第4讲 方差分析 (1)

3. 三因素方差分析: 也称为拉丁方设计（Latin square design）的方差分析。该设计特点是， 可以同时分析三个因素对试验结果的作用， 且三个因素之间相互独立，不能有交互作用。 4. 析因设计（factorial design）的方差分析: 当 两个因素或多个因素之间存在相互影响或交 互作用时，可用该设计来进行分析。该设计 不仅可以分析多个因素的独立作用，也可以 分析多个因素间的交互作用，是一种高效率 的方差分析方法。
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
组间变异 SSB

Sum of squares between groups
X1 X2
X3
X
n 1 ( X 1 X )2 n 2 ( X 2 X )2 n3( X 3 X )2
2
SSBetween ni ( X i X )
组内变异（within group variation )
SS组间 MS组间 组间
MS组内
SS组内
组内
分析变异
方差比的分布！
F
MS组间 MS组内
处理因素变异 误差变异 误差变异
• 基本思想：根据实验设计的类型，将全部 观测值总的离均差平方和及其自由度分解 为两个或多个部分，除随机误差作用外， 每个部分的变异可由某个因素的作用（或 某几个因素的交互作用）加以解释，如组 间变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。 通过比较不同变异来源的均方，借助F分布 作出统计推断，从而推论各种研究因素对 试验结果有无影响。
总
• 2.数理统计证明，SS 可以由几个部分构成。 单因素方差分析中，SS 由组间变异和组内 变异构成。 SS ＝SS ＋SS • 3.组间变异主要受到处理因素和个体误差两 方面影响，组内变异主要受个体误差的影响。 当H0为真时，由于处理因素不起作用，组间 变异只受个体误差的影响。此时，组间变异 与组内变异相差不能太大。
• 例4-2：某医生为了研究一种降血脂新药的临
床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂 症患者，采用完全随机设计方法将患者等 分为4组，进行双盲试验。6周后测得低密 度脂蛋白作为试验结果，见表4-2。问4个处 理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有 无差别？
表4-2 四个处理组低密度脂蛋白测量值（mmol/L）
学习要求
1.掌握方差分析的基本思想； 2.掌握单因素、双因素、两阶段、析因设计 和重复测量资料方差分析的应用条件、意 义及计算方法； 3.熟悉多个均数间两两比较的意义及方法； 4.了解方差齐性检验的意义及方法； 5.熟悉变量变换的意义和方法。
第1节 方差分析的基本思想
• 方 差 分 析 （ analysis of variance ， 缩 写 为 ANOVA ）是常用的统计分析方法之一。其 应用广泛，分析效率高，节省样本含量。
变异分解：
SS总 = xij x
i 1 j 1 g ni


2
g ni xij ni ni g g i 1 j 1 2 2 xij = xij -C N i 1 j 1 i 1 j 1
2
总 =N 1
xij g g 2 j 1 SS组间 = ni xi x = ni i 1 i 1
什么是方差？
方差 变异
样本方差 总体方差
自由度 离均差平方和（SS)
例4-1：某医生为研究一种四类降糖新药的疗 效，选择了60名II型糖尿病患者，按完全随机设 计方案将患者分为三组进行双盲临床试验。其 中，降糖新药高剂量组 21 人、低剂量组 19 人、 对照组 20 人。对照组服用公认的降糖药物，治 疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L) 结果如下表：问治疗4周后餐后血糖下降值各组 的平均水平是否不同？
1
2
k
H 0 : m1 m 2 m k
2 2 12 2 k 2
假设的意义为，在某处理因素的不同水平下，各样 本的总体均数相等。
• 1.设某因素有g个水平，即试验数据产生g个 样本;每个样本有ni个观测。由多个样本的全 部数据可以计算出总变异，称为总的离均差 平方和。即SS 。
组间
组内
0
1
表4-4 方差分析表
• 该结论的意义为，至少有两组低密度脂蛋 白总体均数不同。如果想确切了解哪两个 低密度脂蛋白总体均数有差异，可进一步 作多个样本均数的两两比较。
第3节
双因素方差分析
1.特点 按照随机区组设计的原则来分析两个因素对 试验结果的影响及作用。其中一个因素称为处理 因素，一般作为列因素；另一个因素称为区组因 素或配伍组因素，一般作为行因素。两个因素相 互独立，且无交互影响。双因素方差分析使用的 样本例数较少，分析效率高，是一种经常使用的 分析方法。 • 双因素方差分析的设计对选择受试对象及试验条 件等方面要求较为严格，应用该设计方法时要十 分注意。该设计方法中，总变异可以分出三个部 分： SS总＝SS处理＋SS区组＋SS误差
2
组间 =4-1=3
SS组内 =SS总 -SS组间 =82.10-32.16 49.94
组内 =119-3=116
MS组间
SS组间
组间
SS组内
32.16 10.72 3
F
MS组间 MS组内
10.72 24.93 043MS组内 组内

