直 角三 角形 … …” 这 里 实 际 形 成 直 角 三
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
千万于值大齐（整面分段法、化简、最值）之阳早格格创做一、去千万于值标记的几种时常使用要领解含千万于值不等式的基础思路是去掉千万于值标记，使不等式形成不含千万于值标记的普遍不等式，而后，其解法与普遍不等式的解法相共.果此掌握去掉千万于值标记的要领战道路是解题闭键.1利用定义法去掉千万于值标记根据真数含千万于值的意思，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的本量去掉千万于值标记利用不等式的本量转移|x |<c 大概|x |>c (c >0)去解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 大概ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此供出本不等式的解集.对付于含千万于值的单背不等式应化为不等式组供解，也可利用论断“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 大概－b ≤x ≤－a ”去供解，那是种典型的转移与化归的数教思维要领.3利用仄要领去掉千万于值标记对付于二边皆含有“单项”千万于值的不等式，利用|x|2=2x可正在二边脱去千万于值标记去解，那样解题要比按千万于值定义去计划脱去千万于值标记解题更为简便，解题时还要注意不等式二边变量与参变量的与值范畴，如果不精确不等式二边均为非背数，需要举止分类计划，惟有不等式二边均为非背数(式)时，才不妨曲交用二边仄圆去掉千万于值，更加是解含参数不等式时更必须注意那一面.4利用整面分段法去掉千万于值标记所谓整面分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含1有|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相映千万于值为1整，称x，2x，……，n x为相映千万于值的整面，整面1x，1x，……，n x将数轴分为m+1段，利用千万于值的意思化去千2万于值标记，得到代数式正在各段上的简化式，进而化为不含千万于值标记的普遍不等式去解，即令每项等于整，得到的值动做计划的分区面，而后再分区间计划千万于值不等式，末尾应供出解集的并集.整面分段法是解含千万于值标记的不等式的时常使用解法，那种要领主要体现了化归、分类计划等数教思维要领，它不妨把供解条理化、思路曲瞅化.5利用数形分离去掉千万于值标记解千万于值不等式偶尔要利用数形分离，利用千万于值的几许意思绘出数轴，将千万于值转移为数轴上二面间的距离供解.数形分离法较为局里、曲瞅，不妨使搀纯问题简朴化，此解法适用于||||x a x b m-+-<(m为仄常-+->大概||||x a x b m数)典型不等式.对付||||+++>(大概<m)，当|a|≠|c|时普遍ax b cx d m不必.二、怎么样化简千万于值千万于值的知识是初中代数的要害真量，正在中考战百般竞赛中时常出现，含有千万于值标记的数教问题又是教死逢到的易面之一，办理那类问题的要领常常是利用千万于值的意思，将千万于值标记化去，将问题转移为不含千万于值标记的问题，决定千万于值标记里里分的正背，借以去掉千万于值标记的要领大概有三种典型.（一）、根据题设条件例1：设化简的截止是（）.（A）（B）（C）（D）思路分解：由可知可化去第一层千万于值标记，第二次千万于值标记待合并整治后再用共样要领化去．解：∴应选（B）．归纳面评只消了解千万于值将合内的代数式是正是背大概是整，便能根据千万于值意思成功去掉千万于值标记，那是解问那类问题的惯例思路．（二）、借帮数轴例2：真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（）．（A）（B）（C）（D）思路分解由数轴上简单瞅出，那便为去掉千万于值标记扫浑了障碍．解：本式∴应选（C）．归纳面评那类题型是把已知条件标正在数轴上，借帮数轴提供的疑息让人去瞅察，一定弄浑：1．整面的左边皆是背数，左边皆是正数．2．左边面表示的数总大于左边面表示的数．3．离本面近的面的千万于值较大，牢记那几个重心便能从容自如天办理问题了．（三）、采与整面分段计划法例3：化简思路分解本典型的题既不条件节造，又不数轴疑息，要对付百般情况分类计划，可采与整面分段计划法，本例的易面正在于的正背不克不迭决定，由于x是不竭变更的，所以它们为正、为背、为整皆有大概，应当对付百般情况—一计划．解：令得整面：；令得整面：，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当时,∴本式②当时，，∴本式③当时，，∴本式∴归纳面评：虽然的正背不克不迭决定，但是正在某个简曲的区段内皆是决定的，那正是整面分段计划法的便宜，采与此法的普遍步调是：1．供整面：分别令各千万于值标记内的代数式为整，供出整面（纷歧定是二个）．2．分段：根据第一步供出的整面，将数轴上的面区分为若搞个区段，使正在各区段内每个千万于值标记内的部分的正背不妨决定．3．正在各区段内分别观察问题．4．将各区段内的情形概括起去，得到问题的问案．误区面拨千万不要念天然天把等皆当成正数大概无根据天减少一些附加条件，免得得堕落误的截止．三、戴千万于值标记的运算正在初中数教教教中，怎么样去掉千万于值标记？果为那一问题瞅似简朴，所往常往简单被人们轻视.本去它既是初中数教教教的一个沉面，也是初中数教教教的一个易面，仍旧教死简单搞错的问题.那么，怎么样去掉千万于值标记呢？尔认为应从以下几个圆里收端：（一）、要明白数a的千万于值的定义.正在中教数教教科书籍中，数a的千万于值是那样定义的，“正在数轴上，表示数a的面到本面的距离喊搞数a的千万于值.”教习那个定义应让教死明白，数a的千万于值所表示的是一段距离，那么，不管数a自己是正数仍旧背数，它的千万于值皆该当是一个非背数.