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实验中学高二上学期第一次月考数学卷(必修3综合测试题)

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实验中学高二数学上学期第一次月考试题理含解析

实验中学高二数学上学期第一次月考试题理含解析
当 时,
两式相减得
综上得
（2)显然 ；
当 时,
综上得
【点睛】本题考查求数列的通项公式与前 项和,求数列通项公式方法是类比已知 求 的方法，求和方法是分类讨论,分组求和．
21。 在 中, 角 的对边分别是 已知 的面积为 。
（1）求 ;
（2）若 ，求 。
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1)已知条件即为 ，由正弦定理化边为角后即可得结论；
即 ,由 ,知 ，所以 ，
因此,数列 是首项为 ,公比为 等比数列，
（2)解:由（1)得 ，由
得 ，解得 ．
【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列的前 项和公式，解题关键是掌握求 求 的方法．
10。 在 和 之间插入 个正数,使这 数成等比数列，该数列的公比是（ )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知结合等比数列的性质即可直接求解．
【详解】解：设 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．
11。 在 中,若 ，则 是( ）
【详解】由题意 ， ，所以 ， ， ,
所以数列 是周期为2的周期数列，
所以 ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查数列新定义,解题关键是由新定义计算数列的项，归纳出数列的性质：周期数列，从而易求和．
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17. 在 中， 角 的对边分别是 求证: .
（1）证明:数列 是等比数列；
（2）若 ，求 .
【答案】（1析】
（1）首先求出 ，说明 ，然后由 得出数列 的递推关系，再根据等比数列定义证明；

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

人教A版高中数学必修三试卷高二年级第一次月考试卷.doc

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第一学期高二年级第一次月考试卷一、选择题：（以下每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共12题合计60分） 1、下列给出的赋值语句正确的是（ ）A.x =1B. x x 2=C. 2==b aD. 0=+y x 2、372和684的最大公约数是（ ） A.36 B. 186 C.12 D. 589 3、INPUT 语句的一般格式是( )A.INPUT “提示内容”；表达式B.“提示内容”；变量C. INPUT “提示内容”；变量D. “提示内容”；表达式4、把88化为五进制数是 （ ） A. 324(5) B. 323(5) C. 233(5) D. 332(5)5、下列算法：①x z =；②y x =；③ z y =；④ 输出x,y关于算法作用，下列叙述正确的是 （ ） A ．交换了原来的x,y B. 让x 与y 相等 C. 变量z 与x,y 相等 D. x,y 仍是原来的值 6、．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（ ）A ． 一个算法只能含有一种逻辑结构 B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合 7、 下列判断正确的是( )A.条件结构中必有循环结构B.循环结构中必有条件结构C.顺序结构中必有条件结构D.顺序结构中必有循环结构 8、下面是判断框的是( )ABC 、D 、9、当3=a 时，下面的程序段输出的结果是 （ ） A ．9 B ．3 C ．10 D ．6 10、当A=1时，下列程序： input"A=";A A=A*2 A=A*3 A=A*4 A=A*5 print A end输出的结果A 是 （ ） A ．5 B. 6 C. 15 D. 120 11、下列程序执行后输出的结果是（ ）A. –1B. 0C. 1D. 2 12、以下给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是（ ）否08~09 高二年级第一次月考试卷答题卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在横线上．13、A=15,A=-A+5,最后A 的值为14、一般来说，一个复杂的流程图都可以分解成_________、_________、__________三种结构； 15、用“秦九韶算法”计算多项式12345)(2345+++++=x x x x x x f ，当x=2时的值的过程中，要经过 次乘法运算和 次加法运算。

数学必修3月考测试卷及答案

数学必修3月考测试卷及答案

高二数学（必修3）月考测试卷 班级： 姓名: 分数：考试时间：45分钟 满分：100分一、选择题（每题6分，6题共36分））1．已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是 ( C ) A ．a ＝b ，b ＝a B ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝b C ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝a D ．c ＝a ，a ＝b ，b ＝c2．执行右边所示的程序框图，则输出的k 的值是 ( B ) A ．3 B ．5 C ．4 D ．63．(09·宁夏海南理)对变量x ，y 观测数据(x 1，y 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，．( C )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关[答案] C[解析] 用散点图可以判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关4．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样法的方法抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n 为( D ) A ．16 B ．96 C ．112 D ． 192[解析] 由801000＝225，∴n 2400＝225，∴n ＝192.5．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为 ( A ) A.710 B.310 C.35 D.256、设l 是过点A (1,2)斜率为k 的直线，其中k 等可能的从集合{－1，－12，0，12，23，43，2,3}中取值，则原点到直线l 的距离大于1的概率为( B ) A.38B.58C.12D.34[答案] B[解析] l ：y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0， 由题意|－k ＋2|1＋k2>1，∴k 2－4k ＋4>1＋k 2， ∴k <34，故当k <34时，事件A ＝“原点到直线l 的距离大于1”发生，∴P (A )＝58.频率二、填空题（每题6分，4题共24分）1．用秦九韶算法求多项式f (x )＝4x 4＋2x 2＋x ，当x ＝3时，v 2=2、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．113．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由表中数据得回归方程y ^＝b x ＋a 中b ＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为________．404．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．14π-三、解答题（每题20分，2题共40分）1、某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30min 抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,100 乙：110,115,90,85,100 (1)这种抽样方法是哪一种？ (2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)计算两组数据的平均数，并根据茎叶图，说明哪个车间的产品较稳定．[解析] (1)因为间隔时间相同，故是系统抽样．2、 “交通指数”是反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值.交通指数的取值范围为0至10，分为5个等级：其中[)0,2为畅通，[)2,4为基本畅通，[)4,6为轻度拥堵，[)6,8为中度拥堵，[]8,10为严重拥堵. 晚高峰时段，某市交通指挥中心选取了市区60个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频数分布表及频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从交通指数在[0,2)和[)2,4的路段中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽出2个路段，求至少有一个路段为畅通的概率． （3）根据频率分布直方图计算该交通指数数据的平均值。

天津市武清区天和城实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

天津市武清区天和城实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

天津市武清区天和城实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()12b c a +- C ．()12a b c-+ 5．直线5π2cos 606x y ++=的倾斜角为（A ．π6B ．π36．已知()2,1,3a =- ，(b =- 量的一组基底，则实数λ的值为（A ．0B ．5二、填空题三、双空题四、解答题16．已知点A (-2，1)，B (2，3)，C (-1，-3).(1)求过点A 且与BC 平行的直线方程；(2)求过点B 且与BC 垂直的直线方程；(3)若BC 中点为D ，求过点A 与D 的直线方程；17．设直线l 的方程为())1R (20a x y a a +++-=∈.(1)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.18．在长方体ABCD -A ₁B ₁C ₁D ₁中，E ，F 分别是棱BC ，CC ₁上的点，CF =AB =2CE ，AB ∶AD ：AA 1=1∶2∶4.(1)求异面直线EF ，A ₁D 所成角的余弦值；(2)证明：AF ⊥平面A ₁ED ；(3)求平面AED 和平面EDF 的夹角的正弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面//ABCD AD AB AB DC ⊥，，，2AD DC AP ===，1AB =,点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE DC ⊥；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．(1)证明：若2DM MP =，直线(2)是否存在点M ，使NM 与平面不存在，说明理由.。

2018-2019学年高二(上)第一次月考数学试卷(必修3、2)

2018-2019学年高二(上)第一次月考数学试卷(必修3、2)

