数系的扩充和复数概念和公式总结
知识讲解_数学的扩充与复数的引入_知识讲解
数系的扩充和复数的引入【要点梳理】要点一：复数的有关概念1.复数概念：形如()+a bi a b ∈R ，的数叫复数， 其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 叫虚数单位（21=i -）. 表示：复数通常用字母z 表示.记作：()=+z a bi a b ∈R ，.要点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数=+z a bi 中，实部a 和虚部b 都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据..（3）i 是－1的一个平方根，即方程12=x -的一个根. 方程12=x -有两个根，另一个根是i -；并且i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复数集概念：复数的全体组成的集合叫作复数集．表示：通常用大写字母C 表示．要点诠释：⊆⊆⊆⊆N Z Q R C ,其中N 表示自然数集,Z 表示整数集Q 表示有理数集,R 表示实数集.3.复数相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.表示：如果,,,a b c d R ∈，那么a c a bi c di b d=⎧+=+⇔⎨=⎩ 特别地，00a bi a b +=⇔==.要点诠释：（1）根据复数a +b i 与c+di 相等的定义，可知在a =c ，b =d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a +b i≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．要点二：复数的分类表示：用集合表示如下图：要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.设复平面内的点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），向量OZ 由点(,)Z a b 唯一确定；反过来，点(,)Z a b 也可以由向量OZ 唯一确定.复数集C 和复平面内的向量OZ 所成的集合是一一对应的，即复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 这是复数的另一种几何意义.4.复数的模 设OZ a bi =+u u u r （,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+u u u r .要点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x 轴对称，并且他们的模相等.【典型例题】类型一：复数的概念例1．请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？（1）23i +； （2）132i -； （3）1-3i ； （4）3-52i ； （5）π； （6）0.【思路点拨】将复数化为()+a bi a b ∈R ，的标准形式，实数为a ，虚部为b .当实部0a =，而虚部0b ≠时，该复数为纯虚数.【解析】（1）复数23i +的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；（2）132i -=132i -+，其实部是－3，虚部是21，不是纯虚数； （3）1-3i 的实部是0，虚部是－31，是纯虚数；（4）2=-22i ，其实部是2-，虚部是-2，不是纯虚数； （5）π是实数，可写成+0i π⋅，其实部为π，虚部为0，不是纯虚数；（6）0是实数，可写出0+0i ⋅，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.举一反三：【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．【答案】(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2】以2i 22i +的实部为虚部的新复数是________．【答案】2i -222i +的实部为-2，所以新复数为2－2i .【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】例2．当实数m 取何值时，复数22(34)(56)i,(m )z m m m m =--+--∈R ，表示：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【思路点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值.【解析】（1）当z 为实数时，要求虚部为0，即2560m m --=，6m =，解得或1m =-.（2）当z 表示虚数，要求虚部非0，即2560m m --≠，解得6m ≠且1m ≠-. （3）当z 表示纯虚数，要求实部为0，且虚部非0，即22340560m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩，解得4m =. 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．举一反三：【变式1】 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为_________.【答案】1-. 由复数z 为纯虚数，得21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-．【变式2】已知复数22276(56)i (R)1a a z a a a a -+=+-+∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【答案】（1）当z 为实数时，则225601a a a ⎧--=⎪⎨≠⎪⎩ ∴161a a a =-=⎧⎨≠±⎩或，故a =6， ∴当a =6时，z 为实数．（2）当z 为虚数时，则有225601a a a ⎧--≠⎪⎨≠⎪⎩，∴161a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数．（3）当z 为纯虚数时，则有2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，∴166a a a ≠-≠⎧⎨=⎩且， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【变式3】设复数22lg(22)(32)i z m m m m =--+++，m ∈R ，当m 为何值时，z 是：（1）实数； （2）z 是纯虚数．【答案】（1）要使z 是实数，则需22320220m m m m ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩⇒m =―1或m =―2，所以当m =－1或m =－2时，z 是实数． （2）要使z 是纯虚数，则需222213320m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨++≠⎪⎩，所以m =3时，z 是纯虚数． 类型二：两个复数相等例3. 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈，求x 与y .【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解x y ，.【解析】根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以52x =，4y = 【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．举一反三：【变式1】已知，x y ∈R 且22712+=+x y xyi i -，求以x 为实部、以y 虚部的复数． 【答案】由题意知22712x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩ 或 43x y =-⎧⎨=-⎩． 所以x+yi 的值为4+3i 或－4－3i ．【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】,x y ∈R ，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+相等，求x y ，.