49.94 0.43 116
0 1
( xij ) 2 C＝
i 1 j 1
4
30
120
4 30 i 1 j 1
＝
324.30
120
2
＝876.42
SS总＝ x 2－C＝958.52 876.42 82.10
总＝N－ 1 120 1 119
SS组间
ni xij g (102.91) 2 (81.46) 2 (80.94) 2 (58.99) 2 j 1 C 876.42 32.16 ni 30 30 30 30 i 1
F F0.013,116 , P 0.01
(3) 列方差分析表: 见表4-4。 (4）确定P值: 根据＝0.05，1＝ ＝2， 2 ＝ ＝24，查附表4，F界值表，得F界 值:F0.01(2,24)=5.61。本例F＝54.39，大于界值 F0.01(2,24)=5.61，则P<0.01。 (5) 推断结论: 由于P＜0.01，在=0.05水准上 拒绝H ，接受H ，差异有统计学意义。可以 认为四个处理组低密度脂蛋白总体均数不全 相同。
三、方差分析的类型
1. 单因素方差分析（one-way ANOVA）:也称 为完全随机设计(completely random design)的 方差分析。该设计只能分析一个因素下多个 水平对试验结果的影响。 2. 双因素方差分析（two-way ANOVA）:称为 随机区组设计（randomized block design）的 方差分析。该设计可以分析两个因素。一个 为处理因素，也称为列因素；一个为区组因 素，也称为行因素。
总 总 总 组间 组内
• 4.各种变异除以相应的自由度，称为均方， 用MS表示，也就是方差。当H0为真时，组 间均方与组内均方相差不大，两者比值F值 约接近于1。即 F＝组间均方／组内均方≈1。 • 5.当H0不成立时，处理因素产生了作用，使 得组间均方增大，此时，F＞＞1，当大于 等于F临界值时，则P≤0.05可认为H0不成立， 各样本均数不全相等。
组内变异 SS 组内： 随机误差 组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square， MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，
5.正交试验设计的方差分析 : 如果要分析的因 素有三个或三个以上，可进行正交试验设 计（orthogonal experimental design）的方差 分析。当分析因素较多时，试验次数会急 剧增加，用此设计进行分析则更能体现出 其优越性。该设计利用正交表来安排各次 试验，以最少的试验次数，得到更多的分 析结果。
ni 2
x ij i 1 j 1 C N
g ni
2


xij xij g i 1 j 1 j 1 -C - N ni i 1
g ni ni
2
2
组间 =g 1
SS组内 =SS总 -SS处理
组内 = 总 - 处理 N -g
整理如下表：
表4-3 完全随机设计资料的方差分析表
例4-2 计算
n x
x x
2
• 假设检验
(1) 建立检验假设 H :四个处理组低密度脂蛋白总体均数相同，m1＝m2＝ m3； H :四个处理组低密度脂蛋白总体均数不全相同。 α＝0.05, (2) 计算检验统计量F值: 由表4-2的数据计算有：
医学统计学 Medical Statistics
高文龙 兰州大学公共卫生学院
第4章 方差分析
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 第7节 方差分析的基本思想 单因素方差分析 双因素方差分析 析因设计的方差分析 重复测量资料的方差分析 多个样本均数是的两两比较 多个方差的齐性检验
试验数据中存在的变异
总变异（Total variation）
全部测量值Xij与总均数 量值之间总的变异程度。
X
间的差别 ，反映了所有测
SST X X
2
组间变异（ between group variation ）