2018-2019学年高二（上）第一次月考数学试卷（必修3、2）满分100分考试时间100分钟一、选择题（每小题3分，共计36分）1．（1）某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100户的样本；（2）从10名同学中抽取3人参加座谈会．a简单随机抽样b系统抽样c分层抽样问题与方法配对正确的是（）A．（1）a，（2）c B．（1）a，（2）b C．（1）c，（2）a D．（1）c，（2）b2．下面的程序段结果是（）A．﹣3 B．﹣10 C．0 D．﹣23．如图是一样本的频率分布直方图，由图形中的数据可以估计众数与中位数分别是（）A．105，115 B．105，105 C．105，D．115，1154．在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%现采用随机模拟的方法：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示下雨，5、6、7、8、9、0表示不下雨，以3个随机数为一组，经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989根据以上数据估计三天中至少有两天下雨的概率为（）A．0.25 B．0.35 C．0.6 D．0.755．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为36．已知集合M={x|﹣2≤x≤8}，n={x|x2﹣3x+2≤0}，在集合M中任取一个元素x，则“x∈M∩N”的概率是（）A．B．C．D．7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（）A．＞，s＜B．=，s＞C．=，s=D．=，s＜8．圆与圆的公切线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元10．已知对于圆x2+y2﹣2y=0上任意一点P，不等式x+y+m≥0恒成立，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤﹣﹣1 D．m≥﹣1 11．连续抛掷两枚正方体骰子（它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6），记所得朝上的面的点数分别为x，y，过坐标原点和点P（x，y）的直线的倾斜角为θ，则θ＞60°的概率为（）A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共计16分）13．已知A是圆上一定点，在圆上其他位置上任取一点B，则AB的长度小于半径的概率为．14．直线被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．15．如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是16．设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P做圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，∠APB=．三、解答题（共计48分）17．袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：（1）3个全是红球的概率．（2）3个颜色全相同的概率．（3）3个颜色不全相同的概率．（4）3个颜色全不相同的概率．18．已知圆C：x2+y2+4x+6y+12=0，过点P（1，1）做圆C的两条切线，切点分别为A、B．（1）求切线长；（2）求AB直线方程．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．20．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，5B62人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．21．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计36分）1．【解答】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别，故（1）要采用分层抽样的方法；（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大，故（2）要采用简单随机抽样故（1）c；（2）a故选：C．2．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，s=1满足条件k＜4，执行循环体，s=1，k=2满足条件k＜4，执行循环体，s=0，k=3满足条件k＜4，执行循环体，s=﹣3，k=4不满足条件k＜4，退出循环，输出s的值我﹣3．故选：A．3．【解答】解：由图知，最高小矩形的中点横坐标是=105，故众数是105，又∵0.015×10+0.025×10=0.4＜0.5，0.4+0.03×10=0.7＞0.5，令0.4+0.03x=0.5，得x=，∴中位数是为100+=，故选：C．4．【解答】解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：191、271、932、812、393，113，134共7组随机数，∴所求概率为0.35．故选B．5．【解答】解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．6．【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤8}，N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N=N={x|1≤x≤2}，∵集合M在数轴上对应区域的长度为10，集合M∩N={x|1≤x≤2}在数轴上对应区域的长度为1，∴在集合M中任取一个元素x，则“x∈M∩N”的概率是，故选：A．7．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员成绩的平均数是=（9+14+15+15+16+21）=15，方差是=[（9﹣15）2+（14﹣15）2+2×（15﹣15）2+（16﹣15）2+（21﹣15）2]=；乙运动员成绩的平均数是=（8+13+15+15+17+22）=15，方差是=[（8﹣15）2+（13﹣15）2+2×（15﹣15）2+（17﹣15）2+（22﹣15）2]=；∴=，＜．故选：D，8．【解答】解：圆化为标准方程为：（x+1）2+（y+2）2=4，圆心坐标为C1（﹣1，﹣2），半径为2圆化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9，圆心坐标为C2（2，2），半径为3∴圆心距|C1C2|==2+3即两圆的圆心距等于两圆的半径的和∴两圆相外切∴两圆的公切线有3条故选C．9．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．10．【解答】解：法一、圆的标准方程x2+（y﹣1）2=1得，圆心（0，1），半径r=1令圆x2+（y﹣1）2=1与直线x+y+m=0相切，则圆心到直线的距离d=r，即=1，化简得1+m=±，即m=﹣1，m=﹣﹣1（舍去），结合图象可知，当m≥﹣1时，圆上的任一点都能使不等式x+y+m≥0恒成立．法二、由题设：x=cosα，y﹣1=sinα，则x+y=cosα+sinα+1=sin（α+）+1∈[﹣+1，+1]．∵不等式x+y+m≥0恒成立∴m≥﹣（x+y）恒成立；因为﹣（x+y）的最大值为：﹣1．∴m≥﹣1．故选：B．11．【解答】解：过坐标原点和点P（x，y）的直线的倾斜角为θ，则θ＞60°，即tan，即，即y若x=1，则y＞，此时y=2，3，4，5，6，若x=2，则y＞2，此时y=4，5，6，若x=3，则y＞3，此时y=6，若x=4，则y＞4，此时y不存在若x=5，则y＞5，此时y不存在，共有9种，过坐标原点和点P（x，y）的直线的倾斜角为θ，则θ＞60°的概率为，故选：A12．【解答】解：∵AB为直径，∠AOB=90°，∴O点必在圆C上，由O向直线3x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y﹣4=0的距离d=，∴此时圆的半径r==，∴圆C面积最小值S min=πr2=．故选：B．二、填空题（每小题4分，共计16分）13．【解答】解：当AB的长度等于半径长度时，∠AOB=，由圆的对称性及几何概型得：P==．故答案为：．14．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣4y=0得，（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，则圆心坐标为（1，2），r=，∵圆心（1，2）到直线的距离为：d==1，∴直线被圆截得的弦长为2=4，故答案为：4．15．【解答】解：∵S=+++…+并由流程图中S=S+故循环的初值为1终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出S=+++…+的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴当i≥11，应满足条件，退出循环填入“i≥11”或“i＞10”．故答案为：“i≥11”或“i＞10”．16．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标（1，1），半径为1；由题意过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，可知四边形PACB的面积是两个三角形的面积的和，因为CA⊥PA，CA=1，显然PC最小时四边形面积最小，==2．sin∠CPA==，∴∠CPA=30°，所以∠P=．故答案为：．即PC最小值三、解答题（共计48分）17．【解答】解：（1）第1次红的，第2次也是，第3次也，所以3个全是红球的概率．（2）颜色全部相同包含全红、全黄、全白，所以3个颜色全相同的概率为．（3）“3个颜色不全相同”是“3个颜色全相同”的对立事件，所以3个颜色不全相同的概率为1﹣（4）3个颜色全不相同的概率18．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x+6y+12=0，可化为（x+2）2+（y+3）2=1，圆心坐标为（﹣2，﹣3），半径为1，∴|PA|==（2）PC的中点坐标为D（﹣，﹣1），|PD|==∴以PC为直径的圆的方程为（x+）2+（y+1）2=两圆方程相减得3x+4y+17=0．19．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．20．【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．B10065031506为．B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．21．【解答】解：（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为：…由于，则，有，∴，解得m=4．…（2）假设存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，…由于圆心C（1，2），半径r=1，则圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离为：，…解得．…。

辽宁省沈阳铁路实验中学高二数学上学期第一次月考试题新人教B版

辽宁省沈阳铁路实验中学高二数学上学期第一次月考试题新人教B版

第I 卷（选择题）一、选择题（共12题，每题5分）1．在等比数列{}n a 中，4S =1，8S =3,则20191817a a a a +++的值是 （ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 2．已知}{n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ．32(12)3n -- B ．16(14)n-- C ．16(12)n--D ．32(14)3n --5．在等差数列中，189=S ，240=n S ，304=-n a ，则n 的值为（ ）。

A. 14 B. 15 C.16 D.756．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 A.20 B.21 C.22 D.237．已知数列{}n a 满足的值为则若81n n n n 1n a 76a 1a 211a 221a 0a 2a ,)((=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+（ ）A ．76 B ．73 C ．75D ．71 8．数列11111,2,3,4,24816⋅⋅⋅前n 项的和为（ ）A ．2212nn n ++ B．22121n n n -+-+C ．2212nn n ++-D ． 12212+++-nn n 9．设函数(2)(2)(),()1()1(2)2n x a x x f x a f n x -≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（-∞，2）B ．（-∞，13]8C ．（-∞，74） D ．13[,2)8 10．若11a b<，则在下列不等式：①a b >；②a b <；③()0ab a b ->；④()0ab a b -<中，可以成立的不等式的个数为 A 、1B 、2C 、3D 、4第II 卷（非选择题）二、填空题（共4题，每题5分）13．三个数337.07.0,7.0log ,3===c b a ，按从小到大的顺序排列为 。

2020-2021学年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二上学期月考数学试题(解析版)

2020-2021学年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二上学期月考数学试题(解析版)