【答案】(2)1818(2)y i y i -+=--，所以321852x y x y+=⎧⎨=-⎩，解得212x y =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知集合M=｛（a +3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3i ，（a 2-1）+(b +2)i ｝同时满足：N≠⊂M ，M N ≠I Φ，求整数a ,b .【答案】 2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得 ①或28(1)(2)a b i =-++ ②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++ ③由①得a =-3,b =±2,经检验，a =-3,b =-2不合题意，舍去.∴a =-3，b =2由②得a =±3, b =-2.又a =-3,b =-2不合题意，∴a =3,b =-2; 由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解. 综合①②③得a =-3，b =2或a =3,b =-2.类型三、复数的几何意义例4. 在复平面内，若复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线=y x 上，分别求实数m 的取值范围．【思路点拨】复数()+a bi a b ∈R ，在复平面内对应的点为()a b ，： =0a ⇔()a b ，在虚轴上；0,0a b <⎧⇔⎨>⎩()a b ，在第二象限；=a b ⇔()a b ，在=y x 上. 【解析】复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 在复平面内的对应点为()22(2)(32)－－－＋m m m m ，.(1)由题意得22－－=0m m ，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220,320.－－－＋m m m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得12,2 1.m m m -<<⎧⎨><⎩或 ∴－1<m <1. (3)由已知得22232－－=－＋m m m m ，解得m ＝2.【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．举一反三：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式1】已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3 ∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.【变式2】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】∵22ππ<<，∴sin20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式3】 已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.【答案】∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或解得：10122k k -<<<<或 例5. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2+i ．（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB uuu r 对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．【解析】（1）设所求向量OB uuu r 对应的复数z 1=x 1+y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1）．由题意可知点A 的坐标为（2，1），根据对称性可知x 1=2，y 1=－1，故z 1=2－i ．（2）设所求点C 对应的复数为z 2=x 2+y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2）．由对称性可知x 2=－2，y 2=－1，故z 2=－2－i ．【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．举一反三：【变式】在复平面内，复数z 1=1+i 、z 2=2+3i 对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ．若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是________．【答案】(12,13)OP λλ=++u u u r 由题意：120130λλ+>⎧⎨+<⎩，解得：1123λ-<<- 例6. 已知12z i =+，求z .【解析】z ==【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.举一反三：【变式1】若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = . 【答案】由210110a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩, 所以z =2. 【变式2】已知z －|z|=－1+i ，求复数z ．【答案】方法一：设z=x+yi （x ，y ∈R ），由题意，得i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+．根据复数相等的定义，得11x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，∴z=i ．方法二：由已知可得z=(|z|－1)+i ，等式两边取模，得||z =两边平方，得|z|2=|z|2－2|z|+1+1⇒|z|=1．把|z|=1代入原方程，可得z=i ．。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
3.1数系的扩充和复数的概念
数系扩充后,在实数系中规定的加法运算、 乘法运算,与原来 在 有理数系中规定的加法运 算、乘法运算协调一致:加法和乘法都满足交 换律和结合律,乘法对加法满足分配律.
数系每次扩充的基本原则： 第一、增加新元素； 第二、原有的运算性质仍然成立；
纯虚数集是虚数集的真子集.
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
负数是“欠”出来的.
它是由于借贷关系中量的
不同意义而产生的.我国
三国时期数学家刘徽（公
元250年前后）首先给出
了负数的定义、记法和加
减运算法则.
数集扩充到整数集
整数
自然数
正整数 零
负整数
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）是“分” 出来的.早在古希腊时期， 人类已经对有理数有了非 常清楚的认识，而且他们 认为有理数就是所有的数.
a＝b＝0
问题探 究
5、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）
当b＝0时，z为什么数？由此说明实
数集与复数集的关系如何？
当b＝0时z为实数.
实数集R是复数集C的真子集.
问题探 究
6、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当 b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0 时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯 虚数集之间如何？
数集扩充到有理数集
有理数
整数
自然数
正整数 零
负整数
分数 小数
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
？
1
1
无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理，发现了 “无理数”. “无理数” 的承认（公元前4世纪） 是数学发展史上的一个里 程碑.