（二）、要弄领会何如去供数a的千万于值.从数a的千万于值的定义可知，一个正数的千万于值肯定是它的自己，一个背数的千万于值肯定是它的好异数，整的千万于值便是整.正在那里要让教死沉面明白的是，当a是一个背数时，何如去表示a的好异数（可表示为“-a”），以及千万于值标记的单沉效率（一利害背的效率，二是括号的效率）.（三）、掌握初中数教罕睹去掉千万于值标记的几种题型.1、对付于形如︱a︱的一类问题只消根据千万于值的3个本量，推断出a的3种情况，便能赶快去掉千万于值标记.当a>0时，︱a︱=a (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a=0 时，︱a︱=0 (本量 2：0的千万于值是0) ；当 a<0 时；︱a ︱=–a (本量3：背数的千万于值是它的好异数) .2、对付于形如︱a+b︱的一类问题最先要把a+b瞅做是一个完齐，再推断a+b的3种情况，根据千万于值的3个本量，便能赶快去掉千万于值标记举止化简.当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (本量 2：0的千万于值是0)；当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (本量3：背数的千万于值是它的好异数).3、对付于形如︱a-b︱的一类问题共样，仍旧要把a-b瞅做一个完齐，推断出a-b 的3种情况，根据千万于值的3个本量，去掉千万于值标记举止化简.但是正在去括号时最简单出现过得.怎么样赶快去掉千万于值标记，条件非常简朴，只消您能推断出a与b的大小即可（不管正背）.果为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b 时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b .心诀：无论是大减小，仍旧小减大，去掉千万于值，皆是大减小.4、对付于数轴型的一类问题，根据3的心诀去化简，更快速灵验.如︱a-b︱的一类问题，只消推断出a正在b的左边（不管正背），即可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对付于千万于值标记前有正、背号的运算非常简朴，去掉千万于值标记的共时，不要记记挨括号.前里是正号的无所谓，如果是背号，记记挨括号便惨了，好之毫厘得之千里也！6、对付于千万于值号里有三个数大概者三个以上数的运算万变不离其宗，仍旧把千万于值号里的式子瞅成一个完齐，把它与0比较，大于0曲交去千万于值号，小于0的完齐前里加背号.四、去千万于值化简博题训练（1）设化简的截止是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知，化简的截止是 x-8 .(4) 已知，化简的截止是 -x+8 .(5) 已知，化简的截止是 -3x .(6) 已知a、b、c、d谦脚且，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借帮数轴完毕）(7) 若，则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则式子化简截止为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b正在数轴上的对付应面如图所示，那么下列四个式子，中背数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是真数，下列四个论断中精确的是（ D ）.（A）y不最小值（B）有有限多个x使y与到最小值（C）惟有一个x使y博得最小值（D）有无贫多个x使y博得最小值五、千万于值培劣教案千万于值是初中代数中的一个基础观念，是教习好异数、有理数运算及后绝二次根式的前提．千万于值又是初中代数中的一个要害观念，正在解代数式化简供值、解圆程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广大的应用，周到明白、掌握千万于值那一观念，应从以下圆里人脚：l ．千万于值的代数意思：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．千万于值的几许意思从数轴上瞅，a 表示数a 的面到本面的距离(少度，非背) ；b a -表示数a 、数b 的二面间的距离．3．千万于值基赋本量①非背性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培劣道解（一）、千万于值的非背性问题【例1】若3150x y z +++++=，则x y z --=.归纳：若搞非背数之战为0，.（二）、千万于值中的完齐思维【例2】已知4,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;（三）、千万于值相闭化简问题（整面分段法）【例3】阅读下列资料并办理有闭问题：咱们了解()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，当前咱们不妨用那一个论断去化简含有千万于值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 战02=-x ，分别供得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的整面值）.正在有理数范畴内，整面值1-=x 战2=x 可将部分有理数分成不沉复且不遗漏的如下3种情况：（1）当1-<x 时，本式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）当21<≤-x 时，本式=()321=--+x x ；（3）当2≥x 时，本式=1221-=-++x x x .