2020-2021学年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二上学期月考数学试题一、单选题1．下列命题中，假命题是（ ）A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】D【解析】根据向量的定义即可判断出答案. 【详解】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D .共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的定义，属于基础题.向量：有向线段.既有大小也有方向.2．设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ． BC ．3D ．4【答案】C【解析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可. 【详解】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，， (),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=， ()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，， ()222123a b ∴+=+-+=故选：C . 【点睛】本题考查向量垂直、平行以及模长的坐标表示，属综合基础题. 3．若直线l∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8【答案】C【解析】由l ∥α，可得m •n =0，即可得出m 的值． 【详解】∵l ∥α，∴m •n =2+12m+2=0． ∴m=﹣8． 故选C ． 【点睛】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．B ．2C ．5D ．5【答案】D【解析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角． 【详解】解：以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,558BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10故选：D ． 【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．5．已知平面α的一个法向量为(2,2,1)n →=，点(1,3,0)A -在平面α内，则点(2,1,3)P 到平面α的距离为（ ） A ．53B ．43C ．1D ．23【答案】A【解析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可. 【详解】由题意(3,2,3)PA →=--， 则||53441||n PA d n →→→⋅===++，故选：A 【点睛】本题主要考查了点到平面的距离，向量法求点到平面的距离，属于容易题.6．二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB AC a ==，2BD a =，则CD 的长为（ ）A ．3aB ．22aC ．5aD ．2a【答案】D【解析】由已知条件和空间向量加法可得CD CA AB BD =++，再根据向量模和数量积的关系可得 ()2CD CA AB BD =++，由此能求出CD 的长．【详解】因为二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，所以,60AC BD >=<，0AC BA ⋅=，0AB BD ⋅= 又CD CA AB BD =++ 所以()2222+2+2+2 CD CA AB BDCA AB BD CA AB AB BD CA BD =++=++⋅⋅⋅222+2 CA AB BD CA BD =++⋅()2222= 22cos1202a a a a a a +++⋅⋅=.所以CD 的长为2a . 故选：D. 【点睛】本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 7．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得131114444OG OG OA OB OC ===++,即得(x,y,z ). 【详解】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,1(2AE AB AC =+)=1(2OB -2OA OC +), 121(33AG AE OB ==-2OA OC +).因为OG =31GG =3(1OG OG -), 所以OG=34OG 1. 则1133(44OG OG OA AG ==+)=31211114333444OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭ . 故答案为A 【点睛】（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.8．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值.【详解】设(,,)C x y z ，B ，(,,)OC x y z =，()BC x y z =--，(EF =-，由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅，整理可得：2x y -=-，由||||3CO CB ===化简得x y +=，以上方程组联立得x y ，则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、多选题9． ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD【解析】==间的距离公式，即可求解. 【详解】 由题意，可得===，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确，故答案为：BCD. 【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC →→→→=++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c →→→组是空间的一个基底，若m a c →→→=+，则{},,a b m →→→也是空间的一个基底D ．若0a b →→⋅<，则a b →→⋅是钝角 【答案】ABC【解析】根据共线向量的概念，可判定A 是正确的;根据空间向量的基本定理，可判定B 是正确的;根据空间基底的概念，可判定C 正确;根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以是正确的;对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC →→→→=++，因为1111632++=，根据空间向量的基本定理,可得P ,A,B,C 四点一定共面，所以是正确的; 对于C 中，由{},,a b c →→→是空间中的一组基底，则向量,,a b c →→→不共面，可得向量,,a b c a +不共面，所以{},,a b m →→→也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D 中，若0a b →→⋅<，又由[0,]a b π→→⋅∈，所以(,]2a b ππ→→⋅∈，所以不正确.故选：ABC【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，E是1DD的中点，则（）A．直线1//B C平面1A BD B．11B C BD⊥C．三棱锥11C B CE-的体积为13D．异面直线1B C与BD所成的角为60︒【答案】ABD【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A，()1,0,0B，()1,1,0C，()0,1,0D，()10,0,1A，()11,0,1B，()11,1,1C，()10,1,1D，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E ，()1B C0,1,1=-，()11,1,1BD=-，()1,1,0BD=-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD⊥，所以11B C BD⊥，故B 正确；()11011101B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，12B C=，2BD =，设异面直线1B C与BD所成的角为θ，则111cos2B C BDB C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D正确；设平面1A BD的法向量为(),,n x y z=，则1·0·0n BAn BD⎧=⎨=⎩，即x yx z-+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n=，则()10111110n B C=⨯+⨯+⨯-=，即1Cn B⊥，又直线1B C⊄平面1A BD，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】AB【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以111cos ==6||||2BD AC BD AC BD AC ⋅⋅，，所以D 不正确.故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.三、填空题13．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是(21)P -，，则AB 等于________ 【答案】【解析】根据点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是(21)P -，，利用中点坐标公式得到A ，B 的坐标，再利用两点间的距离公式求解. 【详解】因为点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是(21)P -，， 所以(40),(02)，，-A B ，所以()()()22400225=-+--=AB ，故答案为：25 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.14．如图，正三棱锥V ABC -的侧棱长为3，底面边长为2，则VA 与BC 所成角的余弦值为______.【答案】0【解析】根据向量的运算得出VA BC VA VC VA VB ⋅=⋅-⋅，利用数量积公式得出VA 与BC 所成角的余弦值.【详解】设VA 与VC 的夹角为θ，则VA 与VB 的夹角也是θBC VC VB =-9cos 9cos 0VA BC VA VC VA VB θθ∴⋅=⋅-⋅=-=则VA 与BC 所成角的余弦值为0||||VA BCVA BC ⋅=⋅故答案为：0 【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角的余弦值，属于中档题.15．已知空间三点的坐标为()1,5,2A -、()2,4,1B 、(),3,2C p q +，若A 、B 、C 三点共线，则p q +=______. 【答案】5【解析】将A 、B 、C 三点共线转化为//AB AC ，设AC k AB =，利用空间向量的坐标运算列出方程组可求出p 、q 、k 的值，可求出p q +的值.【详解】由题意可得()1,1,3AB=-，()1,2,4AC p q=--+，A、B、C三点共线，则//AB AC，则存在实数k，使得1243p kkq k-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，解得232kpq=⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，5p q+=，故答案为5.【点睛】本题考查空间中三点共线问题，解题的关键在于将三点共线转化为向量共线来处理，考查运算求解能力，属于基础题.16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，底面边长为2，直线1CC与平面1ACD所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．【答案】4【解析】以D为坐标原点，1,,DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系, 设1DD a=，求出平面1ACD的一个法向量n，则11cos,3n CC<>=，则可以得到答案.【详解】解：以D为坐标原点，1,,DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a=，则(2,0,0)A，(0,2,0)C，1(0,0,)D a，故(2,2,0)=-AC，1(2,0,)AD a=-，1(0,0, )CC a=，设平面1ACD的一个法向量为(,,)n x y z=，则122020n AC x yn AD x az⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，可取21,1,na⎛⎫= ⎪⎝⎭，故11212cos,||||4242n CCn CCn CC aaa⋅<>===+⋅+，又直线1CC与平面1ACD所成角的正弦值为13，21324a∴=+，解得4a=．故答案为：4．【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.