复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i :它的平方等于-1，即i2=-12.i与－1 的关系: i就是－1 的一个平方根，即方程x2=－1 的一个根，方程x2=－1 的另一个根是－i3.i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1王奎新新疆屯敞4.复数的定义：形如a + bi(a,b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部王新奎新屯疆敞全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示王新奎新疆屯敞复数通常用字母z表示，即z = a + bi(a,b R)5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：对于复数a + bi(a,b R) ，当且仅当b=0 时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0 时，复数z=a+bi叫做虚数；当a =0 且b≠ 0 时，z = bi叫做纯虚数；a≠ 0 且b≠ 0 时，z = bi 叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0 时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等王新奎新疆屯敞如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d 王奎新新屯疆敞一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小王新奎新屯疆敞当两个复数不全是实数时不能比较大小王新奎新疆屯敞7. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z =a +bi (a 、 b ∈ R ) 可用点 Z (a ， b ) 表示，这 个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚 轴王奎新新疆屯敞实轴上的点都表示实数王奎新新屯疆敞(1)实轴上的点都表示实数王新奎新屯疆敞(2)虚轴上的点都表示纯虚数王新奎新疆屯敞(3)原点对应的有序实数对为(0，0)设 z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，8．复数 z 1 与 z 2 的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与 z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )= ac + bd + bc - ad i (分母实数化)c 2+ d 2 c 2 + d 212. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互 为共轭复数王新奎新屯疆敞虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数王新奎新屯疆敞通常记复数z 的共轭复数为z 。
数系的扩充和复数的概念
1 复数的概念
思考： 1.复数集C和实数集R之间有什么关系？
复数集C
虚数集
纯虚数集
实数集 R
2.实数和虚数之间有什么关系？ 区别：实数可以比较大小，虚数不可以比较大小
例: 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
例：若复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i 为纯虚数，则实数m
0
3.两个复数相等,则它们的实部和虚部分别相等
的值为 B
A －1 B ±1 C 1 D －2
复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
若a,b,c, d R,
a bi c di
a c b d
特别的，若z a bi 0
a 0 b 0
例：已知x2－y2＋2xy i＝2i(其中x>0)，则实数x，y 的值分别为
7.1.1数系的扩充和复数的 概念
数系的扩充
x2 +1 0
x2 1
引进一个新数:i
新数 i 叫做虚数单位，则：
i 2 = -1
找规律？
ii
i2 1
i3 i
i4 1
i5.... i
i2023 ?
1 复数的概念
知识点1 复数的概念 把实数b与i 相乘记作bi,把实数a与bi相加记作a+bi (a,b为实数)
形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数（i为虚数单位） 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示
记为C {a bi | a, b∈R}
1 复数的概念
知识点2 复数的代数形式
复数通常用字母 z 表示，即
z = a+b i (a, b R)
3.1.1数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原 有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法， 结果记为a i
实数b与i做乘法， 结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数 复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是 纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进 行等分的问题人们引进了分数，为了表示 各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结 果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi
数系的扩充历史和复数的概念
2.课本
x, y 的 值 .
1 9i,
p104 练习 1、2、3
1 .
谢谢合作
的值.
2y i
a c b d
2x 5 3x y i ,
x 3, y 2
学习小结
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 3.复数的分类
复数的代数形式: 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
课后作业
1 .若 3 1 0 i y 2 i x
“0”的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。
零
分数
负数
正整数 无理数
零 分数 负数 正整数 无理数
数还够用吗
数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也 解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实 施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的 矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛 盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。 2 但是，数集扩充到实数集R以后，像x +1=0 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的 平方等于-1.