综上计划，本式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读，请您办理以下问题：（1） 分别供出2+x 战4-x 的整面值；（2）化简代数式42-++x x 变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；变式2.已知2--xx的最大值为b，3+x的最小值是a，23++-x供ba+的值.（四）、ba-表示数轴上表示数a、数b的二面间的距离．【例4】（距离问题）瞅察下列每对付数正在数轴上的对付应面间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回问下列各题：（1）您能创造所得距离与那二个数的好的千万于值有什么闭系吗？问：___.（2）若数轴上的面A表示的数为x，面B表示的数为―1，则A与B二面间的距离不妨表示为 ______________.（3）分离数轴供得23-++的最小值为，博得最小值时x的x x与值范畴为 ___.（4）谦脚3+x的x的与值范畴为 ______ .+x41>+（5）若1232008-+-+-++-的值为常数，试供x的与值范x x x x畴．（五）、千万于值的最值问题【例5】（1）当x与何值时，3-x有最小值？那个最小值是几？（2）当x与何值时，2-x有最大值？那个最大值是5+几？（3）供54-+-x x 的最小值.（4）供987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，供M 的最大值与最小值．课后训练：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为好异数，供321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为好异数，则a 与b 的大小闭系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三面A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，一l ，那么1+a 表示( )．A ．A 、B 二面的距离 B ．A 、C 二面的距离C ．A 、B 二面到本面的距离之战D ． A 、C 二面到本面的距离之战4.利用数轴分解23x x -++，不妨瞅出，那个式子表示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之战，它表示二条线段相加：⑴当x >时，创造，那二条线段的战随x 的删大而越去越大；⑵当x <时，创造，那二条线段的战随x 的减小而越去越大；⑶当x ≤≤时，创造，无论x 正在那个范畴与何值，那二条线段的战是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值皆小.果此，归纳，23x x -++有最小值，即等于到的距离5. 利用数轴分解71x x +--，那个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之好它表示二条线段相减：⑴当x ≤时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑵当x ≥时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑶当x <<时，随着x 删大，那个好值徐徐由背变正，正在中面处是整. 果此，归纳，式子71x x +--当x 时，有最大值；当x 时，有最小值；9．设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3大概-1D ．-3大概110．若2-<x ，则=+-x 11；若a a -=，则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位战个位数字，而且c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-大概博得的最大值是．4、当b 为______时，5-12-b 有最大值，最大值是_______当a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时，3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.2、已知b 为正整数，且a 、b 谦脚| 2a －4|＋b ＝1，供a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，供x 的与值范畴.7、若|5||2|7x x ++-=，供x 的与值范畴.。
一次绝对值求和函数最值的几何求法
一次绝对值求和函数最值的几何求法
例1. 求函数21)(-++=x x x f 的最小值
解一：分段讨论法
解二：绝对值三角不等式
解三：绝对值得几何意义
变式1：求函数212)(-++++=x x x x f 的最小值
变式2：求函数4212)(-+-++++=x x x x x f 的最小值
拓展一：系数为1的绝对值求和函数最值的几何求法 设n n a x a x a x a x x f a a a a -++-+-+-=<<<< 321321)(,，设使)(x f 取最小值的x 为：
当n 为奇数时，x 取中间那个实数2
1+=n a x
当n 为偶数时，x 可取中间两个数之间任何一个实数
拓展二：系数为整数的绝对值求和函数最值的几何求法
例2.（1）求函数2212)(++++-=x x x x f 的最小值
（2）求函数102322212)(-++-+-+-=x x x x x f 的最小值（25）
拓展三：系数是有理数的绝对值求和函数最值的几何求法
例3.求函数211213141161)(-+-++=x x x x f 的最小值（1829）。
含绝对值一次方程地解法
含绝对值一次方程及方程组的解法一、绝对值的代数和几何意义。
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