四、解答题17．在ABC中，()2,5,3A-，()4,1,2AB =，()3,2,5BC=-.（1）求顶点B、C的坐标；（2）求CA BC⋅；（3）若点P在AC上，且12AP PC=，求点P的坐标.【答案】（1）()6,4,5B-，()9,6,10C-；（2）58CA BC⋅=-；（3）131616,,333P⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）利用向量的坐标运算可求得点B、C的坐标；（2）计算出向量CA、BC的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得CA BC⋅的值；（3）由12AP PC =可得()12OP OA OC OP -=-，可求得向量OP 的坐标，进而可求得点P 的坐标. 【详解】（1）设点O 为坐标原点，()()()2,5,34,1,26,4,5OB OA AB =+=-+=-， 则()6,4,5B -.()()()6,4,53,2,59,6,10OC OB BC =+=-+-=-，则()9,6,10C -；（2）()7,1,7AC AB BC =+=-，则()7,1,7CA =--，又()3,2,5BC =-，因此，()()73127558CA BC ⋅=-⨯+⨯-+-⨯=-； （3）设点O 为坐标原点，12AP PC =，则()12OP OA OC OP -=-， 则()()21211316162,5,39,6,10,,3333333OP OA OC ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭， 所以，点P 的坐标为131616,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.18．用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等 【答案】证明见解析.【解析】建立平面直角坐标系，设()0,A a ，(),0Bb ，得到AB 的中点C 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，然后用两点间的距离分别求得CA ，CB ，CO 即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设()0,A a ，(),0Bb ，则AB 的中点C 的坐标为,22a b⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵2222022b a a b CA a +⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222022b a a b CB b +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22220222b a a b CO b +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴CA CB CO ==，即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等. 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，属于基础题.19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，BC =2，CC 1=4，点E 在棱BB 1上，EB 1=1，D ，F ，G 分别为CC 1，B 1C 1，A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于点H .（1）求证：B 1D ⊥平面ABD ； （2）求证：平面EGF ∥平面ABD ；（3）求平面EGF 与平面ABD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）建立空间直角坐标系，运用线面垂直的判定定理可得证； （2）由面面平行的判定定理可得证；（3）根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距. 【详解】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A 1(a ，0，0)，B 1(0，0，0)，C 1(0，2，0)，F (0，1，0)，E (0，0，1)，A (a ，0，4)，B (0，0，4)，D (0，2，2)，G 102a⎛⎫ ⎪⎝⎭，，. 所以1B D =(0，2，2)，AB =(-a ，0，0)，BD =(0，2，-2). 所以1·B D AB =0+0+0=0，1·B D BD =0+4-4=0. 所以11B D AB B D BD ⊥⊥，， 所以B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD.又AB ∩BD =B ，所以B 1D ⊥平面ABD.（2）证明：由（1）可得AB =(-a ，0，0)，BD =(0，2，-2)，-002a GF EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，=(0，1，-1)，所以AB =2GF BD ，=2EF ，所以////GF AB EF BD ，.所以GF ∥AB ，EF ∥BD.又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF ∥平面ABD.（3）解：由（1）（2）知，1B D 是平面EGF 和平面ABD 的法向量.因为平面EGF ∥平面ABD ，所以点E 到平面ABD 的距离就是两平面的距离，设为d . 因为EB =(0，0，3)，1B D =(0，2，2)， 所以d=11||2||B D EB B D ⋅==.即两平面间的距离为2.【点睛】本题考查空间中的线面垂直、面面平行的证明，面到面的距离转化到一个面内一个点到面的距离的问题，属于中档题.20．已知()1,1,2a λλ=+，()6,21,2b m =-. （1）若//a b ，分别求λ与m 的值；（2）若5a =，且与()2,2,c λλ=--垂直，求a . 【答案】（1）15λ=，3m =；（2）()0,1,2a =-. 【解析】（1）设()a kb k R =∈，利用空间向量的坐标运算可得出关于k 、λ、m 的方程组，进而可解得实数λ与m 的值；（2）根据题意可得出关于λ的等式组，解得实数λ的值，由此可得出向量a 的坐标. 【详解】 （1）//a b ，设()a kb k R =∈，得()()1,1,26,21,2k m λλ+=-，()1612122k k m k λλ+=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩，解得153k m λ⎧==⎪⎨⎪=⎩，因此，15λ=，3m =； （2）50a a c ⎧=⎨⋅=⎩，()()()2222112521220λλλλλ⎧+++=⎪∴⎨+--=⎪⎩，化简，得225230220λλλ⎧+-=⎨-=⎩，解得1λ=-.因此，()0,1,2a =-. 【点睛】本题考查利用空间向量共线求参数，同时也考查了利用空间向量的坐标运算处理垂直和模的相关问题，考查计算能力，属于中等题.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，点E 是棱1C C 的中点，已知11111125A B BC C C B E ====，．（Ⅰ）求证：1B B ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角11A EB A --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；5. 【解析】（Ⅰ）首先证明四边形11BB C C 为矩形，可得1B B BC ，结合1B B AB ⊥，可证1B B ⊥平面ABC（Ⅱ）分别以BC ，1BB BA 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）依题意，在11B C E ∆中，1111112512B C B E C E C C ====，，， 所以2221111B C C E B E +=，所以1190B C E ∠=．又因为三棱锥111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形， 所以四边形11BB C C 为矩形， 所以1B BBC ．因为AB ⊥平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， 所以1B B AB ⊥．又因为AB BC ⊂，平面ABC ，AB BC B ⋂=， 所以1B B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ， 所以AB BC ⊥．如图建立空间直角坐标系B −xyz ，则111()()()())00221002002221(0A E B A B E =-,,,,,,,,,,,,,,，111)022((002)B A B A =-=,,,,,，设平面1AEB 的法向量为(,,)n x y z =，则1120,0,220.0x y n B E y z n B A ⎧-=⋅=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩即， 令1x =，则2y =，2z = ， 于是,,(1)22n =，设平面11A EB 的法向量为111(,,)m x y z =，则11100m B E m B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1112020x y z -=⎧⎨=⎩ 令1x =，则2y =，0z =． 于是(1,2,0)m =， 所以5cos ,35n m n m n m⋅<>===由题知二面角11A EB A --为锐角，所以其余弦值为5.3【点睛】本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，//AD BC ，3AD =，2AB BC ==，4PA =，5PD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，点E 在棱PD 上，()01PE PD λλ=<<，,F G 分别为,PC PB 的中点，过,,E F G 三点的平面交PA于点H ，且//EF 平面PAB ．（1）求λ的值；（2）求PC 与平面EFGH 所成角的正弦值． 【答案】（1）13；（2278【解析】（1）首先证明四边形EFGH 为平行四边形，再得出1HE =，然后用相似关系求出λ的值；（2）建立空间直角坐标系A xyz -，用向量法求出PC 与平面EFGH 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）因为EF 平面PAB ，EF ⊂平面EFGH ，平面PAB ⋂平面EFGH GH =， 所以EFGH ．因为F 为PC 的中点，G 为PB 的中点， 所以FGBC ．又因为底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥， 所以FG AD ∥．因为FG ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以FG ∥平面PAD ．又因为平面EFGH平面PAD EH =，所以FG EH ∥，从而四边形EFGH 为平行四边形．又2BC =，所以1FG =，所以1EH GF ==， 所以13PE EH PD AD ==，所以13PE PD =． 所以λ的值为13． （2）由题可知3AD =，4PA =，5PD =所以222AD PA PD +=，所以PA AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且交于AD ，所以PA ⊥平面ABCD ． 又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直．以A 为坐标原点，分别以向量AB ，AD ，AP 所在方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．所以()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,3,0D ，()0,0,4P ．由（1）可知13λ=，即13PE PD =． 所以80,1,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为EH AD ∥，13EH AD =， 所以80,0,3H ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又F 为PC 的中点，所以()1,1,2F ．所以()0,1,0EH =-，21,0,3EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,2,4PC =-． 设平面EFGH 的一个法向量(),,n x y z =，所以0,0,n EF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,3y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令3z =，所以2x =，所以()2,0,3n =．设PC 与平面EFGH 所成的角的平面角为θ，所以sin cos ,3913n PCn PC n PC θ⋅====． 故PC 与平面EFGH 所成角的正弦值为． 【点睛】本题主要考查立体几何、空间直角坐标系、直线与平面所成角的正弦值等相关知识，考查运算求解能力，属于基础题型.。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