中国是世界上对负数认识最早的国家， 负数是在《九章算术》里首先发现的。但欧 洲人承认负数却在16世纪，比中国晚了一千 多年。 班级信息栏
负 数 的 引 入 重
大 进 步
在7世纪，印度学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著 作传入欧洲，但是，到了16,17世纪，欧洲的大多数数学家并不承 认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称 为荒谬的数，例如著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。
（3）纯虚数
m 1或 m 1
m 1且 m 1
m 2
高中数学数系的扩充和复数的引入数系的扩充与复数的概念数系的扩充和复数的概念数学.doc
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做02四则运算，且原有的加、乘运算虚数单位；(2)i可与实数进行□律仍然成立．2．复数的相关概念集合C＝{a＋b i|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R) 03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做的数叫做□05复数集．□复数通用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与叫做□虚部．3．复数的分类对于复数z＝a＋b i，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当09a＝b＝0时，它是实数0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11□a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d ∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．【跟踪训练1】下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A．① B．② C．③ D．④答案D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6m i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围．【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2. 拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是( )A．3－3i B．3＋iC．－2＋2i D.2＋2i答案A解析3i－2的虚部为3,3i2＋2i的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．答案±2，5解析由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±2，b＝5.4．设复数z＝1m＋5＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．答案3解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
高中数学常用公式及结论（数系的扩充与复数的引入总结）
高中数学常用公式及结论(数系的扩充与复数的引入总结)•、复数的定义:形如a+bi(fl9be R)复数图(1)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部□注:a^bi(a.be&)复数图(2)称为复数z的代数形式，其中「2一1a二、复数a^bi(fl9beR)复数图(3)与实数的关系：实敝g复教Z=a-bi怎0&A)<虚数彷工0)—般虚数0)纯虚数(bn0q=0)复数与实数的关系图三、复数的相等:a-\-bl-c-\-di<^>a-c,b-d.(a.b.c.d e R>两个复数相等图四、共轴复数:1、复数z=a^的共匏复数记作八即T=af共貌复数图2、i的性质:如果nN则有严=1咨心=很血=-侦心=—ii的性质图3、法则（分母实数化法）：a+bi(々+质X c-S){ac^bd)^(fic-ad)i_ac+bd^bc-adc+di(c+尻)(c-*)cf法则（分母实数化法）图五、复数的几何意义:1、复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面；X轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
注：实轴上的点表示实数；虚轴上的点（除原点）都表示纯2、复数z=a±bi<—定>复平面内的点Z(qi)复数图（1）z=a^bi〈一*＞复平面上的平面向量无复数图（2）规定：相等的向量表示同一复数o3、5向量沅的模叫做复数前的模,模图（1）记作日或|。
+团，则:=a^bi=J疽+旋z模图（2）六、复平面上的两点间的距离公式:d=\z Y-z21=J(x2-X,)2+(>•,-J i)2z2=x2+tj).。
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(共52张PPT)
(3)纯虚数； 解 当mm22－ ＋25mm－ ＋16＝5≠00， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2.
(4)0.
解 当mm22－ ＋25mm－ ＋16＝5＝00， 时，复数 z 是 0， ∴m＝－3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.分别求满足下列条件的实数x，y的值. (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为__2___. 解析 由题意得mm22－ －21>m1＝，0， 解得 m＝2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)实数；
解 因为z>0，所以z为实数，
需满足m2m－＋m3－6>0， m2－2m－15＝0，
解得 m＝5.
反思 感悟
复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R) 的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和 虚部满足的方程(不等式)即可.
复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念和公式总结i:1.虚数单位它的平方等于-1,即i2i2.i与一1的关系:i就是一1的一个平方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是—i3.i 的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.4.复数的定义：形如a bi(a,b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部■全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.复数通常用字母z表示，即z a bi(a,b R)5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b€ R)是实数a；当b^0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b^0时，z=bi 叫做纯虚数；a^ 0且b M 0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N^ZWQWR^C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等•如果a，b，c，d€ R，那么a+bi=c+di a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.当两个复数不全是实数时不能比较大小+7.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b€ R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴+实轴上的点都表示实数.(1)实轴上的点都表示实数•(2)虚轴上的点都表示纯虚数•(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)设Z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d€ R)是任意两个复数，8.复数z1 与z2 的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.复数Z1 与z的减法运算律：Z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.11.复数Z 1与z 2的除法运算律： 乙十z 2=(a+bi)* (c+di)= _卑 ■^C _ i (分母实数化) c d c d 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数• 通常记复数z 的共轭复数为z 。
数系的扩充和复数的概念【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
易错警示 在利用复数的有关概念解题时,需要注意一些隐含条件,如本题中a2-1 ≠0这一条件.
对复数扩充过程的理解
在对数字运算的研究过程中,意大利数学家卡当(1501—1576年)遇到一个让他 非常头痛的问题,即将10分成两部分,使两部分的乘积等于40,那么这两部分分别是 多少?
1.列出解决此问题的方程. 提示:设其中一个数是x,则x满足方程x(10-x)=40,即x2-10x+40=0.
所以m2-2提m+示(m2:+复m-数2)i=z-是1或实m2-数2m的+(m充2+要m-2条)i=4件i. 是
(2)当z为虚数时,m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是实数?
分m为别何确值定时两即,个复复数数z=的 实+部(m与2虚+5部m;+6)i(m∈R,i为解虚数得单m位=)是-2虚,数?
提解示析:复(数1)解z当是z析虚∈数R时的,(充m12要)-若2条m件复-1是5=数0,解解z是得得mm实≠=-53数或且mm,则=≠--32.,
判断此方程在实数范围内解的情况. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数?