用字母表示为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a 0 000<=>a a a绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。
因此任何数的绝对值是非负数。
根据绝对值的意义，我们可以得到：当a > 0时 x =± a| x | =a 当a = 0时 x = 0当a < 0时 方程无解.二、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+； ③解②中的两个绝对值方程．三、热身练习：1、 求下列方程的解：（1）| x | = 7； （2）5 | x | = 10； （3）| x | = 0； （4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9［例1］解方程 (1) 0223|21|=-+-x (2) 0|12|3=+--x x 解：| 1 – 2x | + 3 – 4 = 0 解：| 2x – 1 | = 3 + x ［x ≥ - 3］| 1 – 2x | = 1 2x – 1 = 3 + x 或 2x – 1 = - (3 + x)1 – 2x = 1或 1 – 2x = - 1 x 1 = 4 或 x2 = 32-x 1 = 0 或 x 2 = 1★当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号得几种常用方法解含绝对值不等式得基本思路就是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号得一般不等式,而后,其解法与一般不等式得解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号得方法与途径就是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值得意义，即|｜=,有|｜〈;｜｜>2利用不等式得性质去掉绝对值符号利用不等式得性质转化||＜或|｜>（>0)来解,如｜｜〉（＞0）可为＞或<-;|｜〈可化为－＜+＜，再由此求出原不等式得解集。
对于含绝对值得双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤｜｜≤≤≤或－≤≤-”来求解，这就是种典型得转化与化归得数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值得不等式,利用|｜=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量得取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其就是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，就是指：若数，，……,分别使含有｜－|,｜—|，……,｜—｜得代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值得零点，零点，，……,将数轴分为+1段，利用绝对值得意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上得简化式，从而化为不含绝对值符号得一般不等式来解，即令每项等于零,得到得值作为讨论得分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集得并集。
零点分段法就是解含绝对值符号得不等式得常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值得几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间得距离求解。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)精编版
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
OK列表法破解一次绝对值函数的最值问题
由表格 8 知函数零点排序解析式为 f ( x) min = f (2 ) = 4 且 综上， a = − 1 或 a = 3 。
2
2016. 02 小作家选刊
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(− ∞,−1)
a) | − 1,− | 2) (
|= 由表格 5 知 f ( x) min = f | (5) 5 。 f ( x ) = | x − a | + | 2 x − 1 | +2 | x − 2 | 例 4 已知函数 的最小值为 4，求实数 a 的值 . 按照每个绝对值函数的零点大小顺序分 类讨论，列表如下：
，解得 a = −4 ；由表格 2 知 a − < −1 ，解得 a = 8 .
2
a) f ( x) min = f | − | = 3 且 ( 2)
x 的系数 -5 -1 3 5 单调性 ↘ ↘ ↗ ↗ 表格 8 由表格 6 知函数零点排序解析式为
f ( x) =| x − a | + | 2 x − 1 | +2 | x − 2 | ， 1 1 a < ，解得 a = − ； 2 2
2) | − ∞, | 5) (
2 1) | , | (5 2) 1 ) | ,1| (2 )
x 的系数 -8 单调性 ↘ 表格 5
2 ↗
2) 4
6 ↗
8 ↗
得最小值。这便引发了笔者对该问题的进一 步思考与探究。先从函数图像入手：由几何 画板作图可知， 此类函数的图像均为折线型， 即每一段折线都对应一个一次函数，这便引 导我们可以利用函数单调性（由自变量 x 的 系数决定）来研究其最小值。列表如下： x 的范围 x 的系数 单调性 表格 1 x 的范围 x 的系数 单调性 表格 2