2019-2020年高二上学期第一次月考数学试卷含解析

2019-2020年高二上学期第一次月考数学试卷含解析

2019-2020年高二上学期第一次月考数学试卷含解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6=2，S9=5，则S15=（）A．15 B．30 C．45 D．602．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°3．公差不为0的等差数列{a n}的第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项，则{b n}的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．44．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A． B． C． D．35．已知等比数列{a n}中有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．2 B．4 C．8 D．166．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（）A． B． C． D．97．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．118．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10 C．10 D．1010．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5二、填空题（本大题有5小题，每题5分，共25分）11．已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则=．12．在△ABC中，已知2a2=c2+（b+c）2，则∠A=．13．等差数列{a n}中，若3a1=5a2，且a1＞0，S n为前n项和，当S n取得最大值时，n=．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C.D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为是正确的（填“解法1”或“解法2”）三、解答题（6个题，共计50分）16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证：{b n}是等比数列．17．在△ABC中，已知a=，A=60°，b﹣c=﹣1，求b，c和B，C．18．已知数列{2n a n}的前n项和S n=9﹣6n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{T n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．20．某海轮以30n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离．21．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且2a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列．（1）求d，a n；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|xx学年山东省德州市平原一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6=2，S9=5，则S15=（）A．15 B．30 C．45 D．60考点：等差数列的前n项和．分析：由等差数列前n项和公式，条件要由前n项和转化为有关项的形式，再由等差数列性质求得解答：解：∵s9﹣s6=a7+a8+a9=3a8=3∴a8=1又∵∴s15=15故选A点评：本题主要考查等差数列前n项和公式两种形式的灵活选择和性质的运用．2．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，∠B=45°，c=2，b=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即=a2+8﹣4a，解得：a=2+或a=2﹣，由正弦定理=得：sinA==或，∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，∴∠A=75°或15°．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．公差不为0的等差数列{a n}的第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项，则{b n}的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：先由第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项得到，再利用等比数列公比的求法求出即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由得解得2d2=﹣3a1d∵d≠0∴∴{b n}的公比为故选D．点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查．在求等比数列的公比时，只要知道数列中的任意两项就可求出公比4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A． B． C． D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．已知等比数列{a n}中有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．2 B．4 C．8 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由a3a11=4a7，解出a7的值，由b5+b9=2b7 =2a7求得结果．解答：解：等比数列{a n}中，由a3a11=4a7，可知a72=4a7，∴a7=4，∵数列{b n}是等差数列，∴b5+b9=2b7 =2a7 =8，故选C．点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，求出a7的值，是解题的关键．6．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（）A． B． C． D．9考点：解三角形．专题：计算题．分析：先利用余弦定理求得三角形第三边长，进而根据同角三角函数的基本关系求得第三边所对角的正弦，最后利用正弦定理求得外接圆的半径．解答：解：由余弦定理得：三角形第三边长为=3，且第三边所对角的正弦值为=，所以由正弦定理可知2R=，求得R=．故选C点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形问题常用公式如正弦定理和余弦定理公式，勾股定理，三角形面积公式等，应作为平时训练的重点．7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．解答：解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：三角函数的求值．分析：根据题意，利用等差数列及等比数列的性质列出关系式，再利用内角和定理求出B 的度数，利用正弦定理化简，再利用积化和差公式变形，利用特殊角的三角函数值计算求出cos=1，确定出A=C，即可确定出三角形形状．解答：解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，∴2B=A+C，b2=ac，∵A+B+C=180°，∴B=60°，利用正弦定理化简b2=ac得：sin2B=sinAsinC=，即=，∴cos=1，即=0，∴A﹣C=0，即A=C=60°，则这个三角形的形状为等边三角形．故选D点评：此题考查了三角形形状的判断，等差数列、等比数列的性质，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10 C．10 D．10考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．解答：解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=点评：本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．10．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据“均倒数”的定义，得到=，然后利用a n与S n的关系即可得到结论．解答：解：根据“均倒数”的定义可知，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则=，即a1+a2+a3+…a n=n（2n﹣1）=2n2﹣n，则当n≥2时，a1+a2+a3+…a n﹣1=2（n﹣1）2﹣（n﹣1），两式相减得a n=2n2﹣n﹣2（n﹣1）2+（n﹣1）=4n﹣3，当n=1时，a1=2﹣1=1，满足，a n=4n﹣3，故数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，故选：B点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用a n与S n的关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题有5小题，每题5分，共25分）11．（5分）（xx•重庆校级模拟）已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则=．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质求出a1+a2的值，利用等比数列的性质求出b2，代入求解即可．解答：解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴a1+a2=1+4=5；∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=1×4=4，又b2=1×q2＞0，∴b2=2；∴=．故答案为．点评：本题综合考查了等差数列和等比数列的性质，计算简单、明快，但要注意对隐含条件b2=1×q2＞0的挖掘．12．在△ABC中，已知2a2=c2+（b+c）2，则∠A=．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：将原式化简整理得，b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理得，cosA=﹣，由于0＜A＜π，即可得到A．解答：解：由于2a2=c2+（b+c）2，则2a2=2c2+2bc+2b2，即有b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理，得cosA==﹣，由于0＜A＜π，则A=．故答案为：．点评：本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．13．等差数列{a n}中，若3a1=5a2，且a1＞0，S n为前n项和，当S n取得最大值时，n=3．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得d=﹣a1＜0．故此数列是递减数列，由a n=a1+（n﹣1）d=a1≥0可得n的最大值，从而得到答案．解答：解：由题意可得3a1=5（a1+d），∴d=﹣a1＜0．故此数列是递减数列，所有的非负项的和最大，由a n=a1+（n﹣1）d=a1≥0 可得n≤3.5，又n为正整数，故n为3时，S n取得最大值，故答案为：3．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，判断此数列是递减数列，所有的非负项的和最大，是解题的关键．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．解答：解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查等式数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用．15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C.D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为解法1是正确的（填“解法1”或“解法2”）考点：进行简单的演绎推理．专题：解三角形．分析：若a＜b，则A＜B，结合B=45°，可得△ABC只有一解，故可得结论．解答：解：解法1正确∵若a＜b，则A＜B，∵B=45°，∴△ABC只有一解，故解法2不正确故答案为：解法1点评：本题考查解三角形，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力．三、解答题（6个题，共计50分）16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证：{b n}是等比数列．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a2=1，S11=33表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；（2）根据（1）求出的首项与公差，欲证明：{b n}是等比数列，只须利用等比数列的定义进行证明即可．解答：解：（1）依题意有，解之得，∴．（2）由（1）知，，∴，∴∵，∴{b n}构成以为首项，公比为的等比数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活运用等比关系的确定的方法解决问题，是一道中档题．17．在△ABC中，已知a=，A=60°，b﹣c=﹣1，求b，c和B，C．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，记作①，将已知等式b﹣c=﹣1两边平方，得到关系式，记作②，①﹣②得到bc的值，与b﹣c=﹣1联立求出b与c的长，由sinA，b及a的值，利用正弦定理求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，即可确定出C的度数．解答：解：由余弦定理得，6=b2+c2﹣2bccos60°，∴b2+c2﹣bc=6，①由b﹣c=﹣1平方得：b2+c2﹣2bc=4﹣2，②①、②两式相减得bc=2+2，联立得：，解得：，由正弦定理sinB===，∵＜+1，∴B=75°或105°，∵a2+c2＞b2，∴B为锐角，∴B=75°，C=45°．点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{2n a n}的前n项和S n=9﹣6n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{T n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）在已知的数列递推式中分别取n=1和n≥2求解数列的通项公式，验证首项后得答案；（2）利用等比数列的前n项和求数列{a n}的前n项和．解答：解：（1）当n=1时，2a1=3，，当n≥2时，2n a n=S n﹣S n﹣1=9﹣6n﹣[9﹣6（n﹣1）]=﹣6，∴，验证n=1时上式不成立，∴；（2）==．点评：本题考查了由数列前n项和求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．20．某海轮以30n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：在△ABP中，根据正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的长，即可算出P、C两地间的距离．解答：解：如图，在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，根据正弦定理，=得：=，∴BP=20．在△BPC中，BC=30×=40．由已知∠PBC=90°，∴PC==20（n mile）答：P、C间的距离为20 n mile．点评：本题给出实际应用问题，求两地之间的距离，着重考查了正弦定理、余弦定理和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．21．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且2a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列．（1）求d，a n；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（2）利用（1）中的结论，得到等差数列{a n}的前3项大于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（1）由题意得2a1•（5a3﹣1）=（2a2+2）2，整理得d2﹣28d﹣124=0．解得d=32或d=﹣4．当d=32时，a n=a1+（n﹣1）d=10+32（n﹣1）=32n﹣22．当d=﹣4时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣4（n﹣1）=﹣4n+14．所以a n=32n﹣22或a n=﹣4n+14；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（1）得d=﹣4，a n=﹣4n+14．则当n≤3时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=n（﹣2n+12）．当n≥4时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S3=2n2﹣12n+36．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．.。

高二数学上学期第一次月考测试题和答案

高二数学上学期第一次月考测试题和答案

高二数学上学期第一次月考测试题和答案高二数学月底考试是检测学习成效的重要手段，只有平时认真对待每一次数学月考，才能够在高考数学考试中超常发挥。

以下是店铺为大家收集整理的高二数学月考测试题，希望对大家有所帮助!高二数学上学期第一次月考测试题(理科卷)(考试时间：120分钟总分：150分)一、(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.以两点A(-3，-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x+1)2+(y+2)2=252. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(A) k>4?(B)k>5?(C) k>6?(D)k>7?(第3题)3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )A. B. C. D.4. 将51转化为二进制数得 ( )A.100 111(2)B.110 110(2)C.110 011(2)D.110 101(2)5.读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILE i<=5S= S+iI= i+1WENDPRINT SENDI= 5S= 0DOS = S+iI = i-1LOOP UNTIL i<1PRINT SEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A 程序不同，结果不同B 程序不同，结果相同C 程序相同，结果不同D 程序相同，结果不同6.(如图)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是( )A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=-10 则输出的是( )A. 1B. 0C. 20D. -208..若点P(1，1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )A. B.C. D.9. 三个数390, 455, 546的最大公约数是 ( )A.65B.91C.26D.1310. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是( )A. 和B. 和C. 和D. 和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为( ). .12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样二、题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.14. 已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2 v1=2×5-5=5 则v3= ________.15. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16.若集合A={(x，y)y=1+4-x2}，B={(x，y)y=k(x-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________.三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)对甲?乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲?乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.(本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图;(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19.(本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大?参考公式：20. (本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.21.(本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框 =f( )其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有 ;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值 .22.(本小题满分14分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围.高二数学月考测试题参考答案一、题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、题(13)、 15..10..20 (14)、 108. (15 ) 16 (16) 512三、解答题1718. 解析】 (1)频率分布直方图如图…………6分(2) (克) …………12分19. 解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x=255=5，y=2505=50，i=15x2i=145，i=15y2i=13 500，i=15xiyi=1 380.于是可得b=i=15xiyi-5x yi=15x2i-5x2=1 380-5×5×50145-5×52=6.5; ——————7分a=y-bx=50-6.5×5=17.5，因此，所求回归直线方程是=6.5x+17.5. ——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元. ————————————12分20. 【解析】：(1)平均数是=1 500+≈1 500+591=2 091(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ——————————————4分(2)平均数是≈1 500+1 788=3 288(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. ——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2) 要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0,即 ,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22. 解析：(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a，a)，半径为2a. ——————————2分直线l的方程化为：x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是-2a+42=22-a. ——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2(2a)2-(22-a)2 ——————————5分=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.∵0(2)因为直线l与圆C相切，则有m-2a2=2a，——————————8分即m-2a=22a.又点C在直线l的上方，∴a>-a+m，即2a>m. ——————————10分∴2a-m=22a，∴m=2a-12-1.∵0。

2019-2020年高二上学期第一次月考数学试题含答案

2019-2020年高二上学期第一次月考数学试题含答案

( )2019-2020年高二上学期第一次月考数学试题 含答案注意事项：本试卷共20小题，时间100分钟，总分值120分；选择题 填涂在答题卡 上, 填空题和解答题直接答在试卷上，解答题写出必要的文字说明或步骤 。