提 由示0<：i⇒两0×个即i<虚i2数⇒0不<能-1比,这较与大0>小-1.矛盾;由0>所i⇒-i以×0>ai×=(6-i).⇒-i2<0⇒1<0,这与1>0矛盾.
2.判断此方程在实数范围内解的情况. 提示:由判别式Δ=(-10)2-4×40=-60<0知,此方程无实数解. 3.在复数范围内,如何解此方程?
新教材高中数学第七章复数.数系的扩充和复数的概念课件新人教A版必修第二册
【解析】因为 x2－1＋(y＋1)i＞2x＋3＋(y2－1)i，
y＋1＝0，
所以
且 x2－1＞2x＋3，
y2－1＝＋ 5 ，
即实数 x，y 的取值范围是
x＜1－ 5 或 x＞1＋ 5 ，y＝－1.
复数中比较大小问题： 1．两个虚数不能比较大小． 2．若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数(即两个复数的虚部均为 0).
解得 x＝－2. 答案：－2
学情诊断·课堂测评
1．(2021·无锡高一检测)已知 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数的 充要条件是( ) A．a＝0 或 a＝2 B．a＝0 C．a∈R 且 a≠2 且 a≠－3 D．a∈R，且 a≠2
【解析】选 B.因为 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数需满足
a2－2a＝0
，解得 a＝0.
a2＋a－6≠0
2．以 3i－1 的虚部为实部，以－2＋i 的实部为虚部的复数是( ) A．－2＋3i B．－3＋i C．－2i＋3 D．1－3i 【解析】选 C.3i－1 的虚部为 3，－2＋i 的实部为－2，故以 3i－1 的虚部为实部， 以－2＋i 的实部为虚部的复数是 3－2i.
1．本质：复数是数系的扩充，复数集是对实数集的扩展． 2．混淆：复数与实数不一样，两个复数不能比较大小． 3．对复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其中 0 ＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．若 a∈R，i 为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i 为纯虚数”的
高二数学选修二公式总结
高二数学选修二公式总结一、导数及其应用1. 导数的定义- 函数y = f(x)在x = x_{0}处的导数f^′(x_{0})=limlimits_{Δ x→0}(Δ y)/(Δx)=limlimits_{Δ x→0}frac{f(x_{0}+Δ x)-f(x_{0})}{Δ x}2. 基本初等函数的导数公式- C^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_{a}x)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)3. 导数的运算法则- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v+uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)4. 复合函数求导法则- 设y = f(u)，u = g(x)，则y^′_{x}=y^′_{u}· u^′_{x}5. 函数的单调性与导数- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。
6. 函数的极值与导数- 设函数f(x)在点x_{0}处可导，且在x_{0}处取得极值，那么f^′(x_{0}) = 0。
- 求函数y = f(x)极值的步骤：- 求导数f^′(x)；- 求方程f^′(x)=0的根；- 列表判断在方程f^′(x)=0的根左右两侧f^′(x)的符号，确定是极大值还是极小值。
7. 函数的最值与导数- 求函数y = f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：- 求函数y = f(x)在(a,b)内的极值；- 将函数y = f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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数系的扩充和复数概念和公式总结
1.虚数单位i:
它的平方等于-1，即21
i=-
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i
i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
3.
4.复数的定义：形如(,)
a bi a
b R
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)
=+∈
z a bi a b R
5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
+∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、
a bi a
b R
b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b ≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
（1）实轴上的点都表示实数
（2）虚轴上的点都表示纯虚数
（3）原点对应的有序实数对为(0，0)
设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，
8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .
11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d
c ad
bc d c bd ac 2
222
+-+++（分母实数化） 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等
于0
通常记复数z 的共轭复数为z 。
例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质
（1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）2
2
Z Z
Z Z ==⋅
（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称
14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论
（1）()i i 212=+，（2）()i i 212
-=- （3）i i -=1
， （4）
i i
i
=-+11 16.复数的模： （5）
i i
i
-=+-11 复数bi a Z +=的模2
2b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+
2009－2014年高考文科数学试题分类汇编——复数
2.（2009浙江卷文）设z ＝1＋i （i 是虚数单位），则2z
＋z 2
＝ （ ）
（A ）1＋i （B ）－1＋i （C ） 1－i （D ）－1－i
3. （2009山东卷文）复数3－i 1－i
等于（ ）
（A ）1＋2i （B ）1－2i （C ）2＋i （D ）2－i
点),(b a Z
向量OZ
一一对应
一一对应
一一对应
复数()R b a bi a Z ∈+=,
4. （2009安徽卷文）i 是虚数单位，i （1＋i ）等于（ ） （A ）1＋i
（B ）－1－i
（C ）1－i
（D ）－1＋i
5.（2009天津卷文）i 是虚数单位，5i
2－i ＝（ ）
（A ）1＋2i
（B ）－1－2i
（C ）1－2i
（D ）－1＋2i
6. （2009宁夏海南卷文）复数3＋2i
2－3i
＝（ ）
（A ）1 （B ）－1 （C ）i
（D ）－i
7. （2009辽宁卷文）已知复数z ＝1－2i ，那么1
z
＝（ ）
（A ）
55＋ 255i （B ）55－255i （C ）15 ＋25 i （D ）15 －2
5
i
8.（2010湖南文数1）复数2
1－i
等于（ ）
（A ） 1＋i （B ） 1－i （C ） －1＋i （D ） －1－i
10．（2010全国卷2理数）复数（3－i 1＋i ）2
＝（ ）
（A ）－3－4i
（B ）－3＋4i （C ）3－4i
（D ）3＋4i
11.（2010陕西文数）复数z ＝i
1＋i 在复平面上对应的点位于（ ）
（A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
12.（2010辽宁理数（2））设a ，b 为实数，若复数1＋2i
a ＋
b i ＝1＋i ，则（ ）
（A ）a ＝32 ，b ＝1
2
（B ） a ＝3，b ＝1 （C ） a ＝12 ，b ＝3
2
（D ） a ＝1，b ＝3
16.（2010山东文数）已知a ＋2i
i
＝b ＋i （a ，b R ），其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（ ）
（A ）－1
（B ） 1 （C ）2
（D ） 3
17.（2010北京文数（2））在复平面内，复数6＋5i ， －2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ） （A ）4＋8i
（B ）8＋2i
（C ）2＋4i （D ）4＋i
18.（2010四川理数（1））i 是虚数单位，计算i ＋i 2
＋i 3
＝（ ） （A ）－1
（B ）1
（C ）－i （D ）i
19.（2010天津文数）i 是虚数单位，复数3＋i
1－i ＝（ ）
（A ）1＋2i
（B ）2＋4i （C ）－1－2i （D ）2－i
20.（2010天津理数）i 是虚数单位，复数－1＋3i
1＋2i ＝（ ）
（A ）1＋i
（B ）5＋5i
（C ）－5－5i
（D ）－1－i
21.（2010广东理数）若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝（ ） （A ）4＋2 i
（B ） 2＋ i （C ） 2＋2 i （D ）3
22.（2010福建文数）i 是虚数单位， （1＋i 1－i ）4
等于（ ）
（A ）i
（B ）－i
（C ）1
（D ）－1
23.（2010全国卷1理数（1））复数3＋2i
2－3i ＝（ ）
（A ）i
（B ） －i
（C ）12－13i
（D ） 12＋13i
24.（2010山东理）已知a ＋2i
i
＝b ＋i （a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（ ）
（A ）－1
（B ）1
（C ）2
（D ）3
26. （2011年北京理）复数i －2
1＋2i ＝（ ）
（A ）i
（B ）－i
（C ） －45－3
5
i
（D ） －45＋3
5
i
29.（2011年安徽理（1））设i 是虚数单位，复数1＋a i
2－i 为纯虚数，则实数a 为（ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ） －12 （D ）1
2
30.（2011年福建文）i 是虚数单位，1＋i 3
等于（ ） （A ）i
（B ）－i
（C ）1＋i
（D ）1－i
31.（2011年广东理1）设复数z 满足（1＋i ）z ＝2，其中i 为虚数单位，则Z ＝（ ） （A ）1＋i （B ）1－i （C ）2＋2i （D ）2－2i 32.（2011年广东文1）设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝（ ） （A ）－i （B ）i （C ）－1 （D ）1 33.（2011年湖北理1）i 为虚数单位，则（1＋i 1－i ）2011
＝（ ）
（A ）－i （B ）－1 （C ）i
（D ）1
55.【2012湖南文2】复数z ＝i （i ＋1）（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） （A ）－1－i
（B ）－1＋i
（C ）1－i
（D ）1＋i
62．（2013年北京卷（文））在复平面内，复数i （2－i ）对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
67.（2013年江西卷）复数z ＝i （－2－i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限。