祝同学们考试顺利!、选择题（本题共 10小题，每小题4分，每题只有一个正确答案） 1.若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是A. 三棱锥 B .四棱锥 D.三棱台B. a 丄丫且B 丄丫7.如图是某平面图形的直观图，则原平面图形的面积是（2.若经过（a , -3 ）和（1, 2）两点的直线的倾斜角为 135°,则 a 的值为（A -6B 6C -4D 4 3. 一个体积为8cnf 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 2 2 A . 8 n cm B . 12 n cm C 2 .16 n cm D 2.20 n cm4.有一个几何体的三视图及其尺寸（单位 则该几何体的表面积及体积为（3 2 A.24 n cm , 12 n cm 2 3n cm , 12 n cm2 C.24 n cm , 336 n cm D.以上都不正确5.已知直线a 、 b 与平面(X、B 、Y ,下列条件中能推出 a / B 的是C.圆锥 C. a a , b B , a / bD. a a, b a , a / B ,b //6.如图，a A B =, A € a ,B € a , ABA = D, C € B , C?,贝V 平面 ABC 与平面 B 的交线是（ ）.A.直线AC B .直线ABC .直线CD D.直线 BCAB 为直径的圆所在平面，C 为圆周上除A B 外的任意一点,F 列不成立的是8.PA 垂直于以 C . 4 D . 8A. PC 丄CBB. BC 丄平面PACC. AC 丄PBD. PB 与平面PAC的夹角是/ BPC9. 下列命题中错误的是（）A •如果平面，，，那么B •如果平面，那么平面一定存在直线平行于平面C .如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D •如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面10. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84n，则圆台较小底面的半径为（）A、7 B 、6 C 、5 D 、3二、填空题（本题共5小题，每小题4分）11. 已知A（3,5）,O 为坐标原点，则与0A垂直的直线斜率为12 •长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是.13. 空间四边形ABCD中, E、F、G H分别是AB BC、CD DA的中点.①若AC=BD则四边形EFGH是__________________ ;②若则四边形EFGH是。

贵州省2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题(必修三)Word版含答案

贵州省2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题(必修三)Word版含答案

贵州省2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试题第Ⅰ卷 (选择题共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1. 下列赋值语句正确的是( )A．M＝a＋1 B．a＋1＝M C．M－1＝a D．M－a＝12.某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人．为了调查他们的身体状况,需从他们中抽取一个容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是（）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样3.把一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数为（）A.4B.10C.40D.4004. 计算下列各式中的S的值，能设计算法求解的是( )①S=1+2+3+…+100 ②S=1+2+3+…+100+…③S=1+2+3+…+n（n≥1且n∈N）A.①②B.①③C.②③D.①②③5. ）A=10B=A-8A=A-BPrint A A.10 B.8 C.2 D.-26.在程序框图中，表示处理框的符号是（）A. B. C. D.7.若金沙中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和928.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关9.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如下图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为（）2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年A.18B.36C.54D.7210.如下图所示，程序框图的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 89（第9题图） （第10题图）11. 在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上，则这组样本数据的 样本相关系数为（ ）A.－1B.0C.12D.1 12. 设样本数据1021,,,x x x Λ的均值和方差分别为1和4，若a x y i i +=（a 为非零常数10,3,2,1Λ=i ），则1021,,y y y ，Λ的均值和方差分别为（ ）A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1，4+a第II 卷 (非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 若样本的频率分布直方图中一共有n 个小矩形,中间一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的错误!未找到引用源。

高二(上)月考数学试卷(理科)(必修3 2-1)

高二(上)月考数学试卷(理科)(必修3 2-1)

高二（上）月考数学试卷（理科）（必修3 2-1）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.命题“∀x∈R，|x|+x4≥0”的否定是（）A. ∀x∈R，|x|+x4＜0B. ∀x∈R，|x|+x4≤0C. ∃x0∈R，|x0|+x≥0D. ∃x0∈R，|x0|+x＜03.为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高（单位：cm），所得数据均在区间[140，190]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160，180）上的人数为（）A. 70B. 71C. 72D. 734.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）a=1b=3a=a+bb=a-bPRINTa，b．A. 1，3B. 4，1C. 0，0D. 6，05.已知命题p：∀x≥0，2x≥1；命题q：若x＞y，则x2＞y2．则下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧￢qD. ￢p∨q6.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为S A，S B，则（）A. ＞，S A ＞S BB. ＜，S A ＞S BC.＞，S A ＜S BD.＜，S A ＜S B7. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（ ）A. B. C. D.8. 下列说法正确的是（ ）A. 袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B. 天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C. 某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D. 连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 9. 下面的程序框图，求输出的y =0那么输入的x 为（ ）A. -3、0B. -3、-5C. 0、-5D. -3、0、-510. 质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A. 点数都是偶数 B. 点数的和是奇数 C. 点数的和小于13 D. 点数的和小于211. 在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）A. B. C. D.12.下列说法中，正确的是（）A. 命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B. 已知x∈R，则“x＞2ab”是“x＞a2+b2”的充分不必要条件C. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件二、解答题（本大题共10小题，共90.0分）13.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为______．14.如图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为______．15.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S为______．16.将一根1米长的绳子剪成三段，则由这三段能构成三角形的概率为______．17.写出命题“若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．18.设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x-3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数y进行统计分析，得出表中数据．（）请画出表中数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程；（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式：，）20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，AA1=1，AB=2，AC=1，BC=．（1）求证：BC⊥平面AA1C1C；（（2）求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．21.2018年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有人．（1）求频率分布于直方图中a的值，及评分等级不满意的人数；（2）在等级为不满意市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；（3）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）22.如图，三棱锥P-ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P-AB-C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断及线面平行的判定,属于基础题.根据线面平行的判定定理，可判断充分性，根据线面、线线的位置关系可判断必要性，从而可得答案.【解答】解：∵mα，nα，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，m，n也可能是异面直线，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.2.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀x∈R，|x|+x4≥0”的否定是∃x0∈R，|x0|+x＜0．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图，得；学生的身高位于区间[160，180）上的频率为（0.040+0.020）×10=0.6，∴对应的人数为120×0.6=72．故选：C．根据频率分布直方图，利用频率=，求出对应的频数即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．4.【答案】B【解析】解：把1赋给变量a，把3赋给变量b，把1+3的值赋给变量a，4-3的值赋给变量b，最后输出a，b，此时a=4，b=1故选：B．解决本题的关键是赋值语句的理解，当变量赋以新的值时该变量就取新的值，依此类推即可求出所求．算法语句是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题真假的判断，复合命题的真假，属于简单题．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：命题p：：∀x≥0，2x≥1为真命题，命题q：若x＞y，则x2＞y2为假命题，（如x=0，y=-3），故￢q为真命题，则p∧￢q为真命题．故选：B．6.【答案】B【解析】解：∵样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，显然＜，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，∴s A＞s B．故选：B．从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，得到结论．求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况．7.【答案】B【解析】解：将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，基本事件总数n=4×3=12，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”包含的基本事件个数m==2，∴两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是p==．故选：B．先求出基本事件总数n=4×3=12，再求出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”包含的基本事件个数m==2，由此能求出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】D【解析】解：对于A，从中随机抽出一个球，可能为白球，故错；对于B，明天降水概率10%，是指明天降水的可能性为10%，不是明天有10%的时间会下雨，故错；对于C，中奖率是千分之一，是指中奖的可能性为，买这种彩票1000张，不一定中奖，故错；对于D，连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故对．故选：D．由随机性可判断A；由概率的可能性可判断B，C；由随机性可判断D．本题考查简单随机抽样和概率的定义和连接、应用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，当x＜0时y=x+3=0，∴x=-3满足要求当x=0时y=0，∴x=0满足要求当x＞0时y=x+5，∴x=-5，不满足要求故输入的x的值为：-3或0故选：A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，将y=0代入后分类讨论，即可求出对应的自变量x的值．分析流程图我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，要求y=0时对应的自变量值，我们可以将y=0代入，构造关于x的方程，解方程即可得到答案．10.【答案】C【解析】解：质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，基本事件总数n=6×6=36，点数都是偶数包含的基本事件有：（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），（2，6），（6，2），（6，6），共7个，∴点数都是偶数的概率P（A）=；点数和是奇数包含的基本事件有18个，分别为：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），∴点数和为奇数的概率P（B）==；点数和小于13是必然事件，∴点数和小于13的概率P（C）=1；点数和小于2是不可能事件，∴点数和小于2的概率P（D）=0．∴点数和小于13的概率最大．故选：C．点数和小于13是必然事件，从而点数和小于13的概率P（C）=1．本题考查概率的求法，考查概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意可知边长为1的内接正方体的体积为：∴V1=1，又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R=球的体积V2=，这是一个几何概型，则此点落在正方体内部的概率为=故选：D．此题为几何概型求概率，先求边长为1的内接正方体的体积，再求球的体积，最后求体积比即可．此题是几何概型，实质上是求几何体的体积．本题主要考查几何概型中的体积类型求概率．12.【答案】D【解析】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时，不成立，故A错；由a2+b2≥2ab，可得x＞a2+b2，推得x＞2ab，反之不成立，故B错；p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故C错；其中必有一个发生的两个互斥事件事件叫做对立事件，若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件，故D正确．故选：D．由命题的逆命题和m=0，可判断A；由基本不等式和充分必要条件的定义可判断B；由复合命题的真值表可判断C；由对立事件的定义可判断D．本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题和充分必要条件的判断和复合命题的真假、对立事件的定义，考查判断能力，属于基础题．13.【答案】76【解析】解：根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号成等差数列，公差为16，再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号为：12，28，44，60，76，故该样本中产品的最大编号为76，故答案为：76．根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号成等差数列，公差为16，再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号，从而得出结论．本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由茎叶图知，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92；则甲的平均成绩为：×（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x所以乙的平均成绩为：×（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9时，甲的平均数＜乙的平均数，乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8时，甲的平均数=乙的平均数，乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1--=．故答案为：．由茎叶图中数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率值．本题考查了平均数与茎叶图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算公式，是基础题．15.【答案】【解析】解：=（-），则若输入n=3，则S==（1-），i=2，i＞3不成立．S=（1-）+（-）=（1-），），i=3，i＞3不成立，S=（1-+-）=（1-），i=4，i＞3成立，输出S=（1-）==，故答案为：根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：设三段长分别为x，y，1-x-y，则总样本空间为，其面积为，能构成三角形的事件的空间为其面积为，则所求概率为P==．故三段可以构成三角形的概率为：．故答案为：．先设绳子其中两段的长度分别为x、y，分别表示出绳子随机地折成3段的x，y的约束条件和3段构成三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求出构成三角形的概率．本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．17.【答案】解：逆命题：若x≠2且x≠3，则x2-5x+6≠0．真命题否命题：若x2-5x+6=0，则x=2或x=3，真命题若x=2或x=3，则x2-5x+6=0．真命题【解析】根据四种命题之间的关系进行求解判断即可．本题主要考查四种命题的关系以及真假判断，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，得2＜x＜4即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，则0＜a≤2，且3a≥4∴实数a的取值范围是．【解析】（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．19.【答案】解：（1）根据表中数据，画出散点图如图所示：（2）根据公式，计算x i y i=4×2+5×3+7×5+8×6=106，=（4+5+7+8）=6，=（2+3+5+6）=4，=42+52+72+82=154，则===1；=-=4-6=-2，所以线性回归方程为=x+=x-2，（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为x=9时，雾霾天数为=9-2=7天．【解析】（1）根据表中数据，画出散点图即可；（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可；（3）由线性回归方程预测x=9时，=7．本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．20.【答案】（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1，在△ABC中，AB=2，AC=1，BC=，∴|BC|2+|AC|2=|AB|2，∴∠BAC=90°，则BC⊥AC，又∵AC⊂平面AA1CC1，CC1⊂平面AA1CC1，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面AA1CC1．（2）解：由（1）知CC1⊥CA，CC1⊥CB，AC⊥CB，如图，以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则有C（0，0，0），B（0，0，），A1（1，1，0），D（，0，0），，，，设平面A1BD的一个法向量=（x，y，z），直线BC与平面A1BD所成的角为θ，由，取x=2，得平面A1BD的一个法向量=（2，-，1），∴sinθ=|co s＜＞|=||==．故直线BC与与平面A1BD所成的角的正弦值为．【解析】（1）由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，得BC⊥CC1，再由已知求解三角形可得BC⊥AC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面AA1C1C；（2）以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出与平面A1BD的一个法向量，则直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值可求．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质，得：（0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a）×10=1，解得a=0.025，低于60分的频率为：（0.002+0.004）×10=0.06，分数在[60，80）的频率为：（0.014+0.020）×10=0.34，∵满意度等级为基本满意的有680人，∴评分等级不满意的人数为：0.06×=120．（2）在等级为不满意市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，抽中老年人：=3人，抽中中青年人：9×=6人，从中选取2人担任整改督导员，基本事件总数n==36，至少有一位老年督导员包含的基本事件个数m==21，∴至少有一位老年督导员的概率p==．（3）满意度的平均数为：45×0.002×10+55×0.004×10+65×0.014×10+75×0.020×10+85×0.035×10+95×0.025×10=80.7，满意指数为80.7，故判断该项目能通过验收．【解析】（1）由频率分布直方图的性质，能求出a；求出低于60分的频率为0.06，分数在[60，80）的频率为0.34，由满意度等级为基本满意的有680人，能求出评分等级不满意的人数．（2）从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，抽中老年人：=3人，抽中中青年人：9×=6人，从中选取2人担任整改督导员，基本事件总数n==36，至少有一位老年督导员包含的基本事件个数m==21，由此能求出至少有一位老年督导员的概率．（3）满意指数为80.7，故判断该项目能通过验收．本题考查频率、频数、概率、满意度的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数据处理能力，是基础题．22.【答案】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为AD⊥DB，且DB=1，AB=2，所以，所以∠DBA=60°．因为△ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB∥AC．因为AC⊄平面PDB，DB⊂平面PDB，所以AC∥平面PDB．解：（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，所以PD⊥DA，PD⊥DB．如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知B（1，0，0），，P（0，0，1），．平面ABC的法向量=（0，0，1），设=（x，y，z）为平面PAB的一个法向量，则由，得，令y=1，则，所以平面PAB的一个法向量=（），所以cos＜＞==，由图象知二面角P-AB-C是钝二面角，所以二面角P-AB-C的余弦值为．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，因为，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．【解析】（Ⅰ）推导出∠DBA=∠CAB=60°，ACBD为平面四边形，从而DB∥AC．由此能证明AC∥平面PDB．（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，以D为原点，DB为x 轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-C 的余弦值．（Ⅲ）求出，，由≠0，求出在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．。

高二上数学第一次月考复习卷三答案

高二上数学第一次月考复习卷三答案

2022-2023学年度高二上综合复习练习卷三答案一、选择题1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是()A.33B．3C．－3D．－33答案A2．过点(1,2)且方向向量为(－1,2)的直线方程为()A．2x ＋y －4＝0B．x ＋y －3＝0C．x －2y ＋3＝0D．2x －y ＋4＝0答案A3．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C4．下列说法正确的是()A．若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 不一定共面B．若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b C．若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面D．若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →答案C5．如图，在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3，5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为()A．(2,3,3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1)D．(－5,2，－1)答案B6．若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝()A．3B．0C．－3D．0或－3答案D7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －3＝0D．x ＋2y －3＝0答案D8．点P (2,5)关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为()A．(6,3)B．(3，－6)C．(－6，－3)D．(－6,3)答案C9．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是()－43，C.－52，43答案B10．当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为()A.2B．0C．－1D．1答案C11．（多选）已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是()A．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3B．若l 1∥l 2，则m ＝3C．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D．若l 1⊥l 2，则m ＝12答案BD12．(多选)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，O 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AA 1→，则下列说法正确的是()A．点A 到直线BE 的距离是55B．点O 到平面ABC 1D 1的距离是24C．平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33D．点P 到直线AB 的距离为56答案BCD二、填空题13．（1）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.答案5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝013．（2）在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.则BC 边所在的直线方程为________.答案2x ＋5y ＋9＝014．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________.答案12或－415．若a ＝(2,3，m )，b ＝(2n,6,8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n ＝________.答案616.如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为________.答案60°17．若直线l 1：y ＝kx ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2恒过定点________，l 1与l 2的距离的最大值是________.答案(4,5)4218．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP→的取值范围是________.答案[0,1]三、解答题19．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝ 3.(1)求直线A 1C 与AB 1所成角的余弦值；(2)设M 为AC 的中点，在平面BCC 1内找一点N ，使得MN ⊥平面A 1BC ，求点N 到平面ABC 和平面ABB 1的距离．解(1)根据题设可知AB ，BC ，BB 1两两垂直，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,0，3)，A 1(1,0，3)，C (0,2,0)，所以AB 1→＝(－1,0，3)，A 1C →＝(－1,2，－3)，所以cos〈AB 1→，A 1C →〉＝AB 1→·A 1C →|AB 1→||A 1C →|＝1－32×8＝－24，所以直线A 1C 与AB 1所成角的余弦值为24.(2)由条件知N 在平面BCC 1内，可设其坐标为N (0，a ，b )，则MN →＝－12a －1，因为MN ⊥平面A 1BC ，所以MN ⊥BC ，MN ⊥BA 1，又BC →＝(0,2,0)，BA 1→＝(1,0，3)，MN →·BC →＝2a －1＝0，MN →·BA 1→＝－12＋3b ＝0，解得a ＝1，b ＝36，所以点0，1，36，其到平面ABC 的距离为36，到平面ABB 1的距离为1.20、如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2,1AD AB AB AD AE BC CF ⊥=====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值.20解：依题意，可以建立以A 为原点，分别以,,AB AD AE的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ，)1,2,1(F .(Ⅰ)依题意，()1,0,0AB =是平面ADE 的法向量，)1,2,0(=→BF ,可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF 平面ADE .(Ⅱ)依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--，设(),,n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令z =1，可得()2,2,1n = ，设直线CE 与平面BDE 所成角θ因此有4sin 9||||CE n CE n θ⋅==.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.(Ⅲ)设(),,m x y z = 为平面BDF 的法向量，则0m BD m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y y z -+=⎧⎨+=⎩.不妨令y =1，可得()1,1,2m =-.由题意，有6cos ,9m n m n m n ⋅===⨯ 所以平面BDE 与平面BDF夹角的余弦值为9.。

河北省石家庄实验中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

河北省石家庄实验中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试卷（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟,学生答题时不可使用计算器.）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.数列252211，，，，的一个通项公式是 ( )A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+ 2．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y=3x ,它的一个焦点是，则双曲线的方程为( )A.22136108x y -=B. 221927x y -= C.22110836x y -= D.221279x y -=4.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )A. 3B.6C. 9D.12 5.已知0x >，则16y x x=+的最小值为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 10 6、已知直线m 和平面,αβ，则下列四个命题正确的是（ ）A. 若αβ⊥， m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ， //m α，则//m βC. 若//αβ， m α⊥，则m β⊥D. 若//m α， //m β，则//αβ7、直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线 BA 1与AC 1所成的角为（ ）A.60°B.90°C.120°D.150° 8、直线20mx y m +-+=恒经过定点（ ） A. ()1,1- B. ()1,2 C. ()1,2- D. ()1,1 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若65911a a =,则119SS = ( ) A. 1 B. 1?- 1 C. 2 D. 1210、若点到直线的距离为,则的值为( ) A.B.C.或D.或11、在三棱锥中,,,.的中点为,的余弦值为,若都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.B.C.D.12、若直线与圆有两个不同交点,则点与圆的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13.若数列{}n a 的通项满足2na n n=-,那么15是这个数列的第__________项.14、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．15、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．16.数列{}n a 满足 123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________.三、解答题：（第17题10分,其余各题12分，解答应写出文字、符号 说明，证明过程或演算步骤.）17.设{}n a 是等差数列，14a =-，且2345,3,1a a a +++成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n a 的前n 项和n S18、（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,底面是矩形,底面,是的中点.已知,,.求: （1）.三角形的面积; （2）.异面直线与所成的角的大小.19.某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y （万元）与CABD PE年产量x （吨）之间的关系可近似地表示成230400010x x y +=-，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．20.已知公差不为零的等差数列{}n a 中，23a =，且137,,a a a 成等比数列． （1）.求数列{}n a 的通项公式； （2）.令11(N )n n n b n a a *+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD⊥平面ABCD ，6AD BD ==，AB =，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：BC ⊥平面PBD ； （2）若PA ∥平面BDE ，求PEPC的值；（3）在（2）的条件下，三棱锥P BDE -的体积是18， 求D 点到平面PAB 的距离.22.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．参考答案1-5 BADCC 6-10 CACAD 11-12 AC13.答案：5解析：由2na n n=-可知, 22n a n n =-,令2215n n -=,得5n =. 14、3：1：2； 15 π16-16 16.答案：16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩解析：因为123231111212222n na a a a n ++++=+,所以()12312311111121122222n n n n a a a a a n +++++++=++,两式相减得11122n n a ++=，即12,2n n a n +=≥，又1132a =，所以1132a =，因此16,1 2,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩17. 解：（1）因为14a =-，且2345,3,1a a a +++成等比例，所以2(45)(423)(431)d d d -++=-++-++，解得2d =. 所以42(1)26n a n n =-+-=-. （2）因为14,26n a a n =-=-，所以2(426)52n n nS n n -+-==-.18. (1).因为底面,所以,又,所以平面,从而.因为,, 所以三角形的面积为.(2.)方法一:取的中点,连接,,则,从而(或其补角)是异面直线与所成的角. 在中,由,,知是等腰直角三角形,,所以.因此,异面直线与所成的角的大小是.19..答案：年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元．设每吨的平均成本W （万元/t ），则4000400030230101010y x x W x x x==+-≥⨯=， 当且仅当400010x x=，200x =（t ）的每吨平均成本最低，且最低成本为10万元． 20.答案：(1).由题意：121113(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 化简得20d d -=，因为数列{}n a 的公差不为零，11,2d a ∴==，故数列{}n a 的通项公式为1n a n =+．(2).由1知11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++， 故数列{}n b 的前n 项和111111112334122224n n S n n n n =-+-++-=-=++++． 21.【解析】：（1）由已知条件可知222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 又因为PDBD D =，所以AD ⊥平面PBD .因为ABCD 是平行四边形，所以BC ∥AD ， 所以BC ⊥平面PBD . …………………4分 （2）连接AC 交BD 于F ，连接EF ， 则EF 是平面PAC 与平面BDE 的交线. 因为PA ∥平面BDE ，所以PA ∥EF . 又因为F 是AC 中点，所以E 是PC 的中点, 所以12PE PC =. ……………………………………8分 （3）由（1）（2）知点E 到平面PBD 的距离等于132BC =，所以18E PBD P BDE V V --==，所以11631832PD ⨯⨯⨯⨯=，即6PD =. ……………………10分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD BD ⊥，又因为6AD BD ==，62AB =，所以PA =PB =PAB △是等边三角形，则PAB S =△设D 点到平面PAB 的距离为d ，因为D PAB P ABD V V --=,所以111666332d ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得d =.所以D 点到平面PAB的距离为. ……………12分 22.【解析】:（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则1x ，2x 满足220x mx +-=，所以122x x =-． 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC BC ⊥的情况.（2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-．联立2221()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值．。

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江西省东乡县实验中学高二年级上学期第一次月考数学卷(必修3综合测试题)总分：一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A 、3=AB 、M=—MC 、B=A=2D 、x+y=02．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少人（ ） A ．8，15，7 B ．16，2，2 C ．16，3，1 D ．12，3，53．如右图,是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为 （ ）A. 顺序结构B. 选择结构C. 条件结构D. 循环结构4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。

则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( )A 、 分层抽样法，系统抽样法B 、分层抽样法，简单随机抽样法C 、系统抽样法，分层抽样法D 、简单随机抽样法，分层抽样法 5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是 （ ） A 、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B 、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C 、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D 、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定6.有五根细木棒长度分别是1、3、5、7、9cm ，从中任取3根，能构成三角形的概率为（ ） A ．203 B ．51 C ．103 D ．527.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是( )； A ．21 B ．31 C ．41 D ．528．从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A . A 与C 互斥 B . 任何两个均互斥 C . B 与C 互斥 D . 任何两个均不互斥9．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。

则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.3 10．先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( )A.81B. 83C. 85D. 87 11.条件语句的一般形式如右所示，其中B 表示的是（ ） A ．条件 B ．条件语句C ．满足条件时执行的内容D ．不满足条件时执行的内容 12.从一批产品中取出三件，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C ．任两个均互斥D ．任两个均不互斥 二、填空题（每小题4分，共20分）13．计算机的程序设计语言很多，但各种程序语言都包含下列基本的算法语句： ， ， ， ， 。

14．为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：则表中的m = ，a= 。

15．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。

在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为 。

（用分数表示）16．下列说法中正确的有________①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响； ②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确。

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型。

三、解答题：（共74分）17．（12分）为了参加奥运会，对自行车运动员甲、 乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由。

18．（12分）下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：第一步 输入工资x(注x<=5000);第二步 如果x<=800,那么y=0;如果800<x<=1300,那么 y=0.05(x-800);否则 y=25+0.1(x-1300) 第三步 输出税款y, 结束。

请写出该算法的程序框图和程序。

（注意：程序框图与程序必须对应）19．（12分）为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图：（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ （4分）（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ （5分） （3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。

（4分） 20．（本小题满分12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。

（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？ （3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？ 21．（12分）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点—8点之间把报纸送到你家，你每天离家去茎叶图工作的时间在早上7点—9点之间（1）你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？（7分，须有过程）（2）请你设计一种随机模拟的方法近似计算事件A的概率（包括手工的方法或用计算器、计算机的方法）（5分）22.（本小题满分14分）给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，以此类推. 要求计算这50个数的和. 先将下面给出的程序框图补充完整，再根据程序框图写出程序.1. 把程序框图补充完整：Array（1）_____________________ (3分)；（2）____________________ (4分)；2. 程序：（7分）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分）13．输入语句 ，输出语句 ， 赋值语句 ， 条件语句 ， 循环语句 。

14．=m 6 ， =a 0.45 。

15．44π- 16. ③ 。

三、解答题： 17．（12分）为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由。

解：336313537303827=+++++=甲X336362834382933=+++++=乙X （ 4分）S 甲=958.3694≈， S 乙=559.3338≈ （8分） 乙甲X X =，S 甲＞S 乙 （10分）乙参加更合适 （12分）18．（12分）下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：第一步 输入工资x(注x<=5000);第二步 如果x<=800,那么y=0;如果800<x<=1300,那么 y=0.05(x-800);否则 y=25+0.1(x-1300) 第三步 输出税款y, 结束。

请写出该算法的程序框图和程序。

（注意：程序框图与程序必须对应） 解：框图7分，程序6分（不对应扣3-4分）茎叶图19．（12分）为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图：（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ （4分） （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ （5分） （3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。

（4分） 解：（1）甲网站的极差为：73-8=65； （2分）乙网站的极差为：61-5=56 （4分）（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为4/14=2/7=0.28571 （9分） (3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方。

从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎。

（13分）20．（本小题满分12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。

（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？解：把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3。

从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个（1） 事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P （E ）=1/20=0.05（2） 事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，P （F ）=9/20=0.45 （3） 事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P （G ）=2/20=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次。

则一天可赚40510190=⨯-⨯，每月可赚1200元。

21．（13分）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点—8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点—9点之间 （1）你离家前不能看到报纸（称事件A ）的概率是多少？（8分，须有过程） （2）请你设计一种随机模拟的方法近似计算事件A 的概率（包括手工的方法或用计算器、计算机的方法）（6分） 解：如图，设送报人到达的时间为X ，小王离家去工作的时间为Y 。

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